História da Matemática em Sequências Didáticas na Formação de Professores - Estudo de Caso

httpdxdoiorg101867519818106vol29n62p609625 A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA EM SEQUÊNCIAS DIDÁTICAS NA FORMAÇÃO INICIAL DE PROFESSORES THE HISTORY OF THE MATHEMATICS INTO DIDACTIC SEQUENCES IN THE TEACHERS INITIAL FORMATION LA HISTORIA DE LA MATEMÁTICA EN SECUENCIAS DIDÁCTICAS EN LA FORMACIÓN INICIAL DE PROFESORES Elmha Coelho Martins MouraI Arlete de Jesus BritoII I Universidade Federal da Integração LatinoAmericana Foz do Iguaçu Paraná Brasil Email elmhamouraunilaedubr ORCID httpsorcidorg0000000193454236 II Universidade Estadual Paulista Câmpus de Rio Claro São Paulo Brasil Email arleteunespgmailcom ORCID httporcidorg0000000312207474 Educação Teoria e Prática Rio Claro SP Brasil eISSN 19818106 Está licenciada sob Licença Creative Common Resumo Neste artigo apresentaremos os resultados de um estudo de caso realizado na disciplina de Prática de Ensino de Matemática do curso de Matemática da Universidade Federal da Integração Latino Americana UNILA Ponte 1994 afirma que um estudo de caso é uma investigação empírica cujos resultados são apresentados na maioria das vezes em forma MOURA E C M BRITO A de J descritiva porém ela pode ter forma analítica se interrogar a situação e confrontála com outras já conhecidas O estudo de caso apresentado neste artigo é de caráter qualitativo Nele analisamos contribuições da história da matemática e a da educação matemática para a formação inicial de professores Como instrumentos de coleta de dados utilizamos entrevistas gravações em áudio de diálogos entre a professora da disciplina e do licenciando acerca das atividades o caderno do aluno um videoaula produzido por ele e anotações da professora em diário de campo Este estudo de caso explicitou que a história pode contribuir para a construção de conceitos matemáticos e para a reflexão sobre o ensino de matemática e traz novos resultados quando comparado a outros estudos realizados por membros do grupo de pesquisa ao qual pertencemos Palavraschave História Matemática Formação de Professores Abstract This paper presents results of a case study accomplished in the discipline of Practice of Teaching of Mathematics of the course of Mathematics of the Federal University of Integration of Latino America UNILA Ponte 1994 affirms that a case study is an empiric investigation whose results are presented most of the time in descriptive form However it can has an analytical form if it interrogates a situation and to confront it with other known situation The case study presented in this paper is a qualitative research In it we analyzed contributions of the history of the mathematics and history of mathematics education for the teachers initial formation The data was collected with interview audios of dialogues concerning the activities among the professor and student the students notebook a video class produced by him and professors annotations This study of case shows that the history can contribute to the construction of mathematical concepts and for the reflection about mathematics teaching and bring news results when it is confronted to others researches that was made by members of our research group Keywords History Mathematics Teachers Formation Resumen En ese texto presentamos los resultados de un estudio de caso llevado a cabo en la disciplina de la Práctica de la Enseñanza de Matemática del curso de Matemática de la Universidad A história da matemática em sequências didáticas na formação inicial de professores Federal da la Integración Latino Americana UNILA De acuerdo con Ponte 1994 un estudio de caso es una investigación empírica cuyos resultados son presentados la mayor parte del tiempo en la forma descriptiva pero puede ser también analítica si interroga la situación y la confronta con otra ya conocida El estudio de caso aquí presentado es de carácter cualitativo En él analizamos las contribuciones de la historia de la matemática y de la historia de la educación matemática para la formación inicial de profesores Como instrumentos de la recolección de los datos usamos entrevista grabaciones en el audio de diálogos entre la profesora de la disciplina y el alumno con respecto a las actividades el cuaderno del estudiante un video clase producida por él y las notas en el diario de campo de la profesora Ese estudio de caso mostró que la historia puede colaborar para la construcción de conceptos matemáticos y para la reflexión sobre la enseñanza de matemática y agrega nuevos resultados en relación a otras investigaciones desarrolladas por los miembros del grupo de investigaciones al cual nosotras pertenecemos Palabrasclave Historia Matemática Formación de Profesores 1 Introdução Apesar de já estar presente nos estatutos da Universidade Portuguesa em 1772 cf FERREIRA RICH 2001 a proposta de inserção da história na formação de professores de matemática passou a ser reiteradamente feita desde finais do século XIX conforme apontam Dejić e Mihajlović 2014 No entanto não há um consenso sobre como se daria tal inserção Em sua tese de doutorado Antonio Miguel a partir de um levantamento de propostas contidas em textos de diferentes autores fez uma categorização de diversos modos de como a história poderia ser utilizada nas aulas de matemática Conforme Miguel 1993 ela poderia ser 1 fonte de métodos adequados de ensino de matemática os autores que defendem esse ponto de vista acreditam que por meio da história seja possível ao professor escolher métodos adequados e instigantes para a abordagem de conteúdos matemáticos 2 instrumento de conscientização epistemológica defendese que a história possa ter um papel conscientizador sobre as dificuldades que antigos pensadores tiveram na construção de determinado conceito matemático 3 instrumento unificador e éticoaxiológico a história seria capaz de mostrar o processo de transformação pelo qual passaram os conceitos da matemática Assim a história MOURA E C M BRITO A de J teria uma função desmistificadora pois a forma lógica pretensamente harmoniosa e linear como essa disciplina é geralmente vista nos cursos regulares de matemática não condiz como a forma que o conteúdo foi historicamente produzido 4 fonte de motivação a história despertaria o interesse no aluno para as aulas de matemática Miguel 1993 critica tal modo de entender a história no ensino pois segundo o autor a motivação é algo que não se impõe a partir de situações externas às pessoas 5 guia para a discussão filosófica sobre o conhecimento matemático a história poderia mostrar qual epistemologia unificaria um método de ensino e uma matemática de natureza mais profunda 6 instrumento de explicação dos porquês e como fonte de objetivos de ensino a história poderia ser utilizada como instrumento de explicação dos porquês de conceitos e procedimentos Poderiam ser questionados temas naturalizados no ensino de matemática buscandose compreender o porquê daquele tema ser da forma como é ensinado e não de outra maneira 7 instrumento de formalização de conceitos a história seria um meio para o conhecimento de diferentes modos de formalização de um mesmo conceito e eles serviriam como objeto de ensino e aprendizagem 8 instrumento de resgate cultural a história serviria para a superação dos conhecimentos matemáticos dos colonizados que foram submersos pela cultura imposta pelos colonizadores Os trabalhos de Paulus Guerdes de resgate do conhecimento matemático utilizado para a confecção de utensílios em Moçambique é um exemplo dessa categoria encontrada na tese de Miguel 1993 Mais atualmente Jankvist Mosvold e Clark 2016 e Lawrence 2009 analisam a inserção da História na formação de professores de Matemática a partir do referencial do conhecimento especializado do professor Lawrence 2009 concluiu que no contexto de sua pesquisa com grupo de professores a história contribuiu para criar a colaboração entre eles e um panorama conceitual criativo para suas aulas Jankvist Mosvold e Clark 2016 relatam terem solicitado a seus alunos futuros professores que realizassem uma seleção a partir de temas sobre História da Matemática e elaborassem planos de aula de matemática para a escola básica Tais autores concluem que tal procedimento colabora para a construção de conhecimentos profissionais por parte dos futuros docentes A história da matemática em sequências didáticas na formação inicial de professores Em nosso entender a história pode colaborar para que o professor aprofunde seus conhecimentos sobre a matemática e sobre o ensino dessa disciplina escolar Concordamos com Brito e Carvalho 2009 quando afirmam que os professores além de conhecer regras e saber demonstrar teoremas e algoritmos matemáticos deveriam também conseguir relacionar diferentes campos desse conhecimento refletir sobre os fundamentos da Matemática perceber seu dinamismo interno e suas relações com outros campos do saber transitar pelos diferentes sistemas de registro de representação e principalmente entender o conhecimento matemático como um saber que coloca problemas e não apenas soluções BRITO CARVALHO 2009 p 16 Em nossa prática de formadoras de professores temos elaborado sequências didáticas com o intuito de atingir as metas apresentadas pelas autoras acima citadas Uma sequência didática é composta por várias atividades encadeadas de questionamentos atitudes procedimentos e ações que os alunos executam com a mediação do professor As atividades que fazem parte da sequência são ordenadas de maneira a aprofundar o tema que está sendo estudado e são variadas em termos de estratégia leituras aula dialogada simulações computacionais experimentos etc MANTOVANI 2015 p 17 Nossa sequência didática se compôs do seguinte modo resolução e análise de atividades de ensino que utilizam a história para desenvolver conceitos matemáticos análise de conteúdos de história presentes em livro didático de matemática do ensino médio produção de um seminário para apresentar os resultados obtidos e ainda produção de um vídeo Na elaboração das atividades de ensino consideramos primeiramente quais conhecimentos prévios os alunos possuem sobre o tema a ser abordado e quais dificuldades têm se colocado historicamente na sua aprendizagem A seguir realizamos uma pesquisa histórica tanto em documentos primários quanto secundários sobre como aquele tema se desenvolveu no decorrer dos tempos que problemas da matemática e de outros contextos levaram a seu surgimento que formas de registro foram utilizadas para representálo que aplicações sociais ele teve que relações tem com outros ramos da matemática como foi ensinado em diferentes épocas A partir desses dados criamos situações que não envolvem MOURA E C M BRITO A de J necessariamente os mesmos problemas encontrados na história da matemática e a de seu ensino mas que permitem levar os alunos a questionar os conhecimentos que já possuem sobre o tema a explicitarem para si próprios suas dúvidas e a construir novos conhecimentos na interação com o professor eou com demais colegas Queremos ressaltar que nesse processo abordamos não apenas aspectos conceituais e procedimentais da matemática mas também questões axiológicas e relativas a seu ensino Nesse sentido buscamos colaborar para uma construção significativa com os futuros professores de conhecimentos matemáticos e também do ensino escolar de tal disciplina Nunes Almouloud e Guerra 2010 defendem para construção significativa de conceitos matemáticos a elaboração de atividades que considerem o contexto histórico Esses autores propõem uma conjunção entre a aprendizagem significativa dos conceitos matemáticos e sua trajetória histórica evidenciando a necessidade de se trabalhar com os alunos primeiramente atividades que os coloquem em contato com a construção das ideias matemáticas Postulamos que uma das formas são as investigações históricas que visam à construção epistemológica dos conceitos NUNES ALMOULOUD GUERRA 2010 p 538 Neste artigo relataremos a experiência conduzida por nós de inserção da história na formação de professores de Matemática Tratase de um estudo de caso realizado na disciplina de Prática de Ensino de Matemática do 7º semestre do curso MatemáticaLicenciatura da Universidade Federal da Integração Latino Americana UNILA Tal disciplina possui 68 horas no semestre e é trabalhada em forma de Seminários Localizada na cidade de Foz do Iguaçu Paraná a UNILA oferece o curso de MatemáticaLicenciatura período noturno na unidade Parque Tecnológico Itaipu A UNILA foi criada pela Lei nº 121892010 que estabelece no art 2º 1º sua atuação nas regiões de fronteira com vocação para o intercâmbio acadêmico e a cooperação solidária com países integrantes do Mercosul e com os demais países da América Latina Tal atuação constitui a UNILA em uma instituição diferenciada de ensino superior com vocação internacional por viabilizar condições de participação de latinoamericanos e caribenhos para a formação acadêmica visando à integração dos países da América Latina e Caribe A expressão Integração latinoamericana recorrente em documentos da UNILA de acordo com o seu Projeto Pedagógico compreende todos os países do continente americano A história da matemática em sequências didáticas na formação inicial de professores que falam espanhol português ou francês bem como outros idiomas derivados do latim Destacase dessa forma o princípio do bilinguismo na Universidade português e espanhol Sediada no município de Foz do Iguaçu a UNILA está estrategicamente localizada em uma região trinacional limítrofe com o Paraguai e a Argentina diversidade geográfica de característica multiculturais multilinguísticas e econômicas Alguns aspectos que favorecem a promoção dos princípios da Universidade são a interdisciplinaridade a interculturalidade o bilinguismo e o multilinguismo a integração solidária e a gestão democrática previstos no Plano de Desenvolvimento Institucional PDI Assim os cursos ofertados pela UNILA devem ser em áreas de interesse mútuo dos países da América Latina sobretudo dos membros do Mercosul com ênfase em temas envolvendo exploração de recursos naturais e biodiversidades transfronteiriças estudos sociais e linguísticos regionais relações internacionais e demais áreas consideradas estratégicas para o desenvolvimento e a integração regionais BRASIL 2010 art 2º 2º Há um Ciclo Comum de Estudos nos cursos com aulas sobre História da América Latina Metodologia e Línguas Português para hispanofalantes e espanhol para brasileiros Ele dura três semestres e é ofertado em paralelo às disciplinas específicas de cada curso No ano de 2014 foi criado o curso de Licenciatura em Matemática no período noturno com duração de cinco anos e disciplinas semestrais A inserção desse curso em uma universidade interdisciplinar intercultural e bilíngue localizada em uma região trinacional multilíngue de idiomas autóctones alóctones e de fronteira proporciona na formação inicial de professores de matemática um acesso a uma vivência multicultural Nesse sentido a formação do docente articulase com o conhecimento multidisciplinar alicerçada na capacidade de análise de problemas sob as perspectivas das diversas culturas envolvidas O curso de Matemática da UNILA ofereceu pela primeira vez no primeiro semestre de 2018 a disciplina de Prática de Ensino de Matemática IV que possui como prérequisitos um conjunto de três outras práticas de ensino de matemática Houve a matrícula de apenas um aluno na disciplina O aluno em questão ingressou na primeira turma e foi o único que permaneceu de uma turma que evadiu quase por completo Portanto fomos desafiadas a lecionar para um único aluno em pelo menos duas disciplinas Práticas de Ensino e Estágio Supervisionado MOURA E C M BRITO A de J Solicitamos ao aluno que pudéssemos conduzir uma pesquisa acerca de que conhecimentos matemáticos e do seu ensino e que se constituíssem no processo de desenvolvimento das disciplinas já referidas O aluno concordou com nossa proposta e assim tal pesquisa configurouse como um estudo de caso Segundo Ponte 1994 um estudo de caso é uma investigação empírica com forte cunho descritivo mas que não precisa se ater à descrição pois pode ter alcance analítico ao interrogar a situação e confrontála com outras já conhecidas Nele o investigador não tem controle sobre os acontecimentos e portanto precisa estar aberto às possíveis surpresas que possam emergir Tal estudo pode ter uma abordagem qualitativa ou ser de cunho misto quali quanti Segundo Ponte 1994 Deve ainda notarse que os estudos de caso podem ser usados com outros propósitos que não os de investigação Eles usamse por exemplo para ensino prática muito comum em Direito e Medicina e que começa igualmente a ser aplicada na formação de professores Shulman 1992 Usados com esse objectivo não precisam de ser muito detalhados nos seus procedimentos metodológicos devem é ser ilustrativos e fortemente evocativos junto do público a que se destinam PONTE 1994 p 6 Aqui optamos por uma abordagem qualitativa Os dados foram constituídos pelos seguintes instrumentos respostas a um questionário proposto no primeiro dia de aula registros do aluno na resolução de atividades com problemas históricomatemáticos gravações em áudio de diálogos sobre as atividades o caderno do aluno relatório do estudante sobre a análise que realizou acerca da inserção da história no livro didático áudio do seminário final do curso um videoaula produzido por ele ao final do processo e as anotações da professora da disciplina em diário de campo O questionário era composto pelas seguintes perguntas 1 O que você entende por História da Matemática e por História da Educação Matemática 2 Você considera que a História da Educação Matemática é relevante para o ensino de Matemática Por quê 3 Quais experiências escolares você teve com a História da Matemática em sala de aula Descrevaas 4 Em que momentos de sua formação de professor de Matemática você teve discussões sobre História da Educação Matemática 5 O que gostaria de aprender no curso de Matemática na disciplina de História da Matemática 6 Está satisfeito como essa disciplina aparece no currículo de licenciatura em Matemática 2 Era uma vez um aluno uma história e uma matemática A história da matemática em sequências didáticas na formação inicial de professores Havíamos no segundo semestre de 2017 concordado em atuar como um dos polos do grupo de pesquisa interinstitucional de História Filosofia e Educação Matemática HIFEM a realizar investigação acerca dos potenciais da história na formação de professores de matemática Portanto naquele início do primeiro semestre de 2018 ficamos surpresas e desapontadas por só haver um aluno1 matriculado na disciplina Que fazer Em conversa as duas autoras deste artigo concordaram que uma pesquisa nessa situação específica poderia acrescentar algo significativo à investigação que já estava em curso em locais de trabalho de outros membros do grupo No entanto percebemos que devido a sua especificidade a proposta a ser feita ao aluno precisaria ter algumas variantes em relação às que vinham sendo feitas com grupos de professores em outros locais Nestas os professores escolhiam conjuntamente o tema histórico a ser estudado dividiam tarefas de estudos propostas por eles mesmos e produziam textos a partir desses estudos coletivos O tema escolhido não precisava ter relação com ensino mas notamos que questionamentos acerca da educação em geral e do ensino de matemática em particular sempre se faziam presentes Na situação com o único aluno por se tratar de uma disciplina de Prática de Ensino entendemos que as atividades deveriam ter como princípio o ensino de matemática Pressupúnhamos que o contato anterior que ele havia tido com História da Matemática teria sido por intermédio de livros didáticos em que pequenos fatos históricos são contados no início ou fim de uma unidade sem qualquer conexão com a construção dos conceitos Tal hipótese se confirmou nas respostas do questionário inicial em que o licenciando afirmou Na escola tive pouco contato com história da matemática em sua grande maioria foram citações históricas de quem foi Pitágoras Descartes As poucas experiências históricas em sala de aula foram quando o professor introduziu o descobrimento da contagem os números naturais primeiras representações de números etc Assim como uma atividade de copiar o conhecimento histórico dos poliedros de Platão juntamente com uma breve explicação de quem foi Platão colhida do livro didático Resposta a questionário 03052018 A resposta do licenciando vai ao encontro do que apontam Dejić e Mihajlović 2014 Em pesquisa realizada entre os anos de 2012 e 2013 com 112 professores de matemática na Sérvia os autores indicam que 80 desses docentes utilizam alguma história da matemática em suas aulas e destes metade tem como fonte apenas livros didáticos 1 O nome do aluno não será mencionado por opção dele MOURA E C M BRITO A de J Portanto consideramos que o aluno deveria ter contato com atividades de ensino em que história e matemática estão indissociavelmente vinculadas diferentemente do que se encontra em livros didáticos Como não é simples elaborar atividades com essa perspectiva optamos em um primeiro momento por levar atividades que havíamos elaborado e solicitar ao aluno que escolhesse algumas para analisar No primeiro dia de aula conversamos com o estudante e apresentamos a proposta que foi aceita por ele Naquele primeiro contato o aluno se mostrou introspectivo tímido e com dificuldades de se expressar oralmente Talvez pelo fato de ser o único matriculado com contato próximo e direto com a professora não era para ele uma situação confortável Durante o semestre ele se mostrou responsável com relação à própria aprendizagem e empenhado em seus estudos Sugerimoslhe que escolhesse algumas atividades dentre as preparadas por nós a partir da História da Matemática e a de seu ensino que as realizasse e as analisasse do ponto de vista pedagógico Elas abordavam os seguintes temas de ensino logaritmos história da geometria sistemas de numeração tangente seno e cônicas Suas escolhas recaíram sobre as atividades de logaritmos e de tangente pois segundo o estudante elas aparentemente necessitam de um pensamento mais elaborado ou mesmo mais abstrato Em si o fato maior é porque não os aprendi na escola Resposta a questionário 03052018 A atividade de tangente buscava enfocar tanto suas representações geométricas e algébricas quanto conceituais a partir dos aspectos geométrico algébrico e trigonométrico além de ressaltar o conceito de tangente envolvido na noção de derivada Iniciava com um problema de traçado de tangente a uma espiral pelo método de Arquimedes e seguia com estudos de Descartes sobre tangentes a uma curva Em seu final a atividade abordava aspectos do conceito de tangente envolvidos em cálculos de derivadas O estudante afirmou que seu gosto por espirais teria sido um dos motivos de ter optado por essa atividade Resposta a questionário 03052018 Além disso no dia da apresentação de seu seminário o aluno relatou também que sua escolha recaiu sobre esse tema pois o conceito de tangente não tinha muita importância na escola Não conheci nada da mesma maneira que a atividade oferece Seminário 08062018 Em seu seminário o licenciando asseverou que A história da matemática em sequências didáticas na formação inicial de professores a maioria das coisas de tangente eu já sabia fazer Já tinha visto em cálculo para fazer derivadas por conta de algumas definições a gente usa isso muito Bom a atividade contemplou a expectativa na perspectiva histórica porque fazer e dizer que é é fácil mas agora fazer e dizer porquê é assim é totalmente distinto Seminário 08062018 Aqui observamos uma crítica do aluno em relação ao ensino de matemática escolar que na maior parte das vezes apresenta definições e regras e não explicita o porquê delas Além disso esse trecho do seminário nos remete a uma das funções que podem ser desempenhadas pela história nas aulas de matemática qual seja a de desnaturalizar o conhecimento matemático e explicitar o porquê de conceitos e regras serem do modo como estão no currículo escolar atualmente MIGUEL 1993 NOBRE 1996 A percepção da necessidade de explicitar o porquê de definições regras e conceitos a seus futuros alunos fez com que o licenciando em seu videoaula não abordasse a questão da tangente à espiral de Arquimedes como observamos no trecho abaixo Aluno A partir da tangente da espiral de Arquimedes estou até agora tentando entender como ele Arquimedes conseguiu transportar o comprimento do arco para o comprimento de um segmento2 Tipo eu consegui calcular isso mas pô Como que ele conseguiu fazer isso Eu entendo porque mas eu não entendo como que na época dele conseguiu transportar aquilo Até agora fico pensando Tanto que na parte de fazer um vídeo eu só fiz a questão da reta normal com a reta tangente Porque realmente se eu for fazer vai ser da maneira mais fácil vou pegar como calcular o comprimento do arco aliás o próprio Geogebra me dá isso eu transporto Mas por quê como vou explicar aquilo Eu não vou fazer um vídeo em que eu não vou conseguir explicar o que eu fiz Professora você acha que a história ajuda a justificar Aluno Ajuda Mas não consigo entender o contexto Seminário 08062018 Esse trecho explicita que o aluno não se satisfaz mais apenas com uma explicação lógicomatemática mas que percebe a necessidade da explicação histórica e a de estudar mais profundamente o contexto para compreender como Arquimedes teria feito a transferência da medida de um arco para um segmento para assim poder explicar esse processo a seus prováveis alunos A história desempenharia aqui uma função de instrumento de conscientização epistemológica MIGUEL 1993 uma vez que o estudante colocou o 2 Para maiores explicações sobre a construção da tangente à espiral sugerimos que o leitor consulte o livro Curso de História da Matemática origens e desenvolvimento do Cálculo Brasília Editora da UNB 1985 MOURA E C M BRITO A de J questionamento sobre dificuldades que possivelmente Arquimedes teria enfrentado para traçar a tangente à espiral sem os recursos conceituais e tecnológicos atuais A atividade de logaritmos iniciavase com a sua definição a partir de progressões algébricas e geométricas PA e PG encontrada em um livro didático do início do século XX Em seguida apresentava uma tabela que deveria ser preenchida a partir do modo como segundo o livro História da Matemática de Carl Boyer Napier 15501617 teria desenvolvido sua ideia inicial de logaritmos Depois propunha a construção de uma tábua de logaritmos na base 10 Conforme o aluno sua opção pelo estudo de logaritmos ocorreu porque esse foi o único tema que não tive nenhum contato na escola e também por não ter visto esse tema estruturado dessa maneira resposta a questionário 03052018 Além disso em sua apresentação do seminário ele afirmou que havia aprendido logaritmos na universidade apenas para fazer cálculos O aluno relatou que ao ter o primeiro contato com a atividade tive a impressão de que não seria um conteúdo que iria exigir tanto para se compreender o que pedia pois mesmo não tendo tido contato com logaritmos na escola frequentemente os utilizo em cálculos Resolução das atividades 24052018 Aqui o estudante relata sua crença em que seus conhecimentos de regras de cálculo com logaritmos lhes seriam suficientes para resolver as questões propostas No entanto conforme anotações em seu caderno mesmo sabendo parte dos conceitos envolvidos como as questões não exigiam apenas um saber sobre regras o licenciando teve dificuldades em resolvêlas além de perceber que seu conhecimento sobre a linguagem matemática não lhe foi suficiente para transcrever a definição de logaritmo encontrada em livros antigos para a notação e rigor atuais No processo de formação de professores é importante que eles vivenciem e analisem as dificuldades que podem se apresentar na transformação de uma forma de representação em outra por exemplo da língua materna para a algébrica ou da algébrica para a geométrica pois essas transformações ocorrem com grande frequência nas aulas da escola básica e por vezes dificultam ou mesmo impedem o acesso de alunos ao conhecimento matemático Tais transformações eram exigidas nessa atividade Em seu seminário o estudante afirmou que A história da matemática em sequências didáticas na formação inicial de professores Primeira parte da atividade a que seria um pouco óbvia é fazer a correspondência entre logaritmos e logaritmandos Praticamente mais simples mais compreensível não fica tipo definição de logaritmo é essa mas se esse número elevado a alguma coisa resulta nisso A atividade possibilitou fazer as relações das propriedades dos logaritmos de maneira mais ampla do que uma definição que a gente vê hoje Seminário 08062018 Tzanais e Thomaidis 2000 afirmam que o significado de um conceito teorema ou método não é completamente determinado por sua definição moderna e a história da matemática pode sugerir tanto caminhos alternativos para abordálos quanto uma variedade de condições a partir das quais podem ser compreendidos Nossos dados indicam que foi possível ao aluno compreender o contexto histórico de criação dos logaritmos pois você conhece de onde surgiu a ideia como foi desenvolvida para que serviu naquele contexto histórico de Napier e para os outros matemáticos contemporâneos a eles Interessante Na verdade a ideia dele é uma coisa que para época era fora da casinha mistura geometria outras áreas para encontrar uma ferramenta Seminário 08062018 Esse trecho explicita a história desempenhando um papel de instrumentalizar o professor para responder à questão para que serve isso frequentemente feita por alunos em aulas pois de acordo com Brito 2007 a história pode colaborar para que o professor analise quais problemas levaram ao desenvolvimento de teorias matemáticas sejam eles advindos desse próprio campo do saber ou de outros ou de necessidades práticas Como conclusão dessa parte da sequência didática o aluno revela que percebeu que a história pode ser uma fonte de métodos de ensino MIGUEL 1993 porém levanta algumas dificuldades para tal O professor deve saber mais do que aquilo que ensina Provavelmente ensinará da maneira usual mas se der tempo ele pode escolher e dar aula com uso da história como metodologia de ensino No estágio percebi que todos os professores seguiam o livro mas é uma necessidade Vejo que é pela falta de tempo Seminário 08062018 A primeira dificuldade como mostra o trecho acima é o conhecimento do professor acerca da história e de como integrála às aulas de matemática Tal dificuldade é apontada MOURA E C M BRITO A de J também por vários autores cujas pesquisas abordam esse assunto Assim conforme Ferreira e Rich 2001 professores falam sobre os benefícios de tal integração mas destacam o pouco conhecimento de como fazêla Brito Santos e Teixeira 2009 realizaram uma pesquisa sobre a visão de licenciandos acerca do uso da história como recurso metodológico e eles de acordo com essas autoras apontam como alguns entraves para tal uso a falta de conhecimento de história da matemática por parte dos futuros professores a dificuldade de acesso a fontes históricas a pouca existência de atividades com essa abordagem metodológica além do tempo escasso para preparação de aulas e para desenvolvimento do currículo em aula O tempo tem se mostrado um obstáculo para que professores inovem em suas aulas pois segundo Tardif et al 2001 a estrutura temporal da organização escolar é extremamente constrangedora para os docentes porque de alguma maneira ela empurra constantemente para frente obrigandoos a repetir esse ciclo colectivo e abstrato que não depende da lentidão ou rapidez de aprendizagem dos alunos O tempo escolar é um tempo social e administrativo imposto aos indivíduos é um tempo forçado TARDIF et al 2001 p 42 A adoção de livros didáticos também não tem colaborado para que a história possa fazer parte das aulas de matemática conforme observou o aluno tanto em seu Seminário no trecho anteriormente citado como na atividade de análise de elementos históricos em livro didático de matemática do segundo ano do ensino médio Em seu relatório o estudante apontou algumas situações encontradas no livro como o processo de Arquimedes para a determinação do comprimento da circunferência que é utilizado posteriormente em um exercício o contexto de uso das matrizes na China da Antiguidade além de várias biografias Ele concluiu que a história era mobilizada no livro na introdução ou final de um conceito ou conteúdo e no final do capítulo como outros contextos sendo aqui descrito a origem de um tema ou de um conceito específico Aparece também no meio dos capítulos como leitura breve em geral biográfica e como curiosidade também biográfica Relatório 01062018 Além disso na discussão com a professora sobre essa atividade o aluno afirmou que os aspectos históricos evidenciados pelo livro didático seriam superficiais e não A história da matemática em sequências didáticas na formação inicial de professores acrescentariam à aprendizagem dos alunos Tais observações desencadeadas por essa atividade vão ao encontro do que afirmam Ferreira e Rich 2001 Still another reason why history has not been integrated into school mathematics concerns the ways if any in which textbooks typically address the history of mathematics mostly limited to an inclusion of a few historical notes generally biographies and curiosities at the end of each chapter FERREIRA RICH 2001 p 71 A aula em forma de vídeo foi uma opção do estudante que fez uma exposição sobre tangente mobilizando história e a tecnologia vídeo e o Geogebra como recursos didáticos A aula seguiu um modelo expositivo mas indicou a preocupação do aluno em explicitar detalhadamente os conhecimentos envolvidos no traçado de uma tangente a uma curva Queremos ressaltar que a integração da história em aulas de matemática não prescinde do recurso tecnológico pois para lidar com a complexidade matemática e histórica da sequencia didática proposta por nós o aluno recorreu a livros na internet e entre eles encontrou o livro didático do início do século XX que servira de inspiração para a primeira atividade de logaritmos assistiu a videoaulas do professor João Bosco Pitombeira da Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro PUC RJ no YouTube sobre o contexto de criação de logaritmos e de como eles foram utilizados por diferentes matemáticos em diferentes épocas pesquisou artigos em inglês e até em italiano para tentar compreender o processo de traçado à tangente de Arquimedes Tais ações indicam o envolvimento do licenciando com as atividades propostas Após todo esse processo os conhecimentos do licenciando se ampliaram não apenas em relação aos conceitos matemáticos envolvidos e às questões sobre o ensino escolar dessa disciplina mas também no que se refere a possíveis fontes de estudo que também poderão ser utilizadas futuramente em suas aulas Segundo o aluno em si a atividade foi extremamente importante pois mostrou como a história da matemática pode desenvolver conhecimentos matemáticos e sua importância para o ensino e compreensão dos mesmos Depoimento em áudio 07062018 grifo nosso 3 Considerações As investigações desenvolvidas pelo HIFEM têm apontado os potenciais da história para a formação de docentes de matemática No entanto as pesquisas anteriores desse grupo MOURA E C M BRITO A de J de pesquisa haviam sido feitas em grupos colaborativos de professores o que acarretou uma dúvida com relação aos resultados positivos obtidos por essas investigações teriam sido eles acarretados pela problematização histórica ou pela dinâmica do grupo colaborativo Sem negar esta última hipótese o estudo de caso aqui relatado trouxe um novo elemento à discussão sobre o tema ao indicar que mesmo não sendo realizada em um grupo colaborativo a história pode colaborar com a ampliação tanto de conhecimentos matemáticos de professores quanto de seus questionamentos acerca do ensino escolar da matemática Observamos que a sequência didática para análise da inserção da história na formação do professor de matemática realizada por nós veio ao encontro dos pressupostos apresentados no PDI da UNILA pois foram ressaltados aspectos de interdisciplinaridade do conhecimento mobilizouse a interculturalidade por levar o aluno a refletir sobre o como e o porquê de pessoas em outros momentos históricos e culturas terem produzido e ensinado matemática conforme vimos nos questionamentos do estudante sobre Arquimedes Napier e sobre o modo como logaritmos eram ensinados no começo do século XX além de favorecer o multilinguismo uma vez que o aluno enveredou por vários idiomas em suas investigações na internet sobre os temas tratados Esperamos poder com esse modo de trabalho colaborar também para a integração solidária de alunos advindos dos países da tríplice fronteira e de outros Referências BRASIL Lei nº 121892010 Dispõe sobre a criação da UNILA e dá outras providências BRITO A J A história da matemática e a da educação matemática na formação de professores Educação Matemática em Revista n 22 SBEM p 1115 2007 BRITO A J CARVALHO D L Utilizando a história no ensino de Geometria In MIGUEL A et al História da matemática em atividades didáticas S Paulo Livraria da Física 2009 p 13104 BRITO A J SANTOS K E S TEIXEIRA M R G A história nos planos de ensino de futuros professores de matemática Revista Horizontes v 27 n 1 Itatiba p 115120 2009 DEJIĆ M MIHAJLOVIĆ A M History of mathematics and teaching mathematics Teaching Innovations v 27 n 3 p 1530 2014 FERREIRA R A T RICH B Integrating history of mathematics into the mathematics classroom Quadrante v 10 n 2 Lisboa p 6796 2001 A história da matemática em sequências didáticas na formação inicial de professores JANKVIST U T MOSVOLD R CLARK K Mathematical knowledge for teaching teachers the case of history in mathematics education HPM Proceedings of the 2016 ICME Satellite Meeting Montepellier IREM 2016 p 441452 LAWRENCE S What works in the Classroom Project on the History of Mathematics and the Collaborative Teaching Practice CERME 6 Lyon France 2009 p 27522761 Disponível em httpifeenslyonfrpublicationseditionelectroniquecerme6wg1508lawrencepdf Acesso em 04052018 MANTOVANI S R Sequência didática como instrumento para a aprendizagem significativa do efeito fotoelétrico 2015 43 f Dissertação Mestrado em Ensino de Ciências Universidade Estadual Paulista Presidente Prudente 2015 MIGUEL A Três estudos sobre História e Educação Matemática 1993 285 f Tese Doutorado em Educação Faculdade de Educação Universidade Estadual de Campinas Campinas 1993 NOBRE S Alguns porquês na história da matemática e suas contribuições para a educação matemática Caderno CEDES Campinas p 2935 1996 NUNES J M V ALMOULOUD S GUERRA R B O contexto da história da matemática como organizador prévio BOLEMA v 23 n 35B Rio Claro p 537561 2010 PONTE J P O estudo de caso na investigação em educação matemática Quadrante v 3 n 1 Lisboa p 317 1994 TARDIF M LESSARD C GAUTHIER C Formação dos professores e contextos sociais Tradução Emília Laura Seixas Porto Rés 2001 TZANAIS C THOMAIDIS Y Integrating the Close Historical Development of Mathematics and Physics in Mathematics Education Some Methodological and Epistemological Remarks For the Learning of Mathematics v 20 n 1 Ontário p 4455 2000 Recebido em 16052019 Revisado em 28102019 Aprovado para publicação em 01112019 Publicado em 19122019 ISSN 23179546 eISSN 2675715X 41 RHMP Natal RN v 7 n 1 Abr 2021 A INTERFACE ENTRE HISTÓRIA E MATEMÁTICA UMA VISÃO HISTÓRICO PEDAGÓGICA Ubiratan DAmbrosio UNICAMP ubiuspbr Resumo O objetivo do trabalho é tecer algumas considerações sobre História e Historiografia com especial atenção à Matemática e sobre a natureza da Matemática relacionando essas reflexões com a Educação Matemática Essencialmente o trabalho gira em torno de uma questão ampla o que é para quem é e para que serve a História da Matemática Essas questões nos levam a tecer considerações de natureza histórica no ensino da matemática Há algumas sugestões para o professor e as referências são na sua maioria facilmente acessíveis O que é História e o que é Matemática Por que é importante a História da Matemática para o professor de Matemática Ninguém contestará que o professor de matemática deve ter conhecimento de sua disciplina Mas a transmissão desse conhecimento através do ensino depende de sua compreensão de como esse conhecimento se originou de quais as principais motivações para o seu desenvolvimento e quais as razões de sua presença nos currículos escolares Destacar esses fatos é um dos principais objetivos da História da Matemática Vou começar com uma tentativa de resposta às duas questões acima Elas conduzem a inúmeras reflexões mas embora não possam ser respondidas com uma simples definição vamos ver o que se diz de História e de Matemática O importante NOVO AURÉLIO que deveria ser um livro de cabeceira de todo professor dá 17 acepções para o verbete história As 2 9 e 10 se prestam melhor a este trabalho Sintetizo dizendo que história é a narrativa de fatos datas e nomes associados à geração à organização intelectual e social e à difusão do conhecimento no nosso caso conhecimento matemático através das várias culturas ao longo da evolução da humanidade O próprio Aurélio nos dá 3 acepções para matemática A mais interessante diz 1 Ciência que investiga relações entre entidades definidas abstrata e logicamente Curioso que Facetas do Diamante John A Fossa org Editora da SBHMat Rio Claro 2000 pp241271 42 RHMP Natal RN v 7 n 1 Abr 2021 pouco abaixo o Aurélio define matematismo como Doutrina segundo a qual tudo acontece conforme às leis matemáticas Eu não conhecia essa palavra Sem comentários Nas conceituações acima os estudos de História dependem fundamentalmente do reconhecimento de fatos de datas e de nomes e de interpretação ligados ao objeto de nosso interesse isto é do corpo de conhecimentos em questão Esse reconhecimento depende de uma definição do objeto de nosso interesse No nosso caso específico a História da Matemática depende do que se entende por Matemática Uma vez identificados os objetos do estudo a relação de fatos datas e nomes depende de registros que podem ser de natureza muito diversa memórias práticas monumentos e artefatos escritos e documentos Essas são as chamadas fontes históricas A interpretação das chamadas fontes históricas depende muito de uma ideologia e de uma metodologia de análise dessas fontes O conjunto dessas metodologias não só na análise mas também na identificação das fontes é o que se chama historiografia Obviamente a historiografia reflete uma ideologia e depende de uma filosofia de suporte no caso da filosofia da matemáticai Para quem e para que serve a história O historiador Bernard Lewis escreveu um livro muito interessante com o título História Relembrada Recuperada Inventadaii O título em si sugere uma resposta à primeira pergunta A história tem servido a grupos sociais desde família tribos comunidades até nações e civilizações das mais diversas maneiras mas sobretudo como afirmação de identidade Não vou me deter nisso mas bastaria atentar para o tratamento dado às rebeliões de escravos no período colonial Há poucos anos lembrávamos os 300 anos da destruição do Quilombo dos Palmares e ainda estamos comemorando 100 anos da destruição do Arraial de Canudos Ambos são episódios que mostram a vitalidade de povos procurando um outro modelo de sociedade e que foram destruídos pela ordem dominante O silêncio sobre esses episódios nos currículos escolares e as distorções nas comemorações evidenciam as manipulações desses fatos nos estudos e pesquisas da história colonial do Brasil Em particular a História da Matemática tem sido muito afetada por isso É interessante notar o que o historiador sovietico Konstantín Ribnikov diz no capítulo introdutório de seu livro No estrangeiro está focalizado na então União Soviética se dedica grande atenção à história das matemáticas A ela está dedicado um conjunto de livros e artigos Nem tudo neles é porém fidedigno Às vezes os autores de obras sobre história da ciência subordinam seu trabalho a fins distantes da objetividade e do caráter científico E depois de vários parágrafos 43 RHMP Natal RN v 7 n 1 Abr 2021 de crítica à orientação idealista e reacionária desses livros e artigos Ribnikov conclue A luta entre as forças progressistas e reacionárias na ciência matemática que é uma das formas da luta de classes se revela de forma mais intensa nas questões históricas e filosóficas das matemáticasEla a história da ciência deve estar bem organizada como parte da educação ideológica do estudantado e dos trabalhadores científicosiii A última frase da citação reforça minha afirmação de não haver como escapar do caráter ideológico da História da Matemática assim como de reconhecer que a ação educativa é uma ação política E sobre a Matemática A Matemática tem como qualquer outra forma de conhecimento a sua dimensão política e não se pode negar que seu progresso tem tudo a ver com o contexto social econômico político e ideológico Isso é muitas vezes ignorado e mesmo negado É muito interessante ilustrar essa tendência com referência a Isaac Newton sem dúvida a figura maior na modernização da matemática a partir do século XVIII JF Montucla autor da primeira grande história da matemática se refere a Newton como alienado Órfão desde criança Newton foi mandado para a escola em Grantham Quando tinha 14 anos a mãe o chamou para cuidar dos assuntos da família mas ele se mostra tão distante deste tipo de ocupação e tão dedicado ao estudo que ele foi reenviado a Grantham de onde ele passou ao Trinity College em Cambridgeiv Essencialmente a mesma história é repetida em 1893 por WW Rouse Ball ao dizer que Newton tinha um mínimo interesse pela sociedade ou por qualquer emprendimento que não fosse ciência e matemáticav Interessante que mesmo Florian Cajori o principal tradutor dos Principia não faz qualquer referência ao momento político e econômica do época de Newton no seu excelente livro de História da Matemáticavi No Segundo Congresso Internacional de História da Ciência e da Tecnologia realizado em Londres em 1931 compareceu una delegação soviética de oito membros Dentre esses estava o diretor do Instituto de Física de Moscou Boris Hessen que apresentou um trabalho sobre As Raízes SócioEconômicas da Mecânica de Newtonvii Esse trabalho é considerado um marco na historiografia da ciência Já na introdução Hessen abre novas perspectivas para a pesquisa em História da Ciência O que colocou Newton como uma figura de redirecionamento do desenvolvimento e permitiu a ele indicar novas direções para seu avanço Onde estão as fontes da sua criatividade Que fatores determinaram o conteúdo e a direção de seus trabalhos A aparição de Newton se considera de acordo com a historiografia corrente 44 RHMP Natal RN v 7 n 1 Abr 2021 como um dom da divina providência e o poderoso impulso que suas obras deram ao desenvolvimento da ciência e da técnica se interpreta como uma conseqüência de seus geniais dotes pessoais Neste trabalho opomos a essas opiniões um ponto de vista radicalmente diferente quanto a Newton e sua obra Nossa tarefa consistirá em utilizar o método do materialismo dialético e a concepção de processo histórico criada por Marx para analisar a gênese e o desenvolvimento da obra de Newton em relação com a época na qual ele viveu e trabalhouviii A simples referência a Marx fez com que essa historiografia por muitos chamada de externalista fosse rejeitada em muitos círculos acadêmicos A História da Matemática foi particularmente afetada por issoix Os reflexos dessa reação na Educação Matemática são evidentes e dificultam a contextualização Com isso muitos orientam o ensino destacando o fazer matemático como um ato de gênio reservado a poucos que como Newton são vistos como privilegiados pelo toque divino O resultado disso é uma educação de reprodução formando indivíduos subordinados passivos e acríticos A alternativa que proponho é orientar o currículo matemático para a criatividade para a curiosidade e para crítica e questionamento permanentes contribuindo para a formação de um cidadão na sua plenitude e não para ser um instrumento de interesse da vontade e das necessidades das classes dominantes A invenção matemática é acessível a todo indivíduo e a importância dessa invenção depende do contexto social político econômico e ideológico É ilusório pensar como proclamam os teóricos conteudistas se é que ainda os há que Matemática é o instrumento de acesso social e econômico Dificilmente um pobre sai de sua condição porque foi bom aluno de Matemática Os fatores de iniquidade e injustiça social são tantos que se sair bem em Matemática pouco tem a ver com a luta social de cada indivíduo Não negamos que Matemática tem a sua importância mas desde que devidamente contextualizada E pode ser instrumental para o acesso social Por outro lado ela também pode ser apassivante e levar indivíduos a perderam sua capacidade de crítica algumas vezes tornandoos alienados Por exemplo o método Kumon e mesmo o modelo tradicional da escola brasileira que consiste em ensinar uma quantidade de práticas e regras que depois são cobradas em exames e testes tem esse resultado perverso Mas um mito em torno da Matemática e de seu ensino faz com que isso seja deixado de lado nas críticas aos modelos educacionais É interessante notar e o porque desse fato merece estudos que a abertura educacional tão fundamental proposta por Paulo Freire e posteriormente por Michael Apple Henry Giroux e outros até recentemente não encontrou eco na Educação Matemática Marilyn Frankenstein foi uma das primeiras educadoras matemáticas 45 RHMP Natal RN v 7 n 1 Abr 2021 a destacar a importância das ideias de Paulo Freire para a Educação Matemáticax E ao convidar Paulo Freire para dar uma conferência plenária no 8 Congresso Internacional de Educação MatemáticaICME 8 com título Aspectos sóciofilosóficos da Educação Matemática os educadores matemáticos revelaram uma mudança radical de atitude Bom sinalxi Na década de setenta iniciouse a partir do estudo do conhecimento matemática de populações indígenas uma área de pesquisa denominada Etnomatemáticaxii O Programa Etnomatemática cujo objetivo maior é analisar as raízes sócioculturais do conhecimento matemático revela uma grande preocupação com a dimensão política ao estudar história filosofia e suas implicações pedagógicas As pesquisas consistem essencialmente numa investigação holística da geração cognição organização intelectual epistemologia e social história e difusão educação do conhecimento matemático particularmente em culturas consideradas marginaisxiii De certo modo esse programa vem de encontro às propostas de Hans Freudenthal para um programa de História da Matemática voltado à educação Ele propõe essencialmente cinco questões norteadoras 1 Por que isso não foi descoberto antes 2 A partir de que problemas esse tema se desenvolveu 3 Quais eram as forças que o impulsionavam 4 Por que foi essa descoberta tão importante 5 Por que foi ela praticamente não notada pelos seus contemporâneos não matemáticas e continua assim até hoje É claro que ao responder a essas perguntas estaremos entendendo a essência dos tópicos que estão no currículo Estaremos examinando as razões da geração desse conhecimento o que na sociedade motivou seu aparecimento e sua inclusão nos sistemas escolares É muito importante destacar que Hans Freudenthal foi um dos mais importantes do século Tem resultados fundamentais sobre Topologia Num certo momento de sua vida já passados seus sessenta anos dedicouse intensamente à Educação Matemática tendo criado o Instituto de Pesquisas em Didática da Matemática na Universidade de Utrecht na Holanda hoje chamado Instituto Freudenthal Na opinião de Freudenthal o programa formulado nas cinco questões acima reconhece que a história da matemática deveria ser conhecimento integrado mais guiado pela história que pela matemática analisando mais os processos que os produtos Um fato isolado descontextualizado geralmente dá uma impressão falsa 46 RHMP Natal RN v 7 n 1 Abr 2021 Freudenthal também alerta para o perigo de se fazer uma história anedotária quando diz que notas históricas em livros escolares muitas vezes são pequenas histórias isoladas muitas vezes enganadoras e mais entretenimentos que verdadesxiv Porém é possível fazer uma história da matemática interessante e atrativa evitando todas essas distorções Claro contextualizar não quer dizer fazer um texto menos rigoroso impreciso e aliviado de uma matemática corretaxv Estamos passando na Etnomatemática por um perigo semelhante ao apontado por Freudenthal Muitas vezes a matemática de outras culturas são apresentadas como curiosidades jogos folclore e completamente descontextualizadas de sua inserção cultural Naturalmente isso tem tudo a ver com o momento social e políticoxvi Particularmente importante sob este aspecto é a posição de Gelsa Knijnik ao estudar a educação matemática no contexto do Movimento dos SemTerraxvii Essencialmente Gelsa Knijnik trabalhou num programa destinado a ajudar os assentados a construir seu sistema escolar Os professores dos assentamentos em geral não têm formação específica e devem passar por um programa de capacitação Naturalmente o professor que vai fazer essa capacitação deve ter sensibilidade para avaliar o nível de conhecimento desses professores e criar um programa adequado que aproveite o que esses professores já conhecem e reconheça suas experiências Knijnik descreve sua estratégia para essa ação Para quem e para que serve a História da Matemática Para quem Para alunos professores pais e público em geral Para quexviii Algumas das finalidades principais parecemme 1 para situar a Matemática como uma manifestação cultural de todos os povos em todos os tempos como a linguagem os costumes os valores as crenças e os hábitos e como tal diversificada nas suas origens e na sua evolução 2 para mostrar que a Matemática que se estuda nas escolas é uma das muitas formas de Matemática desenvolvidas pela humanidade 3 para destacar que essa Matemática teve sua origem nas culturas da antigüidade mediterrânea e se desenvolveu ao longo da Idade Média e somente a partir do século XVII se organizou como um corpo de conhecimentos com um estilo próprio 4 para saber que desde então a Matemática foi incorporada aos sistemas escolares das nações colonizadas se tornou indispensável em todo o mundo em conseqüência do 47 RHMP Natal RN v 7 n 1 Abr 2021 desenvolvimento científico tecnológico e econômico e avaliar as conseqüências sócio culturais dessa incorporação Os pontos 1 2 3 e 4 constituem a essência de um programa de estudos poderíamos mesmo dizer de um currículo de História da Matemática Vou dar alguma indicação de como proponho abordar esses temas Matemática como uma manifestação cultural Esse é essencialmente o grande motivador da Etnomatemática e há inúmeros estudos sobre manifestações matemáticas nas culturas mais diversasxix Que quer dizer manifestações matemáticas É muito mais que apenas manipular notações e operações aritméticas ou lidar com a álgebra e calcular áreas e volumes mas principalmente lidar em geral com relações e comparações quantitativas e com as formas espaciais do mundo real e fazer classificações e inferências Assim encontramos matemática nos trabalhos artesanais nas manifestações artísticas e nas práticas comerciais e industriais Recuperar e incorporar isso à nossa ação pedagógica é um dos principais objetivos do Programa Etnomatemáticaxx Como fazer isso As técnicas etnográficas devem ser conhecidas e praticadas pelos professores de matemática Procurar aprender dos alunos a sua matemática entendida principalmente como maneiras de lidar com relações e comparações quantitativas e com as formas espaciais do mundo real e de fazer classificações e inferências Infelizmente os professores passam demasiado tempo tentando ensinar o que sabem que é muitas vezes desinteressante e obsoleto para não dizer chato e inútil e pouco tempo ouvindo e aprendendo dos alunos A matemática da escola é apenas uma das muitas matemáticas que se encontram pelas diversas culturas É importante mostrar a aritmética não apenas como a manipulação de números e de operações e a geometria não feita apenas de figuras e de formas perfeitas sem cores Podese dar como exemplo as decorações dos índios brasileiros as diversas formas de se construir papagaios comparar as dimensões das bandeiras de vários países e conhecer e comparar medidas como as que se dão nas feiras litro de arroz bacia de legumes maço de cebolinhaxxi Tudo isso representa medidas usuais praticadas e comuns no dia a dia do povo e que respondem a uma estrutura matemática rigorosa entendido um rigor adequado para aquelas práticas 48 RHMP Natal RN v 7 n 1 Abr 2021 Isto requer que o professor se apoie em uma literatura considerada de curiosidades ou paradidáticas contendo exemplos de matemáticas de outras culturasxxii A incorporação disto tudo na história é um reflexo da conceituação de Etnomatemática Representa uma linha historiográfica por muitos denominada história que vem de baixo ou história feita pelo povo Se esta postura teórica vem sendo adotada na História Geral por que deve a matemática ser excluída Todos hão de concordar que Matemática também é praticada e feita pelo povo Mas o que se vê é que o povo está em geral amedrontado com a Matemática julgandoa algo reservada aos deuses ou aos gênios que são homens próximos a deusesxxiii Será que a Matemática é inacessível ao homem comum e deve portanto estar reservada a uns poucos Sugiro ao leitor que meditem sobre essa pergunta Se responderem sim achem uma justificativa para a inclusão da Matemática nos currículos de uma educação para todos indivíduos que são o povo Se responderem não justifiquem como pode a população ser funcional com cerca de 80 dos alunos sendo reprovados ou passando raspando por professores que são tolerantes e os deixam passar A conclusão costuma ser que a culpa é desses 80 incapazes ou dos professores que tem má formação o que é ainda mais injusto e perverso Propõemse então provas modernizadas e aperfeiçoadas dadas mês a mês ou mais cruelmente no fim de graus os chamados provões E sugerese reciclagem para os professores Não seria tempo de se pensar que o problema poderá estar na matemática escolar e não nos alunos e professores Não ocorrerá a ninguém desconfiar que essa Matemática talvez esteja excluindo cidadãos de muito sucesso na vida e nas suas carreiras profissionais porque ela é obsoleta desinteressante e inútil Questões filosóficas sobre o fazer matemático Embora muitos historiadores da matemática protestem quando se fala em história internalista e história externalista não há como negar que essas continuam sendo as duas grandes vertentes que identificamos em todas as discussões sobre a História da Matemática Os críticos dessa análise chamamna de simplista Sintetizando uma vertente vê o desenvolvimento da Matemática Ocidental como a culminância de um racionalismo que se originou nas civilizações da antigüidade mediterrânea e cujo produto mais nobre é fruto da genialidade de certos indivíduos privilegiados Outra vertente vê a matemática com resultado da busca de explicações e de maneiras de lidar com uma realidade natural planetária e cósmica e com os mitos e as estruturas sócioeconômicas e culturais que daí resultam Essas duas vertentes têm como conseqüência posições que muitas 49 RHMP Natal RN v 7 n 1 Abr 2021 vezes se radicalizam na explicação do fazer matemático Mais uma vez não há como negar duas grandes correntes a formalista e a empirista assim como na teoria do conhecimento não há como escapar das duas grandes correntes o idealismo e o materialismo História e a filosofia da matemática não se separam e somos assim levados a refletir sobre a natureza do conhecimento matemático Comentando sobre as duas grandes vertentes filosóficas sobre a natureza da Matemática o platonismoidealismo e o realismomaterialismo o sociólogo Jim Holt comenta Enquanto a discórdia no sacerdócio matemático não é novo na década de 1920 os proponentes de várias alternativas de platonismo estavam se perseguindo mutuamente com toda a fúria dos primitivos líderes heréticos Cristãos o debate sobre o que é realmente a matemática nunca foi tão confuso como nos dias de hojexxiv Se quisermos usar um artifício gráfico podemos propor as seguintes relações entre conhecimento história e matemática Idealismo materialismo internalismo externalismo formalismo empirismo Esses são os grandes impasses epistemológicos que dominam a filosofia moderna E que não se resolvem com o modelo de rigor conjuntista com questões binárias isto é que admitem somente duas respostas possíveis SIM ou NÃO Um variante do paradoxo do mentiroso Todos os habitantes de uma certa cidade são de um dos três tipos Asempre falam a verdade Btudo que dizem é mentira Crespondem aleatoriamente Além disso eles sempre caminham em três um de cada tipo Você visita essa cidade e logo encontra três cidadãos caminhando juntos Será possível descobrir o tipo de cada um fazendo apenas três perguntas binárias Uma proposta para se acabar com a atitude maniqueísta no mundo moderno tão típica de defensores ardorosos de uma corrente filosófica os fundamentalistas seria partir para um estilo fuzzy Mas isso não é aceito como uma proposta válida para a Matemática acadêmico São ideais conflitantes A questão básica o que é matemática nos conduz naturalmente a uma outra equivalente o que significa criar em matemática Um projeto intitulado How Mathematicians Work Como os matemáticos trabalham foi conduzido há cerca de cinco anos pelo IMA Institute of Mathematics and its Applications da Inglaterra A pesquisa foi baseada em algumas questões que são basicamente as seguintes 1 Somos capazes de medir criatividade matemática 2 São os criativos matemáticos diferentes de outros criativos 3 Que papéis tem verdade e erro nas práticas matemáticas 50 RHMP Natal RN v 7 n 1 Abr 2021 4 A matemática é vista pelos que a praticam como uma técnica uma arte ou algo sui generis 5 Podem aspectos cognitivos e afetivos da matemática serem ensinados ou são simplesmente aprendidos E que são esses aspectos 6 Que assistência podese esperar na criação aprendizado e aplicações da matemática 7 Por que alguém decide ser matemático 8 A matemática é produzida individualmente ou socialmente 9 As medidas dessa produção diferem de outras medidas de produção Como 10 É possível aquilatar a qualidade dessa produção Como Essas dez perguntas constituem em si um importante projeto de pesquisa que pode ser conduzido em diversos ambientes A análise dos resultados nos dá importante indicadores da percepção de Matemática que tem os que a praticam Sobretudo a criatividade matemática é algo um tanto misterioso quando comparado por exemplo com a música Desde a antiguidade matemática e música tem andado juntas Podemos mencionar por exemplo os trabalhos dos Pitagóricos de Boécio de Kepler como representativos da ponte que liga matemática e música Uma das melhores conceituações que conheço sobre o que é Matemática e sobre criatividade está na entrevista que Ennio De Giorgi um dos grandes matemáticos do século concedeu a Michelle Emmer poucos meses antes de sua morte em 1996 Nessa entrevista De Giorgi diz Matemática é a única ciência com a capacidade de passar da observação de coisas visíveis à imaginação de coisas não visíveis Este é talvez o segredo da força da matemática E mais adiante diz Eu penso que a origem da criatividade em todos os campos é aquilo que eu chamo a capacidade ou disposição de sonhar imaginar mundos diferentes coisas diferentes e procurar combinálos na sua de várias maneiras A essa habilidade muito semelhante em todas as disciplinas você deve acrescentar a habilidade de comunicar esses sonhos sem ambigüidade o que requer conhecimento da linguagem e das regras internas a cada disciplina xxv Isso me traz à lembrança uma entrevista recente de Dorival Caymmi Ao comentar sobre um convite que lhe foi feito para escrever um manual sobre a arte de compor ele disse que sua resposta havia sido Não sei música não aprendi música e terceiro não me deixaram aprender música E talvez um quarto Fui proibido de aprender música Aí achei graça e achei que estava certo Fui proibido porque diziam Se você aprender música perde esse espontâneo do que você cria Haverá contradição entre o dizer de De Giorgi e de Caymmi Como terá sido a 51 RHMP Natal RN v 7 n 1 Abr 2021 criatividade matemática de Ramanujan Esse tema da criatividade matemática merece mais estudos O que se pode fazer de história nas aulas de matemática Uma vertente pouco cultivada é a da História Oral Essencialmente retratar pelos seus próprios depoimentos a vida e obra de matemáticos brasileiros Além da valorização e do reconhecimento da contribuição de nossos conterrâneos à Matemática e à sua difusão aqui no Brasil esse trabalho servirá para preservar a memória nacional extremamente importante para os historiadores do futuro Um exemplo desse tipo de pesquisa é o número de mais da Folha de São Paulo quase inteiramente dedicado à vida e à obra de Newton Carneiro Affonso da Costaxxvi Nos países que foram berço de desenvolvimento matemático uma prática interessante tem sido Excursões Matemáticas de cunho histórico Por exemplo visitas à casa onde nasceu Isaac Newton à universidade onde estudou Outra atividade é o levantamento de monumentos dedicados a um matemático célebre e também a iconografia No Brasil esse material é paupérrimo Mas há possibilidades Por exemplo uma excursão à Queluz onde há um pequeno museu de Malba Tahan é muito interessante Ou mesmo visita para reconhecimento de obras à biliotecas públicas e privadas Mas há muita matemática feita por não matemáticos Por exemplo Fermat muitas vezes é chamado o Príncipe dos Matemáticos amadoresxxvii Mas também é claro que há muita matemática implícita em obras não matemáticas do dia a dia Essa é uma das grandes lições que tiramos da História da Matemática Muitas das grandes teorias matemáticas têm sua origem em práticas cotidianas Sugestões para professores Qualquer indivíduo durante todo o seu dia calcula mesmo sem se aperceber disso tempo e espaço e traça planos de açãoxxviii Identificar essa Matemática do cotidiano é algo que pode ser muito bem explorado pelos professores É atual interessante e útil Um outro exercício interessante de natureza histórica é o levantamento de fatos matemáticos numa comunidade Desde o traçado da cidade em alguns casos as cidades brasileiras foram planejadas até a construção e localização de monumentos Os urbanistas os arquitetos os políticos e empresários todos fizeram um estudo preliminar e um projeto para suas ações Fizeram um modelo ou um planejamento sempre repousando sobre uma análise matemática Isto pode ser objeto de interessantes pesquisas 52 RHMP Natal RN v 7 n 1 Abr 2021 Uma outra sugestão também de caráter histórico escrever sobre professores secundários de matemática que marcaram uma escola ou mesmo uma comunidade Se ainda vivos entrevistálos Se já falcidos entrevistar parentes amigos exalunos Tenho orientado alunos fazendo monografias e dissertações nessa direção A memória de matemáticos de professores de matemática e de atividades matemáticas brasileiras é muito importante e deveria ter prioridade em cursos de História da Matemática Dão excelentes e importantes temas para monografias dissertações e teses e mesmo temas para projetos de pesquisa para docentes e pesquisadores Mas voltemos às reflexões sobre o ensino da História da Matemática como ele é mais comumente entendida no mundo acadêmico Está claro que não será possível a um professor de matemática explicar a origem histórica da matemática mesmo que se restrinja a alguma subárea específica Essa é uma questão das mais desafiadoras Muitas vezes se apresenta a História da Matemática no ensino como algo definitivo insinuando isso foi assim o que pode ser falsificador A História da Matemática no ensino deve ser encarada sobretudo pelo seu valor de motivação para a Matemática Devese dar curiosidades coisas interessantes e que poderão motivar alguns alunos Outros alunos não se interessarão Mas isso é natural Alguns gostam de esporte outros não gostam Alguns gostam de música outros não gostam Alguns gostam de camarão outros não gostam Com Matemática não é diferente Jamais devese dar a impressão através de um desfilar de nomes datas resultados casos fatos que se está ensinando a origem de resultados e teorias matemáticas Sabese que as necessidades e as ideias vão se organizando ao longo da história em tempos e lugares difíceis de serem localizados Numa certa época as ideias começam a se organizar a tomar corpo e a serem identificadas como isso ou aquilo A partir daí entram para a história Mas não nasceram assim Outra maneira de se praticar história no ensino é fazer acompanhar cada ponto do currículo tradicional por uma explanação do contexto socioeconômico e cultural no qual aquela teoria ou prática se criou como e porque se desenvolveu Isso é muito frequente nos cursos de história da matemática Para se adotar essa prática a formação do professor é essencial Nas boas licenciaturas há uma ou duas disciplinas de História da Matemática Mas nem todo professor teve um curso de História da Matemática ou tem acesso a livros especializados A preparação que permite ao professor fazer uma abordagem históricocrítica exige um aprendizado permanente Geralmente vem como resultado de ele ter feito as disciplinas tradicionais dos programas e de 53 RHMP Natal RN v 7 n 1 Abr 2021 ter refletido sobre esses cursos feito leituras e lido curiosidade sobre os conteúdos tradicionais Insisto na palavra sobre Não é necessário que ele conheça profundamente o tema para poder falar sobre o tema Mas é importante que ele esteja preparado para dizer Isso não sei ou Isso eu não consegui entender Um professor que não for capaz de dizer isso para seus alunos será extremamente limitado amedrontado e as suas aulas serão muito pobres e enganadoras O que seria uma preparação histórica básica essencial para todos os professores de Matemática Eu acho que o que se encontra no Almanaque Abril 1995 pp688695 responde a essa pergunta Ali há uma listagem cronológica de fatos e indivíduos que é o essencial na evolução da Matemática O ideal que é muito fácil de se conseguir é acompanhar essa leitura com uma listagem cronológica dos grandes eventos internacionais sempre acompanhando o exame dos fatos com a consulta a um Atlas que o próprio almanaque traz Assim será possível localizar os lugares dos quais se está falando e o contexto internacional quando se deu o fato matemático É interessante notar a forte concentração geográfica da produção matemática em certos períodos da história e como essa concentração se desloca Chamo a atenção para o fato que poucos professores conhecerão tudo o que é mencionado nessa história sintética e cronológica Aparecerão nomes de indivíduos e referências a teorias sobre as quais o professor nunca ouviu falar antes Isso pode ser uma motivação para que o professor tenha curiosidade de ver do que se trata Caso ele não tenha acesso a livros mais especializados ele pode consultar uma Enciclopédia que é uma excelente fonte de informação Ou pode através da Internet frequentar algumas das inúmeras listas de discussão sobre a História da Matemática Também é muito interessante gastar um tempinho falando sobre as pessoas que estamos estudando Por exemplo sempre dando lugar e data de nascimento e de morte se é que já morreu Há muito material acessível sobre isso Uma enciclopédia geralmente traz essas informações sobre os nomes mais importantes Também os livros correntes de história da matemática têm essas informações Em particular destaco os livros de Carl B Boyer e de Dirk Struikxxix O primeiro é longo com muitos detalhes O segundo é como diz o nome conciso Além disso tem uma visão social mais aguda que o livro de Boyer Uma observação Dirk Struik comemorou cem anos de idade em Setembro de 1994 Na sua festa de aniversário havia três bolos com velas 1 0 e 0 O aniversariante com uma enorme dose de humor dise que o Corpo de Bombeiros não deu autorização para acender 100 velas de uma vez Mas o ponto culminante foi uma conferência de uma hora pronunciada pelo próprio homenageado Incrível Sem ler qualquer texto ele discorreu sobre Matemáticos que conheci na minha vida O homem é a própria história Dirk Struik visitou o Brasil em 1988 e pronunciou conferências na UNICAMP e na USP Aqui demonstrou interesse pelo desenvolvimento científico do Brasil durante a ocupação holandesa do Nordeste 16241664 e publicou um trabalho sobre issoxxx Este é um bom exemplo de prioridades de temas de estudos sobre 54 RHMP Natal RN v 7 n 1 Abr 2021 História Há pouquíssimos estudos sobre a passagem dos holandeses pelo Brasil e muito pouco sobre a contribuição dessa passagem para as Ciências no Brasil Algumas importantes referências holandesas sobre a História do Brasil são citadas por Struik mas temos poucos estudos brasileiros sobre o tema Mas voltemos a considerações sobre qual a medida adequada para uma incorporação da História da Matemática na prática pedagógica Claro que o ideal é um estudo mais aprofundado do que a simples enumeração de nomes datas e lugares Sobre cada tópico devese elaborar um pouco É muito importante destacar aspectos socioeconômicos e políticos na criação matemática procurando relacionar com o espírito da época o qual se manifesta nas ciências em geral na filosofia nas religiões nas artes nos costumes na sociedade como um todo O livro de Dirk Struik mencionado acima é bem equilibrado nesse aspecto Naturalmente isso tudo em especial o quanto pode se aprofundar e o quão abrangente pode ser o professor vai depender de sua formação Por isso recomendase que todos os cursos de Licenciatura de Matemática ofereçam História da Matemática Lamentavelmente essa recomendação é pouco seguida O importante é que não é necessário que o professor seja um especialista para introduzir História da Matemática em seus cursos Se em algum tema o professor tem uma informação ou sabe de uma curiosidade histórica deve compartilhar com os alunos Se sobre outro tema ele não tem o que falar não importa Não é necessário desenvolver um currículo linear e organizado de História da Matemática Basta colocar aqui e ali algumas reflexões Isto pode gerar muito interesse nas aulas de Matemática E isso pode ser feito sem que o professor tenha se especializado em História da Matemática Claro o bom seria que o professor tivesse uma formação em História da Matemática e pudesse fazer uma apresentação mais sistemática Para isso ele deve procurar uma formação mais especializada Temos agora vários cursos de aperfeiçoamento e especialização e mesmo pósgraduação strictu sensu em História da Matemática Na dificuldade de se matricular em algum curso de pósgraduação essa formação pode ser obtida assistindo a congressos encontros seminários e palestras e alguns vídeos que já são disponíveis no Brasil E naturalmente lendo os livros e revistas que começam a ser publicados no Brasil É interessante notar que no Brasil e o mesmo se dá em todo o mundo os cursos de História da Matemática vêm sendo crescentemente procurados por jovens licenciandos e por professores e outros profissionais na ativa Implicações sociais e políticas da Matemática 55 RHMP Natal RN v 7 n 1 Abr 2021 Uma idéia falsa que se desenvolveu e se romantizou é que a Matemática é neutra é pura ciência do espírito Muitos até ficam extasiados com frases como A Matemática possui não apenas verdade mas suprema beleza uma beleza fria e austera como a de uma escultura Bertrand Russell18721970 e o único fim da ciência matemática é a honra do espírito humano Carl GJ Jacobi180451xxxi As artes as ciências e a tecnologia bem como as religiões a ética e o comportamento individual e social se desenvolveram desde a antiguidade na bacia do Mediterrâneo e se impuseram a partir do século XV a todo o planeta tornandose um instrumento fundamental do colonialismo e do imperialismo Curioso que nem língua nem religião nem costumes nem música nem culinária conseguiram se impor em todo o planeta O que se vê em todas as manifestações culturais é um sincretismo Mas com relação à Matemática desenvolveuse uma idéia falsa e falsificadora que a Matemática deve ser uma só nas escolas e academias de todo o mundo Convidoos a pelo menos notar isso e a se perguntarem porquexxxii Matemática é uma técnica de explicar de conhecer de representar de lidar com os fatos da natureza e sociais Naturalmente tem sua beleza tem sua pureza tem seus valores seus critérios de verdade e de rigor Mas isso também é uma verdade para todas as demais manifestações culturais bem como para todos os artefatos e mentefatos constructos mentais Tudo obedece a critérios de beleza de rigor de verdade Porque privilegiar a Matemática a esse respeito A razão é que no modelo cultural que vem da bacia mediterrânea a Matemática se tornou fundamental Porque e quais as consequências disso tem sido o problema maior da História e da Filosofia da Matemática ocidental Inegavelmente hoje não se pode ser operacional no mundo sem dominar Matemática mesmo que seja de uma forma não reconhecida como Matemática Por exemplo a capacidade de se encontrar um endereço de se fazer uma chamada telefônica de se lidar com dinheiro de se operar uma televisão e um automóvel e assim por diante tem fortes componentes matemáticos Ninguém pode negar que o modelo de mundo que temos hoje segue o modelo europeu que se impôs a todo o planeta durante o período colonial Esse modelo é impregnado de matemática A urbanização a comunicação a produção a tecnologia a economia e assim por diante tudo tem matemática embutida A estreiteza dos sistemas educacionais que são controlados pela classe dominante não permite reconhecer matemática nessas manifestações e insiste em uma Matemática formalizada bitoladora e castradora puro manejo de técnicas obsoletas e inúteis e que está a serviço dessas classes Dizem que falar em classes dominantes é jargão ultrapassado de 56 RHMP Natal RN v 7 n 1 Abr 2021 esquerda mas o fato inegável é que elas estão vivas e lutam para se manter e sobreviver Essas classes dominantes parecem ser insensíveis às iniquidades intoleráveis ao aumento da pobreza e das violações da dignidade humana e à exploração do homem pelo homem evidenciada pelo fato de alguns continuarem a ter muito à custa de outros que quase nada têm nem mesmo o essencial para sua sobrevivência Apesar do discurso aprimorado dos dirigentes não avançamos muito na eliminação desses elementos de iniquidade É possível pensar que houve até retrocesso na responsabilidade dos dirigentes Gosto muito de citar um dito peruano reportado em 1594 Deixe qualquer pessoa que furta comida ou roupa prata ou ouro ser examinada se ele furtou por necessidade ou pobreza e caso se perceba que foi isso não deixe que ele seja punido mas faça com que seja punido aquele que governa removendoo de sua posição pois ele não foi capaz de prover as necessidades daquele que furtou nem levou em consideração as prioridades dos necessitados e procure satisfazer as necessidades de roupa comida terra e uma casa para o ladrãoxxxiii Como se sairiam muitos dos nossos governantes A problemática social e política que levou o mundo a tantas convulsões sociais revoluções e guerras sobretudo neste milênio que se encerra tem sido a mesma É curioso que ao olharmos para a História da Humanidade a cada instante histórico podemos identificar a elaboração de um instrumental matemático para se lidar com essas situações Não há como negar isso e basta um estudo mais cuidadoso para se reconhecer na maneira como se ensina e no próprio conteúdo do que se ensina o interesse das classes dominantes que continuam mesquinhas e com poder crescente O discurso agora é mais preciso tem havido um aperfeiçoamento de argumentos e até a racionalização de práticas que continuam opressivas e desumanas Alguns sugerem que é normal haver excluídos numa sociedade A Economia se tornou a ciência por excelência da sociedade moderna à qual tudo se subordina Podese afirmar que os sistemas de produção e a economia moderna se desenvolveram paralelamente quase em simbiose com o desenvolvimento da Matemática ocidental ainda mais que a física a química a biologia e a tecnologia modernasxxxiv É curioso notar que ao criar o fundo que outorga o Prêmio Nobel o grande empresário e inventor Alfred Nobel 183396 não instituiu um Premio Nobel de Matemática e vetou a possibilidade de se criar tal premio no futuroxxxv Mas a comunidade científica internacional não poderia deixar de reconhecer a importância da Matemática no mundo moderno E para premiar matemáticos foi necessário contornar a restrição de Alfred Nobel E criaram o Prêmio Nobel de Economia que tem sido atribuído a matemáticos Eu vejo nisso o reconhecimento 57 RHMP Natal RN v 7 n 1 Abr 2021 que a matemática é a espinha dorsal que suporta o capitalismo moderno Não é sem razão que o pioneiro do monetarismo foi Nicolau Copérnico 14731543 que Isaac Newton 16421726 foi por muitos anos o equivalente a um Ministro da Fazenda da Inglaterra e que John Maynard Keynes 18831946 por muitos apontado como o fundador da economia moderna era matemáticoxxxvi Numa importante obra publicada em 1974 o filósofo Robert Jaulin referindose à Matemática diz que o Ocidente deve assumir o dissabor de se enxergar e não mais se enganar com os mitos com os quais ele tem se mascaradoxxxvii Sobre o conceito de currículo Utilizo uma definição muito abrangente de currículo a estratégia da ação educativa Ao longo da história o currículo reflete uma concepção de matemática e de sua importância na sociedade o que é muito diferente da importância acadêmica da disciplina Estamos falando da Matemática nos sistemas educacionais e no currículo Os romanos nos legaram um modelo institucional que até hoje prevalece em particular na educação O que corresponderia a um 1 grau a Educação Fundamental era organizado no mundo romano como o trivium Gramática Retórica e Dialética e o grande motivador desse curriculum era a consolidação do Império Romano Com a expansão do Cristianismo na Idade Média criaramse outras necessidades educacionais que se refletem no que seria um 2 grau de estudos superiores organizados como o quadrivium Aritmética Música Geometria Astronomia Em ambos os casos é evidente que a organização curricular encontra sua razão de ser no momento sóciocultural e econômico de cada época Os grandes avanços nos estilos de explicação dos fatos naturais e na economia que caracterizaram o pensamento europeu a partir do século XVI criaram a demanda de novas metas para a educaçãoxxxviii A principal meta era criar uma escola acessível a todos e respondendo a uma nova ordem social e econômica Como diz Comenius Se portanto queremos Igrejas e Estados bem ordenados e florescentes e boas administrações primeiro que tudo ordenemos as escolas e façamolas florescer a fim de que sejam verdadeiras e vivas oficinas de homens e viveiros eclesiásticos políticos e econômicosxxxix Podese dizer que essa é a origem da Didática Moderna que está sempre associada às transformações da sociedade As grandes transformações políticas e econômicas que resultaram das revoluções americana e francesa causaram profundas mudanças nos sistemas educacionais Como em outros tempos os interesses dos impérios foram determinantes Particularmente notáveis são as mudanças na França de Napoleão e na Alemanha de Bismarck Mas sem dúvida o modelo que 58 RHMP Natal RN v 7 n 1 Abr 2021 se impôs foi aquele adotada pelos Estados Unidos para fazer face à uma situação nova que é a fixação de uma população de imigrantes nos territórios conquistados dos indígenas durante a grande expansão para o Oeste O modelo americano visa uma escola igual para todos e o currículo básico ficou conhecido como os three Rs Reading wRiting and aRithmetics que logo se impôs a todo o mundo No Brasil é o ler escrever e contar Embora adequado para o período de transição de uma tecnologia incipiente para uma tecnologia muito avançada que é a grande característica dos séculos XIX e XX ler escrever e contar são obviamente insuficientes para a cidadania plena no século entrante Proponho um currículo baseado em literacia materacia e tecnoracia que é uma resposta educacional às expectativas de se eliminar iniquidade e violações da dignidade humana o primeiro passo para a justiça social As palavras literacia materacia e tecnoracia não estão no Aurélio Vi a palavra literacia pela primeira vez num relatório recentemente publicado pelo Conselho Nacional de Educação de Portugal que a define como a capacidade de processamento de informação escrita na vida quotidiana o que inclui escrita leitura e cálculo O neologismo literacia dos portugueses inspirouse em literacy que também é um neologismo muito comum nos meios educacionais americanos e que se refere à qualidade de dominar a leitura e a escritura Numeracy também já se encontra na literatura sobre educação elementar O neologismo matheracy foi introduzido na década de oitenta pelo Professor Tadasu Kawaguchi um dos mais destacados educadores matemáticos japoneses Aprendi a palavra com o Professor Kawaguchi e em meados daquela década utilizei matheracy num sentido mais amplo e discuti a relação entre literacy e matheracyxl Também tenho visto e usado a expressão technological literacy e em português alfabetização tecnológica Mas não me ocorreu propor neologismos na nossa língua Hoje estimulado pelos colegas portugueses entro nessa ciranda de neologismos e fico mais à vontade para falar em literacia materacia e tecnoracia Como é comum no ambiente acadêmico brasileiro esses neologismos muito provavelmente serão criticados como sendo produto de modismos copiados de outros países e inspirados por outras línguas Vale o risco dessa crítica Acho adequado propor algumas definições que ampliam o modo como esses neologismos vem sendo utilizados tanto em português no caso da literacia quanto na lingua inglesa nos casos de matheracy ao que me consta só utilizado pelo Professor Kawaguchi e technological literacy nunca vi technoracy LITERACIA é a capacidade de processar informação escrita o que inclui escrita leitura e cálculo na vida quotidiana 59 RHMP Natal RN v 7 n 1 Abr 2021 MATERACIA é a capacidade de interpretar e manejar sinais e códigos e de propor e utilizar modelos na vida quotidiana TECNORACIA é a capacidade de usar e combinar instrumentos simples ou complexos avaliando suas possibilidades limitações e adequação a necessidades e situações Poucos discordam do fato de alfabetização e contagem serem insuficientes para o cidadão de uma sociedade moderna Necessárias até certo ponto mas insuficientes Neste trabalho procurarei justificar essa afirmação introduzir os conceitos de literacia materacia e tecnoracia e propor uma nova conceituação de currículo que acredito responder às demandas do mundo moderno À guisa de conclusão Alguns leitores dirão que as reflexões acima são mais bem uma arenga que nada tem a ver com Educação Matemática Outros ainda dirão que minha fala é um libelo contra a Matemática Para esses tenho pouco mais a dizer Mas estou seguro que outros não se assustarão em reconhecer consistência na minha argumentação e assumirão sua responsabilidade maior de educadores que é a de incorporar suas inquietações à sua prática Esses professores estarão se perguntando mas como lidar com isso na minha prática como professor de matemática Para eles são importantes mais alguns comentários e sugestões Naturalmente não se pretende incorporar essas discussões de forma sistemática nos currículos de Matemática no 1 e 2 graus Elas devem permear o currículo As oportunidades abundam ao se comentar uma notícia de jornal ou literatura ou fatos do dia a dia Para isso é fundamental que o professor tenha refletido sobre essas coisas Por isso é que além de História da Matemática se recomenda muito a inclusão de uma disciplina Sociologia da Matemática nos currículos de Licenciatura Sei que muitos estão pensando que não vai sobrar tempo para darmos conteúdo de matemática se gastarmos tanto tempo falando sobre matemática Pois eu digo que a solução é cortar conteúdos retirando coisas desinteressantes obsoletas e inúteis tais como inúmeras técnicas de derivação e de integração e de cálculos aritméticos e algébricos Tudo isso se faz quando e se for necessário hoje trivialmente com uma calculadora científica de bolso nem é necessário usar computador Certamente alguém estará com vontade de perguntar mas não se pode pensar só no valor utilitário E o valor formativo Eu desafio a que me digam qual o valor formativo de se 60 RHMP Natal RN v 7 n 1 Abr 2021 achar uma primitiva de 14x2 ou de se calcular a raiz quadrada de 127856 Ou mesmo de se efetuar 1115 712 No entanto em cada um desses três exemplos podese mostrar como se fazia numa certa época o porque desses métodos e o porque de ter havido uma preocupação com esse tipo de questões como esses métodos foram desenvolvidos e como serviram de estímulo para outras propriedades e sei lá mil outras questõesComo a maior parte dos conteúdos dos nossos currículos essas questões e técnicas só valem como história E assim deverão ser tratadas A formação do indivíduo se faz com estímulos de outra natureza Podem inclusive ser estímulos matemáticos Mas uma matemática interessante exploratória divertida e desafiadora Não mera manipulação de técnicas mas sim exercícios de criatividade Pode ser até que alguém se divirta manipulando técnicas algumas podem ser muito interessantes Por exemplo acho lindo brincar com fatoriais sobretudo tendo uma calculadora E achar o mínimo múltiplo comum pode ser muito divertido Mas não sei como dizer que essas coisas servem para algo relevante na educação do cidadão comum E como tudo que é lindo ou divertido para um pode não ser para outro como se justifica que fatoriais ou mínimo múltiplo comum sejam ensinados para todos Convido os professores a darem uma boa razão para que isso esteja no programa para todos Muitos vão dizer mas isso já não é mais do programa De fato tem havido remoção de alguns pontos nos programas Então desafio de um outro modo procure para cada tema do que sobrou nos programas atuais uma justificativa autêntica de por que o tal tema deve ser ensinado e exigido de todos E vocês chegarão à conclusão que muito do que ainda restou e que se ensina no modo tradicional descontextualizado está lá por mesmice Ninguém tem coragem de tirar dos programas A única razão é de natureza histórica há tempo se ensina isso E o professor infere se me ensinaram é porque era importante portantoensino o que me ensinaram Ninguém ilustrou melhor essa reflexão que René Thom um dos mais importantes matemáticos do século ao divulgar um poema de um sábio chinês que diz Havia um homem que aprendeu a matar dragões e deu tudo que possuía para se aperfeiçoar na arte Depois de três anos ele se achava perfeitamente preparado mas que frustração não encontrou oportunidades de praticar sua habilidade Dschuang Dsi Como resultado ele resolveu 61 RHMP Natal RN v 7 n 1 Abr 2021 ensinar como matar dragões René Thom O professor está equipado com certas técnicas e teorias que jamais teve e nem terá oportunidade de praticar e parte para ensinálas sem nenhum momento de reflexão de crítica Assim como o especialista em matar dragões a última vez que viram aquele ponto do programa foi quando lhes ensinaram isso E agora estão vendo de novo esse assunto ao ensinar Desafio os professores a negarem que certos temas só apareceram quando lhes foram ensinados e que só reaparecem quando eles vão ensinálos Quanto à aprendizagem o problema é muito mais completo e o aprendizado da matemática é o maior desafio para os teóricos das ciências cognitivasxli O estudo da história cultural da humanidade tem sido um instrumento importante nessas teorizações Esse é mais um fator da crescente importância que vem sendo dada à Etnomatemática Alguns defendem o caráter propedêutico da matemática Ensinase isso porque é importante para aquilo e aquilo porque é importante parae assim por diante Justificase os programas como um elenco de conteúdos organizados linearmente Nenhuma teoria hoje aceita de aprendizagem corrobora essa justificativa Muito pelo contrário o que sabemos dos processos cognitivas indicam que a aprendizagem deve consistir em oferecer ao aluno uma variedade de experiências ricas apresentadas de forma nãolinear poderíamos mesmo dizer caótica A riqueza de experiências vai possibilitar ao aluno que eventualmente não no dia e hora marcados pelo professor faça a organização dos fatos que experienciou para a construção de mentefatos que poderão servir para experiências novasxlii Por que então não assumirmos e darmos à Matemática que está nos currículos uma nova feição reconhecendo que na verdade o que se está fazendo é um estudo de matemática histórica E partir para um estudo crítico do seu contexto histórico Sem dúvida isso pode ser mais atrativo O lúdico associado ao exercício intelectual que é tão característico da matemática é totalmente desprezado Por que não introduzir no currículo uma matemática construtiva lúdica desafiadora interessante nova e útil para o mundo moderno 62 RHMP Natal RN v 7 n 1 Abr 2021 Notas i Veja o interessante estudo de Angel Ruiz Las Posibilidades de la Historia en la Educación Matemática Una Visión Filosófica Boletin Informativo del Comité Interamericano de Educación Matemática año 5 n 2 Noviembre 1997 pp 17 ii Bernard Lewis History Remembered Recovered Invented Princeton University Press Princeton 1975 iii Konstantín Ribnikov História de las Matemáticas Editorial Mir Moscou 1987p19 iv JF Montucla Histoire des Mathématiques Tome Second Chez Henri Agasse libraire Paris An VII p360 v WW Rouse Ball A Short Account of the History of Mathematics Dover Publications Inc New York 1960 reimpressão da ed De 1908 p320 vi Florian Cajori A History of Mathematics Chelsea Publishing Company New York 1985 1ª ed 1893 vii Boris Hessen Las Raíces Socioeconómicas de la Mecánica de Newtontrad prólogo y notas de PM Pruna Editorial Academia La Habana 1985 viii opcit p1314 ix Ao notar o insucesso do modelo soviético não podemos jogar fora tudo que de bom se fez e se pensou desde Karl Marx até Mikhail Gorbatchov e o muito que se continua fazendo e pensando de bom e de ruim nessa importante linha filosófica x Ver Marilyn Frankenstein Educação matemática crítica uma aplicação da epistemologia de Paulo Freire publicado em Educação Matemática Maria Aparecida V Bicudo org Editora Moraes São Paulo sd pp101137 xi Uma transcrição integral da conferência de Paulo Freire deve ser publicada num dos próximos números da revista For the Learning of Mathematics xii Em 1985 foi criado o International Study Group on EthnomathematicsISGEm que publica regularmente um NEWSLETTER em inglês e em espanhol Pode ser obtido com o Editor Professor Patrick Scott Box 3001 MSC 3CUR Las Cruces NM 88003 USA xiii Para um resumo dessas idéias veja meu artigo Reflexões sobre História Filosofia e Matemática no BOLEMA Boletim de Educação Matemática Especial n2 1992 pp4260 xiv Ver Hans FreudenthalShould a mathematics teacher know something about the history of mathematics For the Learning of Mathematics vol 2 n1 July 1981 xv Um livro recente muito acessível e que não incorre nesse erro é de Gilberto G Garbi O Romance das Equações Algébricas Genialidade Trama Glória e Tragédia no fascinante mundo da Álgebra Makron Books São Paulo 1997 xvi Um grupo internacional muito ativo e intimamente relacionado com Etnomatemática é o Political Dimensions of Mathematical Education que já realizou três conferências internacionais Londres 1989 Cidade do Cabo 1992 e Bergren 1995 63 RHMP Natal RN v 7 n 1 Abr 2021 xvii Ver Gelsa Knijnik Exclusão e Resistência Educação Matemática e Legitimidade Cultural Editora Artes Médicas Sul Ltda Porto Alegre 1995 xviii Ver o trabalho hoje clássico de Dirk Struik Pór que estudar história da matemática História da Técnica e da Tecnologia textos básicos org Ruy Gama TA Queiroz EditorEditora da USP São Paulo pp191215 xix Ver a entrevista Tantos Povos Tantas Matemáticas que concedi à revista EDUCAÇÃO Editora Segmento ano 23 n 199 Novembro de 1997 pp 35 xx Uma discussão sobre esse tema encontrase no meu artigo Ação pedagógica e Etnomatemática como marcos conceituais para o ensino da Matemática em Educação Matemática Maria Aparecida V Bicudo organizadora Editora Moraes São Paulo sd pp 73100 xxi Ver Eduardo Sebastiani Ferreira ETNOMATEMÁTICA Uma Proposta Metodológica Série Reflexão em Educação Matemática vol3 Mestrado em Educação MatemáticaUniversidade Santa Úrsula Rio de Janeiro 1997 A importante dissertação de Pedro Paulo Scandiuzzi A dinâmica da contagem de Lahatua Otomo e suas implicações educacionais uma pesquisa em etnomatemática Faculdade de Educação Universidade Estadual de Campinas 1997 é um exemplo do tipo de trabalho que é necessário se desenvolver nessa área Também o pequeno livro de Mariana K Leal Ferreira Com Quantos Paus se Faz uma Canoa A matemática na vida cotidiana e na experiência escolar indígena MECAssessoria de Educação Escolar Indígena Brasília 1994 traz reflexões muito importantes e exemplos interessantes A Etnomatemática das culturas africanas é também muito importante Recomendo a excelente publicação de Paulus Gerdes Sobre o despertar do pensamento geométrico Editora da UFPR Curitiba 1992 que fala das matemáticas africanas xxii A coleção paradidática Vivendo a matemática Luiz Márcio Imenes Nilson José Machado et al Editora Scipione São Paulo 1989 tem volumes muito interessantes e elementares sobre a história da matemática e pode ser usada como uma introdução à História da Matemática nas séries iniciais Um clássico é o excelente livro de Malba Tahan O Homem que Calculava Editora Record Rio de Janeiro xxiii Essa imagem é de Paulo Freire na entrevista gravada para o ICME 88 Congresso Internacional de Educação Matemática realizado em Sevilha Espanha em 1996 xxiv Jim Holt Hypothesis The Monster and other mathematical beasts Lingua Franca v7 n9 November 1997 p 76 xxv Michele Emmer Interview with Ennio De Giorgi Notices of the MAS vol 44 n 9 October 1997 pp10971101 xxvi mais 5 Caderno da Folha de São Paulo 30 de novembro de 1997 A coleção de artigos e entrevista foram publicados por ocasião do lançamento do importante livro de Newton CA da Costa O Conhecimento Científico Discurso EditorialFAPESP São Paulo 1997 xxvii Ver o interessante artigo de Simon Singh and Kenneth A Ribet Fermats Last Stand Scientific American November 1997 pp3641 xxviii Essa observação também é feita por Paulo Freire na entrevista mencionada na Nota 21 acima xxix Carl B Boyer História da Matemática trad Elza Furtado Gomide Editora Blücher São Paulo 1974 Dirk Struik História Concisa das Matemáticas Gradiva Lisboa 1989 xxx Dirk J Struik Maurício de Nassau Scientific Maecenas in Brazil Revista da Sociedade Brasileira de História da Ciência n2 JulhoDezembro 1985 pp 2126 64 RHMP Natal RN v 7 n 1 Abr 2021 xxxi Claro no devido contexto essas frases são muito significativas e seus autores tem uma visão ampla do que é a matemática Mas isoladas descontextualizadas essas fases são enganadoras xxxii Ver minha entrevista Tantos povos tantas matemáticas Educação Editora Segemento ano 23 n 199 Novembro de 1997 pp 35 xxxiii Jeanne Hersch ed Birthright of man UNESCOUNIPUB New York 1969 p106 xxxiv O estudo de A SohnRethel Intellectual and Manual Labor Macmillan Press London 1978 é excelente xxxv Isso por razões pessoais que não interessa discutir Mas vale mencionar uma fofóca internacional Se o Prêmio para Matemática fosse instituído o ganhador seria inevitavelmente MittagLefler que alguns anos antes havia roubado a mulher do Alfred Nobel Com isso Nobel vetou para sempre a concessão de prêmios com seu dinheiro para esses dons juans que são os matemáticos xxxvi Recomendo a leitura do livro de AA Upinsky A Perversão Matemática Livraria Francisco Alves São Paulo 1992 xxxvii Robert Jaulin ed Pourquoi la mathématique Collection 1018 Union générale déditions Paris 1974 4ªcapa xxxviii Ver o livro de Mario Alighiero Manacorda História da Educação Da Antiguidade aos nossos dias trad Gaetano Lo Monaco Cortez Editora São Paulo 1996 xxxix JA Coménio Didáctica Magna Tratado da Arte Universal de Ensinar Tudo a Todos origedn 1656 Introdução Tradução e Notas de Joaquim Ferreira Gomes Fundação Calouste Gulbenkian 1966 p 71 xl Ubiratan DAmbrosio Sociocultural bases for Mathematics education UNICAMP Campinas 1985 pp 4248 xli Ver o excelente livro de Steven Pinker How the Mind Works WW Norton Company Inc New York 1997 A discussão sobre Matemática é particularmente interessante xlii Esses temas são discutidos nos meus livros Da Realidade à Ação Reflexões sobre Educação e Matemática Summus Editorial São Paulo 1986 e Educação Matemática Da Teoria à Prática Papirus Editora Campinas 1996 Aí se encontram sugestões para a literatura relevante sobre essas novas teorias