Capítulo 2: Vetores no IR² e no IR³

CAPÍTULO 2 VETORES NO IR² E NO IR³ No Capítulo 1 estudamos os vetores do ponto de vista geométrico e no caso eles eram representados por um segmento de reta orientado No presente capítulo vamos mostrar uma outra forma de representálos os segmentos orientados estarão relacionados com os sistemas de eixos cartesianos do plano e do espaço 21 Decomposição de um Vetor no Plano No caso de uma base ortonormal como esta os vetores vec3e1 e vec2e2 são projeções ortogonais de vecv sobre vece1 e vece2 respectivamente Existem naturalmente infinitas bases ortonormais no plano xOy porém uma delas é particularmente importante Tratase da base formada pelos vetores representados por segmentos orientados com origem em O e extremidade nos pontos 10 e 01 Estes vetores são simbolizados com hati e hatj e a base hatihatj é chamada canônica Fig 21c Em nosso estudo a menos que haja referência em contrário trataremos somente da base canônica Dado um vetor vecv xhati yhatj Fig 21d no qual x e y são as componentes de vecv em relação à base hatihatj o vetor hatx é a projeção ortogonal de vecv sobre hati ou sobre o eixo dos x e haty é a projeção ortogonal de vecv sobre hatj ou sobre o eixo dos y Como a projeção sempre será ortogonal diremos somente projeção Dados dois vetores vecv1 e vecv2 não colineares qualquer vetor vecv coplanar com vecv1 e vecv2 pode ser decomposto segundo as direções de vecv1 e vecv2 O problema consiste em determinar dois vetores cujas direções sejam as de vecv1 e vecv2 e cuja soma seja vecv Em outras palavras iremos determinar dois números reais a1 e a2 tais que 22 Expressão Analítica de um Vetor Ora fixada a base hatihatj fica estabelecida uma correspondência biunívoca entre os vetores do plano e os pares ordenados xy de números reais Nessas condições a cada vetor vecv do plano podese associar um par xy de números reais que são suas componentes na base dada razão porque definese vetor no plano é um par ordenado xy de números reais e se representa por vecv xy que é a expressão analítica de vecv A primeira componente x é chamada abscissa e a segunda ordenada Por exemplo em vez de escrever vecv 3hati 5hatj podese escrever vecv 35 Assim também hati hatj 11 3hatj 03 10hati 100 e particularmente hati 10 hatj 01 e vec0 00 Observação Deve ter ficado claro que a escolha proposital da base hatihatj devese à simplificação Assim para exemplificar quando nos referimos a um ponto Pxy ele pode ser identificado com o vetor vecv overrightarrowOP xhati yhatj sendo O a origem do sistema Fig 22 vecv a1 vecv1 a2 vecv2 23 Igualdade e Operações 231 Igualdade Dois vetores vecu x1 y1 e vecv x2 y2 são iguais se e somente se x1 x2 e y1 y2 e escrevese vecu vecv Exemplos 1 Os vetores vecu 35 e vecv 35 são iguais 2 Se o vetor vecu x14 é igual ao vetor vecv 52y6 de acordo com a definição de igualdade dos vetores x1 5 e 2y6 4 ou x 4 e y 5 Assim se vecu vecv então x 4 e y 5 232 Operações Sejam os vetores vecu x1y1 e vecv x2y2 e a in mathbbR Definese a vecu vecv x1 x2 y1 y2 b avecu ax1 ay1 Portanto para somar dois vetores somamse as suas coordenadas correspondentes e para multiplicar um vetor por um número multiplicase cada componente do vetor por este número Exemplo Dados os vetores vecu 41 e vecv 26 calcular vecu vecv e 2vecu A Figura 23a mostra geometricamente que vecu vecv 41 26 42 16 67 e a Figura 23b que 2vecu 241 82 Exemplos Figura 23b As definições acima e as operações algébricas dos números reais permitem demonstrar as propriedades citadas em 15 a para quaisquer vetores vecu vecv e vecw temse vecu vecv vecv vecu vecu vecv vecw vecu vecv vecw vecu vec0 vecu vecu vecu vec0 b para quaisquer vetores vecu vecv e os números reais a e b temse avecv abvecv a bvecv avecv bvecv avecu vecv avecu avecv 1vecv vecv 233 Problemas Resolvidos 1 Determinar o vetor vecw na igualdade 3vecw 2vecu frac12vecv vecw sendo dados vecu 3 1 e vecv 2 4 Solução Esta equação 3vecw 2vecu frac12vecv vecw pode ser resolvida como uma equação numérica 6vecw 4vecu vecv 2vecw 6vecw 2vecw vecv 4vecu 4vecw vecv 4vecu vecw frac14 vecv vecu 1 Dados os vetores vecv1 e vecv2 não colineares e vecv arbitrário a figura mostra como é possível formar um paralelogramo em que os lados são determinados pelos vetores a1 vecv1 e a2 vecv2 e portanto a soma deles é o vetor vecv que corresponde à diagonal desse paralelogramo Substituindo vecu e vecv na equação vem vecw frac142 4 3 1 vecw frac12 1 3 1 vecw frac123 11 vecw frac72 2 2 Encontrar os números a1 e a2 tais que vecw a1vecu a2vecv sendo vecu 1 2 vecv 4 2 e vecw 1 8 Solução Substituindo os vetores na igualdade acima temos 1 8 a11 2 a24 2 1 8 a1 2a1 4a2 2a2 1 8 a1 4a2 2a1 2a2 Da condição de igualdade de dois vetores concluise que a1 4a2 1 2a1 2a2 8 sistema de solução a1 3 e a2 1 Logo vecw 3vecv1 vecv2 24 Vetor Definido por Dois Pontos Inúmeras vezes um vetor é representado por um segmento orientado que não parte da origem do sistema Consideremos o vetor vecAB de origem no ponto Ax1 y1 e extremidade em Bx2 y2 Fig 24a 2 Na figura seguinte os vetores vecv1 e vecv2 são mantidos e consideramos um outro vetor vecv De acordo com o que foi visto em 22 os vetores overrightarrowOA e overrightarrowOB têm expressões analíticas overrightarrowOA x1 y1 e overrightarrowOB x2 y2 Por outro lado do triângulo OAB da figura vem overrightarrowOA overrightarrowAB overrightarrowOB onde overrightarrowAB overrightarrowOB overrightarrowOA ou overrightarrowAB x2 y2 x1 y1 e overrightarrowAB x2x1 y2y1 isto é as componentes de overrightarrowAB são obtidas subtraindose das coordenadas da extremidade B as coordenadas da origem A razão pela qual também se escreve overrightarrowAB overrightarrowB overrightarrowA É importante assinalar que as componentes do vetor overrightarrowAB calculadas por meio de BA são sempre as mesmas componentes do representante OP com origem no início do sistema Este detalhe fica claro na Figura 24b onde os segmentos orientados equipolentes AB CD e OP representam o mesmo vetor 31 Para esta figura temse a1 0 e a2 0 241 Problema Resolvido 3 Dados os pontos A1 2 B31 e C24 determinar Dxy de modo que CD 12 AB Solução CD D C xy 24 x 2 y 4 AB B A 31 12 3 1 1 2 43 logo x 2 y 4 1243 x 2 y 4 232 Pela condição de igualdade de dois vetores x 2 2 y 4 32 sistema cuja solução é x 0 e y 52 Por conseguinte D0 52 3 Se no caso particular o vetor vecv tiver a mesma direção de vecv1 ou de vecv2 digamos de vecv1 como na figura vecv não pode ser diagonal do paralelogramo e portanto a2 deve ser igual a zero existam os números a1 e a2 reais tais que v a1v1 a2v2 No espaço qualquer conjunto v1 v2 v3 de três vetores não coplanares é uma base e de forma análoga demonstrase que todo vetor v do espaço é combinação linear dos vetores da base isto é sempre existem números reais a1 a2 e a3 tais que v a1v1 a2v2 a3v3 onde a1 a2 e a3 são as componentes de v em relação à base considerada Uma base no espaço é ortonormal se os três vetores forem unitários e dois a dois ortogonais Por analogia ao que fizemos no plano dentre as infinitas bases ortonormais existentes escolhemos para nosso estudo a base canônica representada por i j k Consideremos estes três vetores representados com origem no mesmo ponto O e por este ponto três retas como mostra a Figura 25a A reta com a direção do vetor i é o eixo dos x das abcissas a reta com a direção do vetor j é o eixo dos y das ordenadas e a reta com a direção do vetor k é o eixo dos z das cotas As setas indicam o sentido positivo de cada eixo Estes eixos são chamados eixos coordenados Quando o vetor vecv estiver representado por Figura 25b Cada dupla de eixos determina um plano coordenado Portanto temos três planos coordenados o plano xOy ou xy o plano xOz ou xz e o plano yOz ou yz As Figuras 25c e 25d dão uma ideia dos planos xy xz e yz respectivamente vecv a1 vecv1 0 vecv2 Estes três planos se interceptam segundo os três eixos dividindo o espaço em oito regiões cada uma delas chamada octante A Figura 25e dá uma ideia do 19 octante a Figura 25f do 29 octante e a Figura 25g do 39 octante dizemos que vecv é combinação linear de vecv1 e vecv2 não colineares é chamado base no plano Aliás qualquer conjunto vecv1vecv2 de vetores não colineares constitui uma base no plano Os números a1 e a2 da representação 21 são A cada ponto P do espaço vai corresponder uma terna a b c de números reais chamadas das coordenadas de P e denominadas abscissa ordenada e cota respectivamente Para obter a abscissa de P traçamos por P um plano paralelo ao plano yz o ponto de interseção deste plano com o eixo dos x tem nesse eixo uma coordenada a que é a abscissa de P Fig 25h De forma análoga ao traçar por P um plano paralelo ao plano xy fica determinada a coordenada c que é a cota de P Fig 25i Com este procedimento de traçar os três planos pelo ponto P fica determinado um paralelepípedo retângulo como o da Figura 25j Se o ponto fosse P2 4 3 com idêntico procedimento teríamos o paralelepípedo da Figura 25k chamados componentes ou coordenadas de vecv em relação à base vecv1 vecv2 É bom logo esclarecer que embora estejamos simbolizando a base como um conjunto nós a pensamos como um conjunto ordenado O vetor a1 vecv1 é chamado projeção de vecv sobre vecv1 segundo a direção de vecv1 Do mesmo modo a2 vecv2 é a projeção de vecv sobre vecv2 segundo a direção de vecv1 Com base nesta figura temos A2 0 0 um ponto Px y z está no eixo dos x quando y 0 e z 0 B0 4 0 um ponto está no eixo dos y quando x 0 e z 0 E0 0 3 um ponto está no eixo dos z quando x 0 e y 0 B2 4 0 um ponto está no plano xy quando z 0 D0 4 3 um ponto está no plano yz quando x 0 F2 0 3 um ponto está no plano xz quando y 0 O ponto B é a projeção de P no plano xy assim como D e F são as projeções de P nos planos yz e xz respectivamente O ponto A2 0 0 é a projeção de P2 4 3 no eixo dos x assim como C0 4 e E0 0 3 são as projeções de P nos eixos dos y e dos z respectivamente Está claro que um ponto do plano xy é do tipo x y 0 Ao desejarmos marcar um ponto no espaço digamos A3 2 4 procedemos assim 19 marcase o ponto A3 2 0 no plano xy 20 desloçase A paralelamente ao eixo dos z 4 unidades para cima se fosse 4 seriam 4 unidades para baixo Fig 25m Para completar nosso estudo consideremos um vetor v xi yj zk onde x y e z são as componentes de v na base canônica i j k Da mesma forma como fizemos para Na prática as bases mais utilizadas são as bases ortonormais O plano este vetor vecv é igual ao vetor OP com O000 e Pxyz Na Figura 25a o vetor vecv corresponde à diagonal do paralelepípedo cujos lados são determinados pelos vetores hatx1 haty e hatz E para simplificar escreveremos vecv xyz que é a expressão analítica de vecv Uma base vece1 vece2 é dita ortonormal se os seus vetores forem ortogonais e unitários isto é vece1 e vece2 1 Em vez de escrever vecv 2hati 3hatj k podese escrever vecv 231 Assim também hati 110 2hatj 021 e 4hatk 004 e em particular hati 100 hatj 010 e hatk 001 Tendo em vista a correspondência biunívoca entre o conjunto de pontos Pxyz do espaço e o conjunto de vetores vecv OP xhati yhatj zhatk o espaço pode ser encarado como um conjunto de pontos ou um conjunto de vetores Dizse que este espaço tem três dimensões ou que ele é tridimensional porque qualquer uma de suas bases tem três vetores e portanto o número de componentes de um vetor é três De forma análoga o plano tem dimensão 2 ou é bidimensional Fica fácil entender que a reta tem dimensão 1 ou é unidimensional O conjunto formado por um ponto e por uma base constitui um sistema referencial Em particular que é o nosso caso o conjunto formado pelo ponto O e pela base hatihatjhatk é chamado referencial ortonormal de origem O ou ainda sistema cartesiano ortonormal Oxyz Este sistema Fig 25a é indicado por Ohatihatjhatk Por analogia no plano o sistema Ohatihatj é chamado sistema cartesiano ortonormal xOy ou simplesmente sistema cartesianoxOy Por outro lado sabemos que a representação geométrica do conjunto dos reais é a reta por isso também chamada reta real Fig 25o Figura 25o O produto cartesiano mathbbR imes mathbbR ou mathbbR2 é o conjunto mathbbR2 xyxy in mathbbR e sua representação geométrica é o plano cartesiano determinado pelos dois eixos cartesianos ortogonais x e y Fig 25p Na Figura 21b consideramos uma base ortonormal vece1 vece2 no plano xOy e um vetor vecv com componentes 3 e 2 respectivamente isto é vecv 3vece1 2vece2 O produto cartesiano mathbbR imes mathbbR imes mathbbR ou mathbbR3 é o conjunto mathbbR3 xyzxyz in mathbbR e sua representação geométrica é o espaço cartesiano determinado pelos três eixos cartesianos dois a dois ortogonais Oxy Oyz e Ozx Fig 25q 26 Igualdade Operações Vetor Definido por Dois Pontos Da mesma forma como tivemos no plano teremos no espaço I Dois vetores vecu x1y1z1 e vecv x2y2z2 são iguais se e somente se x1 x2 y1 y2 e z1 z2 II Dados os vetores vecu x1y1z1 e vecv x2y2z2 e a in mathbbR definese vecu vecv x1 x2 y1 y2 z1 z2 ext e avecu ax1 ay1 az1 III Se Ax1y1z1 e Bx2y2z2 são dois pontos quaisquer no espaço então AB x2 x1 y2 y1 z2 z1 27 Condição de Paralelismo de Dois Vetores Em 153 vimos que se dois vetores u x1 y1 z1 e v x2 y2 z2 são colineares ou paralelos existe um número k tal que u k v ou seja x1 y1 z1 kx2 y2 z2 ou x1 y1 z1 k x2 k y2 k z2 mas pela definição de igualdade de vetores x1 k x2 y1 k y2 z1 k z2 ou x1 y1 z1 k x2 y2 z2 Esta é a condição de paralelismo de dois vetores isto é dois vetores são paralelos quando suas coordenadas são proporcionais Representase por uv dois vetores u e v paralelos Exemplo Os vetores u 2 3 4 e v 4 6 8 são paralelos pois 2 4 3 6 4 8 ou seja u 12 v É claro que se uma componente de um vetor é nula a componente correspondente de um vetor paralelo também é nula Solução Temse AB B A 1 2 1 0 1 1 1 0 2 1 1 1 1 1 0 Substituindo os vetores na igualdade dada resulta 2 2 2 a11 1 0 a22 1 1 a33 0 1 ou 2 2 2 a1 a1 0 2a2 a2 a2 3a3 0 a3 Somando os três vetores do segundo membro da igualdade vem 2 2 2 a1 2a2 3a3 a1 a2 a2 a3 Pela condição de igualdade de vetores obtemos o sistema a1 2a2 3a3 2 a1 a2 2 a2 a3 2 que tem por solução a1 3 a2 1 e a3 1 Logo w 3AB u v 5 Dados os pontos P1 2 4 Q2 3 2 e R2 1 1 determinar as coordenadas de um ponto S tal que P Q R e S sejam vértices de um paralelogramo Solução Se PQRS é o paralelogramo da figura então PQ SR e PS QR Para Sx y z vamos ter na primeira igualdade Q P R S ou 1 1 2 2 x 1 y 1 z mas pela definição de igualdade de vetores 2 x 1 1 y 1 1 z 2 Essas igualdades implicam ser x 1 y 0 e z 1 Logo S 1 0 1 Com a utilização da 2ª igualdade o resultado obviamente seria o mesmo Além desta solução existem duas outras que ficam a cargo do leitor 6 Determinar os valores de m e n para que sejam paralelos os vetores u m 1 3 1 e v 4 2 2n 1 Solução A condição de paralelismo de dois vetores permite escrever m 1 4 3 2 1 2n 1 ou 2m 1 12 32n 1 2 2m 2 12 6n 3 2 A solução do sistema permite dizer que m 5 e n 56 Dar as expressões das coordenadas do ponto médio do segmento de reta de extremidades Ax₁ y₁ e Bx₂ y₂ Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor vecv 2 5 sabendo que sua origem é o ponto A1 3 Mostrar que os pontos A4 0 1 B5 1 3 C3 2 5 e D2 1 3 são vértices de um paralelogramo