Atividade Matemática Aplicada Administração

Questões de matemática aplicada a Administração Duração a aula toda Instruções Resolva todas as questões mostrando todo o procedimento Use notação em radianos Valor total 20 pontos 1 030 pts A taxa de producao de uma linha em unidades por hora e dada por Pt 50 10 sinπt12 t 0 Calcule a derivada Pt e determine a taxa instantanea de variacao no instante t 3h Interprete o resultado 2 030 pts O custo total de fabricar q unidades e dado por Cq 200 40q 15 sinq10 Calcule o custo marginal Cq e encontre o custo marginal quando q 20 Interprete 3 030 pts A demanda horaria de um produto varia segundo Dt 80 20 cosπt6 t em horas a Calcule Dt b Determine o valor de D6 e diga se nesse instante a demanda esta crescendo ou decrescendo c Em que instantes no intervalo 0 t 12 a demanda atinge seu maximo 4 04 pts Uma firma tem producao por hora e lucro por unidade que variam com o tempo segundo qt 200 50 sinπt12 put 30 10 cosπt12 A taxa de lucro por hora lucro instantaneo e Rt qt put No intervalo 0 t 24 determine os instantes criticos de Rt e classifiqueos maximo minimo ou ponto de inflexao Identifique o instante em que o lucro por hora e maximizado 5 07 pts A funcao de custo diario de uma linha de producao em funcao da velocidade v unidadesh e Cv 100 20v 100 sinπv20 v 0 Defina o custo medio por unidade ACv Cvv Use derivadas para encontrar os pontos criticos de ACv determine analiticamente um ponto critico explicito e use o teste de derivada apropriado para mostrar que esse ponto e um minimo do custo medio Apresente conclusao numerica valor de v e custo medio correspondente Nome 1 Tempo a aula toda 1 RESOLUÇÃO Pt 50 10senπt12 t 0 Calculando a derivada de Pt Pt ddt50 ddt10 senπt12 Vamos calcular a derivada de cada parte i A derivada de uma constante é zero ddt50 0 ii Usaremos a regra da cadeia para derivar o segundo termo ddusenu cosu u ddt10 senπt12 10cosπt12 π12 5π6 cosπt12 Pt 0 5π6 cosπt12 Pt 5π6 cosπt12 Calculando a a taxa instantânea no instante t 3 P3 5π6 cos3π12 5π6 cosπ4 P3 5π6 22 5π212 P3 5 31415 14142 12 1846 No instante t3 horas a taxa de produção está aumentando a uma velocidade de aproximadamente 185 unidades por hora² O sinal positivo indica que a produção está se acelerando naquele momento RESOLUÇÃO Para calcular o Custo Marginal derivamos a equação de custo Cq 200 40q 15senq10 Calculando a derivada Cq 40 15cosq10 110 40 15 cosq10 Substituímos o q 20 na derivada para encontrarmos o custo marginal C20 40 15 cos2010 40 15 cos2 Como cos2 0416 temos que C20 40 150416 40 0624 39376 Interpretação O Custo Marginal representa um custo aproximado para produzir uma unidade adicional Ou seja quando a produção está em 20 unidades o custo para produzir mais uma unidade é de aproximadamente 3938 3 RESOLUÇÃO Sabendo que a demanda horária de um produto varia conforme a equação Dt 80 20 cosπt6 t em horas a Calculando a Dt i A derivada de uma constante é zero ddt80 0 ii Usaremos a regra da cadeia para derivar o segundo termo dducosu senu u ddt 20 cosπt6 20 senπt6 π6 Dt 0 20 senπt6 π6 20π6 senπt6 Dt 10π3 senπt6 b Calculando Dt para t 6 D6 10π 3 sen6 π 6 10π 3 senπ Sabendo que senπ 0 teremos que D6 10π 3 0 0 Como D6 0 temos que a produção nesse instante não está crescendo nem decrescendo c A demanda atinge seu máximo quando cos πt 6 1 Ou seja quando seu argumento é 0 2π 4π Analisando para πt 6 0 πt 6 0 t 0 Analisando para πt 6 2π πt 6 2π t 12 Logo no intervalo 0 t 12 a demanda atinge seu máximo nos instantes t 0 e t 12 4 RESOLUÇÃO Dentro desse intervalo devemos identificar os pontos críticos de Rt Podemos fazer isso analisando as equações de qt e put observando onde essas funções atingem seus máximos e mínimos A qt é uma função senoidal cujo o termo do seno varia entre 1 e 1 Devemos então identificar para quais t temos a produção máxima e mínima i Analisando quando ocorre a produção máxima sen πt 12 1 Sabendo que isso ocorre sempre que o ângulo for π2 πt 12 π 2 t 6 ii Analisando quando ocorre a produção mínima sen πt 12 1 Sabendo que isso ocorre sempre que o ângulo for 3π2 πt 12 3π 2 t 18 iii Analisando quando ocorre o lucro unitário máximo cos πt 12 1 Sabendo que isso ocorre sempre que o ângulo for 0 ou 2π 3 πt 12 0 t 0 πt 12 2π t 24 iv Analisando quando ocorre o lucro unitário mínimo cos πt 12 1 Sabendo que isso ocorre sempre que o ângulo for π πt 12 π t 12 Em resumo analisaremos para os pontos determinados como pontos de interesse ou seja para t 0 t 6 t 12 t 18 e t 24 i Em t 0 q0 200 50 sen0 200 pu0 30 10 cos0 40 R0 200 40 8000 ii Em t 6 q6 200 50 senπ 2 250 pu6 30 10 cosπ 2 30 R6 250 30 7500 iii Em t 12 q12 200 50 senπ 200 pu12 30 10 cosπ 20 R12 200 20 4000 iv Em t 18 q18 200 50 sen3π 2 150 pu18 30 10 cos3π 2 30 R18 150 30 4500 4 v Em t 24 q24 200 50 sen2π 200 pu24 30 10 cos2π 40 R24 200 40 8000 Comparando os valores podemos identificar que em t 12 temos um lucro por hora mínimo 4000 Já nos instantes t 0 e t 24 temos um lucro por hora máximo 8000 5 RESOLUÇÃO Definindo o custo médio por unidade ACv ACv Cv v 100 20v 100 senπv20 v Podemos reescrever a expressão de maneira mais simplificada ACv 100v 20 100v senπv20 Usando as derivadas para determinar um ponto crítico explícito de ACv Calculamos a derivada ACv e igualamos a zero Usaremos a regra do quociente para calcular a derivada ACv Cv v Cv 1 v² Primeiro vamos calcular separadamente a Cv Cv 20 100 cosπv20 π20 Cv 20 5π cos πv20 Retornamos na equação de ACv e igualamos a zero Cv v Cv 0 20 5π cosπv20 v 100 20v 100 senπv20 0 20v 5πv cosπv20 100 20v 100 senπv20 0 Podemos simplificar e reescrever da seguinte forma 100 senπv20 5πv cosπv20 100 0 Como a questão pede um ponto explícito podemos testar valores que simplifiquem os termos trigonométricos πv 20 π 2 v 10 Vamos verificar se v 10 é uma solução 100 senπ 10 20 5π10 cosπ 10 20 100 0 100 senπ 2 50π cosπ 2 100 0 1001 50π0 100 0 100 0 100 0 Como chegamos em uma igualdade verdadeira v 10 é um ponto crítico Vamos mostrar que é um ponto mínimo através de um teste de derivada Vamos verificar se AC10 0 o que confirmaria que v 10 é um ponto de mínimo ACv N v v2 Precisamos calcular o N v onde Nv é o numerador da primeira derivada Nv 100 senπv 20 5πv cosπv 20 100 N v 100 cosπv 20 π 20 5π cosπv 20 5πv senπv 20 π 20 N v 5π cosπv 20 5π cosπv 20 5π2v 20 senπv 20 N v π2v 4 senπv 20 Vamos avaliar então N 10 N 10 π210 4 senπ 10 20 10π2 4 senπ 2 5π2 2 Como N 10 e v2 são positivos AC10 0 O que confirma que v 10 é um ponto mínimo Vamos calcular o custo médio mínimo AC10 100 10 20 100 10 senπ 10 20 6 AC10 10 20 10 senπ 2 30 101 20 Em outras palavras o custo médio por unidade é minimizado quando temos uma velocidade de produção de 10 unidadesh O custo mínimo seria de 20 por unidade 7