Integrais Definidas por Substituição - Matemática Aplicada com Exemplos

Aplicacao de Integrais Definidas Matematica Aplicada Conceito de Integral Definida por Substituição A integração por substituição é uma técnica utilizada para resolver integrais que envolvem funções compostas O objetivo é substituir uma parte da integral por uma variável mais simples facilitando a resolução Se tivermos uma integral do tipo ₐᵇ fgx gx dx podemos fazer uma substituição u gx de modo que du gx dx Assim a integral pode ser reescrita em termos de u e o processo se torna mais simples gaᵍᵇ fu du O gráfico abaixo mostra a área sob a curva para uma integral que será resolvida por substituição Grafico de Integral para Substituicao O grafico ilustra a area sob a curva da funcao que sera integrada A substituicao ajuda a simplificar a funcao composta tornando o calculo da integral mais direto 2 1 1 2 2 3 4 5 x f xf x x2 1 Exemplo 1 Integral Definida por Substituição Calcule a integral definida ₀¹ 2xx²1 dx Passo 1 Substituição Fazemos a substituição u x² 1 Derivando ambos os lados dudx 2x du 2x dx Agora substituímos x² 1 u implica x²1 u 2x dx du Assim a integral se transforma em ₀¹ 2xx²1 dx u du Passo 2 Substituição dos limites de integração Convertendo os limites Para x 0 u 02 1 1 Para x 1 u 12 1 2 Os novos limites são u 1 inferior u 2 superior Assim a integral se torna ₀¹ 2x x² 1 dx ₁² u du Passo 3 Resolver a integral A antiderivada de u é u du u12 du 23 u32 Substituímos os limites de integração u 1 e u 2 ₁² u du 23 u32₁² Passo 4 Cálculo final Calculando 23 u32₁² 23 232 132 232 2³ 8 22 132 1³ 1 Subtraindo 23 22 1 42 3 23 Resultado Final O valor da integral definida é ₀¹ 2xx² 1 dx 42 3 2 3 Exemplo 2 Integral Definida por Substituição Calcule a integral definida ₀ᴨ sinx cos²x dx Grafico da Funcao Integranda π 2 π 05 1 x f x f x sinx cos2x A area sob a curva representada pela regiao sombreada sera calculada a seguir Passo 1 Substituição para simplificação Fazemos a substituição u cosx Derivando ambos os lados dudx sinx du sinx dx Agora substituímos cos²x u² sinx dx du A integral se transforma em ₀ᴨ sinx cos²x dx u² du Passo 2 Substituição dos limites de integração Convertendo os limites de integração Para x 0 u cos0 1 Para x π u cosπ 1 Assim os novos limites são u 1 superior u 1 inferior A integral agora é ₁¹ u² du Passo 3 Reordenar os limites Usamos o sinal negativo para inverter os limites ₁¹ u² du ₁¹ u² du Agora resolvemos essa integral Passo 4 Resolver a integral A antiderivada de u² é u² du u³3 Substituímos os limites u 1 e u 1 ₁¹ u² du u³3₁¹ Passo 5 Cálculo final Calculando u33 11 133 133 133 13 133 13 Subtraindo 13 13 13 13 23 Resultado Final O valor da integral definida é 0π sinx cos2x dx 23 Exemplo 3 Integral Definida por Substituição Calcule a integral definida 12 3x 4 x2 dx Grafico da Funcao Integranda 1 2 1 2 3 4 5 x f x f x 3x 4x2 A area sob a curva representada pela regiao sombreada sera calculada com a integral definida Passo 1 Substituição Fazemos a substituição u 4 x2 Derivando ambos os lados dudx 2x du 2x dx Reorganizando x dx 12 du Substituímos na integral 12 3x 4 x2 dx 3u 12 du 32 u12 du Passo 2 Substituição dos limites de integração Convertendo os limites Para x 1 u 4 12 3 Para x 2 u 4 22 0 Assim os novos limites são u 3 inferior u 0 superior A integral se torna 32 30 u12 du Como os limites estão invertidos ajustamos 30 u12 du 03 u12 du Então 32 30 u12 du 32 03 u12 du Passo 3 Resolver a integral A antiderivada de u12 é u12 du 2u12 Substituímos na integral 32 03 u12 du 32 2u1203 Passo 4 Cálculo final Calculando 32 2u1203 3 u03 Substituímos os limites 3 3 0 33 Assim o valor da integral definida é 12 3x 4 x2 dx 33 Exemplo 4 Integral Definida por Substituição Calcular a integral definida 02 3x x2 1 dx Grafico da Funcao Integranda Grafico da Funcao Integranda 1 2 1 2 3 x f x f x 3x x21 A area sombreada representa o valor da integral definida no intervalo 0 2 Fazemos a substituicao u x2 1 Agora derivamos ambos os lados de u x2 1 em relacao a x du dx 2x Isolamos du du 2x dx Para substituir x dx na integral dividimos ambos os lados da equacao du 2x dx por 2 du 2 x dx Exemplo 4 Integral Definida por Substituição Logo temos x dx du2 Substituindo isso na integral original 02 3x x2 1 dx 15 3u du2 32 15 1u du Agora integramos 1u que é o logaritmo natural 32 15 1u du 32 ln u15 Calculando os limites de integração 32 ln5 ln1 Exemplo 4 Integral Definida por Substituicao Como ln1 0 temos 3 2 ln5 Entao o valor da integral e 3 2 ln5 Exemplo 5 Cálculo da Integral Definida Calcular a integral definida ₀¹ 11x²² dx Gráfico da Integral Definida Função fx 11x²² no intervalo 01 O gráfico acima mostra a função fx e a área sob a curva no intervalo 01 correspondente à integral definida ₀¹ 11x²² dx Passo 1 Substituicao trigonometrica Usamos a substituicao trigonometrica x tanθ dx sec2θ dθ E alem disso 1 x2 sec2θ Exemplo 5 Calculo da Integral Definida Passo 2 Alteracao dos limites de integracao Quando x 0 temos θ 0 Quando x 1 temos θ π 4 Os limites de integracao de x de 0 a 1 sao transformados para θ de 0 a π 4 Exemplo 5 Cálculo da Integral Definida Passo 3 Substituindo na integral Agora substituímos na integral ₀¹ 11x²² dx ₀π4 1sec⁴θ sec²θ dθ ₀π4 cos²θ dθ Exemplo 5 Cálculo da Integral Definida Passo 4 Usando a identidade trigonométrica Usamos a identidade cos2θ 1 cos2θ 2 A integral agora é ₀π4 1 cos2θ 2 dθ Exemplo 5 Cálculo da Integral Definida Passo 5 Integração Agora integramos 12 ₀π4 1 dθ ₀π4 cos2θ dθ Calculando cada parte 1 A integral de 1 é ₀π4 1 dθ π 4 2 A integral de cos2θ é ₀π4 cos2θ dθ 12 Exemplo 5 Cálculo da Integral Definida Passo 6 Resultado final Substituindo os resultados 12 π 4 1 2 π 8 1 4 Portanto o valor da integral é π 8 1 4 Grafico da Funcao Questao 1 A funcao representa o crescimento de uma aplicacao com juros simples At P1 rt P 1000 r 01 1 2 3 4 5 1200 1400 Tempo t Montante A At 10001 01t Questão 1 Juros Simples Calcule o montante acumulado no intervalo t 05 ₀⁵ 1000 1 01 t dt Passo 1 Resolva a integral 1000 1 01 t dt 1000 1 dt 1000 01 t dt 1000 t 50 t² ₅₀ Passo 2 Calcule os limites 1000 5 50 5² 1000 0 50 0² 5000 1250 6250 Resposta R6250 Grafico da Funcao Questao 2 A funcao representa o crescimento de um investimento com juros compostos At P ert P 2000 r 005 1 2 3 4 5 2200 2400 Tempo t Montante A At 2000e005t Questão 2 Juros Compostos Calcule o montante acumulado no intervalo t 14 ₁⁴ 2000 e005 t dt Passo 1 Resolva a integral ek t dt 1k ek t C Aplicando 2000 e005 t dt 2000 1005 e005 t ₄₁ Passo 2 Substitua os limites 2000005 e005 4 e005 1 Passo 3 Calcule 40000 e02 e005 40000 1221 1051 40000 017 6800 Resposta R6800 Grafico da Funcao Questao 3 A funcao representa o desconto simples ao longo do tempo Dt P r t P 5000 r 008 1 2 3 4 5 6 1000 2000 Tempo t Desconto D Dt 5000 008 t Questão 3 Descontos Simples Calcule o valor total do desconto acumulado no intervalo t 25 ₂⁵ 5000 008 t dt Passo 1 Resolva a integral 5000 008 t dt 5000 008 t dt 400 t²2 ₅₂ Passo 2 Calcule os limites 400 5²2 2²2 400 252 42 400 212 4200 Resposta R4200 Grafico da Funcao Questao 4 A funcao representa o valor presente com desconto composto Dt P1 rt P 10000 r 005 2 4 6 8 10 06 07 08 09 1 104 Tempo t Valor Presente D Dt 100001 005t Questão 4 Desconto Composto Calcule o valor acumulado do desconto composto no intervalo t 26 26 100001 005t dt Passo 1 Resolva a integral Substitua u 1 005 com ut como base ut dt ut lnu C Aplicando 100001 005t dt 10000 ln1 005 1 005t 26 Passo 2 Calcule os limites Primeiro obtenha ln1 005 ln095 0051293 Questão 4 Desconto Composto Continuação Substituindo 10000 0051293 0956 0952 Passo 3 Calcule os valores numéricos 0956 07351 0952 09025 Substituindo 10000 0051293 07351 09025 10000 0051293 01674 19423 01674 Resposta O valor do desconto acumulado é R 324870 Grafico da Funcao Questao 5 A funcao representa o valor lıquido acumulado em uma aplicacao financeira sujeita a tributos V t P1 rt 1 T P 20000 r 006 T 015 2 4 6 8 10 2 25 3 104 Tempo t Valor Lıquido V V t P1 rt1 T Questão 5 Aplicações Financeiras com Tributos Calcule o valor total líquido acumulado no intervalo t 37 37 200001 006t 1 015 dt Passo 1 Resolva a constante de tributo 1 015 085 37 20000 085 1 006t dt Passo 2 Substitua u 1 006 com ut como base ut dt ut lnu C Aplicando 20000 085 106t dt 20000 085 ln106 106t 37 Passo 3 Calcule os limites Primeiro obtenha ln106 ln106 0058269 Questão 5 Aplicações Financeiras com Tributos Continuação Substituindo 20000 085 0058269 1067 1063 Passo 4 Calcule os valores numéricos 1067 15036 1063 11910 Substituindo 20000 085 0058269 15036 11910 17000 0058269 03126 2917264 03126 911427 Resposta O valor líquido acumulado no período é R 9114273 Grafico da Funcao Questao 6 A funcao representa a taxa efetiva de juros acumulada V t P ert P 15000 r 005 2 4 6 8 10 16 18 2 22 24 104 Tempo t Valor Acumulado V V t P ert Questão 6 Taxa Efetiva de Juros Calcule o valor total acumulado no intervalo t 2 8 28 15000 e005t dt Passo 1 A integral de eat é dada por eat dt 1a eat C Aplicando 15000 e005t dt 15000005 e005t 28 Passo 2 Resolva numericamente 15000005 e0058 e0052 300000 e04 e01 Usando aproximações e04 14918 e01 11052 Questao 6 Taxa Efetiva de Juros Continuacao Substituindo 300000 14918 11052 300000 03866 115980 Resposta O valor acumulado no perıodo e R 11598000 Grafico da Funcao Questao 7 A funcao representa a depreciacao linear de um bem V t P dt P 50000 d 5000 2 4 6 8 10 2 4 104 Tempo t Valor Residual V V t P dt Resolução Questão 7 Depreciação Linear A função de depreciação é dada por Vt P dt P 50000 d 5000 Calcule a perda acumulada no intervalo t 2 5 25 50000 5000t dt Passo 1 Resolva a integral 50000 5000t dt 50000 dt 5000t dt 50000 dt 50000 t 5000t dt 5000 t2 2 Assim 50000 5000t dt 50000 t 5000 t2 2 C Resolução Avaliação da Integral Passo 2 Avalie a integral nos limites t 2 e t 5 ₂⁵ 50000 5000t dt 50000t 5000t²2₂⁵ Substituindo t 5 500005 50005²2 250000 1250002 250000 62500 187500 Substituindo t 2 500002 50002²2 100000 200002 100000 10000 90000 Subtraindo 187500 90000 97500 Resposta A perda acumulada no intervalo t 25 é R 9750000 Questão 8 Lucro Acumulado O preço de uma ação segue a função Pt 50 10 sinπt6 em reais onde t é o tempo em meses Calcule o lucro acumulado ao vender 100 ações entre os meses 3 e 9 ₃⁹ 100 Pt dt Graph showing a graph labeled Preço P on the yaxis and t on the xaxis with t ranging from 1 to 12 and P ranging from 505 to 51 Resolução Questão 8 A integral a ser calculada é ₃⁹ 100 50 10 sinπt6 dt Passo 1 Resolva a integral indefinida 50 10 sinπt6 dt 50t 60π cosπt6 C Passo 2 Avalie nos limites t 3 e t 9 ₃⁹ 100 Pt dt 100 50t 60π cosπt6₃⁹ Resolucao Questao 8 Continuacao Substituindo t 9 509 60 π cosπ 96 450 60 π 1 Substituindo t 3 503 60 π cosπ 36 150 60 π 32 Calculando a diferenca e multiplicando por 100 temos Lucro acumulado R63378 50 Questão 9 Preço Médio de Ações O preço de uma ação varia segundo Pt 30e002t Determine o preço médio das ações nos primeiros 10 meses Preço médio 110 ₀¹⁰ Pt dt Resolução Questão 9 A integral a ser calculada é ₀¹⁰ 30e002t dt Passo 1 Resolva a integral indefinida e002t dt 1002 e002t C 50 e002t C Passo 2 Avalie nos limites t 0 e t 10 ₀¹⁰ 30e002t dt 30 50 e02 e0 Calculando e02 12214 e0 1 5012214 1 5002214 1107 30 1107 33210 Preço médio 3321010 3321 Resposta O preço médio das ações é R3321 Questao 10 Receita e Custos 2 4 6 8 10 2 2 104 Ano de Servico t Valor em Reais Receita e Custos de uma Maquina Industrial Receita dR dt 5000 20t2 Custos dC dt 24000 120t2 Lucro L 19000t 140 3 t3 Questão 10 Receita e Custos de uma Máquina Industrial Quando a máquina tem t anos de serviço A receita anual gerada é dada pela taxa dRdt 5000 20 t² em reais por ano Os custos mensais de operação e manutenção são dados pela taxa dCdt 2000 10 t² em reais por mês Sabendo que existem 12 meses em um ano os custos anuais são dCdt 12 2000 10 t² 24000 120 t² em reais por ano O lucro líquido acumulado da máquina no intervalo de t 0 a t T é L ₀ᵀ dRdt dCdt dt Questão 10 Receita e Custos de uma Máquina Industrial Continuação Substituindo as expressões dadas L ₀ᵀ5000 20t² 24000 120t² dt Simplificando L ₀ᵀ19000 140t² dt Resolva a integral para calcular o lucro acumulado nos primeiros T anos Resolução Questão 10 1 Calcule a integral indefinida 19000 140t² dt 19000t 1403t³ C 2 Avalie nos limites t 0 e t T A integral definida é L 19000T 1403T³ 190000 14030³ 3 Resultado L 19000T 1403T³ Esse é o lucro líquido acumulado ao final de T anos Questao 11 Excedentes do Consumidor e do Produtor 5 10 15 20 25 40 60 80 Ponto de Equilıbrio 10 80 q mil pneus p reais Demanda e Oferta de Pneus Oferta Sq 02q2 q 50 Questao 11 Excedentes do Consumidor e do Produtor Problema Estimase que q mil pneus radiais serao comprados demandados pelos atacadistas se o preco for p Dq 01q2 90 reais por pneu e q mil pneus serao produzidos oferecidos pelo fabricante se o preco for p Sq 02q2 q 50 reais por pneu Determine os excedentes do consumidor e do produtor para o preco de equilıbrio Resolução Ponto de Equilíbrio Para encontrar o ponto de equilíbrio resolvemos a equação Dq Sq 01q² 90 02q² q 50 Rearranjando 03q² q 40 0 Multiplicando por 1 03q² q 40 0 Usando Bhaskara q b b² 4ac 2a a 03 b 1 c 40 q 1 1² 40340 203 1 1 48 06 q 1 7 06 Resolucao Ponto de Equilıbrio Continuacao Valores de q q1 10 valido q2 1333 descartado O ponto de equilıbrio e q 10 Resolução Excedentes Preço de Equilíbrio Substituímos q 10 em Dq ou Sq p 01102 90 80 reais por pneu Excedente do Consumidor A área entre a curva de demanda e o preço de equilíbrio Excedente do Consumidor ₀¹⁰ Dq dq p q ₀¹⁰ 01q² 90 dq 013 q³ 90q ₀¹⁰ 13 10³ 9010 10003 900 17003 Resolucao Excedentes Continuacao Subtraindo 80 10 Excedente do Consumidor 1700 3 800 500 3 mil reais Resolução Excedentes Continuação Excedente do Produtor A área entre o preço de equilíbrio e a curva de oferta Excedente do Produtor p q ₀¹⁰ Sq dq ₀¹⁰ 02q² q 50 dq 023 q³ q²2 50q ₀¹⁰ Calculando 023 10³ 10²2 5010 20003 50 500 Subtraindo 80 10 Excedente do Produtor 800 20003 50 500 2503 mil reais Problema 12 Custo Total para Perfuracao de um Poco de Petroleo O custo marginal de perfuracao de um poco de petroleo depende da profundidade em que se esta perfurando Os custos fixos sao de 1000000 de reais e se x e a profundidade em metros o custo marginal e dado por C x 4000 10x reais por metro Encontre o custo total para perfurar um poco de 500 metros Grafico do Custo Marginal A funcao C x 4000 10x representa o custo marginal Vamos gerar o grafico dessa funcao considerando o intervalo de profundidade de 0 a 500 metros 100 200 300 400 500 6000 8000 Profundidade x metros Custo Marginal C x riyalsmetro Custo Marginal C x 4000 10x Resolução Cálculo do Custo Total O custo total Cx pode ser encontrado através da integral do custo marginal Cx com os custos fixos A integral definida é dada por Cx ₀ˣ Ct dt C0 onde C0 1000000 reais custo fixo e Cx 4000 10x Substituindo a expressão para Cx Cx ₀ˣ 4000 10t dt 1000000 Resolução Cálculo do Custo Total Calculando a integral Cx 4000t 5t20x 1000000 Substituindo os limites de integração Cx 4000x 5x2 0 1000000 Assim a função de custo total é Cx 4000x 5x2 1000000 Calculo do Custo Total para x 500 metros Agora substituımos x 500 na funcao de custo total C500 4000500 55002 1000000 Calculando os termos C500 200000052500001000000 200000012500001000000 4250000 reais O custo total para perfurar um poco de 500 metros e de 4250000 reais Trigonometria Definicao O que e Trigonometria A trigonometria e o ramo da matematica que estuda as relacoes entre os ˆangulos e os lados dos triˆangulos Ela tem aplicacoes diretas em diversas areas como engenharia fısica astronomia e computacao grafica Funcoes Trigonometricas As principais funcoes trigonometricas sao Seno sin Cosseno cos Tangente tan Cotangente cot Secante sec Cossecante csc Grafico do Seno 6 4 2 2 4 6 1 1 x rad y sinx Propriedades do Seno Amplitude 1 Perıodo 2π Funcao ımpar sinx sinx Exemplo 1 Uso do Seno Problema Um barco navega em linha reta com uma velocidade constante de 30 ms formando um ˆangulo de 30 com a margem de um rio Qual e a distˆancia horizontal percorrida pelo barco apos 10 segundos Solucao vx v cosθ Onde v 30 ms θ 30 vx 30 cos30 30 3 2 2598 ms A distˆancia horizontal e dx vx t 2598 10 2598 m Grafico do Cosseno 6 4 2 2 4 6 1 1 x rad y cosx Propriedades do Cosseno Amplitude 1 Perıodo 2π Funcao par cosx cosx Exemplo 2 Uso do Cosseno Problema Um aviao voa com uma velocidade de 300 kmh formando um ˆangulo de 60 com a linha do solo Qual e a componente vertical da velocidade Solucao vy v sinθ Onde v 300 kmh θ 60 vy 300 sin60 300 3 2 2598 kmh Grafico da Tangente 1 05 05 1 10 5 5 10 x rad y tanx Exemplo 3 Uso da Tangente Problema Um aviao voa com uma velocidade de 300 kmh formando um ˆangulo de 60 com a linha do solo Qual e a componente horizontal da velocidade Solucao A componente horizontal da velocidade pode ser calculada utilizando a tangente do ˆangulo de inclinacao A tangente relaciona a componente vertical e a componente horizontal de um vetor de velocidade A formula e vx v tanθ Onde v 300 kmh θ 60 vx 300 tan60 300 3 5196 kmh Grafico da Cotangente 50 100 150 10 5 5 10 x graus y cotx Exemplo 4 Uso da Cotangente Problema Um aviao voa com uma velocidade de 300 kmh formando um ˆangulo de 30 com a linha do solo Qual e a componente vertical da velocidade utilizando a cotangente Solucao A componente vertical da velocidade pode ser calculada utilizando a cotangente do ˆangulo vy v cotθ Onde v 300 kmh θ 30 vy 300 cot30 300 3 3 1732 kmh Grafico da Secante 50 100 150 10 5 5 10 x graus y secx Grafico da Cossecante 50 100 150 10 5 5 10 x graus y cscx Exemplo 5 Uso da Cossecante Problema Um aviao voa com uma velocidade de 300 kmh formando um ˆangulo de 15 com a linha do solo Qual e a componente vertical da velocidade utilizando a cossecante Solucao A componente vertical da velocidade pode ser calculada utilizando a cossecante do ˆangulo vy v cscθ Onde v 300 kmh θ 15 vy 300 csc15 300 38637 11591 kmh Exemplo 6 Uso da Secante Problema Um aviao voa com uma velocidade de 300 kmh formando um ˆangulo de 45 com a linha do solo Qual e a componente vertical da velocidade utilizando a secante Solucao A componente vertical da velocidade pode ser calculada utilizando a secante do ˆangulo vy v secθ Onde v 300 kmh θ 45 vy 300 sec45 300 2 4243 kmh Conclusao As funcoes cotangente secante e cossecante complementam as funcoes seno cosseno e tangente na trigonometria Graficos ajudam a visualizar o comportamento das funcoes Estas funcoes tˆem aplicacoes praticas em fısica engenharia e modelagem de ondas Conclusao A trigonometria tem aplicacao pratica em diversas areas como fısica engenharia economia e astronomia As funcoes trigonometricas sinx cosx tanx entre outras descrevem fenˆomenos periodicos e ajudam a modelar problemas do mundo real Os graficos apresentados mostram o comportamento das funcoes para reforcar sua visualizacao Identidades Trigonometricas As identidades trigonometricas sao relacoes fundamentais entre funcoes trigonometricas Abaixo estao as principais formulas organizadas em categorias Identidades Fundamentais sin2x cos2x 1 1 tan2x sec2x 1 cot2x csc2x Identidades de Soma e Diferenca de ˆAngulos sina b sina cosb cosa sinb cosa b cosa cosb sina sinb tana b tanatanb 1tana tanb Identidades Trigonometricas cont Identidades de ˆAngulos Duplos sin2x 2 sinx cosx cos2x cos2x sin2x 1 2 sin2x 2 cos2x 1 tan2x 2 tanx 1tan2x Identidades Trigonométricas cont Identidades de Ângulos Metade sinx2 1cosx2 cosx2 1cosx2 tanx2 sinx1cosx 1cosxsinx Identidades de Produto e Soma sinacosb 12sinab sinab cosacosb 12cosab cosab sinasinb 12cosab cosab Identidades Inversas sinx sinx cosx cosx tanx tanx Custo Marginal Exemplo 1 Problema O custo marginal para um cliente adicional típico em uma firma de advogados tem como modelo Cx fx onde x é o número de clientes Como varia o custo C quando x aumenta de 50 para 51 clientes Para calcular a variação do custo devemos integrar a função de custo marginal entre os limites de 50 a 51 ΔC 5051 Cx dx Vamos assumir uma função de exemplo Cx x2 A integral fica ΔC 5051 x2 dx x335051 5133 5033 Calculando ΔC 513 5033 132651 1250003 76513 255033 Grafico do Custo Marginal 495 50 505 51 515 52 1000 2000 3000 4000 5000 x Clientes C x Custo Marginal Lucratividade do Seguro Exemplo 2 Problema O lucro Px obtido com a venda de x dólares de seguro automobilístico admite o modelo dPdx 041 00001x Ache a variação do lucro quando x aumenta de 75000 para 100000 Para calcular a variação do lucro devemos integrar a função de lucro entre os limites de 75000 e 100000 ΔP 75000100000 041 00001x dx Lucratividade do Seguro Exemplo 2 Continuação Realizando a integral ΔP 04 75000100000 1 00001x dx 04 x 000005x²75000100000 Calculando ΔP 04 100000 000005100000² 75000 00000575000² Grafico da Funcao Lucrativa 08 09 1 11 105 05 1 15 2 25 104 x Dolares de Seguro dP dx Variacao do Lucro Valor Médio de uma Função Exemplo 3 Problema Determine o valor médio da função fx 4x1 no intervalo 1510 O valor médio da função em um intervalo ab é dado por fmédia 1ba ab fx dx Para o caso de fx 4x1 no intervalo 1015 fmédia 115 10 1015 4x1 dx Realizando a integral 4x1 dx 8x1 Portanto fmédia 15 8 sqrtx 11015 15 8 sqrt14 8 sqrt9 Grafico da Funcao f x 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 x f x Juros Compostos Exemplo 4 Problema Uma conta corrente com juros compostos continuamente paga 4 de juros Se uma pessoa deposita 5500 nessa conta e nunca efetua saques qual sera o valor medio da conta em um perıodo de 2 anos A formula do valor de uma conta com juros compostos continuamente e At Pert Onde P 5500 r 004 t 2 O valor médio da conta é dado por Amédia 1t 02 5500 e004t dt Realizando a integral Amédia 12 5500 e004t 00402 12 5500 e008 004 5500 004 Grafico do Valor da Conta 05 1 15 2 5200 5400 5600 5800 6000 t anos At valor da conta Problema O consumo per capita y em libras de sorvete nos Estados Unidos de 1981 a 1987 admite o modelo y 1894 5175t 3632t32 1 t 7 Onde t representa os anos após dezembro de 1981 Para estimar o acréscimo ou decréscimo no consumo de 1988 a 1990 se o modelo de 1981 a 1987 fosse continuado devemos calcular a variação do consumo entre t 7 e t 10 ou seja a integral Δy 710 1894 5175t 3632t32 dt Continuação Vamos calcular as integrais separadas 1894 dt 1894t 5175t dt 5175 lnt 3632t32 dt 3632t Continuação A integral total será Δy 1894t 5175 lnt 3632t₇¹⁰ Realizando os cálculos Δy 1894 10 5175 ln10 363210 1894 7 5175 ln7 36327 Grafico do Consumo de Sorvete Modelo 1 2 4 6 8 10 10 20 30 t anos apos 1981 y Consumo de Sorvete Consumo de Sorvete Exemplo 01 Continuação Problema O consumo de 1988 a 1990 é modelado por y 0019t¹ 0294t² 26465 7 t 10 Para calcular a variação no consumo vamos integrar entre t 7 e t 10 Δynovo ₇¹⁰ 0019t¹ 0294t² 26465 dt Continuacao Grafico do Consumo de Sorvete Modelo 2 75 8 85 9 95 10 10 20 30 t anos apos 1981 y Consumo de Sorvete Vendas com Cartao de Credito Exemplo 02 Problema As vendas anuais com os cartoes VISA Mastercard e American Express de 1983 a 1992 sao modeladas por xVISA 15969t 6318 3 t 12 xMastercard 8581t 6965 3 t 12 xAmerican Express 6214t 10345 3 t 12 Continuacao Grafico da Diferenca entre VISA e Mastercard 4 6 8 10 12 20 40 t anos apos 1983 Diferenca nas Vendas Continuacao Grafico da Diferenca entre VISA e American Express 4 6 8 10 12 20 40 t anos apos 1983 Diferenca nas Vendas Questoes Problema O custo marginal de producao de um produto e dado pela funcao C x 5x 3 onde x e o numero de unidades produzidas Qual e o custo total para a producao de 10 unidades considerando que o custo fixo e de 100 Problema A funcao do lucro marginal de uma empresa e dada por Lx 12x 8 onde x e o numero de unidades vendidas Se o lucro total para 5 unidades vendidas e de 50 qual e o lucro total para a producao de 10 unidades Problema A funcao do custo marginal de producao de um produto e dada por C x 10x onde x e o numero de unidades produzidas Se o custo fixo e de 50 qual sera o custo total para produzir 5 unidades Problema A funcao de lucro e dada por Lx 3x2 8x 10 onde x e o numero de unidades produzidas Qual e a variacao do lucro quando a producao aumenta de 2 para 5 unidades Problema A receita marginal de uma empresa e dada por Rx 20x onde x e o numero de unidades vendidas Se a receita total para a producao de 3 unidades e 60 qual sera a receita total para a producao de 8 unidades Problema O custo marginal de producao de um produto e dado pela funcao C x 4x 2 onde x e o numero de unidades produzidas Se o custo fixo e 100 qual e o custo total para produzir 4 unidades Problema A funcao de lucro total de uma empresa e dada por Lx x3 12x2 54x onde x e o numero de unidades produzidas Qual sera o lucro total quando a producao aumenta de 2 para 5 unidades Problema A funcao da receita marginal de uma empresa e dada por Rx 5x2 10x 15 onde x e o numero de unidades vendidas Qual sera a receita total para 6 unidades considerando que a receita para 0 unidades e 20 Problema A producao marginal de um produto e dada pela funcao Px 2x 3 onde x e o numero de unidades produzidas Se a producao inicial e de 30 unidades qual sera a producao total quando o numero de unidades produzidas for 6 Problema O custo marginal de producao de um produto e dado pela funcao C x 2x2 5x onde x e o numero de unidades produzidas Se o custo fixo e 100 qual sera o custo total para a producao de 3 unidades