Cálculo de Ínfimo e Supremo em Conjuntos Numéricos - Exercícios Resolvidos

Obtenha o ínfimo e o supremo do conjunto abaixo A x ℝ x 1x Sejam X Y ℝ conjunto limitados Prove que X Y inf X inf Y Considere o conjunto A nn1 n ℕ Então podemos dizer q Ínfimo e supremo são 1 1 Vamos provar que o ínfimo de 𝐴 é Para isto basta provarmos que dado 𝑀 1 existe 𝑥 𝐴 tal que 𝑥 𝑀 Fixe 𝑀 1 Tome 𝑥 𝑀 qualquer Pela transitividade 𝑥 1 Assim 𝑥2 1 Dividindo ambos os lados por 𝑥 e sabendo que 𝑥 0 temos então que 𝑥 1 𝑥 Ou seja 𝑥 𝐴 Agora vamos provar que o supremo de 𝐴 é 1 Para isto basta provarmos que i Para todo 𝑥 𝐴 temse 𝑥 1 ii Se 𝑐 1 então existe 𝑥 𝐴 com 𝑐 𝑥 Vamos começar provando 𝑖 Fixe 𝑥 𝐴 Ou seja 𝑥 1 𝑥 Se 𝑥 for negativo então é imediato que 𝑥 1 Caso contrário podemos multiplicar ambos os lados da desigualdade por 𝑥 obtendo 0 𝑥2 1 Portanto 0 𝑥 1 Consequentemente 𝑥 1 Agora vamos provar 𝑖𝑖 Seja 𝑐 1 Pela completude dos reais existe 𝑥 ℝ tal que max𝑐 0 𝑥 1 Resta provar que 𝑥 𝐴 Como 0 𝑥 1 temos que 0 𝑥2 12 Ou seja 𝑥2 1 Dividindo ambos os lados por 𝑥 obtemos 𝑥 1 𝑥 Portanto 𝑥 𝐴 Concluímos então que inf 𝐴 e sup 𝐴 1 2 Seja 𝑋 𝑌 ℝ limitados tais que 𝑋 𝑌 Vamos provar que inf 𝑋 inf 𝑌 Suponha por absurdo que inf𝑋 inf 𝑌 Assim pela definição de ínfimo existe 𝑥 𝑋 tal que 𝑥 inf𝑌 Porém se 𝑥 pertencer a 𝑌 devemos ter inf𝑌 𝑥 Logo 𝑥 𝑌 Isto é um absurdo pois 𝑋 𝑌 Portanto inf 𝑋 inf 𝑌 3 Vamos considerar que 0 ℕ O ínfimo de 𝐴 é 0 Para provarmos isto precisamos provar que i Para todo 𝑥 𝐴 temse 0 𝑥 ii Se 𝑐 𝑥 para todo 𝑥 𝐴 então 𝑐 0 Vamos começar provando 𝑖 Fixe 𝑥 𝐴 Isto é 𝑥 𝑛 𝑛 1 para algum 𝑛 ℕ Queremos provar que 𝑥 0 Ora como 𝑛 ℕ temos que 𝑛 0 Consequentemente 𝑛 1 1 Como 1 0 temos por transitividade que 𝑛 1 0 Portanto 𝑛 𝑛1 0 Ou seja 𝑥 0 2 Agora vamos provar 𝑖𝑖 Fixe 𝑐 ℝ tal que 𝑐 𝑥 para todo 𝑥 𝐴 Queremos provar que 𝑐 0 De fato veja que 0 𝐴 pois 0 0 0 1 Como 𝑐 𝑥 para todo 𝑥 𝐴 temos então que particularmente 𝑐 0 Agora vamos provar que o supremo de 𝐴 é 1 Para isto precisamos provar que i Para todo 𝑥 𝐴 temse 𝑥 1 ii Se 𝑐 ℝ é tal que 𝑥 𝑐 para todo 𝑥 𝐴 então 1 𝑐 Vamos começar provando 𝑖 Fixe 𝑥 𝐴 Ou seja 𝑥 𝑛 𝑛1 para algum 𝑛 ℕ Como 0 1 temos somando 𝑛 em ambos os lados que 𝑛 𝑛 1 Como além disso 𝑛 1 0 podemos dividir ambos os lados da desigualdade por 𝑛 1 obtendo 𝑛 𝑛1 1 Portanto 𝑥 1 Particularmente 𝑥 1 Agora vamos provar 𝑖𝑖 Seja 𝑐 ℝ tal que 𝑥 𝑐 para todo 𝑥 𝐴 Suponha por absurdo que 𝑐 1 Por hipótese 𝑛 𝑛 1 𝑐 para todo 𝑛 ℕ A desigualdade acima equivale para qualquer 𝑛 ℕ a 𝑛 𝑐𝑛 1 já que 𝑛 1 0 Esta por sua vez equivale a 𝑛 𝑐𝑛 𝑐 que equivale a 𝑛 𝑐𝑛 𝑐 Finalmente 𝑛1 𝑐 𝑐 Como por hipótese de absurdo 𝑐 1 temos que 1 𝑐 0 Assim podemos dividir ambos os lados da desigualdade acima por 1 𝑐 obtendo a desigualdade equivalente 𝑛 𝑐 1 𝑐 valendo para todo 𝑛 ℕ Isto é absurdo pois ℕ é um conjunto ilimitado superiormente Portanto 𝑐 1 1 Vamos provar que o ínfimo de A é Para isto basta provarmos que dado M 1 existe x A tal que xM Fixe M 1 Tome xM qualquer Pela transitividade x1 Assim x 21 Dividindo ambos os lados por x e sabendo que x0 temos então que x 1 x Ou seja x A Agora vamos provar que o supremo de A é 1 Para isto basta provarmos que i Para todo x A temse x1 ii Se c1 então existe x A com cx Vamos começar provando i Fixe x A Ou seja x 1 x Se x for negativo então é imediato que x1 Caso contrário podemos multiplicar ambos os lados da desigualdade por x obtendo 0x 21 Portanto 0x1 Consequentemente x1 Agora vamos provar ii Seja c1 Pela completude dos reais existe x R tal que max c 0x1 Resta provar que x A Como 0x1 temos que 0x 21 2 Ou seja x 21 Dividindo ambos os lados por x obtemos x 1 x Portanto x A Concluímos então que inf A e A1 2 Seja X Y R limitados tais que X Y Vamos provar que inf X inf Y Suponha por absurdo que inf Xinf Y Assim pela definição de ínfimo existe x X tal que xinf Y Porém se x pertencer a Y devemos ter inf Y x Logo xY Isto é um absurdo pois X Y Portanto inf X inf Y 3 Vamos considerar que 0N O ínfimo de A é 0 Para provarmos isto precisamos provar que i Para todo x A temse 0 x ii Se c x para todo x A então c 0 Vamos começar provando i Fixe x A Isto é x n n1 1 para algum nN Queremos provar que x0 Ora como nN temos que n0 Consequentemente n11 Como 10 temos por transitividade que n10 Portanto n n1 0 Ou seja x0 Agora vamos provar ii Fixe c R tal que c x para todo x A Queremos provar que c 0 De fato veja que 0 A pois 0 0 01 Como c x para todo x A temos então que particularmente c 0 Agora vamos provar que o supremo de A é 1 Para isto precisamos provar que i Para todo x A temse x1 ii Se c R é tal que xc para todo x A então 1c Vamos começar provando i Fixe x A Ou seja x n n1 para algum nN Como 01 temos somando n em ambos os lados que nn1 Como além disso n10 podemos dividir ambos os lados da desigualdade por n1 obtendo n n11 Portanto x1 Particularmente x1 Agora vamos provar ii Seja c R tal que xc para todo x A Suponha por absurdo que c1 Por hipótese n n1 c para todo nN A desigualdade acima equivale para qualquer nN a nc n1 já que n10 Esta por sua vez equivale a ncnc que equivale a ncnc Finalmente n 1c c Como por hipótese de absurdo c1 temos que 1c0 Assim podemos dividir ambos os lados da desigualdade acima por 1c obtendo a desigualdade equivalente 2 n c 1c valendo para todo nN Isto é absurdo pois N é um conjunto ilimitado superiormente Portanto c 1 3