Introdução à Análise Matemática - Números Reais, Topologia e Sequências

1 UNEBUAB CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA INTRODUÇÃO À ANÁLISE MATEMÁTICA 04 04 04 04 02 02 02 02 02 02 02 02 04 04 04 04 04 04 04 04 02 02 02 02 02 02 02 02 04 04 04 04 x y Ementa O corpo completo dos números reais Topologia da reta Sequencias e séries numéricas Limite e continuidade de funções 60 h ADELMO RIBEIRO DE JESUS 2013 2 APRESENTAÇÃO Este texto introdutório de Análise Matemática foi concebido para um curso básico de Licenciatura em Matemática ou Física e tem como objetivo apresentar os conteúdos de limite continuidade derivada e integral de funções de uma variável real Como todos esses assuntos foram vistos nas disciplinas de Cálculo as perguntas que surgem naturalmente são Por que estudar isso novamente Haverá alguma diferença entre o já visto e o que veremos aqui Pois é as respostas são as seguintes Primeiro como o nome da disciplina já diz Análise Matemática neste texto vamos analisar melhor os conteúdos acima referidos quer dizer vamos abordálos sob um ponto de vista mais teórico mais formal Em Cálculo o objetivo é ver os assuntos de forma mais intuitiva calcular limites derivadas e integrais e dar algumas aplicações Já em Análise o objetivo é olhar com mais cuidado esses conceitos aprofundando um pouco mais nosso conhecimento da teoria A segunda pergunta já está praticamente respondida ou seja há diferença sim entre o já estudado e o que veremos e essa diferença é exatamente o enfoque que é mais teórico onde faremos por exemplo as demonstrações de várias proposições que não foram vistas nas disciplinas de Cálculo Os capítulos iniciais Cap1 2 3 4 são dedicados aos números naturais inteiros racionais e reais Neles veremos não somente algumas curiosidades sobre esses números bem como ressaltaremos a estrutura algébrica que esses conjuntos têm Uma delas é a demonstração da famosa regra de sinais para números inteiros que nos diz por exemplo que 3412 O Capítulo 5 já trata o conjunto dos números reais como um corpo ordenado e também completo noção essa que necessita das generalizações dos conceitos de elemento máximo para supremo e elemento mínimo para ínfimo de um conjunto Assim estabeleceremos que IR é um corpo ordenado completo Os Capítulos 6 e 7 são focados nos tópicos de limite e continuidade de funções onde faremos uma abordagem preliminar intuitiva e geométrica para depois formalizarmos esses conceitos através da linguagem de épsilons e deltas do Sec XIX Nesses capítulos veremos também dois importantes teoremas de Análise que são o Teorema de Weierstrass e o Teorema do Valor Intermediário para funções definidas em intervalos A derivada de uma função é estudada no Capítulo 8 Além de apresentarmos seu conceito como a taxa de variação instantânea logo em seguida damos sua interpretação geométrica como a declividade da reta tangente no ponto considerado São demonstradas as propriedades regras básicas de derivação incluindo a importante Regra da Cadeia e a derivada da função inversa Terminamos o capítulo apresentando os Teoremas de Rolle e 3 Lagrange que são particularmente úteis para o estudo de crescimento e decrescimento de funções A noção de integral de Riemann é introduzida no Capítulo 9 Para chegar até essa integral introduzimos os conceitos de somas inferiores e somas superiores de uma função culminando com definição da integral inferior e da integral superior de função f O enfoque aqui é dado no cálculo de algumas integrais definidas pelo método clássico isto é calculando essas integrais como um limite de somas No final é claro á apresentado o Teorema Fundamental do Cálculo como um importante instrumento de obter integrais definidas através das primitivas da função O Capítulo 10 de sequencias numéricas é uma espécie de apêndice pois trata de um tema que em geral precede ao estudo de limites de funções Essa escolha o torna de leitura opcional pelos que querem ir diretamente ao estudo de derivada e integral Para não nos tornarmos excessivamente formais tivemos o cuidado de exemplificar os conceitos e dar os exemplos vinculados com figuras autoexplicativas Neste sentido a utilização do software Winplot foi fundamental para conseguirmos dar mais clareza ao texto Algumas notas históricas também foram acrescentadas para dar uma referência às épocas em que os conceitos de limite derivada e integral apareceram na História No mais agradecemos antecipadamente às pessoas que saberão encarar esse texto como algo ligeiramente leve e introdutório que tenta aproximar o Cálculo Diferencial da disciplina Análise Matemática mais séria e profunda Como já dissemos nosso foco é o aluno de cursos de Licenciatura ou professores das disciplinas de Cálculo e Análise Salvador Bahia fevereiro de 2013 Adelmo Ribeiro de Jesus 4 SUMÁRIO Cap 1 NÚMEROS NATURAIS 1 Sistemas de Numeração 2 Bases dos Sistemas de Numeração 3 Problemas com Números Naturais 4 Ilustrar e Demonstrar Qual a Diferença 5 Qualidades e Defeitos dos Números Naturais 6 Indicações de Leituras Cap 2 OS NÚMEROS INTEIROS 1 Retomando O Princípio de Indução 2 Os Números Negativos 3 Operações com Números Inteiros 4 Indicações de Leituras Capítulo 3 OS NÚMEROS REAIS 1 O Surgimento dos Números Fracionários 2 O Conjunto dos Números Racionais e Operações 3 Representação Decimal de um Número Racional Dízimas 4 Existência de Números que não são Racionais 5 O Conjunto dos Números Reais 6 Indicações de leituras Capítulo 4 IR É UM CORPO 1 Os Números Reais como um Corpo 2 Propriedades Adicionais do Corpo dos Números Reais 3 Operando com Inversos em IR 4 Indicações de Leituras Capítulo 5 ORDEM E COMPLETUDE DOS NÚMEROS REAIS 1 Os Números Inteiros Positivos 2 As Frações Positivas e a Ordem no Conjunto Q 3 Quais são os Números Reais Positivos 5 4 O Módulo de um Número Real 5 Conjuntos Limitados 6 Supremo e Ínfimo de Conjuntos 7 IR é um Corpo Ordenado Completo 8 Indicações de Leituras Capítulo 6 FUNÇÕES E LIMITES 1 O Conceito de Função 2 Visualizando Limites de Funções 3 Qual a Diferença Entre Limite e Continuidade 4 Indicações de Leituras Capítulo 7 LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES 1 O Conceito Formal de Limite e de Continuidade 2 Propriedades das Funções Contínuas 3 Dois Teoremas sobre Funções Definidas em um Intervalo 4 Indicações de Leituras Capítulo 8 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 1 A Derivada de Uma Função em um Ponto 2 Reta Tangente e Derivada 3 Propriedades Operatórias das Derivadas 4 Os Teoremas de Rolle e Lagrange 5 Indicações de Leituras Capítulo 9 A INTEGRAL DE RIEMANN 1 A Contribuição de Arquimedes 2 Funções Limitadas Somas Inferiores e Somas Superiores 3 A Integral de Riemann 4 O Teorema Fundamental do Cálculo 5 Indicações de Leituras Capítulo 10 SEQUENCIAS NUMÉRICAS 1 Afinal o que é Sequencia 2 Notações para Sequencias e Exemplos Básicos 6 3 Classificações das Sequencias 4 Sequencias Convergentes 5 Propriedade dos Limites 6 Indicações de Leituras 7 CAPÍTULO 1 NÚMEROS NATURAIS Autor Adelmo Ribeiro de Jesus Neste capítulo vamos apresentar os números sem nos preocupar demasiadamente com os conjuntos que os contêm Iniciamos com o nosso sistema de numeração posicional de base 10 comparandoo com outros sistemas explorando alguns problemas interessantes Logo após faremos uma incursão no tópico divisibilidade abordando rapidamente os números primos e os critérios de divisibilidade mais comuns Finalizaremos com o método de indução matemática utilizado para provar algumas propriedades dos números Vamos começar 1 SISTEMAS DE NUMERAÇÃO Você já experimentou somar números expressos em algarismos romanos Por exemplo você sabe qual o valor da soma MMCDLXVII MCCLIV Pois é os antigos povos utilizavam vários tipos de sistemas de numeração onde alguns deles tinham mais vantagens sobre outros Hoje podemos classificar os sistemas de numeração da seguinte forma posicionais Sistemas de numeração não posicionais Um sistema de numeração é chamado não posicional quando o valor do símbolo utilizado não varia com a posição ocupada por ele Por exemplo nos conhecidos algarismos romanos o número CCXXXVIII representa em nosso sistema 1001001010105111 que é igual a duzentos e trinta e oito Note que o valor do símbolo C vale cem unidades em qualquer posição que ele esteja O mesmo acontece com o símbolo X cujo valor é sempre dez unidades e com o símbolo I que é sempre igual a uma unidade O sistema egípcio de numeração era também não posicional e utilizava símbolos para potências de 10 abaixo relacionadas veja abaixo 8 Valor 1 10 100 1000 10000 Hieróglifo Os demais números eram escritos pela repetição dos símbolos tantas vezes conforme necessário Por exemplo o número 4622 pode ser representado pelos símbolos abaixo Nenúfar Nymphaeaceae Espiral de corda Calcanhar e Corda simples Fonte ptwikipediaorgwikiNumeraisegípcios VOCÊ SABIA A família das Nymphaeaceae compreende 75 espécies de nenúfares agrupadas em 8 gêneros São plantas aquáticas perenes rizomatosas com folhas e flores flutuantes das quais a maior é a vitóriarégia presente no rio Amazonas Eram representadas por um no Antigo Egito que simbolizava o mil Fonte httpptwikipediaorgwikiNymphaeaceae Já um sistema de numeração é chamado posicional quando o valor de cada um dos símbolos utilizados varia de acordo com a posição ocupada por ele Por exemplo no nosso sistema de numeração decimal chamado induarábico que utiliza os símbolos 0123456789 para escrever todos os demais o número 23322 deve ser entendido como 23322 200003000300202 vinte miltrês miltrezentosvintedois Simbolicamente temos 2 2 10 3 10 2 10 2 10 2 2 3 3 2 2 3 4 10 10 10 10 10 0 1 2 3 4 9 2 BASES DOS SISTEMAS DE NUMERAÇÃO O Sistema Decimal Como vimos anteriormente nosso sistema de numeração induarábico utiliza dez símbolos para representar todos os demais bastando mudar de forma conveniente a posição deles para produzir novos números O fato de utilizarmos dez símbolos caracteriza nosso sistema de numeração como um sistema posicional decimal O texto abaixo é útil para compreendermos a utilização conveniente dos símbolos mudando suas posições para formar novos números Símbolos a Serem Utilizados para Produzir Números 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Números com um dígito 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Não há mais opção com um dígito A fim de mostrar a força da Matemática ao utilizar os mesmos símbolos na quase totalidade dos países mostramos abaixo como se escrevem os números e quatro línguas Português Inglês Francês e Alemão Significado Símbolo Português Inglês Francês Alemão zero unidades 0 zero zero zéro null uma unidade 1 um one un eins duas unidades 2 dois two deux zwei três unidades 3 três three trois drei quatro unidades 4 quatro four quatre vier cinco unidades 5 cinco five cinc fünf seis unidades 6 seis six six sechs sete unidades 7 sete seven sept sieben oito unidades 8 oito eight huit acht nove unidades 9 nove nine neuf neun Para continuarmos a contar além do nove temos que produzir inventar criar um novo número A ideia do sistema posicional foi colocar o símbolo 1 para representar dez unidades uma dezena e 0 para representar a ausência das unidades Assim inventamos o número um zero que em matemática se escreve 10 Em língua portuguesa se escreve dez Em inglês se escreve ten em francês se escreve dix e em alemão zehn Resumo Em Matemática o símbolo 10 representa uma dezena e zero unidades 10 Assim tendo produzido o número um zero uma dezena e zero unidades fica fácil prosseguir ou seja produzse o número um um chamado de 11 uma dezena e uma unidade Depois dele virão como nós sabemos os números um dois um três um quatro e paramos em um nove Mais uma vez com o intuito de mostrar a vantagem da internacionalização dos nossos símbolos para os números nos diversos países apresentamos os números de 10 até 19 em Português Inglês Francês e Alemão Significado Símbolo Português Inglês Francês Alemão Uma dezena e zero unidades 10 dez ten dix zehn Uma dezena e uma unidade 11 onze eleven onze elf uma dezena e duas unidades 12 doze twelve douze zwölf uma dezena e três unidades 13 treze thirteen treize dreizehn uma dezena e quatro unidades 14 quatorze fourteen quatorze vierzehn uma dezena e cinco unidades 15 quinze fifteen quinze funfzehn uma dezena e seis unidades 16 dezesseis sixteen seize sechzehn uma dezena e sete unidades 17 dezessete seventeen dixsept siebzehn uma dezena e oito unidades 18 dezoito eighteen dixhuit achtzehn uma dezena e nove unidades 19 dezenove nineteen dixneuf neunzehn Logo temos números com uma dezena 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Chegamos a mais um impasse após o número 19 uma dezena e nove unidades não há mais opções com uma dezena Dessa forma criamos o novo número dois zero simbolizado por 20 que representa duas dezenas e zero unidades Assim temos Números com duas dezenas 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 Mais uma vez não há mais opções com duas dezenas Dessa forma criamos o novo número 30 que representa três dezenas e zero unidades Números com três dezenas 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 Analogamente temos o mesmo raciocínio para números com 4 dezenas 5 dezenas e até 9 dezenas Um novo problema só vai ocorrer quando tivermos números com nove dezenas e nove unidades chamado de nove nove Números com nove dezenas 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 11 Como não há mais opções com nove dezenas temos que formar uma nova classe que é a classe de dez dezenas chamada de uma centena Assim o número um zero zero denotado por 100 representa uma centena zero dezenas e zero unidades Números com uma centena 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 118 119 120 121 122 123 128 129 190 191 192 193 198 199 Prosseguindo dessa forma surgem os números 200 300 400 900 e também a classe dos milhares milhões etc Pois é assim são os nossos números na Matemática Além disso e é assim que se forma o conhecido sistema posicional O Conjunto dos Números Naturais Com a linguagem dos conjuntos introduzida no Sec XIX nos trabalhos do matemático russo Georg Cantor 18451918 os números 0 1 2 3 4 10 11 12 etc ganharam um lugar para morar Este conjunto é chamado hoje dos números naturais e simbolizado pela letra IN Dessa forma temos que IN 01 2 3 9 10 11 Enquanto que essa representação matemática dos números é compreendida em todo mundo as diversas comunidades escrevem os números de diferentes maneiras Como já vimos anteriormente os nomes dos números 012345678910 são representados de forma diferente em países diferentes Português zero um dois três quatro cinco seis sete oito nove dez Inglês zero one two three four five six seven eight nine ten Francês zero un deux trois quatre cinq six sept huit neuf dix Alemão null eins zwei drei vier fünf sechs sieben acht neun zehn Escrevendo Números na Base 2 Todos já ouviram falar que os computadores utilizam o sistema binário ou de base 2 O que significa isso por que isso acontece A resposta tem a ver com o 12 fato de que a linguagem de máquinas usa o que chamamos de bits que dão origem ao também conhecido byte Segundo o dicionário Wikipédia temos SAIBA MAIS Bit simplificação para dígito binário BInary digiT em inglês é a menor unidade de informação que pode ser armazenada ou transmitida Usada na Computação e na Teoria da Informação Um bit pode assumir somente 2 valores por exemplo 0 ou 1 verdadeiro ou falso sendo a base da matemática binária descrita inicialmente por George Boole e por este motivo é chamada de Álgebra Booleana Embora os computadores tenham instruções ou comandos que possam testar e manipular bits geralmente são idealizados para armazenar instruções em múltiplos de bits chamados bytes No princípio byte tinha tamanho variável mas atualmente tem oito bits Existem também termos para referirse a múltiplos de bits usando padrões prefixados como kilobit kb megabit Mb e gigabit Gb Vale notar que a notação para bit utiliza um b minúsculo em oposição à notação para byte que utiliza um B maiúsculo kB MB GB Fonte httpptwikipediaorgwikiBit Depois de vermos isso voltemos para a escrita dos números no sistema binário Como temos apenas dois símbolos 0 e 1 esgotamos rapidamente as casas das unidades Com um grupo de ordem 2 fazemos o novo número 10 que neste caso deve ser lido um zero que representa um grupo de duas unidades e nenhum grupo de uma unidade Após esse um zero vem 11 que se lê um um esgotando assim a classe de números com 2 símbolos Prosseguimos assim com números de 3 4 5 dígitos Resumindo temos Com 1 símbolo temos 0 e 1 Com 2 símbolos temos 10 e 11 que devem ser lidos um zero e um um Com 3 símbolos temos 100 101 110 e 111 um zero zero um zero um um um um Com 4 símbolos temos 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 e 1111 E assim sucessivamente Entendeu Escrevendo na Base 5 A base 5 utiliza cinco símbolos 0 1 2 3 4 Após esses números devemos seguir a mesma lógica anterior 13 Com 1 símbolo temos 0 1 2 3 4 Com 2 símbolos temos 1011121314 20 21 22 23 24 30 31 32 33 34 40 41 42 43 44 Com 3 símbolos temos 100101 102103 104 110 111 112 113 114 etc Na tabela abaixo descrevemos a escrita dos números de zero até dez em três bases diferentes veja Número zero um dois três quatro cinco seis sete oito nove dez Base 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Base 5 0 1 2 3 4 10 11 12 13 14 100 Base 2 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1100 Atenção Para distinguir os números em certo sistema de numeração escrevemos a base em subscrito e entre parênteses Dessa forma 12345 é um número que está escrito na base 5 enquanto que 11001112 está escrito na base 2 Exemplo 1 Dê os correspondentes números na base 10 de 12345 e 110112 Solução Precisamos lembrar que o valor real de cada símbolo depende da posição que ele ocupa na representação do número Por exemplo o símbolo 3 no número 12345 representa 3 grupos de 5 unidades ou seja 15 unidades Analogamente o símbolo 2 no número 12345 representa 2 grupos de 25 unidades ou seja 50 unidades Logo temos 194 4 15 50 125 4 3 5 2 5 1 5 1 2 3 4 1234 2 3 5 5 5 5 5 0 1 2 3 Exemplo 2 Vamos fazer agora o contrário ou seja vamos escrever o número 19410 na base 5 e o número 2710 na base 2 Solução Para escrevermos 19410 na base 5 temos que fazer agrupamentos de 5 em 5 27 1 2 0 8 16 1 1 0 1 1 11011 0 1 2 3 4 2 2 2 2 2 2 14 Dividindo 194 por 5 temos 1941904 38 5 4 ou seja 38 agrupamentos de 5 unidades mais 4 unidades Logo o dígito das unidades é 4 Devemos agrupar agora as 38 classes de 5 em outras classes de 5 Dividindo 38 por 5 temos 28 7 5 3 e portanto o dígito de 2ª ordem é 3 Prosseguindo dessa forma dividimos 7 por 5 encontrando 7 1 5 2 Portanto o dígito de 3ª ordem é 2 Como 1 0 5 1 temos somente um grupo de 4ª ordem Logo 19410 12345 Analogamente para escrever 2710 na base 2 dividimos sucessivamente este número por 2 e observamos os restos dessas divisões Estes restos como vimos são os símbolos que representam as ordens do número dado na base 2 VOCÊ SABIA 1 A palavra dígito vem da palavra latina digitus que significa dedo Isso tem relação é claro com o uso dos dedos nas contagens de objetos 2 Os babilônios utilizavam a base 60 para formar seus números Ele é chamado de sistema sexagesimal e necessita de 60 algarismos diferentes de 0 a 59 3 O sistema babilônico tem razão de ser pois 60 possui muitos divisores Logo certos números que na base 10 são representados por dízimas periódicas não o são quando representados na base 60 Por exemplo na base 10 temos 53 1666 mas na base 60 fica 166614060 4 Note que a divisão da circunferência em 6x60360 partes tem relação com a base 60 Também a divisão do dia em 24 horas onde uma hora tem 60 minutos e os minutos tem 60 segundos é uma herança dos babilônicos 27 2 13 1 2 2 2 3 1 6 1 1 0 1ª ordem Dessa forma temos que 2710 11011 15 3 PROBLEMAS COM NÚMEROS NATURAIS Nesta seção vamos aplicar nossos conhecimentos do sistema de numeração posicional decimal na resolução de alguns problemas interessantes Alguns deles figuram em concursos para professores testes de raciocínio lógico em concursos de várias naturezas INSS Banco do Brasil Caixa Econômica etc Exemplo 3 a Quantos números naturais temos de 1 até 325 b Quantos números existem na seqüência 7 8 9 10 11 36 Solução Vamos começar contando de 1 até 8 ok Em princípio poderíamos pensar que do número 1 até 8 temos 817 números mas isso não está correto Basta contar e ver que são 8 números 1 2 3 4 5 6 7 8 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x Essa confusão de raciocínio aparece por causa da nossa noção de distância entre dois pontos m e n que é dada pela fórmula dm nn m Por exemplo a distância entre m7 e n36 é d73636729 ou seja 29 passos nos levam do número 7 ao número 36 Mas a quantidade de números existentes é 291 30 pois o número 7 também entra na contagem Conclusão A quantidade de números existentes na seqüência m m1 m2n é igual a nm1 Por exemplo de 1 até 325 temos 32511 325 números De 7 até 36 temos 3671 291 30 números Exemplo 4 a Quantos números existem na seqüência 1 3 5 7 9 357 b Quantos números existem na seqüência 1 3 5 7 9 2n3 2n1 Análise do problema As sequências de números da questão são formadas apenas por números ímpares Logo as perguntas são Quantos números ímpares existem entre 1 e 357 Quantos números ímpares existem entre 1 e 2n1 x 1 357 16 Solução do problema Como sabemos os números 0 1 2 3 4 5 6 dividemse em pares e ímpares Depois de cada número par vem um número ímpar e depois de um ímpar vem um número par não é isso Ora pelo que já vimos no Exemplo 4 a quantidade de números naturais é claro de 1 até 358 é de 358 números Como os pares e ímpares são em mesmo número temos que a quantidade de ímpares é a metade do total ou seja 178 números x 1 358 Mais geralmente como de 1 até 2n existem 2n números naturais temos que na seqüência 1 3 5 7 9 2n3 2n1 existe a metade ou seja n números x 1 2n 2n1 2 3 5 4 Exemplo 5 Um número tem dois dígitos xy que são pares e xy A soma desse número com ele escrito na ordem inversa tem como resultado 88 Qual é esse número Solução Um número de dois dígitos xy tem dezena x e unidade y Logo ele pode ser escrito como 10xy por exemplo 571057 Quando escrito na ordem inversa o número fica yx ou seja 10yx 10xy 10yx 88 11x11y 88 ou seja x y 8 Levando em conta que x e y são números pares as soluções possíveis são x2 y6 x4 y4 x6 y2 Como xy temos que o número procurado é 26 Exemplo 6 Adivinhando a pedra do dominó Este é um exemplo bem interessante onde vamos adivinhar os números de uma peça do dominó tendo apenas uma informação Como cada peça possui dois números x e y aparentemente o problema seria indeterminado Por exemplo se alguém pensar em terno e quadra dará apenas a informação 49 Daí temos condições de adivinhar que a peça era de fato terno e quadra Quer saber como httpptwikipediaorgwikiFicheiroDominospielJPG 17 O problema consiste primeiro em pedir para alguém imaginar uma peça de dominó que se encontra na posição vertical como na figura abaixo Logo ele verá um número x na parte superior e outro número y na parte inferior Feito isso peça a ele para fazer a seguinte seqüência de operações bem simples não precisa calculadora 1 Dobre o valor de x 2 Some este novo número com 3 3 Multiplique agora por 5 4 Some o resultado com o número y e me dê este número N Em símbolos temos 1 x 2x 2 2x3 3 52x3 4 52x3y N Por exemplo se ele pensou na peça terno e quadra a sequência de operações foi 3 2 3 6 6 3 9 95 45 45 4 49 Logo a informação dada por ele foi N49 Então como adivinhar que a peça que ele pensou foi terno e quadra Solução Como x é o número da parte superior da peça temos a seguinte seqüência de operações x 2x 2x3 2x35 10x15 10x15 y 10xy 15 N Como N 10x15 y 10xy 15 subtraindo 15 do número N Ficamos então com N 15 10x y Este número N15 é um número de dois dígitos xy x y 3 4 18 Ou seja x é a dezena e y é a unidade de nossa peça procurada Veja que no caso do nosso exemplo foi dado N49 Subtraindo 15 temos 49 15 34 Logo a peça imaginada é terno e quadra Outro exemplo Se N 27 então N15 2715 12 Logo a peça é ás e duque Exemplo 7 Este é um exemplo do que chamamos de equação diofantina nome dado a equações em duas variáveis envolvendo números inteiros em homenagem a Diofanto de Alexandria grego do século III DC João tem R 22800 para gastar em camisas e calças em uma loja Sabendo que cada camisa custa R 2400 e cada calça R 6000 quais são as opções de compra para que João gaste todo seu dinheiro Solução Chamando de x o número de camisas e y o número de calças e levando em consideração que João quer gastar todo seu dinheiro temos a seguinte equação 24x 60y 228 Como 24 60 e 228 são divisíveis por 12 temos 12 2 x 12 5 y 12 19 ou seja 12 2x 5y 12 19 Logo ficamos com a equação 2x 5y 19 Não devemos esquecer que x e y são números naturais Por isso só temos 4 opções para y que são y0 y1 y2 e y3 note que se y5 então 5y20 que é maior que 19 Para y0 temos 2x 19 o que é impossível em IN Para y1 temos 2x519 ou seja 2x14 Logo x7 Para y2 temos 2x1019 ou seja 2x9 impossível Para y3 temos 2x1519 ou seja 2x4 Logo x2 Conclusão João pode comprar 7 camisas e 1 calça ou 2 camisas e 3 calças 19 SAIBA MAIS Diofanto de Alexandria é considerado como o maior algebrista grego Na história da Aritmética este autor desempenha um papel semelhante ao que Euclides tem na Geometria e Ptolomeu na Astronomia Desconhecese a data precisa em que Diofanto nasceu No entanto através da leitura dos seus escritos nos quais cita Hipsicles 240170 aC e também por uma passagem de Théon de Alexandria 335395 que cita Diofanto como um clássico é possível marcar limites temporais que permitem situar a vida deste autor entre o século II aC e o princípio do século IV da nossa era De acordo com P Tannery devese considerar Diofanto como contemporâneo de Papus 290350 e pertencendo à segunda metade do século III Entre vários livros que escreveu o mais importante destes é Aritmética Neste introduz uma notação simbólica com símbolos diferentes para o quadrado de uma incógnita para o cubo e assim sucessivamente Escreveu também sobre as soluções de certa equações para que uma equação tenha solução primeiro precisamos saber a qual sistema numérico as soluções pertencem isto é se as solução pertencem ao números naturais inteiros reais ou outros Certas equações cujas soluções são números inteiros são chamadas de Equações Diofantinas Adaptado de httpptwikipediaorgwikiDiofantodeAlexandria Exemplo 8 Quais são os números inteiros positivos x y tais que x2y232 Solução Essa é outra equação diofantina só que quadrática Fatorando o 1º membro da equação temos xyxy32 Logo tanto xy quanto xy são divisores de 32 que são 1 2 4 8 16 32 Lembre também que a diferença xy é menor que soma xy Logo ficamos com as seguintes opções xy1 xy32 Neste caso ficamos com 2x33 o que é impossível xy2 xy16 Neste caso 2x18 ou seja x9 e y7 Daí 9272814932 xy4 xy8 Neste caso 2x12 ou seja x6 e y2 Daí 622236432 xy8 xy4 Este caso é impossível pois daria y negativo Conclusão As soluções possíveis são x9 y7 ou então x6 y2 Exemplo 9 Como entender os critérios de divisibilidade por um número dado Sabemos que 46 é divisível por 2 pois 42 2x23 Também sabemos que 72 é divisível por 3 pois 723x24 Mas o número 245384078235001244682 é divisível por 2 É divisível por 3 Solução Vamos demonstrar os seguintes critérios de divisibilidade Critério 1 Um número xyaydwtvckmbnp é divisível por 2 quando seu último algarismo é par Critério 2 Um número xyaydwtvckmbnp é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é múltiplo de 3 De acordo com esses critérios o número 243301124 é divisível por 2 e por 3 porque seu último algarismo é par e a soma 243301124 21 é um múltiplo de 3 Vamos fazer a demonstração para um número de 3 algarismos xyz O caso de n algarismos é inteiramente análogo Lembre que em um número xyz x é a centena y é a dezena e z é a unidade Logo temos xyz 100x 10y z Note que 100 2 50 e 10 25 Substituindo na expressão xyz 2 50 x 2 5 y z 2 50x5y z Veja na expressão que a 1ª parcela de xyz já possui um fator 2 Logo para que xyz seja divisível por 2 basta que z seja um número par Vamos ver agora a divisibilidade por 3 ok Como xyz 100x 10y z e 100991 1091 temos xyz 991x91y z 99x x 9yy z 99x9y xyz Mas 993 33 e 93 3 Daí temos xyz 3 33x3y xyz Veja na expressão que a 1ª parcela de xyz já possui um fator 3 Logo para que xyz seja divisível por 3 basta que a soma dos algarismos xyz seja um múltiplo de 3 Outros critérios de divisibilidade são demonstrados de modo análogo utilizando a decomposição de um número na base 10 Por exemplo você já ouviu falar na divisibilidade por 7 E divisibilidade por 11 21 4 ILUSTRAR E DEMONSTRAR QUAL A DIFERENÇA Algumas afirmações que fazemos no dia a dia são tão claras e tão evidentes que não questionamos sua veracidade Algumas delas são 25x3 75 Se hoje é 2ª feira então amanhã é 3ª feira Se A é mãe de B então A tem mais idade que B Por outro lado existem sentenças matemáticas que não são tão evidentes e por isso podemos duvidar de sua veracidade Veja os exemplos abaixo 1 O quadrado de um número somado com ele próprio sempre é múltiplo de 2 Simbolicamente nIN n2 n é múltiplo de 2 2 O cubo de um número natural somado com seu dobro sempre é múltiplo de 3 Simbolicamente nIN n3 2n é múltiplo de 3 3 A soma dos n primeiros números naturais é igual à metade do produto desse número pelo seu sucessor Simbolicamente 2 1 nn n 3 2 1 ILUSTRAR que estas sentenças são verdadeiras tem o mesmo significado que EXEMPLIFICAR ou seja tomar casos particulares que verificam a sentença Por exemplo No caso 1 temos 323 12 é múltiplo de 2 5 2 530 é múltiplo de 2 7 2 7 56 é múltiplo de 2 No caso 2 temos que 2 32 3 12 é múltiplo de 3 43 2 4 72 é múltiplo de 3 5 3 2 5 135 é múltiplo de 3 No caso 3 temos 2 1 22 2 1 2 1 33 3 1 2 2 1 77 7 6 5 4 3 2 1 22 Por outro lado DEMONSTRAR que essas sentenças são verdadeiras exige que façamos TODOS os casos possíveis Como o conjunto IN é infinito essa tarefa parece impossível Como este curso tem como objetivo a Análise da Matemática enfocando seus aspectos formais apresentaremos abaixo alguns métodos de demonstração apropriada aos números naturais 1 Demonstrações Matemáticas Envolvendo Número Finito de Casos Este processo é chamado de demonstração por exaustão pois faz a prova diretamente exaurindo todos os casos possíveis Exemplo 10 22n 1 é um número primo para n 0 1 2 3 4 Demonstração Para n0 temos 20 1 2 1 2 1 3 que é primo Para n1 temos 21 2 2 1 2 1 5 é primo Para n2 temos 22 4 2 1 2 1 17 é primo Para n3 temos 23 8 2 1 2 1 257 que é primo Finalmente para n4 temos 65537 1 2 1 2 16 24 que também é primo VOCÊ SABIA A conjectura que os números da forma 1 2 n 2 eram sempre primos foi feita por Pierre Fermat 16011665 Mais tarde Leonard Euler 17171783 mostrou que para n5 o número 4294967297 1 2 25 não é primo pois é divisível por 641 De fato 641x6700417 4294967297 1 2 25 Exemplo 11 Este exemplo é muito popular e famoso pois mostra os perigos das generalizações ou seja de achar que se uma afirmação vale para um para dois para três logo vale para sempre Observe a seguinte afirmação Pn Os números da forma n 2 n 41 são sempre primos n IN Podemos verificar que para n1 n2 n3 n39 temse que n2n41 é um número primo Veja a tabela abaixo 23 n n2n41 n n2n41 n n2n41 n n2n41 1 43 11 173 21 503 31 1033 2 47 12 197 22 547 32 1097 3 53 13 223 23 593 33 1163 4 61 14 251 24 641 34 1231 5 71 15 281 25 691 35 1301 6 83 16 313 26 743 36 1373 7 97 17 347 27 797 37 1447 8 113 18 383 28 853 38 1523 9 131 19 421 29 911 39 1601 10 151 20 461 30 971 40 1681 1681412 No entanto para n40 obtemos 40 2 40 41 40401 41 40 41 41 41401 41 41 que NÃO é primo Portanto a proposição Os números da forma n2n41 são sempre primos é falsa 2 Demonstrações Envolvendo Uma Infinidade de Números Inteiros Quando temos que demonstrar não é ilustrar que certa propriedade é válida para um número INFINITO de números inteiros recorremos a um teorema chamado Princípio de Indução Ele nos dá um método um conjunto de instruções que garante que a propriedade é DE FATO verdadeira para TODOS os casos Ele diz o seguinte Princípio de Indução Considere uma sentença aberta Pn que depende de uma variável n IN Para mostrar que Pn é verdadeira para TODOS os números naturais siga os seguintes passos i DEMONSTRE que P1 é verdadeira ii SUPONHA que para um certo k a sentença Pk é verdadeira Usando este fato PROVE que Pk1 é também verdadeira Exemplo 12 2 1 nn n 3 2 1 para todo n IN Demonstração i Temos que P1 1 2 1 11 Logo P1 é verdadeira ii SUPONHAMOS que para um certo valor de k temos Pk é verdadeira ou seja 2 1 kk k 3 2 1 chamada hipótese de indução HI 24 Devemos PROVAR que 2 2 1k k 1 k k 3 2 1 Vamos ver 1 k 2 1 kk 1 k k 2 1 1 k k 2 1 H I Fazendo a soma dessas frações temos 2 2 1k k 2 1 2k 1 kk 1 k k 2 1 como queríamos demonstrar Exemplo 13 n 3 2n é múltiplo de 3 nIN Demonstração i Temos que P1 13 21 3 é múltiplo de 3 Logo P1 é verdadeira ii SUPONHAMOS que para um certo valor de k temos Pk é verdadeira ou seja suponhamos que k 3 2k seja múltiplo de 3 HI Devemos PROVAR que Pk1 é também verdadeira ou melhor que k1 3 2k1 é múltiplo de 3 Vamos ver k13 2k1 k33k23k1 2k1 k3 2k 3k2 3k 3 Colocando 3 em evidência temos k1 3 2k1 k 3 2k 3k 2 k 1 Como k 3 2k é múltiplo de 3 hipótese de indução e 3k 2 k 1 tem um fator 3 concluímos que k13 2k1 é também um múltiplo de 3 como queríamos demonstrar Exercícios Mostre por indução que 1 135 2n1 n 2 2 n 35n é divisível por 6 para todo n IN 3 52n 1 é divisível por 8 para todo n IN 4 22n 1 é divisível por 3 para todo n IN Exemplo 14 A Torre de Hanói A Torre de Hanói é um quebracabeça que consiste em uma base contendo três pinos Em um deles são dispostos alguns discos uns sobre os outros em ordem crescente de diâmetro de cima para baixo como na figura O problema consiste em passar todos os discos de um pino para outro qualquer usando um dos pinos como auxiliar de maneira que um disco maior nunca fique em cima de outro menor em nenhuma situação A Torre de Hanói tem sido tradicionalmente considerada como um procedimento para avaliação da capacidade de memória de trabalho e principalmente de planejamento e solução de problemas Fonte httpptwikipediaorgwikiTorredeHanoi 25 É interessante observar que o número mínimo de movimentos para transferir todos os discos da primeiro pino ao terceiro é Mn 2n1 sendo n o número de discos Logo Para solucionar um Hanói com 2 discos são necessários M222 13 movimentos Para solucionar um Hanói com 3 discos são necessários M32³ 17 movimentos Para solucionar um Hanói com 4 discos são necessários M42 4115 movimentos disco na posição original disco na posição final Para 1 discos a transferência se dá em 1 passagem M1 1 2 discos no início 2 discos no final Para 2 discos a transferência se dá em 3 passagens M2 3 Fonte WATANABE Renata Revista do Professor de Matemática RPM v9 São Paulo SBM 1986 É claro que para um disco temos M11 e 2 111 Logo a fórmula é válida Para 2 discos temos a solução em 3 passagens como mostra a figura acima Como 2213 a fórmula também é válida 3 discos no início 3 discos no final Para 3 discos a transferência se dá em 7 passagens M3 7 Fonte WATANABE Renata Revista do Professor de Matemática RPM v9 São Paulo SBM 1986 26 O caso n3 nos dá uma pista para o caso geral veja Para transferir os dois discos superiores para o pino auxiliar levamos 3 passagens Transferimos agora o disco maior para o pino final em uma passagem Finalmente repetimos o processo levando os 2 discos superiores para o pino final em mais 3 passagens Logo o total é M3 3 1 3 7 passagens Para demonstrar o caso de n discos supomos que Mn1 2 n1 1 Logo seguindo nosso raciocínio para o caso n3 temos Mn Mn1 1 Mn1 2n1 1 1 2n1 1 2n1 2n1 1 2 2n1 1 2n 1 3 Demonstrações Diretas Usando a Condicional P Q Lembremos que um número é par quando x é múltiplo de 2 Isto pode ser escrito simbolicamente assim x é par x2m m IN Analogamente como os ímpares são sucessores de números pares podemos escrever x é impar x2m1 m IN Exemplo 15 A soma de 2 números pares é sempre um número par Demonstração Considere x y dois números pares Logo x 2m e y 2n Daí temos x y 2m 2n 2 mn ou seja xy também é múltiplo de 2 e portanto é par Exemplo 16 A soma de 2 números ímpares é sempre um número par Demonstração Considere x y dois números ímpares Logo x 2m1 e y 2n1 sucessores de números pares Daí temos xy2m12n1 2m2n2 2mn1 ou seja xy também é par Exemplo 17 O produto de 2 números ímpares é também um número ímpar Tome x y números ímpares ou seja x2m1 e y 2n1 Logo x y 2m12n1 4mn 2m2n1 22mnmn1 ou seja xy é também um número ímpar 27 SAIBA MAIS Você já notou que 13 4 e 2 2 4 Já notou também que 1359 e 329 Calcule agora 1357 e verifique se esta soma é igual a 42 Deu igual Tente provar usando o Princípio de Indução que 13572n1 n 2 5 QUALIDADES E DEFEITOS DOS NÚMEROS NATURAIS Como vimos na seção anterior somos capazes de apresentar problemas bastante curiosos com os números naturais Na verdade o conjunto IN0 1 2 34 tem qualidades e alguns defeitos como outros também que enumeramos a seguir 1 No conjunto IN é possível somar e multiplicar 2 elementos e estas operações resultam também em números naturais Simbolicamente Se x y IN então xy e xy IN 2 A adição e multiplicação possuem as propriedades comutativas e associativas 3 Existem elementos neutros para e em IN que são os números 0 e 1 respectivamente Simbolicamente x 0 x e x 1 x x IN 4 É válida a propriedade distributiva ou seja a multiplicação distribui a soma Simbolicamente xyz xy xz x y z IN Além dessas boas qualidades podemos falar em ordem nos números naturais dar o conceito de divisibilidade definir números primos calcular máximo divisor comum entre dois números mínimo múltiplo comum provar propriedades utilizando o princípio de indução etc Mas tudo que tem qualidades tem seus defeitos e o conjunto IN não é exceção No caso dos números naturais o problema é que certas situações que enfrentamos não possuem solução em IN veja logo a seguir 28 Exemplo 18 a Sylvia depositou R 25000 em sua conta bancária Ao verificar o saldo após o depósito constatou que este era de R 13000 Como explicar isso Análise do problema Se x era o total da conta de Sylvia no banco então após o depósito ficou com 150 x Logo a equação é 250x 130 que não tem solução b Beto deseja repartir dois chocolates entre 6 colegas mas só conhece os números naturais Ele pode resolver esse problema Análise Chamando de x a parte de cada um dos colegas devemos ter xxxxxx2 ou seja 6x2 o que não é possível em IN Para evitar esses transtornos de problemas sem solução e incômodos a toda hora o homem necessitou construir inventar criar novos números que tornassem esses problemas viáveis Por essa razão é que surgiram os números fracionários do tipo q p e os números negativos 1 2 3 etc Esses números hoje compõem os conjuntos Q números racionais e Z números inteiros respectivamente que estudaremos no próximo Capítulo SÍNTESE Neste capítulo enfatizamos as propriedades dos números as bases dos sistemas de numeração e resolvemos alguns problemas envolvendo números inteiros como a equações diofantinas por exemplo Vimos que o Princípio de Indução é o mecanismo ideal para demonstrarmos certas propriedades que envolvem números naturais No final vimos que é preciso inventar novos números a fim de continuarmos a resolver mais e mais problemas Sugerimos para uma boa compreensão deste capítulo que você refaça os exemplos ok Até a próxima LEITURAS INDICADAS LIMA Elon A Matemática do Ensino Médio vol 1 Rio de Janeiro SBM 2004 LOVÁSZ PELIKÁN e VESTERGOMBI Matemática Discreta Col Textos Universitários Rio de Janeiro SBM 2007 29 SITES INDICADOS Sobre Sistemas de Numeração httpeducarscuspbrmatematicalet1htm Torre de Hanói httpptwikipediaorgwikiTorredeHanoi Princípio de Indução httpecalculoifuspbrferramentaspifpifhtm httpwwwfcupptmpjcsantosPDFinducaopdf 30 CAPÍTULO 2 OS NÚMEROS INTEIROS Vamos continuar nosso estudo dos números desta vez destacando os números inteiros Começaremos retomando algumas considerações sobre o Princípio de Indução e acrescentando alguns exemplos Logo após falaremos sobre o conjunto dos números inteiros suas operações e propriedades destacando a célebre regra de sinais abab e algumas discussões sobre o tema Este capítulo é fundamental para que nós professores compreendamos o sentido das operações em Z 1 RETOMANDO O PRINCÍPIO DE INDUÇÃO No final do Capítulo 1 fizemos um estudo preliminar do Princípio de Indução utilizado para provar propriedades dos números naturais Devido à importância deste princípio retomaremos essa discussão neste parágrafo Nele faremos algumas observações e acrescentaremos mais outros exemplos O Princípio de Indução Considere uma sentença Pn que depende de uma variável nIN Para mostrar que Pn é verdadeira para TODOS os números naturais siga os seguintes passos i DEMONSTRE que P1 é verdadeira ii SUPONHA que para um certo k fixado a sentença Pk é verdadeira Usando este fato PROVE que Pk1 é também verdadeira Observações 1 A conclusão do teorema acima é obviamente verdadeira para todos os números naturais a partir do número 1 ou seja a sentença Pn é válida para todo n IN Isso porque começamos provando a proposição Pn para n1 2 A verificação de que P0 é verdadeira é feita rapidamente de forma que não precisamos modificar o princípio de indução já estabelecido 3 O Princípio de Indução está ancorado ou seja depende decorre em outro princípio bastante intuitivo chamado de boa ordenação em IN que nos diz que todo subconjunto X IN não vazio possui um elemento mínimo ou seja um menor elemento Na realidade estes dois princípios são equivalentes um depende do outro 31 4 Existe uma generalização do Princípio de Indução para proposições Pn que variam em um subconjunto de números inteiros Xa a1 a2 a3 onde aZ é um número fixo Neste caso devemos provar que Pa é verdadeira supor que Pk é verdadeira e provar que Pk1 também é verdadeira Com isso temos que Pn é verdadeira para todo n a Veja o exemplo a seguir Exemplo 1 No Exemplo 13 Capítulo 1 mostramos que n 3 2n é múltiplo de 3 nIN Esta proposição também é válida para n0 pois 0 32 0 0 é um múltiplo de 3 Como ela é também válida para n2 e n1 podemos afirmar então que n3 2n é múltiplo de 3 n 2 Exemplo 2 Mostre que n 2n para todo inteiro n 4 Este é um exemplo interessante pois a sentença n 2n é falsa para n1 2 3 De fato para n1 temos 1 2 1 falso Para n2 temos 2 2 2 falso Para n3 temos 3 2 6 falso também Agora para n4 temos 4 24 e 24 8 Logo 4 24 ou seja P4 é verdadeira Suponhamos então que Pk é verdadeira para um certo valor de k e vamos PROVAR que Pk1 também é verdadeira ok Hipótese de indução k 2k O que queremos provar k1 2k1 Veja que k1 k1kk1k2321 k1 k Logo k1 k1 k k1 2k 2k k1 2k1 como queríamos demonstrar Exemplo 3 Considere a proposição Pn n3 5n é múltiplo de 6 Vamos provar que Pn é verdadeira para todo n IN Demonstração Para n0 temos 0 3 5 0 0 que é múltiplo de 6 Analogamente para n1 temos 13 5 1 6 que é múltiplo de 6 É fácil constatar que para n2 3 32 4 a proposição é também verdadeira mas isso não nos permite concluir que ela é verdadeira para TODO n IN pois este conjunto é infinito Por isso existe o Princípio de Indução para economizar nossa energia Suponhamos então hipótese de indução que para um certo valor fixo k IN a proposição é válida ou seja suponhamos que k 3 5k é múltiplo de 6 Hipótese de indução Devemos PROVAR então que Pk1 é também verdadeira ou seja que Pk1 k13 5k1 é um múltiplo de 6 Ora k13 5k1 k3 3k23k1 5k5 k3 5k 3k23k6 Note que 3k 23k 3kk1 Ora o fator kk1 é um produto de números consecutivos portanto é múltiplo de 2 Logo 3k 23k é múltiplo de 6 Conclusão 3k 6 3k 5k k 1 k múltiplode6 2 Hipindução 3 3 é múltiplo de 6 pois é soma de múltiplos de 6 Exemplo 4 Você sabe quanto vale a soma 135791921 Você sabia que 1357931333518 2 324 Existe uma fórmula para isso que é a seguinte A soma dos n primeiros números ímpares é igual ao quadrado do número de parcelas Simbolicamente 135 2n1 n2 Demonstração Lembremos inicialmente que de 1 até 2n1 existem exatamente n números ímpares veja o Exemplo 4 da capítulo anterior e a figura abaixo x 1 2n 2n1 2 3 5 4 Alguns casos particulares 1 1 1 1 2 4 2 4 3 1 2 9 3 9 5 3 1 2 16 4 16 7 5 3 1 2 Pelo visto acima para n1 a afirmação é verdadeira 33 Suponhamos então hipótese de indução que para um certo k IN a proposição é válida ou seja 135 2k1 k 2 Devemos provar então que 135 2k12k1 k12 De fato 135 2k12k1 135 2k12k1 k2 2k1 Logo 135 2k12k1 k2 2k1 k12 cqd VOCÊ SABIA Existe outro modo de se chegar a 135 2n1 n2 utilizando argumento semelhante ao que C F Gauss utilizou para somar 12348450 de maneira criativa escrevendo a soma desses números na ordem inversa Veja como fazer S 1 3 5 3 2n 2n 1 2n S 1 2n 3 2n 7 5 3 1 Somando as duas igualdades na vertical temos 2S2n2n2n2n n parcelas Logo como temos n parcelas iguais a 2n ficamos com 2S 2nn 2n2 Portanto a soma é S n 2 como queríamos provar Exemplo 5 20 21 22 2n 2n1 1 Note que o 1º membro da expressão tem n1 parcelas pois começamos a contar de 0 até n Logo a fórmula nos diz que a soma das n1 primeiras potências de 2 é igual a 2n1 1 Vejamos alguns casos particulares n0 1 1 2 1 2 1 0 n1 3 1 2 3 2 2 2 1 0 n2 7 1 2 7 2 2 2 3 2 1 0 hipótese de indução 34 Demonstração Já fizemos a prova que nossa proposição é válida para n0 1 e 2 Vamos ASSUMIR SUPOR que essa propriedade seja válida para um certo número natural k hipótese de indução Em símbolos vamos supor que para esse k 20 21 22 2k 2k1 1 Logo vamos PROVAR que essa mesma propriedade é válida para k1 ou seja devemos provar que 2 0 2 1 2 2 2 k1 2 k2 1 Vamos lá Como 2 0 2 1 2 2 2 k1 2 0 2 1 2 2 2 k 2 k1 podemos usar nossa hipótese de indução na parte dos parênteses Logo aplicando essa hipótese de indução temos 2 0 2 1 2 2 2 k 2 k1 2 k1 1 2 k1 2 k1 2 k1 1 22 k1 1 2 k2 1 que é o que queríamos provar 2 OS NÚMEROS NEGATIVOS Nesta seção vamos apresentar os números chamados negativos que são em última análise os opostos dos números naturais Esses opostos são muito úteis para resolver vários tipos de problemas como veremos aqui SAIBA MAIS Os chineses são considerados os primeiros a utilizar na China antiga números negativos na história da Matemática Eles estavam acostumados a calcular com uma espécie de ábaco feito com duas coleções de barras uma vermelha para os números positivos e outra preta para os números negativos No entanto os chineses não aceitavam a ideia de um número negativo ser uma solução de uma equação Na Grécia Diofanto matemático grego do Séc III também operou com os números negativos Eles apareciam constantemente em muitos problemas nos cálculos intermediários No entanto havia certos problemas para o qual as soluções eram valores inteiros negativos Nestas situações Diofanto limitavase a classificar o problema de absurdo Ou seja embora ele utilizasse nos cálculos os números com sinais não os admitia como soluções dos problemas 35 Os matemáticos indianos utilizaram os números negativos quando tentavam formular um método para a resolução de equações do 2º grau Foram as contribuições de Brahamagupta Sec VII e anterior a Bhaskara que segundo relatos sistematizou a aritmética dos números negativos As regras sobre grandezas já eram conhecidas nos teoremas gregos sobre subtração mas os hindus as converteram em regras sobre números negativos e positivos Nos séculos XVI e XVII muitos matemáticos europeus não admitiam os números negativos e se esses números apareciam nos seus cálculos eles os consideravam como falsos ou impossíveis Michel Stifel 14871567 por exemplo recusouse a admitir números negativos como raízes de uma equação chamandolhes de numeri absurdi Da mesma forma Geronimo Cardano 15011576 em suas pesquisas sobre as equações do 3º grau utilizou em seus cálculos os números negativos embora os chamando de numeri ficti Hoje consideramos os números naturais e os números negativos formando um novo conjunto chamado de conjunto dos números inteiros O nome dado para este conjunto é Z inicial da palavra zahal que em alemão significa número Simbolicamente temos Z 43 2 1 0 1 2 3 4 e é usual visualizarmos este conjunto como pontos de uma reta 0 1 2 3 1 2 3 No parágrafo seguinte faremos uma pequena abordagem das operações no conjunto Z 3 OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS As operações de adição e multiplicação já são conhecidas no conjunto dos números naturais e não há problema algum em compreendêlas Por exemplo 3x5 55515 4x0 00000 etc Essas operações possuem várias propriedades como associatividade comutatividade elementos neutros 0 e 1 respectivamente e distributividade da multiplicação em relação à adição ou seja a bc a b a c Ora como o conjunto Z 43 2 1 0 1 2 3 4 contém IN é natural que as operações a serem definidas em Z sejam de tal forma que 36 i Os resultados da nova adição e da nova multiplicação sejam os mesmos que os anteriores quando pensados como elementos de IN Por exemplo 37 3710 ou 4 54 5 20 ii A propriedades associativas comutativas existência de elementos neutros e distributiva sejam preservadas em Z isto é também válidas neste conjunto A ideia de definir a adição é a seguinte Os novos números 1 2 3 4 etc são chamados de números negativos e também são os opostos dos números 1 2 3 4 etc Isso quer dizer que a soma de um deles com o seu parceiro é igual o elemento neutro zero Mais precisamente temos 110 220 330 etc Mais geralmente temos por definição que a a 0 a Z Assumindo então que as propriedades associativas comutativas são válidas em Z podemos justificar algebricamente as somas de números negativos e de positivos com negativos Veja os exemplos abaixo Exemplo 6 Levando em consideração que as propriedades associativas comutativas existência de elementos neutros são válidas em Z dê o valor das seguintes somas a 12 5 b 3 4 c 3 7 Solução a Note que podemos escrever 1275 Logo 12 5 755 755707 Conclusão 12 5 7 b O resultado de 3 4 tem que ser 7 não é isso Vamos fazer esse cálculo 3 4 7 3 4 3 4 3 3 4 4 000 Pelo que vimos 3 4 7 0 ou seja 3 4 é o oposto do número 7 Conclusão 3 4 7 37 c A soma de positivo com negativo dá positivo ou negativo Sabemos que a resposta é depende No item a o resultado foi igual a 7 um número positivo mas neste caso a resposta é um número negativo veja Como vimos no item b 3 4 7 Logo 3 7 3 3 4 3 3 4 0 44 Conclusão 3 7 4 Para definir a multiplicação de números inteiros seguimos a mesma lógica tentando preservar todas as propriedades das operações em IN inclusive a distributiva que é fundamental para várias aplicações como veremos Exemplo 7 Calcule algebricamente os seguintes produtos a 3 5 b 2 4 c 3 0 d 3 7 Solução Observe que a definição de produto de números naturais é dada por uma soma repetida ou seja mn nnnn m vezes o número n No sentido de preservar esta lógica temos a 3 5 555 15 b Para fazer o cálculo 24 não podemos usar a lógica menos duas vezes o número 4 pois não faz sentido a sentença menos duas vezes Neste caso recorremos à propriedade comutativa 2 4 4 2 2222 8 O item c é um pouco difícil pois não faz sentido menos 3 vezes um número nem usando a comutatividade 3 0 0 3 zero vezes algum outro Precisamos de um artifício que é escrever o número 0 como 00 Logo podemos escrever 3 0 300 3030 Pelo visto temos um número A 30 tal que AAA Somando o oposto a ambos os membros temos AA AA A ou seja A0 Conclusão 3 0 0 Podemos demonstrar com o mesmo raciocínio acima que a0 0 a Z 38 O item d é o mais complicado e polêmico Afinal quanto vale 37 Sabemos que a resposta é 3 7 21 mas como justificar isso Mais uma vez precisamos de um pequeno artifício de cálculo e da propriedade distributiva Temos que 0 0 733 7 3 7 3 7 21 37 Resumindo 21 37 0 ou seja 37 21 Exemplo 8 Somente para fixar nossas idéias vamos provar que 5 4 20 Demonstração Usando que 0 40 temos 0 0 455 4 5 4 5 4 20 54 Como vimos 20 54 0 Logo 54 20 Podemos demonstrar com o mesmo raciocínio acima que abab No conjunto IN não podíamos definir a operação de subtração mas em Z isto é possível Definição 1 Dados a b ϵ Z definimos a b como a soma de a com o oposto de b Em símbolos temos a b a b Por exemplo 37 37 4 Exemplo 9 Mostre que a fórmula ab2a22abb2 é válida em Z Demonstração Vamos usar nossa regra de sinais ab2 ab ab aa ab ba bb Pelas nossas regras de sinais temos abab babaab e bbb 2 Logo ab2 aa ab ba bb a2 abab b2 a22abb2 httpcommonswikimedi aorgwikiFileLeonhard EulerbyHandmannpng SAIBA MAIS Como mencionado por CourantRobbins no texto What is Mathematics levou muito tempo para os matemáticos chegarem à conclusão que a regra de sinais não podia ser demonstrada sem se utilizar das propriedades das operações dos números inteiros Ainda segundo os autores mesmo o grande Euler deu um argumento não convincente que 11 deveria ser igual a 1 Ele argumentou 11 só pode ser 1 ou 1 Como 11 não pode ser 1 então tinha que ser igual a 1 39 Veja a seguir um trecho do livro do Courant sobre o tema regra de sinais CourantRobbins What Is Mathematics Oxford University Press 2nd edition 1996 SÍNTESE Neste Capítulo fizemos uma retomada do Princípio de Indução a fim de explicitar sua importância Em seguida apresentamos os números inteiros e as operações entre eles É importante destacar que a ideia de elementos opostos aa0 juntamente com a preservação das propriedades em Z foi utilizada para as justificativas algébricas de várias somas ab Na parte final foi feita a justificativa teórica da regra de sinais ou seja de que Isso é particularmente útil para que o professor sintase seguro toda vez que for lecionar esta parte da Matemática Não se esqueça de reler os parágrafos que não compreendeu perfeitamente ok No próximo capítulo estudaremos o conjunto dos números racionais e suas propriedades LEITURAS RECOMENDADAS LIMA Elon A Matemática do Ensino Médio vol 1 Rio de Janeiro SBM 2004 BOYER Carl História da Matemática Ed Edgar Blucher São Paulo 1996 SITES INDICADOS Sobre indução httpwwwyoutubecomwatchvxtFqwZuhlZE Sobre aulas de Matemática httpwwwyoutubecomwatchvN1aDTQ87SoM 40 Subtração em IN httpwwwyoutubecomwatchvv2mcfiAfTY4 httpwwwyoutubecomwatchvV5kf1Fl5txs Multiplicação e divisão em IN httpwwwyoutubecomwatchvTSTnYYhq68 HTTPWWWYOUTUBECOMWATCHV40VSGTBEAYQ 41 CAPÍTULO 3 OS NÚMEROS REAIS Vamos continuar nosso estudo sobre os números apresentando mais uma extensão dos nossos conjuntos desta vez para o conjunto dos números racionais e números reais Sabemos que os números inteiros são insuficientes para resolver muitos problemas da Matemática e por isso houve necessidade de criar novos números Por exemplo uma simples divisão de dois objetos por três pessoas revela essa impossibilidade de trabalhar somente com números inteiros trazendo como consequência o nascimento os números fracionários 1 O SURGIMENTO DOS NÚMEROS FRACIONÁRIOS Como dissemos acima desde os primórdios da civilização o homem precisou repartir quantidades seja para dividir um pão entre duas ou três crianças ou para dividir terras entre vários herdeiros Dessa forma a noção de parte ou pedaço de uma grandeza é considerada intuitiva dando origem aos números fracionários que chamamos hoje de números racionais Exemplo 1 Considere o problema de dividir 2 barras iguais por 4 pessoas A B C D de modo que cada uma fique com a mesma quantidade no final da divisão Solução É claro que não há possibilidade de dividir 2 por 4 em IN ou Z A ideia então é dividir partir uma das barras em 4 partes iguais e dar inicialmente uma parte para cada uma das pessoas Depois utilizase o mesmo procedimento para a outra barra ou seja dividea em 4 partes e dáse uma para cada Barras antes da divisão em 4 partes Barras após a divisão em 4 partes 42 Conclusões Após a 1ª divisão cada pessoa ganhou a quarta parte da unidade que representamos por 4 1 Na 2ª divisão ganhou mais 4 1 Logo no final cada uma ficou com 4 1 4 1 Esta última soma é representada pelo símbolo 4 2 Simbolicamente temos 4 2 4 1 4 1 4 1 4 1 4 2 Exemplo 2 Se no problema anterior tivéssemos que dividir 2 barras entre 3 pessoas A B C em cada divisão cada uma levaria a terça parte que representamos matematicamente pelo símbolo 3 1 Logo no final cada uma das pessoas ficaria com 3 2 3 1 3 1 Os Exemplos 1 e 2 tentam justificar e também ilustrar como foram introduzidas novas simbologias na matemática neste caso com os símbolos de números fracionários e suas operações de adição e multiplicação No Egito por exemplo eram largamente utilizadas as frações com numerador igual a 1 tais como 2 1 3 1 5 1 etc Isso talvez tenha sido pela razão que expusemos ou seja para se dividir m objetos por um certo número n de pessoas dividimos inicialmente UM dos objetos entre as n pessoas e depois repetese o processo para os demais objetos Fazendo a divisão dessa forma no final cada uma das pessoas ficará com m vezes a quantidade n 1 o que dá origem ao número n m Resumindo A resposta da divisão de m objetos por n pessoas nos dá a seguinte expressão matemática em linguagem moderna n m n 1 n 1 n 1 n 1 n m m vezes n 1 Neste sentido uma fração n m é encarada como uma divisão de m por n 43 2 O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS E OPERAÇÕES Hoje sabemos que os números fracionários são os elementos do chamado conjunto dos números racionais Este nome é claro não sugere que estes números sejam seres pensantes e sim pelo fato que eles são razões quocientes entre dois números inteiros Inclusive esse foi o objetivo do parágrafo anterior ou seja o de apresentar um número racional n m como o resultado da divisão de m pelo número n Com os avanços da álgebra ao longo dos tempos a Matemática reinventou os números fracionários dando a eles um caráter mais formal principalmente nos Sec VIII XIX e XX No caso dos números fracionários foram incorporados a eles os opostos desses números formando o conjunto Q como mostra a definição abaixo Definição 1 Um número x é chamado de racional se ele pode ser escrito na forma q p onde p q são números inteiros e q 0 O conjunto 0 Z e q q pq p Q é chamado do conjunto dos números racionais Como vimos acima o conjunto Q é formado por símbolos q p com a restrição que p e q sejam números inteiros e ainda q 0 É necessário agora definir o modo como esses novos números se relacionam pela adição multiplicação e pelas operações inversas subtração e divisão Antes disso devemos estabelecer claramente a igualdade entre dois números racionais Para isso não devemos esquecer nosso aspecto intuitivo onde já vimos que o número 4 2 representa a mesma coisa que 2 1 O mesmo acontece com 8 4 Definição 2 Dois números racionais b a e d c são ditos equivalentes ou iguais se adbc Simbolicamente escrevemos bc ad d c b a 44 Exemplo 3 frações equivalentes Temos que 6 4 3 2 pois 2634 Analogamente para qualquer valor de c 0 temos bc ac b a Com a noção de igualdade de números racionais podemos definir sem problemas ou seja de modo preciso as operações em Q veja abaixo Definição 3 As operações de adição e multiplicação em Q são definidas da seguinte forma bd bd ac d c b a e bd ac d c b a Exemplo 4 De acordo com nossas definições 6 7 12 14 12 3 3 2 4 4 3 3 2 Analogamente 12 11 24 22 24 1 4 3 6 6 1 4 3 Também 2 1 12 6 4 3 3 2 A definição dada para o conjunto Q não significa que um número é racional somente quando ele estiver na forma q p e sim quando ele puder ser colocado na forma q p Leia com atenção os exemplos a seguir Exemplo 5 Os números 5 2 6 7 12 25 são trivialmente números racionais pois estão escritos no formato q p Mas existem números que não têm essa forma mas mesmo assim são racionais como mostra o exemplo a seguir Exemplo 6 O número 3 é racional E o número 5 é racional A resposta em princípio deveria ser não pois esses números não estão no formato q p Mas interpretando fração como uma divisão temos 1 3 1 3 3 Logo podemos considerar que 3 Q Analogamente como 1 5 1 5 5 temos que 5 Q Exemplo 7 Como veremos com mais detalhes logo a seguir os números decimais x23 e y345 são também elementos do conjunto Q 45 De fato de acordo com as definições de número decimal e de adição de frações temos 10 23 10 3 10 20 10 3 2 30 2 32 x 100 345 100 5 100 40 100 300 100 5 10 4 3 005 0 4 3 3 45 y Observação As igualdades 10 3 2 30 2 32 são decorrentes da representação de um número xna1a2a3 na base 10 de modo análogo ao que fizemos na Aula 1 mais precisamente 3 3 2 2 1 3 1 2 10 a 10 a 10 a n n a a a onde n é a parte inteira do número x Veja o parágrafo a seguir 3 REPRESENTAÇÃO DECIMAL DE UM NÚMERO RACIONAL DÍZIMAS No parágrafo anterior vimos alguns exemplos que estabelecem vínculos entre números do tipo na1a2a3ak com os números racionais assim como 100 345 3 45 Na realidade tratase apenas da definição de número decimal Definição 4 Chamaremos de representação decimal finita ou de 1ª espécie a uma expressão do tipo na1a2a3 ak onde n é um número natural e a1 a2 ak são algarismos entre 0 e 9 inclusive O número n é chamado de parte inteira O significado preciso dessa expressão é dado pela soma de frações k k 2 2 1 k 1 2 10 a 10 a 10 a n n a a a Exemplo 8 O número decimal 34 256 tem parte inteira 34 Seu significado preciso é 3 2 1 0 6 10 5 10 2 10 4 10 3 10 34256 ou seja 1000 6 100 5 10 2 4 10 3 10 4 2 56 3 0 Como sabemos este número deve ser lido como 34 inteiros 2 décimos 5 centésimos e 6 milésimos ou ainda 34 inteiros e 256 milésimos 46 Como consequência direta da Definição 4 temos Proposição 1 Todo expressão decimal finita é um elemento do conjunto Q ou seja é um número racional Demonstração Como já vimos o número decimal 34 256 pode ser escrito como 1000 6 100 5 10 2 4 10 3 10 4 2 56 3 0 uma soma de frações Logo usando nossa definição de adição temos 1000 34256 1000 256 34 1000 6 100 5 10 2 34 4 2 56 3 Q No caso geral temos k k 2 1 k k k 2 2 1 k 1 2 10 a a a n 10 10 a 10 a 10 a n n a a a Q Observe que a recíproca da Proposição 1 não é verdadeira isto é nem todo número racional pode ser representado por um número decimal de 1ª espécie Nossa intenção agora é estender a representação decimal admitindo representações que contenham um número infinito de dígitos Exemplo 9 O número 4 3 pode ser escrito como 100 75 4 25 3 25 4 3 Logo 0 75 100 5 10 7 0 100 5 100 70 100 75 4 3 Logo o número racional 4 3 pode ser representado por um número decimal de 1ª espécie Analogamente 175 100 5 10 7 1 100 5 100 70 100 100 100 175 20 5 35 5 20 35 Logo a fração 20 35 é representável por um número decimal de 1ª espécie Como já foi estudado no Ensino Fundamental esses exemplos de representação de uma fração q p como um número decimal são fáceis pois o denominador q só tem divisores 2 ou 5 Se o denominador q possuir algum fator diferente de 2 ou 5 a expansão decimal é necessariamente infinita Exemplo 10 O número 49 tem denominador 93² Como podemos escrever essa fração na forma decimal Esse processo é chamado de divisões sucessivas e é descrito a seguir Começamos tentando dividir 9 pelo número 9 o que não é possível Mas podemos escrever o seguinte Dessa forma temos que 49 3604 4 04 x 9 04 Segue da igualdade que 49 04x9 049 04 049 Tendo em vista a expressão repetimos o processo de divisão agora para o número 04 Logo encontramos 04 004 x 9 004 Substituindo em vem 49 04 004x9 0049 04 004 0049 044 0049 Analogamente como 004 0004 x 9 0004 temos 49 044 0049 044 0004 00049 0444 00049 Como este processo não termina e os termos restantes são sempre do mesmo tipo dizemos neste caso que 49 044444444 onde o algarismo 4 está escrito um número infinito de vezes Esta representação 0444 é chamada de uma dízima periódica ou número decimal de 2ª espécie Exemplo 11 O número racional 13 é escrito na forma decimal como 0333 De fato como no caso anterior dividimos o número 1 por 3 obtendo o resultado Dessa forma temos que 13 0103 1 03 x 3 01 13 03x3 013 03 013 Tendo em vista a expressão repetimos o processo e encontramos 01 001 x 3 001 Substituindo em vem 13 03 003x9 0013 03 003 0013 033 0013 e assim por diante em um processo infinito 13 033 0013 0333 00013 03333 000013 Devido à regularidade da expansão escrevemos 13 033333 Definição 5 Chamaremos de expressão decimal infinita ou de 2ª espécie ou dízima periódica a uma expressão do tipo na₁a₂ak a₁a₂ak a₁a₂ak onde n é um número natural e a₁ a₂ ak são algarismos entre 0 e 9 inclusive O número n é chamado de parte inteira e o bloco a₁a₂ak é chamado de parte periódica Exemplo 12 As expressões 25 343434 138 245245245 são de decimais de 2ª espécie ou seja são dízimas periódicas Elas podem também ser escritas sob forma de fração utilizando um artifício algébrico ou por meio de soma de uma série geométrica De fato chamando de x25343434 temos 100x2534343434 Subtraindo a segunda expressão da primeira temos 100xx2534 343434 25343434 253425 2509 Daí 99x 2509 ou seja 25343434 250999 Exemplo 13 Não parece mas é verdade 099999 1 Note que 09991 e 09999 1 mas nessa notação infinita 0999 é mais uma maneira de escrever simbolizar denotar o número 1 49 De fato se x0999999 então 10x999999 Subtraindo membro a membro temos 9x9 ou seja x1 cqd Obs O número 1 pode ser escrito também como etc 3 2 2 3 3 3 4 0 Exemplo 14 Como já dissemos o processo que descrevemos nos Exemplos 8 e 9 é chamado processo de divisões sucessivas e é utilizado largamente para se transformar uma fração q p em um número decimal Quando o denominador q só tem fatores primos 2 e 5 o número decimal correspondente tem um número finito de casas decimais de 1ª espécie Caso q possua algum fator primo diferente de 2 ou 5 a fração q p necessariamente terá uma representação decimal como uma dízima periódica decimal de 2ª espécie Casos particulares 60 10 6 5 3 175 100 175 4 7 Ou ainda 175 075 1 4 3 1 4 3 4 4 7 0 363636 99 36 11 4 Podemos agora reunir o resultado da Proposição 1 com a sua recíproca e obter outra caracterização dos números racionais Proposição 2 Toda expressão decimal de 1ª ou 2ª espécie é um elemento pertencente a Q Também todo elemento de Q pode ser representado por uma expressão decimal finita ou infinita 4 EXISTÊNCIA DE NÚMEROS QUE NÃO SÃO RACIONAIS Como vimos um número racional é aquele que pode ser escrito na forma q p com p q inteiros e q 0 Quando uma grandeza x não puder ser escrita nessa forma q p diremos que x é um número irracional De acordo com a Proposição 2 os números racionais são exatamente aqueles que possuem representação periódica finita ou infinita Consequentemente expressões que não sejam periódicas não representam números racionais Exemplo 15 Os seguintes números são números irracionais a 0101001000100001000001 b 3205205520555205555 c 12212232224225226227 d 40102030405060708 Pelo visto no Exemplo podemos listar infinitos números que não são racionais o que significa que o conjunto dos números irracionais é infinito Exemplo 16 Este é um exemplo importante de um número concretizável mas que não é racional Tratase do comprimento da diagonal de um quadrado de lado 1 Se chamarmos de x o comprimento da diagonal do quadrado unitário então pelo Teorema de Pitágoras temos x² 1² 1² ou melhor x² 2 Já é por demais conhecido que o número x tal que x² 2 e denominado por 2 NÃO é racional Mas como a maioria dos textos do Ensino Médio não justifica essa afirmação vamos repetir o argumento de Euclides Proposição 3 Não existe fração pq tal que pq² 2 Em outras palavras o número x tal que x²2 não é racional Demonstração Antes de iniciar gostaríamos de lembrar que toda fração pq pode ser colocada na sua forma irredutível ou melhor o numerador p e denominador q não possuem fatores primos comuns Por exemplo 1216 68 34 3549 57 18129632 etc Dessa forma vamos por absurdo supor que exista fração irredutível pq tal que pq² 2 Daí p²q²2 ou seja p²2q² ① 52 Exemplo 17 A partir do número 2 podemos listar infinitos números que não são racionais Por exemplo 2 1 2 2 2 3 2 5 3 2 2 etc Esses números não podem ser racionais pela razão seguinte veja Proposição 4 A soma de um número irracional com um número racional é sempre um número irracional A demonstração é simples e decorre do fechamento da operação de adição no conjunto Q Sejam α Q e b a Q Suponhamos por absurdo que b α a seja um número racional d c Logo de d c b α a ficamos com bd ad bc b a d c α Como a b c d são inteiros temos que bcad e bd são também inteiros Com isso chegamos à conclusão que α Q uma contradição Exemplo 18 Outros exemplos de números irracionais são 3 5 5 2 π31415926535897932 e2718281828459045 log2 5 dentre outros Retrato de Leonhard Euler autoria de J G Brucker httpptwikipediaorgwikiFicheiroLeonhard Euler2jpg SAIBA MAIS O Número de Euler Na matemática o número de Euler assim chamado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler é a base dos logaritmos naturais A primeira referência à esse número foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier No entanto este não contém a constante propriamente dita mas apenas uma simples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta A primeira indicação da constante foi descoberta por Jakob Bernoulli quando tentava encontrar um valor para a seguinte expressão n n n 1 il m 1 e muito comum no cálculo de juros compostos Origem Wikipédia a enciclopédia livre Como p² tem um fator 2 p² é um número par Logo p também é par Substituindo p2k na equação ① temos ① 2k²2q² ou seja 4k²2q² ou ainda q²2k² ② Como q² tem um fator 2 q² é um número par Logo q também é par As conclusões p é par em e q é par em estão em contradição com o fato da fração pq ser irredutível Logo essa fração NÃO pode existir É fato que se o quadrado de um número é par então ele é par Exemplo 64 8² 8 é par Observação Segundo historiadores a irracionalidade da diagonal do quadrado unitário foi originalmente descoberta pelos pitagóricos Apesar de que para os pitagóricos os números eram a essência de todos os fenômenos do universo eles demonstraram para sua decepção que esta grandeza não era um número Isto representou na época uma grande crise na Matemática levandoa para um terreno onde a Geometria preponderava sobre a Aritmética Um problema não solucionado na época de Pitágoras era determinar as relações entre os lados de um triângulo retângulo Pitágoras provou que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa Detail of The School of Athens by Raffaello Sanzio 1509 showing Pythagoras httpptwikipediaorgwikiflcheiro Sanzio01Pythagorasjpg O primeiro número irracional a ser descoberto foi a raiz quadrada do número 2 que surgiu exatamente da aplicação do teorema de Pitágoras em um triângulo de catetos valendo 1 x²1²1² x²2 Os gregos não conheciam o símbolo da raiz quadrada e diziam simplesmente o número que multiplicado por si mesmo é 2 A partir da descoberta da raiz de 2 foram descobertos muitos outros números irracionais httpptwikipediaorgwikiPitágoras 53 Exemplo 19 O Número Áureo 2 5 ϕ 1 A razão áurea entre dois segmentos é definida algebricamente como o número b a a b a ϕ A equação b ϕ a nos dá que abϕ Substituindo na fração a a b temos ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ b 1 b b b b Cancelando b temos ϕ ϕ ϕ 1 ou ainda ϕ2 ϕ 1 Resolvendo a equação ϕ 2 ϕ 1 0 chegamos ao número áureo 2 5 1 2 4 1 1 ϕ Como ϕ é positivo temos 161803 2 5 1 ϕ Saiba um pouco mais sobre o número áureo nos links abaixo httpwwwyoutubecomwatchvw2NqqfHM98 httpwwwyoutubecomwatchvroE1zb35kPU 5 O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS Por definição o conjunto dos números reais IR é formado pela reunião dos números racionais com os números irracionais Assim IRQI é a união de dois conjuntos infinitos Por outro lado vimos na Proposição 4 que dado qualquer irracional α os números da forma b α a são irracionais o que indica que temos para cada irracional α tantos irracionais quanto racionais Isso indica embora não demonstre que existem muito mais números irracionais que racionais Porém no Sec XIX George Cantor demonstrou usando um método que hoje é conhecido como método da diagonal de Cantor que o conjunto Q pode ser 54 enumerado ou seja colocado na forma de uma lista indexada do tipo Qx1x2x3 Cantor demonstrou também que existem conjuntos que não podem ser enumerados e em particular mostrou que o conjunto IR não é enumerável Como conseqüência deduzimos que o conjunto dos números irracionais I não é enumerável httpptwikipediaorgwikiGeorgCantor VOCÊ SABIA George Ferdinand Ludwig Philipp Cantor 18451918 foi um matemático russo de origem alemã conhecido por ter criado a moderna Teoria dos conjuntos Cantor provou que os conjuntos infinitos não têm todos a mesma potência potência significando tamanho Fez a distinção entre conjuntos enumeráveis em inglês chamam se countable que se podem contar e conjuntos contínuos ou nãoenumeráveis Provou que o conjunto dos números racionais Q é enumerável enquanto que o conjunto dos números reais IR é contínuo logo maior que o anterior Na demonstração foi utilizado o célebre argumento da diagonal de Cantor ou método diagonal Para ficar mais clara nossa intenção leia com atenção a definição a seguir Definição 6 Dizemos que um conjunto X é enumerável se X for finito ou então X puder ser colocado em correspondência biunívoca com o conjunto dos números naturais IN1 2 3 4 5 ou com o conjunto IN Exemplo 20 Os conjuntos X13 5 8 13 e Yx Z x215 são enumeráveis pois são conjuntos finitos Exemplo 21 Os conjuntos dos números pares P02 4 6 e dos números ímpares I1 3 5 7 são infinitos e enumeráveis De fato no primeiro caso a função fn2n nos dá uma bijeção de IN em P No segundo caso gn2n1 é uma bijeção entre IN em I Exemplo 22 O conjunto dos números inteiros Z 3 2 1 0 1 2 3 é também enumerável Demonstração Temos que encontrar uma bijeção f IN Z e essa tarefa não é tão difícil veja 55 Os números naturais são divididos em duas classes números pares e números impares Note que quando dividimos os números pares 0246810 pelo número 2 obtemos todos os números naturais 012345 Logo somente com os números pares já conseguimos cobrir todos os números naturais bastando dividilos por 2 Como ainda temos os números ímpares x1 3 5 7 à disposição podemos levá los nos números negativos tomando o oposto de 2 1 x como na tabela 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 fx éuma bijeção deIN em Z se x é ímpar 2 1 x se x épar 2 x Z f x sumin do f IN Re Exemplo 23 O conjunto Q é enumerável ou seja existe uma bijeção entre IN e o conjunto Q Por outro lado o conjunto IR não é enumerável A demonstração desse fato é feita utilizando o quadro abaixo httpcommonswikimediaorgwikiFileDiagonal argumentsvg Uma das maneiras de enumerar o conjunto Q é começar com os racionais positivos Na 1ª linha de uma tabela infinita colocamos todas as frações com numerador igual a 1 Na 2ª linha colocamos todas as frações com numerador igual a 2 na 3ª linha as frações com numerador 3 e assim por diante Dessa forma seguindo as setas da tabela e eliminando os termos repetidos conseguimos enumerar os elementos positivos de Q De modo análogo enumeramos os números racionais negativos Como QQ Q mostramos facilmente que podemos também enumerar Q 56 A prova de que IR não é um conjunto enumerável segue um raciocínio semelhante ao exposto acima e pode ser encontrado em textos mais avançados de análise matemática SAIBA MAIS SAIBA MAIS Você já ouviu falar em números transcendentes Pois é um número transcendente é aquele que não é algébrico Mas o que é um número algébrico Essa é uma nova classificação dos números reais divididos em algébricos e transcendentes Para entender melhor sobre números algébricos e transcendentes procure na internet ou o site httpwwweducfculpticmicm99icm17categorihtm Neste Capítulo foram introduzidos os números racionais com suas operações como aqueles que podem ser escritos como quocientes entre dois números inteiros Além disso caracterizamos um número racional como aqueles que se escrevem na forma decimal finita ou infinita desde que esta seja periódica Definimos o conjunto dos números reais como IR QI e fizemos a comparação entre eles Vimos que apesar de serem ambos conjuntos infinitos um deles é enumerável mas o outro não é fato este atribuído a Cantor No próximo Capítulo detalharemos melhor a estrutura algébrica do conjunto dos números reais ou seja veremos com mais atenção as propriedades do conjunto dos números reais LEITURAS RECOMENDADAS LIMA Elon A Matemática do Ensino Médio vol 1 Rio de Janeiro SBM 2004 BOYER Carl História da Matemática Ed Edgar Blucher São Paulo 1996 SITES INDICADOS O número áureo httpwwwyoutubecomwatchvSUSyRUkFKHY httpwwwyoutubecomwatchvroE1zb35kPU Números irracionais httpptwikipediaorgwikiNC3BAmeroirracional Diagonal de Cantor httpptwikipediaorgwikiGeorgCantor 57 CAPÍTULO 4 OS NÚMEROS REAIS COMO UM CORPO Neste capítulo veremos as operações definidas em IR e suas propriedades básicas e demonstraremos algumas outras que em geral não são apresentadas nos textos de Ensino Médio Como exemplo citamos a conhecida igualdade x00 xIR Esta propriedade óbvia para alguns mas que para um leitor mais atento não é tão evidente assim é conseqüência da propriedade distributiva Da mesma forma a igualdade 3 2 2 3 pode ser demonstrada com o uso propriedade distributiva A parte final desse capítulo é dedicada a mostrar como operar com números reais do tipo w y e z x como se fossem números racionais 1 OS NÚMEROS REAIS COMO UM CORPO Já definimos as operações de adição e multiplicação de números racionais no capítulo anterior Mesmo assim recordaremos estas definições a seguir Definição 1 As operações de adição e multiplicação em Q são definidas da seguinte forma bd bc ad d c b a e bd ac d c b a Essas operações e têm várias propriedades interessantes e úteis veja Proposição 1 Se x y z são números racionais quaisquer então 1 xyz xyz Associativa 2 xyyx Comutativa 3 x 0 x Existência de elemento neutro 4 xQ y Q tal que xy0 Existência do oposto x de cada elemento 5 xyz xy z 6 x y y x 7 x 1 x 8 x 0 zQ tal que x z 1 Existência do inverso x1 de cada elemento 9 xy z xy xz Distributiva Em Matemática dizemos que o conjunto Q munido dessas operações e e mais suas propriedades é um corpo 59 Exemplo 3 O conjunto Z dos números inteiros não tem a estrutura de um corpo Todas as propriedades listadas são válidas em Z com exceção da existência do inverso multiplicativo Em Matemática dizemos que Z é um anel comutativo Exemplo 4 O conjunto das matrizes M2x2 também não tem a estrutura de um corpo Neste caso há falta da comutatividade do produto e também a existência do inverso multiplicativo para todos seus elementos Em Matemática dizemos que M2x2 é um anel não comutativo Voltemos nossa atenção ao conjunto IRQI O que devemos esperar dele Afinal ao conjunto Q acrescentamos os números irracionais ou seja os decimais não periódicos Pois bem os matemáticos fizeram uma construção formal do conjunto dos números reais onde as operações de adição e multiplicação satisfazem todas as 9 propriedades mencionadas acima para o conjunto Q Dessa forma assim como somamos e multiplicamos números racionais é possível também somar e multiplicar quaisquer dois números reais Além disso o conjunto IR terá todas as propriedades listadas para o conjunto Q Resumindo No conjunto IR dos números reais estão definidas duas operações adição e multiplicação que gozam das seguintes propriedades Dados quaisquer x y z IR temse 1 xyz xyz Associatividade da adição 2 xyyx Comutatividade da adição 3 x 0 x Existência de elemento neutro da adição 4 xIR y IR tal que xy0 Existência do oposto x de cada elemento 5 xyz xy z Associatividade da multiplicação 6 x y y x Comutatividade da multiplicação 7 x 1 x Existência de elemento neutro da multiplicação 8 x 0 zIR tal que x z 1 Existência do inverso x1 de cada elemento x0 9 xy z xy xz Distributividade Mais formalmente dizemos que Q é um corpo Em espanhol a estrutura algébrica de corpo se chama campo Em inglês é utilizada a palavra field que se traduz na língua Portuguesa também como campo Todas as propriedades das operações podem ser demonstradas através das definições que demos A título de ilustração proveremos a propriedade distributiva Demonstração da Propriedade Distributiva x ab y cd z ef elementos quaisquer de Q Daí temos x y z ab cd ef def de soma ab cfdf dedf def de produto a cf debdf acf adebdf ① x y x z ab cd ab ef acbd aebf acbf aebdbdbf bacf adebbdf acf adebdf ② Comparando ① e ② temos que xy z xy xz cqd Observe que as propriedades citadas nos dizem que podemos efetuar as operações de adição e multiplicação em qualquer ordem e mais ainda trocando a posição dos elementos de uma adição ou multiplicação Veja como isso facilita alguns cálculos mentais Exemplo 1 Calcular a 2348 1762 b 25 17 4 Solução Pela propriedade associativa e comutativa temos a 2348 1762 2317 4862 40110150 b 25 17 4 25 4 17 100 17 170 Exemplo 2 Calcular a 25 22 b 23 19 c 23² sem uso de calculadora Solução Pela propriedade distributiva temos a 25 2125 20150025525 b 23 1923 20146023 437 c 23² 203²4001209529 60 SAIBA MAIS Segundo relatos históricos o conceito de corpo foi utilizado implicitamente por Abel 18021829 e Galois 18111832 no Sec XIX na busca pela solubilidade de equações Galois é inclusive considerado como o primeiro a relacionar a teoria de grupos com a teoria de corpos O termo field foi utilizado por R Dedekind em 1871 para significar um conjunto de números reais ou complexos que satisfazem várias propriedades H Weber em 1893 deu a primeira definição clara de um corpo abstrato Leia mais sobre Galois Abel Dedekind e Weber em httpptwikipediaorgwikiC389varisteGalois httpwwwnoruegaorgpteducationresearchAbelprisen2008sphtm httpptwikipediaorgwikiRichardDedekind httpbooksgooglecombooksidudj 1UuaOiICpgPA71lpgPA71dqweberdefinitionoffieldsourceblotsi4cgcbxQSsig DEt1LJmF7MAw09NaRNK24bMXohlpt BReiGEAfSoqlL5bhtgfkpoHtAwsaXoibookresultctresultresnum5 2 PROPRIEDADES ADICIONAIS DO CORPO DOS NÚMEROS REAIS As propriedades chamadas adicionais são aquelas que não se encontram listadas de 1 até 9 anteriormente citadas Ou seja tudo aquilo que seja diferente do que está listado deveria ser demonstrado utilizando as propriedades anteriores e algumas verdades já estabelecidas pela Matemática Esse procedimento é muito usual de uma teoria matemática como em Geometria por exemplo onde temos os axiomas básicos e logo após os resultados que decorrem desses axiomas formando uma grande arvore dessa teoria 61 Figura do autor A árvore de uma teoria é composta pelos conceitos primitivos pelos axiomas básicos que são as regras aceitas sem demonstração as definições proposições decorrentes etc No nosso caso os conceitos primitivos são conjunto relação de pertinência e os axiomas são as propriedades das operações com os números reais As demais verdades devem ser comprovadas através de argumentos lógicos Vamos começar nossa pesquisa com três propriedades muito conhecidas Proposição 2 Sejam x y IR quaisquer Então i xy 2x 2 2xyy 2 ii xy3x3 3x2y3xy2 y3 iii x 0 0 x 0 Demonstrações i xy 2 xy xy xyx xyyx 2yxxyy 2 Até agora usamos a propriedade distributiva mas ainda não a comutativa e associativa Por essas propriedades temos xy 2 x 2yxxyy 2 x 2xyxyy 2 x 22xyy 2 cqd A propriedade ii tem demonstração análoga e fica como exercício xy 3 xy xy 2 xy x 2 2xyy 2 iii Antes de demonstrar essa propriedade devemos fazer alguns comentários iniciais É muito fácil demonstrar que 30 0 pois isso significa 3 vezes o número 0 Ou seja 30 0000 simples assim Da mesma forma se n é um número positivo qualquer temos n0 00000 Quando temos 05 zero vezes o número 5 podemos utilizar a propriedade comutativa ou seja 0550000000 62 Para números racionais positivos a situação é a mesma fica fácil de compreender que 3 0 2 é igual a zero Afinal o número 3 2 representa a parte de um todo que no caso é o número zero Dessa forma podemos aceitar facilmente que 0 3 0 2 Quando a fração é imprópria podemos fazer um pequeno truque Por exemplo 0 0 0 4 0 3 1 0 4 0 3 4 4 4 0 7 Por outro lado as sentenças 20 e 2 0 não têm um significado concreto ou seja não faz muito sentido prático dizer 3 vezes o número 0 ou 2 vezes o número 0 Não é estranho ouvir 15 vezes o número zero Por essa razão é que precisamos PROVAR que 0 2 0 entre outros casos menos palpáveis Vamos ver 1ª Demonstração Usaremos para isso um pequeno truque ao escrever que 000 Daí temos 2 0 2 0 0 2 0 2 0 distributiva Ficamos então com 2 0 2 0 2 0 Somando o oposto de 2 0 a ambos os membros temos 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 0 2 0 2 0 2 0 Ou seja 0 2 0 como queríamos Caso Geral x 0 x 0 0 x 0 x 0 distributiva Ficamos então com x 0 x 0 x 0 Somando o oposto de x0 a ambos os membros temos x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 Ou seja 0 x 0 como queríamos 2ª Demonstração x 0 x x 0 x 1 0 x 1 x 1 x distributiva Ficamos então com x x 0 x 63 Cancelando x em ambos os membros ficamos com 0 x 0 cqd As famosas regras de sinais para a multiplicação já provadas em Z também são válidas para os números reais Isso está refletido no seguinte resultado Proposição 3 Sejam x y quaisquer dois números reais Então i x yxy ii x yxy iii x yxy Essas igualdades já foram provadas para elementos do conjunto Z no Capítulo 2 A novidade aqui é que elas também são válidas para os números reais Por exemplo 3 2 2 3 π π 3 3 e assim por diante Demonstração Vamos ver o caso particular primeiro para não parecer difícil SAIBA MAIS Matemática tem certas coisas que precisamos entender ler melhor de modo mais atento Somente dessa forma poderemos compreender as demonstrações da Matemática Por exemplo quando escrevemos em Matemática x estamos nos referindo ao oposto do número A ou seja ao número que somado com A é igual a zero O número 8 por exemplo é aquele que somado com 8 é zero 880 Ok vamos retomar nossa questão agora com essa perspectiva Temos que provar que 3 2 2 3 ou seja que o 1º membro 2 3 é o oposto do 2º membro que é 3 2 Ora números opostos são aqueles que têm soma igual a zero Logo o que se precisa constatar é que 3 2 2 3 é igual à zero Veja como fica fácil agora 0 2 0 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2 3 cqd No caso geral temos x y xy x y y x 00 Logo x y é o oposto de xy como queríamos 64 A prova do item ii é análoga veja x y xy xx y 0 y 0 Logo x y também é o oposto de xy Demonstração de iii Note que a situação agora é diferente não se trata de comprovar que dois números são opostos e sim de provar que dois números são iguais Uma maneira de provar que dois números são iguais é mostrar que a diferença entre eles é igual a zero ou seja AB AB0 Vamos ver agora como fica x y x y xy x y xy x y prop ii Colocando x em evidência propriedade distributiva vem 0 x 0 y x y xy x y Logo como a diferença entre eles foi igual a zero esses números são iguais ou seja xy x y Exemplo 5 Com a regra de sinais podemos provar que xy 2x 22xyy 2 entre outras propriedades Dem xy 2 xy xy x 2 xy yxy 2 x 2xyxyy 2 x 22xyy 2 SAIBA MAIS As demonstrações das regras de sinais fogem um pouco dos objetivos do ensino de Matemática nos níveis mais elementares como na 7ª ano do Ensino Básico A grande maioria dos livros didáticos age estrategicamente assumindo que as regras de sinais são conhecidas do conjunto Z e por isso valem também para o conjunto dos números reais Creio que poderia haver pelo menos uma referência que estas regras de sinais são demonstráveis através da propriedade distributiva ao invés de iludir o leitor usando essa falsa indução A operação de subtração em Z é definida utilizando o conceito de elemento oposto pela seguinte regra ab ab Logo 7 15 7 15 8 como é fácil constatar No caso de frações ou números reais temos a mesma definição para subtração ou seja definimos x y x y A propriedade xyxy não é como se pensa decorrência da regra de sinais embora possa ser pensada assim Na verdade essa simples propriedade é decorrência da definição de elemento oposto De fato usando a propriedade comutativa e associativa temos xy xy xx yy 000 Conclusão xy é o oposto de xy ou seja xyxy 65 3 OPERANDO COM INVERSOS EM IR Já falamos da subtração de dois números x y IR e vamos destacar agora a divisão Sabemos que a divisão em Z nem sempre é possível como em 2 3 Somente nos corpos dos números racionais ou reais estas operações podem ser definidas A única restrição natural é a divisão de um número por zero Nesta seção iremos apresentar a maneira de operar com inversos de números reais e mostrar a semelhança existente entre esses cálculos com aqueles realizados com as frações Recordemos que as operações de adição e multiplicação em Q são definidas da seguinte forma bd bd ac d c b a bd ac d c b a O que significa então b a em IR Lembre que uma fração 4 3 é pensada como a divisão de 3 pelo número 4 ou seja 3 4 1 4 3 1 4 3 Mais geralmente uma fração pode ser escrita como a b 1 b a 1 b a Dessa maneira dados x y IR escreveremos por definição x y 1 y x Esta é uma simples notação cômoda pois se assemelha com a notação utilizada para as frações b a A diferença agora é que o numerador e denominador podem ser números reais Exemplos etc 1 2 3 5 5 3 1 2 3 Veja na Proposição a seguir que o curioso disso tudo é que a maneira de operar com esses novos símbolos é igual àquela maneira que operamos com as frações Este é mais um exemplo de como a Matemática estende os conceitos algébricos de modo a preservar as estruturas anteriores o que a torna esteticamente bela Proposição 4 Sejam x y z w números reais com y w 0 Então i yw yz xw w z y x ii xy zw xzyw Demonstração Vamos fazer o item ii primeiro que é mais simples Note que xy x y¹ e zw z w¹ e também xzyw xzyw¹ Logo xy zw x y¹z w¹ Usando a propriedade comutativa e associativa temos xy zw x y¹z w¹ x zy¹ w¹ x zy w¹ xzyw cqd Para demonstrar o item i precisamos de mais um pouco de trabalho Queremos provar que xy zw xw yzyw não é isso Ora xy zw x y¹ z w¹ ① Também xw yzyw xw yz yw¹ ② Partiremos de ② para chegar até ① usando as propriedades já vistas xw yzyw xw yz yw¹ xw yz y¹w¹ xw y¹w¹ yzy¹w¹ Usamos até agora a propriedade distributiva e o fato que x y¹ x¹ y¹ Agora usando a comutatividade e associatividade temos xw yzyw xw y¹w¹ yzy¹w¹ xy¹ ww¹ zw¹yy¹ Como ww¹ 1 e yy¹ 1 ficamos com xw yzyw xy¹ ww¹ zw¹yy¹ xy¹ zw¹ xy zw cqd Exemplo 6 Pela Proposição 4 temos 32 35 3352 e 32 35 15 652 Observações Na prova da Proposição 4 utilizamos que o inverso do produto xy é igual ao produto dos inversos de x e y e que se escreve assim xy¹ x¹ y¹ 67 A prova disso é simples veja xyx1 y1 x x1 y y1111 Logo x 1 y 1 é o inverso de xy Um leitor mais atento só um matemático pensaria nisso pode argumentar o seguinte E o oposto de cada elemento é único Ou seja um número pode ter dois opostos O inverso de um elemento x 0 também é único Como concluir então que x 1 y 1 é o inverso de de xy Para esses exigentes leitores deixamos essas duas questões como exercício SÍNTESE Neste capítulo apresentamos Q e IR como corpos ou seja como conjuntos que possuem muitas propriedades interessantes e úteis Vimos a extensão da regra de sinais para o conjunto dos números reais bem como a operações de adição e multiplicação de símbolos do tipo y x Nossa próxima etapa será colocar uma ordem em IR assim como já fazemos e escrevemos por exemplo 31 no conjunto Z Até lá VOCÊ SABIA Nem toda matriz 2x2 possui inversa Mesmo assim quando duas matrizes são inversíveis não é verdade que AB1 A1B1 O que se pode provar é que AB 1 B 1A 1 Você é capaz de fazer isso LEITURAS RECOMENDADAS 1 LIMA Elon Análise Real vol 1 Soc Bras Matemática Rio de Janeiro 2008 2 BOYER Carl História da Matemática Ed Edgar Blucher São Paulo 1996 SITES INDICADOS Números reais httpptwikipediaorgwikiNC3BAmeroreal Cortes de Dedekind construção dos números reais httpptwikipediaorgwikiCortesdeDedekind httpwwwmatufrgsbrppgemdissertacoesapresentacaodaianeboff12012007pdf 68 CAPÍTULO 5 ORDEM E COMPLETUDE DOS NÚMEROS REAIS Na 1ª parte deste capítulo você vai redescobrir a definição de ordem no conjunto IR de modo análogo a que fizemos no conjunto Z Dessa forma teremos que IR é um corpo ordenado O importante neste item será estabelecer o que chamamos de elementos positivos em IR O objetivo da 2ª parte desse capítulo será o de apresentar os números reais como um corpo ordenado completo Um recado nada é tão difícil quando se lê com calma e atenção revendo os pontos onde temos dúvidas e buscando ajuda quando necessário Pense nisso 1 OS NÚMEROS INTEIROS POSITIVOS Diremos que um número inteiro é positivo quando ele for um número natural não nulo Assim o conjunto dos elementos positivos de Z é IN 1 2 3 4 5 O conjunto Z é naturalmente ordenável seguindo a lógica da posição dos números na reta orientada Dessa formatemos 4 3 2 1 0 1 2 3 0 1 2 3 1 2 3 Portanto uma definição geométrica para a ordem em Z é dizer que a b quando a está situado à esquerda de b na reta orientada Por exemplo 5 4 e também 12 9 Obviamente para números facilmente comparáveis como esses a definição dada é satisfatória Mas para números muito grandes fica mais difícil como mostra o exemplo a seguir Exemplo 1 Compare os seguintes números inteiros a300236849934299894320017286474770711230845290042104100030245 b300236849934299860010013970711230821230845290042104100030245 Tendo em vista essas dificuldades em localizar os números na reta orientada daremos uma definição de ordem mais algébrica que utiliza as operações em Z Definição 1 Dados dois números a b Z Dizemos que a b lêse a menor que b se a diferença ba é um número positivo ou seja ba IN 69 Exemplo 2 i 3 7 não só porque 3 está à esquerda de 7 mas também porque algebricamente 734 e o número 4 é um número positivo Da mesma forma temos ii 2 4 pois 4 2 6 que é um número positivo iii 5 3 pois 3 5 35 2 que é um número positivo iv Analogamente 3 0 pois 03 3 é positivo Nosso objetivo agora é estender ou seja fazer uma extensão generalizar o conceito de ordem para os números racionais e também para os números reais 2 AS FRAÇÕES POSITIVAS E A ORDEM NO CONJUNTO Q Chamaremos uma fração q p de positiva quando o seu numerador e denominador têm o mesmo sinal Como exemplos de frações positivas citamos 5 12 4 3 3 2 O conjunto das frações positivas é chamado Q Resumindo q p q têm o mesmo sinal Q p Recordemos também as operações no conjunto Q já definidas no capítulo anterior bd bc ad d c b a e bd ac d c b a Com as operações acima podemos definir a subtração e divisão de frações bd bc ad d c b a e bc ad c d b a d c b a E aí Estamos prontos para definir a ordem no conjunto Q de forma a preservar a ordem anteriormente definida em Z Vamos ver abaixo como fica 70 Definição 2 Dados dois números racionais d c b e y a x dizemos que x y se sua diferença yx for uma fração positiva ou seja b a d c for uma fração positiva Ou melhor Q bd ad bc y x Observe que para bd ad bc b a d c ser uma fração positiva o numerador bcad e denominador bd devem ter o mesmo sinal Exemplo 3 Q 12 1 12 8 9 3 2 4 pois 3 4 3 3 2 Q 12 2 15 12 10 5 4 3 2 pois 3 2 5 4 SAIBA MAIS existe outra forma de verificar que x y em Q De fato observe que é sempre possível escrever uma fração q p com o seu denominador positivo Por exemplo podemos escrever 4 3 4 3 e também 6 7 6 7 Tendo em vista este modo de representação podemos dar outra forma de verificar que x y em Q Proposição 1 Dados dois números racionais d c b e y a x onde b d IN então ad bc d c b a em Z Ou ainda ad bc d c b a é positivo em Z Dem bc ad 0 ad bc é positiva bd ad bc b é fração positiva a d c y x Exemplo 4 9 3 3 8 e bc 2 4 y pois ad temos x 4 3 3 e y 2 Se x Logo adbc Analogamente 10 5 2 12 e bc 4 3 pois ad 3 2 5 4 Logo adbc 71 3 QUAIS SÃO OS NÚMEROS REAIS POSITIVOS Como vimos na seção anterior a inspiração para definir ordem nos conjuntos Z e Q está intimamente relacionada com o conceito de números positivos Com efeito definimos a ordem x y nesses conjuntos exigindo que yx seja positivo Tendo esta perspectiva em mente os matemáticos detectaram as propriedades que o conjunto dos elementos positivos deve ter e estabeleceramnas como regras que são chamadas de axiomas dos números positivos Elas estão listadas a seguir AXIOMAS DOS NÚMEROS POSITIVOS O conjunto dos números reais IR contém um subconjunto de elementos positivos denotado por IR que é dotado das seguintes propriedades P1 Se x y IR então xy IR soma de nos positivos é também positivo P2 Se x y IR então x y IR produto de positivos é também positivo P3 lei da tricotomia Dado qualquer x IR somente uma das três alternativas ocorre i x é positivo ii x0 iii o oposto de x é positivo VOCÊ SABIA A palavra tricotomia tem mais que um significado Veja as referências a seguir Tricotomia é a retirada dos pelos antes de uma cirurgia através de uma lâmina cirúrgica ou de barbear Retirase os pelos do local onde irá ser feita a cirurgia e a retirada é feita para evitar algum tipo de infecção Fonte httpptwikipediaorgwikiTricotomia A Pessoa Total Tricotomia ou Dicotomia Anthony Hoekema Um dos aspectos mais importantes da visão cristã do homem é a de que devemos vêlo em sua unidade como uma pessoa total Os seres humanos têm sido imaginados como consistindo de partes separadas e algumas vezes de partes distintas que são dessa forma abstraídas da totalidade Vez por outra entretanto tem sido sugerido que o homem deveria ser entendido como consistindo de certas partes especificamente distintas Um desses entendimentos é usualmente conhecido como tricotomia a idéia que segundo a Bíblia o homem consiste de corpo alma e espírito Um dos proponentes mais antigos da tricotomia como vimos é Irineu que ensinava que enquanto os incrédulos possuíam somente almas e corpos os crentes adquiriam espíritos adicionais que eram criados pelo Espírito Santo Fonte wwwmonergismocomtextosantropologiabiblicatricotomiahoekemahtm 72 Dado um corpo K qualquer as propriedades P1 P2 e P3 dizem o que é necessário e suficiente para caracterizar os números chamados positivos de K Nesse caso dizemos que K é um corpo ordenado Apenas com essas três condições podemos provar muitas propriedades da ordem como veremos a seguir Vamos denotar o conjunto dos positivos pela letra P Exemplo 5 Dado um corpo ordenado K vamos provar que 1 P A afirmação acima é bastante natural e esperada mas devemos provála apenas com uso das 3 condições acima Vamos ver Demonstração Vamos usar a lei da tricotomia ok Como 1 0 pela lei da tricotomia só temos duas opções 1 P ou não Suponha por absurdo que 1 P Logo por essa lei devemos ter que 1P Logo pela propriedade P2 deveríamos ter também que 11 P ou melhor que 1P uma contradição ao suposto inicialmente Veja novamente a demonstração agora como uma cadeia de implicações 1 P 1 P 11 P 1 P absurdo Exemplo 6 Pelo fato de 1 P 112 P 213 P 314 P etc Proposição 2 Dado x IR temos que x 2 P Dem Dado x 0 temos x P ou x P Logo em qualquer caso x P x x P x2 P x P x P xx P x 2 P Proposição 3 Se x P então x 1 P Dem Por absurdo suponha que tenhamos x P e x1 P Logo x 1 P x 1 P x x 1 P 1 P uma contradição 73 Exemplo 7 É consequência da Proposição 3 que os inversos dos números 2 3 4 5 etc pertencem ao conjunto P Logo 7 4 1 7 5 4 3 1 5 3 também pertencem a P pois são produtos de elementos de P No caso do corpo K ser o corpo dos números reais denotamos o conjunto dos números positivos P por IR Escreveremos também x0 em lugar de x IR Analogamente escrevemos a b para significar ba Os Exemplos 5 6 e 7 mostram em resumo que o conjunto P contém todas as frações positivas como definidas anteriormente Com a noção dos números positivos IR e suas propriedades podemos dar a definição rigorosa de ordem em IR Veja abaixo Definição 3 Dados dois números reais x e y diremos que x y quando yx for um número positivo Em símbolos x y yx IR Exemplo 8 1823401 1823501 pois 182350118234010001 IR As propriedades de ordem são naturais e mostram compatibilidade com as operações e definidas em IR Proposição 4 Dados x y z w IR temos a x y x z y z compatibilidade da ordem com a adição b x y z w x z y w c x y z IR xz yz compatibilidade da ordem com a multiplicação d x y z w x z IR xz yw e x y x IR x 2 y 2 Demonstrações a Temos por hipótese que yx IR e devemos provar que yzxz IR Isso não é difícil pois yzxz yzxz yx IR Logo x z y z b Analogamente precisamos mostrar que ywxz IR Como ywxz yx wz ou seja ywxz é a soma de dois números positivos veja as hipóteses Logo x z y w c Temos que yz xz zyx é o produto de números positivos e portanto é positivo Daí xz yz d Para provar que xz yw precisamos um pequeno truque veja yw xz yw xwxw xz yxw xwz Como yx w x e wz são positivos concluímos que yw xz é positivo e Mesmo raciocínio anterior y²x² yxyx é o produto de números positivos logo também é positivo Observação Usamos em d que se xy e x é positivo então y é também positivo Prove isso Como consequência temos 1 2 e 1 é positivo logo 2 é um número positivo Da mesma forma 3 5 7 etc são números positivos É importante TOMAR CUIDADO com as hipóteses listadas na Proposição 4 itens c d e pois é muito comum os enganos cometidos por pessoas desavisadas que acham erradamente natural que as propriedades válidas em IN sejam válidas também em outros conjuntos c x y xz yz FALSA 24 mas 23 43 d x y z w xz yw FALSA 23 e 42 mas 24 23 e x y x² y² FALSA 32 mas 3² 2² 4 O MÓDULO DE UM NÚMERO REAL A partir da relação de ordem em IR podemos definir o módulo ou valor absoluto de um número real x Intuitivamente as pessoas dizem que x é igual ao número sem o seu sinal querendo dizer por exemplo que 15 15 e 1212 Mas se o número se chamar x ou 2x6 ou qual o seu módulo Por essa razão é que precisamos dar uma definição mais precisa algébrica do módulo de um número real Veja a definição abaixo que é também encontrada na maioria dos textos didáticos Definição 4 Seja x número real O módulo de x denotado pelo símbolo x é definido como x x se x 0 x se x 0 75 Exemplo 9 44 pois 4 é positivo 00 151515 pois 15 é negativo Exemplo 10 x 2x 2 pois esse número é positivo ou zero Também x 21x 21 pois esse número é sempre positivo SAIBA MAIS É muito comum E INCORRETA a interpretação de que símbolo x significa um número negativo Na verdade x é o oposto de x ou seja x é o número que somado com x é igual à zero Por exemplo se x5 temos x 5 que é um número positivo 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 0000 1111 2222 3333 x x Um número negativo x e seu oposto x Proposição 5 Propriedades do módulo a x 0 x IR Também x maxx x b x x x IR c xy x y x y IR d x y x y x y IR desigualdade triangular Exemplo 11 5 max5 5 max5 5 5 Note também que 3744 e 3710 Logo nem sempre vale a igualdade triangular As demonstrações das propriedades do módulo podem ser encontradas em vários textos de Cálculo ou Análise alguns de Álgebra e raros do Ensino Médio pois fogem de alguma forma ao objetivo deste ensino As propriedades a e b são simples são meras observações As demonstrações de c e d são interessantes e instrutivas pois utilizam basicamente a definição de módulo e por isso vamos fazêlas Demonstração da propriedade c xyxy Quando x0 ou y0 é simples de demonstrar pois xy0 e portanto xy00 e xy0 Logo xyxy Precisamos dividir a demonstração em 3 casos i x y 0 ii x 0 y 0 iii x y 0 Caso i x y são ambos positivos Neste caso temos xyxy e xyxy Logo xyxy Caso ii x é negativo e y é positivo Neste caso temos que o produto xy é negativo logo xyxy ① Como x x e yy teremos xy xyxy ② De ① e ② seguese o resultado Caso iii x y são ambos negativos Neste caso temos que xy0 logo xyxy ① Também x x e yy e portanto xyxyxy ② Logo de ① e ② temos xyxy Exemplo 12 Já vimos no Exemplo 10 que x²x² Em virtude da propriedade recém demonstrada podemos acrescentar agora que x²xxxxx² Logo tanto faz escrever x² x² ou x² são todos iguais Demonstração da propriedade d xy xy Antes de começar lembremos que A² A somente no caso de A ser um número positivo No caso geral temse que A² A Observe que x y² x y² x² 2xy y² x² 2xy y² ① Como todo número é menor ou igual ao seu módulo temos xyxyxy Substituindo em ① temos xy² x² 2xy y² x² 2xy y² x y² ou seja xy² x y² ② Extraindo a raiz quadrada temos x y ² x y ² o que nos dá o resultado previsto 77 Exemplo 13 A definição de módulo de um número real é bastante útil para entendermos os gráficos de funções que envolvem módulos Leia com atenção os casos a seguir a Gráfico de yx Como 0 se x x 0 x se x y x vemos que o gráfico dessa função é formado pela reunião de duas retas y x para x0 e yx para x 0 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1111 2222 3333 4444 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1111 2222 3333 4444 x y yx yx b Gráfico de yx2 0 2 se x 2 x 0 2 2 se x x 2 y x ou seja 2 2 se x x 2 se x 2 x y Logo o gráfico dessa função é formado pela reunião de duas retas y x2 para x0 e y x2 para x 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1111 2222 3333 4444 5555 6666 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1111 2222 3333 4444 x y yx2 yx2 c Gráfico de yx24 Neste caso temos uma função quadrática y x 24 cujo gráfico é desenhado abaixo 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1111 2222 3333 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1111 2222 x y 78 Como x 240 quando 2x2 temos que x 24 x 24 neste intervalo Logo o gráfico da função yx 24 difere do gráfico anterior por uma reflexão em relação ao eixo Ox da parte onde y x2 4 é negativo 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1111 2222 3333 1 1 1 1 1111 2222 3333 4444 5555 6666 x y Exemplo 14 Como será o gráfico da função y x1 x4 Solução Neste caso temos uma função definida por três sentenças por quê A explicação disso é que x1 troca de sentença em x1 e x4 troca de sentença em x4 Logo no intervalo 1 x 4 uma delas já trocou de sentença mas a outra ainda não Veja em detalhes o que ocorre 1º caso x 1 x 1 4 Neste caso x10 e também x40 Logo yx1x4x1x42x5 2º caso 1 x 4 x 1 4 Neste caso x1 0 mas x40 Logo yx1x4x1x4143 3º caso x 4 x 1 4 Neste caso x1 0 e x4 0 Logo yx1x4x1x42x5 Resumindo 4 5 se x x 2 4 x se 1 3 1 5 se x x 2 4 x 1 y x tem o gráfico a seguir 79 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1111 2222 3333 4444 5555 6666 7777 8888 2 2 2 2 1 1 1 1 1111 2222 3333 4444 5555 6666 7777 8888 9999 x y y2x5 y 2x5 y 3 Exemplo 15 Qual o conjunto solução da equação modular x1x47 E a solução da inequação modular x1 x4 2 Solução Já vimos no exemplo anterior que 4 5 se x x 2 4 x se 1 3 1 5 se x 2x 4 x 1 x Logo vemos que x1x47 somente nos pontos x1 e x6 No caso da inequação x 1x42 não há valor de x que a verifique como mostra o gráfico ao lado Tente fazer os cálculos algebricamente ok 2 2 2 2 1 1 1 1 1111 2222 3333 4444 5555 6666 7777 1 1 1 1 1111 2222 3333 4444 5555 6666 7777 8888 x y y 7 y 2 5 CONJUNTOS LIMITADOS As palavras chaves desse parágrafo são conjuntos limitados superiormente eou inferiormente cotas superiores inferiores elemento máximo e elemento mínimo Todas essas noções dependem do conceito de ordem já estabelecido e da estrutura do conjunto dos números reais Como você verá brevemente o conjunto IR tem uma propriedade singular que o distingue do corpo dos números racionais Essa propriedade se chama completude e significa geometricamente que os números reais pensados geometricamente conseguem preencher todos os pontos de uma reta sem deixar lacunas Por essa razão é que os textos matemáticos escrevem que R além de ser um corpo ordenado é também COMPLETO 80 Exemplo 16 Vamos começar com exemplos simples ok Considere os conjuntos A2 1 0 1 2 B1 3 5 7 C2 1 0 1 2 D 2 1 0 1 2 O conjunto A é dito limitado superiormente B é limitado inferiormente e C é limitado tanto inferiormente quanto superiormente O conjunto D não é limitado inferiormente nem superiormente Quais as definições precisas disso Definição 5 Seja X um subconjunto de números reais Dizemos que X é limitado superiormente se existe um número c IR tal que x c x X Este número c é chamado de uma cota superior de X Analogamente X é limitado inferiormente se existe um número a IR tal que a x x X Este número a é chamado de uma cota inferior de X Um subconjunto que é simultaneamente limitado inferiormente quanto inferiormente é dito limitado Veja o caso dos conjuntos do Exemplo 15 A2 1 0 1 2 Cotas superiores 2 23 4 7 15 etc B1 3 5 7 Cotas inferiores 8 3 0 05 1 etc C2 1 0 1 2 Cotas inferiores 3 2 etc Superiores 2 3 D 2 1 0 1 2 Não possui cotas inferiores nem superiores Logo A é limitado superiormente B é limitado inferiormente e C é limitado SAIBA MAIS É de certa forma natural que se faça confusão entre os conceitos de conjunto limitado com a de conjunto finito É possível e fácil provar que todo conjunto finito de números reais é limitado mas nem todo conjunto limitado é finito como é o caso do conjunto X01 que é infinito mas é limitado Exemplo 17 Existem subconjuntos X que possuem um menor elemento e outros que possuem um maior elemento É o caso dos conjuntos X1 3 e Y2 5 onde minX1 e maxX5 Será que todo conjunto X possui um menormaior elemento Veja a definição precisa a seguir 81 Definição 6 Dizemos que M X é o elemento máximo de X se x M para todo em X Analogamente m X é o elemento mínimo de X se m x x X Pela nossa definição o elemento máximo ou mínimo de um subconjunto X deve pertencer ao conjunto X Logo certos conjuntos podem ter ou não um elemento máximo ou elemento mínimo Por exemplo X1 5 não possui elemento máximo nem mínimo Já o conjunto Y 1 3 possui mínimo 1 mas não possui elemento máximo 6 SUPREMO E INFIMO DE CONJUNTOS Como você viu no parágrafo anterior certos subconjuntos X não possuem elemento máximo ou mínimo como é o caso do conjunto X25 Para sanar essas deficiências os matemáticos deram fizeram as generalizações desses conceitos chamandoos de supremo e ínfimo Definição 7 Seja X um subconjunto de números reais Dizemos que um número real b é o supremo de X se i x b para todo em X ou seja b é uma cota superior de X ii b é a menor cota superior de X ou seja se c é outra cota superior então b c bsup X x x Exemplo 18 Dados X1 2 5 8 Y2 4 e Z2 4 e temos a maxXsupX8 b maxYsupY4 c maxZ não existe mas supZ4 Definição 8 Seja X um subconjunto de números reais Dizemos que um número real a é o ínfimo de X se i a x para todo em X ou seja a é uma cota inferior de X ii a é a maior cota inferior de X ou seja se c é outra cota inferior de X então temos c a ainf X x x 82 Exemplo 19 Dados X1 2 5 8 Y2 4 e Z 3 temos minXinfX1 minY não existe mas infY2 minZ e infZ não existem pois Z não possui cotas inferiores Exemplo 20 Dados X1 n 1 n IN Y2 n 1 n IN vamos determinar os seus elementos destacados caso existam Solução Como X 0 2 1 1 3 1 1 4 1 1 5 1 1 0 2 1 3 2 4 3 5 4 temos que X é constituído por frações próprias numerador menor que denominador Logo X é limitado inferiormente por zero e limitado superiormente por 1 Conclusões minX0 maxX não existe infX0 e supX1 0000 1111 supX1 12 23 0 Veja agora o outro conjunto Y Como n 1 2n n 1 2 temos Como Y 1 2 1 2 2 1 3 2 1 4 2 1 1 3 2 5 3 7 4 9 5 11 Logo Y é limitado e maxY3 minY não existe supY3 e infY2 2222 3333 Y infY2 52 73 94 3 Exemplo 21 Dê exemplo se possível de um subconjunto X IR a Ilimitado com elemento máximo b Sem cotas superiores com máximo c Sem supremo e com máximo d Limitado superiormente sem ínfimo e Sem mínimo e com ínfimo e com máximo f Sem ínfimo e sem supremo Solução a Para X ser ilimitado com elemento máximo só sendo ilimitado inferiormente Logo X 1 é um dos exemplos 83 b Como queremos X sem cotas superiores X não pode ser limitado superiormente Consequentemente não terá elemento máximo Logo não existe conjunto X com essas propriedades c Quando X possui elemento máximo este já é o supremo Logo é impossível ter um conjunto com máximo e sem supremo d X 1 X 3 X1 2 33 4 são exemplos de conjuntos limitados superiormente sem ínfimos e X1 5 é um deles pois minX não existe infX1 e maxX5 f O conjunto Z dos números inteiros é ilimitado inferiormente e superiormente Logo não possui cotas inferiores nem superiores Daí não possui ínfimo nem supremo 7 IR É UM CORPO ORDENADO COMPLETO Como dissemos anteriormente Q e IR são estruturas algébricas ricas com bastante propriedades Em Matemática dizemos que Q e IR são ambos corpos e ordenados A distinção diferença entre IR e Q reside no fato de que todo subconjunto limitado de números reais possui ínfimo e supremo Essa propriedade que não é válida para o conjunto Q caracteriza o conjunto dos números reais como aquele que é completo Richard Dedekind foi um dos primeiros matemáticos a sentir a necessidade de estabelecer esta propriedade de completeza do conjunto IR ao tentar demonstrar que toda sequência crescente e limitada era convergente Neste caso de uma sequência x1 x2 x3 crescente e limitada a convergência se dá para o supremo do conjunto x1 x2 x3 que deve então existir Resumindo os trabalhos de Dedekind sobre os números reais trouxeram como consequência que IR é um corpo ordenado completo 84 Richard Dedekind 18311916 httpuploadwikimediaorgwikipediacommons ccaDedekindjpeg SAIBA MAIS Em 1852 Dedekind aos vinte e um anos recebeu seu grau de doutor por uma pequena dissertação sobre integrais Eulerianas Aos vinte e seis anos foi designado professor na Escola Politécnica de Zurique onde permaneceu por cinco anos voltando em 1862 para Braunschweig como professor da Escola Técnica Em 1854 foi designado conferencista em Göttingen onde ficou por quatro anos Com a morte de Gauss em 1885 Dedekind mudouse para Göttingen onde assistiu às mais importantes aulas de Dirichlet Mais tarde ele editaria o famoso tratado de Dirichlet sobre teoria dos números acrescentando a ela o sensacional Décimo primeiro suplemento contendo um resumo de sua própria teoria de números algébricos Estamos terminando mais um capítulo Nele apresentamos a noção de ordem no conjunto dos números reais como uma extensão da ordem dos conjuntos Z e Q Vimos posteriormente como conseqüência as noções de conjuntos limitados superiormente inferiormente cotas superiores inferiores elemento máximo e elemento mínimo supremo e ínfimo de um conjunto No final cumprimos o objetivo de ressaltar que o corpo IR é completo Estudaremos no próximo capítulo funções e limites Até lá REFLEXÃO Você já examinou o contexto matemático do final do Sec XIX Existem muitos nomes importantes como Peano Weierstrass Cantor que se preocuparam com as bases da Matemática Pesquise um pouco mais na internet sobre a vida e obra de R Dedekind por exemplo e os trabalhos dele sobre os cortes de Dedekind SITES INDICADOS Números reais httpptwikipediaorgwikiNC3BAmeroreal httpptwikipediaorgwikiRichardDedekind httpwwweducfculpticmicm99icm17dedekindhtm 85 CAPÍTULO 6 FUNÇÕES E LIMITES Neste capítulo vamos revisitar dois conceitos importantes do Cálculo limite e continuidade de funções Esses dois conceitos são abordados preliminarmente na disciplina Cálculo devido a dois limites especiais que são de grande importância em Matemática o primeiro deles é o limite o o x x x x f x il m f x o que dá a derivada de uma função em um ponto O segundo limite importante é i n i 1 i n f x x il m que introduz o conceito de integral definida de uma função e é associado ao cálculo da área sob uma curva yfx Neste capítulo faremos algumas considerações sobre o conceito de função e seus tipos de funções bem como exploraremos o aspecto intuitivo de limite e continuidade 1 O CONCEITO DE FUNÇÃO Começaremos com preliminares sobre funções reais e seus gráficos a fim de apresentar o conceito intuitivo de limite e de continuidade Definição 1 Sejam A B subconjuntos não vazios de números reais Uma função f A B é uma relação que para todo elemento x A temos associado um único elemento y B Simbolicamente f A B é função se x A y B tal que fxy O conjunto A se chama domínio da função f e o conjunto B é chamado contradomínio O conjunto formado pelas imagens dos elementos x A é denominado de conjunto imagem e denotado por Imf Simbolicamente Imf y B y fx x A SAIBA MAIS Vamos fazer logo abaixo alguns comentários sobre o conceito de função que buscam esclarecer dúvidas sobre esse conceito além de tirar algumas dúvidas Vamos a eles 86 a Para definir uma função é necessário especificar seu domínio e o contradomínio Uma função real é na verdade um trio A B f onde A e B são subconjuntos de IR e f é a lei ou regra que associa elementos de A com elementos de B Pensando desta forma vemos que não é correto dizer considere a função fxx 21 pois não há domínio nem contradomínio especificados O correto é dizer por exemplo Considere a função f IR IR dada por fxx 21 E então por que os textos de Cálculo e professores em geral dizem e escrevem assim de forma imprecisa b Não devemos ou melhor não deveríamos confundir f com fx Na verdade f é o nome da função assim como g h j etc e fx é um elemento do conjunto B ou seja fx é um número real E então por que os textos de Cálculo e professores em geral dizem e escrevem assim de forma não imprecisa c As respostas das indagações dos itens anteriores são as seguintes Quando um autor ou professor diz de forma não adequada considere a função fxx21 está sendo convencionado neste momento que o domínio é o maior subconjunto de IR onde a imagem fx é possível calcular Neste caso o domínio será todo o conjunto IR No caso de x 1 f x o maior subconjunto é IR Supõese que o leitor por referência no texto ou não tenha conhecimento dessa informação O mesmo ocorre com o contradomínio da função quando não especificado Devese supor que é o conjunto dos números reais IR Alguns textos fazem estas referências mas o leitor nem sempre percebe a sutileza O que ocorre com a citação função fx em lugar de função f é semelhante É cômodo dizer a função fxsenx a função x f x ao invés de a função sen a função e assim por diante Em algumas partes desse texto você encontrará esse abuso de linguagem d É muito comum o equívoco ao definir função injetora Muitos dizem que Função injetora é aquela que todo x só possui uma imagem fx o que não está correto Esta frase é a repetição em linguagem mais simples do conceito de função que foi apresentada Por exemplo a função f IR IR dada por fxx21 tem a 87 propriedade de que todo x só possui uma imagem x21 mas essa função não é injetora Isso porque existem elementos x1 x2 que possuem a mesma imagem Por exemplo f25 e f25 O conceito de função injetora é Uma função fAB é injetora quando elementos distintos x1 x2A possuem imagens distintas fx1 e fx2 ou ainda quando fx1 fx2 implicar que x1x2 Exemplo 1 Um exercício comum nos livros de Cálculo é de se pedir para determinar o domínio de uma função Veja um exemplo Determinar o domínio da função 2 x x f x Solução Como vimos nas observações esta seria uma pergunta sem razão de ser pois o domínio já deveria ter sido especificado ao definir a função Como já foi dito sabemos agora que o domínio é para ser considerado como o maior subconjunto onde o valor fx pode ser calculado Como x só faz sentido para x 0 e o denominador de 2 x x f x não pode ser igual a zero temos que o domínio da função f é DfxIR x 0 e x 2 3 2 1 0 1 2 3 4 5 x Df Exemplo 2 As funções 2 x 4 x fx 2 e gxx2 são iguais Solução De acordo com Definição 1 duas funções f A B e g C D serão iguais quando possuírem o mesmo domínio o mesmo contradomínio e além disso fxgx para todo x deste domínio comum Como DfIR2 e DgIR temos que estas funções não são iguais Exemplo 3 Mostre que a função f dada por 5 x 6 2x f x é injetora Ela é sobrejetora 88 Solução Note inicialmente que devido à nossa convenção o domínio de f é o conjunto DfIR5 e o contradomínio é IR Demostrando que f é injetora Sejam x1 x2 tais que fx1fx2 Devemos mostrar que isso nos dá x1x2 Veja fx1fx2 5 x 6 2x 5 x 6 x 2 2 2 1 1 2x16x252x26x15 2x1 x210x1 6x230 2x1 x210x2 6x130 Cancelando os termos comuns ficamos com 10x1 6x2 10x2 6x1 Colocando a variável x1 no 1º membro e x2 no 2º membro temos 4x14x2 Logo x1x2 como queríamos demonstrar Mostrando que a função f não é sobrejetora Convém recordar que uma função é dita sobrejetora quando TODO elemento y do contradomínio é imagem de algum x pertencente ao domínio Em outras palavras o conjunto imagem Imf yB y fx deve coincidir com o contradomínio de f Não é difícil mostrar que y2 não é imagem de nenhum x pertencente ao dominio dessa função Veja os cálculos a seguir Supondo que exista x Df tal que fx2 temos 2 5 x 6 2x Logo ficamos com 2x62x10 Cancelando o termo 2x ficamos com 6 10 que é uma contradição Logo a função f não é sobrejetora Podese mostrar que g IR5IR2 5 x 6 2x gx é injetora e sobrejetora Definição 2 O gráfico de uma função f XIR é o conjunto de pares ordenados do tipo x fx onde x X Simbolicamente escrevemos Graf f x y IR 2 x X e yfx ou Graf f x fx IR 2 x X Observe que podemos visualizar geometricamente uma função f XIR por uma espécie de diagrama de Venn onde o domínio e o contradomínio são exibidos separadamente Assim vemos os pontos x pertencentes ao domínio de um lado e os valores fx do outro 89 A ideia de cruzar o domínio com o contradomínio veio da Geometria Analítica Descartes nos dando uma visão global do comportamento da função f Exemplo 4 Observe o gráfico da função 2 x x f x do Exemplo 1 obtido em um programa computacional Qual o conjunto imagem dessa função 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 x y Df Graff x fx Como dissemos a vantagem do gráfico de f é que temos uma visão global do seu comportamento Por exemplo vemos que f00 logo y0 é um elemento da imagem de f Além de y0 todos os valores de y negativos também são imagens dos pontos 0x2 Quem mais Ainda pelo gráfico vemos que todos os valores de y0 são imagens dos pontos x2 Conclusão ImfIR ou seja a função f é sobrejetora Exemplo 5 Observe o gráfico da função f dada por 5 x 6 2x fx e faça uma análise do seu comportamento 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x y Graff 7 4 y x Solução Veja pelo gráfico que para x3 temos y0 Vemos também que x5 realmente não possui imagem fx Isso fica claro também pela expressão 5 x 6 2x f x que contém o fator x5 no denominador Por outro lado fica claro que o ponto y2 do não é imagem de nenhum x Df Os demais valores y2 possuem correspondentes no domínio o que mostra que y2 é o único valor real que não tem correspondente x Resumindo Imf IR2 90 Conclusão A função g IR5 IR2 5 x 6 2x gx é injetora e sobrejetora Exemplo 6 Em que intervalo a função fx x 26x8 é crescente Relembre aqui o conceito de função crescente Dizemos que uma função f X IR é crescente em X se para quaisquer dois pontos x1 x2 X com x1 x2 tivermos fx1 fx2 O gráfico de uma função crescente toma então a forma de uma curva ascendente como na figura ao lado 1111 2222 1 1 1 1 1111 2222 3333 4444 5555 6666 7777 x y Analogamente definimos função decrescente em X quando para quaisquer dois pontos x1 x2 X com x1 x2 tivermos fx1 fx2 O gráfico de uma função decrescente tem a forma semelhante à da figura ao lado 1111 2222 1111 2222 3333 4444 5555 6666 7777 8888 x y x1 x2 Solução Através do gráfico de fxx 26x8 podemos visualizar os intervalos onde ela cresce ou decresce Neste caso f é decrescente no intervalo 3 e crescente no intervalo 3 x y 1 1 2 3 4 5 1 1 2 3 y x26x8 91 2 VISUALIZANDO LIMITES DE FUNÇÕES Pois bem vamos voltar ao conceito de limite de uma função já visto em Cálculo Ele é útil para que você possa calcular e visualizar em situações simples o valor do limite de uma função Além disso esta revisão será importante para que você compreenda melhor o conceito de limite mais formal rigoroso que daremos posteriormente Definição 3 informal intuitiva Seja f X IR uma função e xo um ponto de acumulação de X Dizemos que L f x m i l x xo se sempre que x se aproxima de xo os valores fx se aproximam cada vez mais do valor L Simbolicamente L f x m i l xo x quando xxo 0 implica fxL 0 Um ponto xo é chamado ponto de acumulação de X quando é possível se aproximar dele por pontos de X tanto quanto se queira Mais precisamente um ponto xo é ponto de acumulação de X quando todo intervalo xor xor contém uma infinidade de pontos de X Exemplo 7 xo0 é um ponto de acumulação de X IR pois qualquer intervalo r r contém infinitos pontos de IR Analogamente xo1 é um ponto de acumulação de X 1 pois qualquer intervalo 1r 1r contém infinitos pontos de X Já o ponto xo1 não é ponto de acumulação de IR pois o intervalo 15 05 não contém ponto algum do conjunto X Neste caso dizemos que xo1 é um ponto isolado 2 1 0 1 2 3 XR Definição 4 O limite quando x xo x xo é chamado limite lateral à esquerda de yfx e denotado por m fx i l xxo Analogamente m fx i l xo x é chamado de limite à direita da função f 92 Como visto em Cálculo nos casos em que podemos nos aproximar do ponto xo pela direita e pela esquerda o limite da função f existirá quando estes limites laterais coincidem ou seja i l m fx m fx i l o o x x x x Exemplo 8 Qual é o limite da função f IR2 IR dada por 2 x 4 x x f 2 quando x se aproxima de xo2 Observe inicialmente que para esta função 2 x 4 x x f 2 podemos calcular facilmente os valores fx quando x 0 1 e 3 Por outro lado não podemos fazer x2 pois 0 0 2 2 4 2 2 f 2 que é chamada uma indeterminação matemática A fim de resolvermos essa situação é necessário fazer x tender a 2 sem ser igual a 2 Existem três modos de abordar esse problema vamos ver 1o Modo Uso de Tabelas Um dos modos de verificar o que se passa com a função é construir tabelas com o uso do Excel ou uma calculadora Veja os resultados a seguir Valores à direita 25 225 21 206 203 2016 2007 2004 2002 2 4 2 x f x x 45 425 41 406 406 403 4016 4004 4002 Valores à esquerda 15 175 19 194 197 198 1992 1996 1998 2 4 2 x f x x 35 375 39 394 397 398 3992 3996 3998 Pelo que é lido nas tabelas os valores da função 2 x 4 x x f 2 se aproximam do valor 4 à medida que x tende ao ponto xo2 Daí escrevemos em símbolos matemáticos que 4 2 x 4 m x il 2 x x o 93 2o Modo Uso de Artifícios de Cálculo Este mecanismo é o mais utilizado nas disciplinas de Cálculo Neste caso usamos a fatoração x 24 x2x2 Logo quando x 2 e x 2 temos 2 x 2 x 2 2x x 2 x 4 x y 2 Daí quando x tende a 2 a resposta é que y se aproxima de 224 Logo 4 2 x 4 m x il 2 x x o 3o Modo Utilização de Gráficos Um programa computacional consegue mostrar o que ocorre com a função 2 x 4 x y 2 na vizinhança do ponto xo2 Observando pontos x à esquerda de 2 e x à direita de 2 e suas respectivas imagens fx vemos que essas imagens se aproximam de L4 Logo 4 2 x 4 m x il 2 x x o O gráfico ao lado mostra o que se passa com a função fx quando x 2 por pontos à esquerda e também à direita Os valores de y se aproximam de 4 sem chegar até 4 neste caso pois x2 não pertence ao domínio da função 3 2 1 1 2 3 1 1 2 3 4 5 x y x fx fx x A fim de evitar confusões com linguagem convém observar que O correto é dizer Quando x tende para 2 a função 2 x 4 x x f 2 tende para 4 94 Simbolicamente podemos escrever x 2 2 x 4 x x f 2 4 É também correto dizer Quando x tende para 2 o limite de 2 x 4 x x f 2 é igual a 4 Resumindo Uma função f tende para L mas o limite é igual a L Exemplo 9 No exemplo anterior o ponto xo2 não pertencia ao conjunto X Mas mesmo quando este ponto xo pertence ao conjunto X o valor da função neste ponto não é relevante para o cálculo do limite Por exemplo dada se x 1 x 2 se x 1 se x 1 x x f 2 vamos determinar i l m f x x1 Solução Observe pelo gráfico e também pela expressão fx que quando x 1 temos fx 1 Analogamente quando x 1 temos também que fx 1 Logo 2 i l m f x x 1 O valor f12 NÃO INFLUIU no cálculo nem na existência do limite 2 1 1 2 3 1 1 2 3 x y 3 QUAL A DIFERENÇA ENTRE LIMITE E CONTINUIDADE Uma função pode ter limite em xo e ainda assim não ser contínua nesse ponto Será que toda função contínua em um ponto tem que ter limite Se você não lembra disso leia este parágrafo com atenção Antes de tudo para definirmos continuidade em um ponto xo é exigido que este ponto pertença ao domínio da função f Esta é a primeira diferença entre limite e continuidade 95 Além dessa condição é exigido que o limite f x m i l xxo exista e seja igual a fxo Vamos resumir o que foi dito acima na definição seguinte Definição 5 Seja f X IR uma função e xo X Dizemos que f é contínua no ponto xo se o limite fx i l m xxo existe e mais ainda que f x f x m i l o x x o Quando uma função f X IR é contínua em todos os pontos x X dizemos que ela é contínua Observe que pela definição dada não faz sentido perguntar sobre continuidade de uma função yfx em um ponto xo se este não pertencer ao seu domínio Note também que quando dissermos yx 2 é contínua estamos afirmando que ela é contínua em todos os pontos do seu domínio Exemplo 10 A função f IR IR dada por se x 1 x 2 se x 1 se x 1 x x f 2 não é contínua no ponto x1 Note que x1 pertence ao domínio de f Além disso pelo visto no Exemplo 8 temos 1 i l m f x x 1 Como f12 temos f 1 i l m f x x 1 ou seja f não é contínua neste ponto Exemplo 11 A função f X IR dada pela expressão 2 1 x f x e pelo gráfico ao lado é contínua no ponto x1 De fato temos 2 i l m f x x 1 e f12 Logo f 1 i l m f x x 1 1111 2222 3333 4444 5555 1111 2222 3333 4444 5555 x y Note que o domínio de f é o conjunto X1 Logo 1 X 96 O ponto x1 é ponto de acumulação à direita de X logo faz sentido perguntar sobre o limite dessa função em x1 Como 2 fx 1 x i l m e f12 f é contínua neste ponto Exemplo 12 A função f IR2 IR dada por 2 x 4 x x f 2 é contínua no ponto xo2 Solução Esta questão está mal formulada pois xo2 não pertence ao domínio da função f Logo não faz sentido perguntar sobre continuidade neste caso Exemplo 13 Verifique se a função se x 1 1 x 1 x 1 x se 0 0 se x 1 se 2 x 0 x 2 8 se x x 2 x f 2 cujo gráfico está representado abaixo é contínua nos pontos x2 0 e 1 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 3 2 1 1 2 3 4 x y Solução Vamos visualizar os limites em cada um dos pontos onde a função muda de sentença e comparar com os valores fx tudo bem No ponto x2 temos 4 i l m fx x 2 e 4 i l m fx x 2 Além disso f24 Logo a função f é contínua neste ponto 97 Analogamente temos 0 i l m fx x 0 mas f01 Logo a função f não é contínua no ponto x0 Finalmente temos 1 i l m fx x 1 e 2 i l m fx x 1 Logo i l m fx x1 não existe Como esta é uma condição necessária para a continuidade concluímos que f não é contínua em x2 Este capítulo foi dedicado ao conceito de funções e seus tipos e principalmente aos conceitos intuitivos de limite e continuidade Nosso próximo capítulo terá como objetivo a definição precisa formal de limite e de continuidade de funções Por enquanto ficamos por aqui VOCÊ SABIA Uma curiosidade matemática é achar o erro do seguinte argumento veja abaixo Vamos provar que 1 0 Primeiro lembre que n 1 n 1 n 1 n 1 n n 1 Como 1 n n i l m n temos 0 0 0 n 0 1 n 1 n i l m 1 n i l m n 1 n n Logo ficamos com 10 Onde está o erro LEITURAS RECOMENDADAS 1 FLEMMING Diva Cálculo A limite derivação e integração São Paulo Pearson Prentice Hall 2006 2 LIMA Elon Análise Real vol 1 Soc Bras Matemática Rio de Janeiro 2008 SITES INDICADOS Cálculo de limites e outras questões httpecalculoifuspbr httppessoalsercomtelcombrmatematicasuperiorcalculolimiteslimiteshtm httpwwwyoutubecomwatchvmlwmqsfvj44 httpwwwyoutubecomwatchvqkZ7xK36cLc 98 CAPÍTULO 7 LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES Neste capítulo voltaremos ao assunto de limite e continuidade agora sob um ponto de vista mais formal Afinal é esse caráter mais teórico mais rigoroso que distingue as disciplinas de Análise Matemática das disciplinas de Cálculo Para atingir esse objetivo precisaremos fazer o análogo do que é feito para sequencias numéricas substituir a expressão xxo por outra expressão mais precisa que tenha mais significado algébrico para podermos fazer cálculos Da mesma forma trocaremos a expressão fxL para eliminar o símbolo Recomendamos mais atenção dos leitores para algumas passagens da teoria e de preferência uma releitura Estas ações fazem parte do aprendizado 1 O CONCEITO FORMAL DE LIMITE E DE CONTINUIDADE Vamos repetir aqui a definição de limite dada no Capítulo 6 para ver o que podemos melhorar ok Definição menos formal Seja f X IR uma função e xo um ponto de acumulação de X Dizemos que L f x m i l x xo se sempre que aproxima x se de xo x xo os valores fx se aproximam cada vez mais do valor L Simbolicamente L f x m i l x xo quando xxo 0 implica fxL 0 As expressões se aproximar tender ficar cada vez mais próximo apelam para o nosso sentimento e intuição e por isso têm seus méritos Porém muito já se errou no passado por conta de intuições matemáticas Nesse sentido os matemáticos do Sec XIX deram significados mais precisos a estes termos usando as propriedades dos números reais Uma das mudanças que ocorreu foi a substituição da expressão xxo0 pela expressão xxoδ Analogamente a expressão fxL 0 foi substituída por fxL ε 99 Por falar em intuições matemáticas Leonard Euler 17071783 eminente matemático chegou a afirmar que a soma infinita S111111 deveria ser igual a ½ apelando para um argumento não válido Ele subtraiu 1 da igualdade acima ficando com S111111S Daí ele chegou à igualdade 2S1 e portanto S12 Hoje é sabido que esta soma não é possível realizar série divergente Definição 1 Seja f X IR uma função e xo um ponto de acumulação de X Dizemos que L f x m i l x xo se dado um número ε0 qualquer é possível determinar um número δ 0 tal que xxo δ x xo implica fxL ε Simbolicamente L f x m i l x xo se ε 0 δ 0 tal que 0xxo δ fxL ε Note que a expressão 0xxo δ é equivalente a xxoδ x xo ou seja estamos nos aproximando de x por pontos x xo A figura abaixo mostra a relação que deve haver entre ε e δ na definição de limite Na figura ao lado vemos um ponto 13 do gráfico de uma função yfx A definição de limite pode ser traduzida como L f x m i l x xo se dado um intervalo Lε Lε existe um correspondente intervalo xoδ xoδ tal que para todo x xoδ xoδ x xo possui imagem fx Lε Lε Neste exemplo temos x 1δ 1δ x 1 fx 3ε 3ε 1 1 2 3 1 1 2 3 4 100 Exemplo 1 Considere a função f IR IR dada por fx2x1 e xo1 Vamos provar com mais rigor que 3 m f x i l x 1 Neste caso temos xo1 e fxo3 Temos que mostrar que DADO um número ε0 qualquer PODEMOS CALCULAR δ0 tal que x1 δ implica fx3 ε Dados xo1 fxo3 ε0 e x1 δ Objetivo Encontrar δ tal que fx3 ε Ora fx32x132x22x1 2x12δ ou seja fx32δ Como queremos fx3ε basta fazer 2δε ou seja tomar δε2 Logo fx32x12δ2ε2ε cqd 1 1 2 3 1 1 2 3 4 5 y 2x1 Quando fx2x1 e xo é qualquer ponto do domínio o valor de δ é o mesmo ou seja δε2 De fato fxfxo2x12xo12x2xo2x xo2δε Logo δε2 satisfaz nossa definição Observe também que o gráfico da função é um mero auxílio visual mas não foi levado em conta nos cálculos realizados A definição de continuidade de uma função em um ponto xo X é inteiramente análoga a que demos para limite Definição 2 Seja f X IR uma função e xo X Dizemos que f é contínua em xo se dado ε0 qualquer existe δ 0 tal que xxo δ implica fxfxo ε Simbolicamente f é contínua em xo X se ε 0 δ 0 xxo δ fx fxo ε No caso de continuidade de yfx em xo a restrição x xo deve ser retirada pois é importante que o valor da função no ponto também seja considerado Exemplo 2 Considere f IR IR dada por fxaxb a 0 e x₀ um ponto fixo qualquer Vamos provar de modo análogo que f é contínua no ponto x₀ ou seja lim xx₀ fx ax₀ b Exemplo 3 Seja agora f IR IR dada por fxx² Vamos provar que f é contínua no ponto x₀2 102 Exemplo 4 Vamos provar que f IR IR dada por fxx2 é contínua em um ponto xo 0 qualquer De fato fx fxo x2 xo 2 x xo x xo x xo 2 xo x2 x xo 2xo x2 δ 2xo δ δ 2 2xoδ Igualando a ε esta última expressão temos δ 2 2xoδ ε Chegamos então a uma equação do 2º grau em δ δ 2 2xoδ ε 0 Daí o valor de δ será o 2 o 2 o o 2 o o x ε x 2 ε 2 x x 2 2 4ε 4x 2x δ Como δ deve ser positivo teremos o 2 o x ε x δ Exemplo 5 Não conhecemos exatamente qual o valor de x para números x muitíssimos próximos de xo4 Por exemplo 4 0000000012462087510222 ou então 3 999999988420911202330222 Isso sem contar com os infinitos números irracionais que existem próximos de 4 Dessa forma com base no rigor matemático não podemos supor apenas pelo esboço de um gráfico que x f x seja contínua em xo4 Será que no ponto xo4 não haveria alguma surpresa alguma variação brusca nos valores 1 1 2 3 4 1 2 x y 103 O gráfico de uma função em um computador ou calculadora é constituído de minúsculos pontos A depender do número de pontos escolhidos estes ficam tão próximos que podem aparentar continuidade da função Como não temos a totalidade dos pontos do gráfico não está afastada a hipótese de uma eventual falha no mesmo Na figura a seguir estão desenhados pontos x x do gráfico da função x y que podem causar descontinuidade dessa função Note que próximo ao ponto xo 4 aparece uma nuvem de pontos esparsos querendo traduzir uma possível descontinuidade É por esse motivo que devemos sempre se queremos mais rigor fazer os cálculos algébricos 1 1 2 3 4 1 2 x y Demonstração A função x f x é contínua no ponto xo 4 Objetivo Dado ε0 qualquer temos que exibir δ 0 tal que x4 δ fx2 ε Cálculo de δδδδ Temos que ε 2 δ 2 4 x 2 x 4 x 2 x 2 2 x x 2 x f x fx o Logo δ 2ε satisfaz nossa definição de continuidade Observe que quando reduzimos o denominador de uma fração o valor dela aumenta Por isso ao omitir o termo x no denominador ficamos com a desigualdade acima 104 Observe que no geral de xo 0 temos que o o o o o o o o o x x x x x x x x x x x x x x x f x fx note que o o x x x Logo o quociente acima aumenta Como xxo δ então ε x δ x x x f x fx o o o o Logo basta tomar ε x δ o Falta ainda o caso em que xo0 Vamos mostrar que neste caso δ ε2 satisfaz a definição de continuidade Nossa hipótese é que x0δ Logo temos x δ e portanto δ x Daí ε ε δ x 0 x f 0 x f 2 ou seja δ ε2 de fato satisfaz nossa definição de continuidade Caso particular se ε001 o valor para δ será δε 200001 bastante pequeno mas existe 05 05 x y x δ 2 PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES CONTÍNUAS Apresentaremos a seguir alguns resultados básicos sobre continuidade que facilitam nosso trabalho de detectar funções contínuas Proposição 1 Sejam f g X IR contínuas em um ponto xo e k IR Então as funções fg kf e fg são também contínuas nesse ponto Se gxo0 temos também que o quociente g f é contínua no ponto xo Demonstração Vamos fazer a prova da continuidade de fg e da função kf e faremos apenas um esboço da demonstração da continuidade do produto fg os leitores mais interessados podem encontrar a demonstração completa em textos de Análise Matemática Continuidade da função fg Objetivo Dado ε0 determinar δ 0 tal que xx₀ δ fgx fgx₀ ε Continuidade da função kf Objetivo Dado ε0 determinar δ 0 tal que xx₀ δ kfx kfx₀ ε 106 Dessa forma para esse δ temos kfx kfxo kfx fxo kfx fxo kεk ε Logo mostramos que kf é contínua nesse ponto Continuidade da função fg parcial Hipóteses as funções f e g são contínuas no ponto xo Tese a função fg é também contínua no ponto xo Objetivo Dado ε0 determinar δ 0 tal que xxo δ fgx fgxo ε Usaremos o artifício de somar e subtrair o termo fxgxo veja abaixo fgx fgxo fxgxfxogxo fxgx fxgxo fxgxo fxogxo fxgxgxo gxofx fxo fx gx gxo gxo fx fxo Como fx fxo fx fxo 0 e gx gxo 0 podemos escolher um número δ tal que fgx fgxo ε Logo a função f g é também contínua A proposição acima é bastante útil veja os exemplos Exemplo 6 As funções f g dadas por fxx23x1 e gxx32x2x1 são contínuas De fato fx x23x1 x2 3x1 é a soma de duas funções contínuas a quadrática yx 2 e a função afim y3x1 Também como x3 x x2 temos que a função y x3 é contínua Logo gxx 32x 2x1 x 32x 2x1 é uma soma de funções contínuas logo é também contínua Exemplo 7 A função 3 x 1 3x x h 2 contínua Com efeito 3 x 1 3x x h 2 tem domínio XIR3 Além disso é um quociente de funções contínuas Logo h é contínua em todos os pontos do seu domínio VOCÊ SABIA Muitas pessoas e alguns textos de Cálculo dizem que essa função hx 3x² 1 x 3 é descontínua em x3 Mas como esse ponto não pertence ao domínio de h pela nossa definição não faz sentido discutir analisar a continuidade neste ponto Proposição 2 composição de funções contínuas Seja f X Y uma função contínua no ponto x₀ ϵ X e g Y IR contínua no ponto bfx₀ ϵ Y Então a função composta gof X IR é também contínua no ponto x₀ Exemplo 8 As funções hx x² 4 e jxsenx²1 são contínuas em todos os pontos dos seus domínios A função ysenx é contínua pois sen x sen x₀ x x₀ Logo dado ε0 basta tomar δ ε De fato se x x₀ δ temos sen x sen x₀ x x₀ δε cqd 3 DOIS TEOREMAS SOBRE FUNÇÕES DEFINIDAS EM UM INTERVALO Os teoremas a seguir são fundamentais para o desenvolvimento do Cálculo e da Análise Matemática O primeiro deles chamado de Teorema do Valor Intermediário nos diz que uma função contínua definida em um intervalo assume todos seus valores intermediários Já o Teorema de Weierstrass garante a existência de pontos de máximo e mínimo de uma função contínua f X IR caso desde que X seja um intervalo fechado e limitado Teorema 1 do Valor Intermediário TVI Seja f a b IR contínua Se d é um valor tal que fa d fb então existe c a b tal que fc d A figura ao lado mostra uma curva yfx contínua que começa no ponto a fa e termina em b fb Se uma reta yd for traçada entre fa e fb então essa curva tem que cruzar esta reta Essa é a interpretação geométrica do TVI Resumindo Se d é um valor intermediário entre fa e fb e f é contínua então o gráfico de f tem que cruzar a reta yd A demonstração deste Teorema usa argumentos um pouco além do que estamos nos propondo nesta introdução e por isso não será apresentada Leia com atenção que isso é interessante Apesar de que o TVI é apenas um teorema de existência ou seja ele garante a existência de um ponto c onde fcd ele tem muitas utilidades Veja os exemplos a seguir 109 Exemplo 9 Considere o polinômio pxx3x23x1 Será que este polinômio possui alguma raiz entre x1 e x0 E entre x0 e x1 terá alguma raiz E nos intervalos 12 e 23 Solução Na figura abaixo temos p25 e p310 Como 5010 o polinômio possui pelo menos uma raiz entre x2 e x3 Mas podemos refinar isso veja i p111312 e p01 Como estes valores são positivos não podemos garantir que px tenha uma raiz neste intervalo ii p010 e p1113120 Como y0 é um valor intermediário o TVI garante que há uma raiz entre 0 e 1 iii p120 e p210 Logo o TVI não garante px tem raiz entre 1 e 2 2 1 1 2 3 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x y iv p210 e p310 Logo o TVI garante que há uma raiz entre 2 e 3 Este é o gráfico de pxx3x23x1 Veja que de fato este polinômio possui raízes entre x0 e x1 e entre x2 e x3 Os pontos c onde pc0 não são conhecidos só sabemos de suas existências No Winplot é possível obter os valores aproximados dessas raízes De fato temos c1 0311107 e c2 2170086 Exemplo 10 Qualquer polinômio pxx3 bx2cxd possui uma raiz real Em geral qualquer polinômio de grau ímpar possui uma raiz real Solução Já vimos que toda função polinomial é contínua Como il m px x temos que existe a IR tal que pa 0 Analogamente como il m f x x existe b IR tal que p b 0 Logo temos que pa0pb é um Valor Intermediário 110 Logo pelo TVI temos que deve existir c ab tal que pc0 Obs Do Cálculo temos x d x c x b il m x 1 d cx bx il m x 3 2 3 x 2 3 x De modo semelhante il m f x x Exemplo 11 Neste exemplo vamos mostrar que as hipóteses do TVI são essenciais quer dizer a retirada de uma delas faz com que o resultado seja falso i Pode acontecer de uma função f 0 2 IR que não satisfaz o Teorema do Valor Intermediário A resposta é sim basta que ela não seja contínua em algum ponto Por exemplo a função f 02IR dada por 1 2 sex 1 x x se 0 f x NÃO assume o valor y1 Temos que f00 e f12 mas não existe c tal que fc1 ii Pode uma função contínua f XIR não assumir todos seus valores intermediários A resposta é SIM basta que ela não esteja definida em um intervalo Por exemplo a função f 01 23IR dada por 3 x 2 se 2 1 x 1 se 0 f x é contínua em todos os pontos do seu domínio f11 f32 mas f não assume nenhum valor maior que 1 e menor que 2 Isso só aconteceu porque o domínio dessa função não é um intervalo 1 2 3 1 2 3 x y Uma função definida em um intervalo que não satisfaz o TVI por causa da descontinuidade 1 2 3 1 2 x y d Uma função contínua que não satisfaz o TVI pelo fato de não estar definida em um intervalo 111 O Teorema de Weierstrass que enunciaremos a seguir tem grande relação com os teoremas do Cálculo Diferencial onde encontramos pontos críticos de uma função por meio da derivada No caso presente temos apenas as hipóteses que f é uma função contínua e estar definida em um intervalo fechado Teorema 2 Weierstrass Se f a b IR é contínua então esta função assume valor máximo e valor mínimo em a b Melhor dizendo existem pontos xo x1 a b tais que fxo fx fx1 x X SAIBA MAIS Karl Weierstrass Fonte httpptwikipediaorgwikiKarlWeierstrass Karl Wilhelm Theodor Weierstraß 1815 1897 conhecido por Karl Weierstrass foi um matemático alemão professor na Universidade de Berlim Em 1839 Weierstrass entrou para a Academia de Münster com objetivo de obter um título em educação secundária Foi onde conheceu o matemático Christof Gudermann por quem foi orientado As idéias de Gudermann infuenciaram muito o trabalho de Karl mas por ser um professor secundário muito do seu trabalho foi ignorado Somente em 1854 publicou um artigo de maior importância o que lhe deu da noite para o dia fama internacional no mundo da matemática No mesmo ano recebeu da Universidade de Königsberg um título de doutor honorário e em 1856 na Universidade de Berlim teve inicio sua carreira como professor universitário Em 1860 apresentou a primeira fórmula para uma função contínua que não fosse derivável em nenhum ponto fortalecendo as teorias que o matemático Bernhard Bolzano apresentou em 1834 quando apresentou uma destas funções O seu trabalho forneceu as bases da teoria das funções analíticas Weierstrass foi um pioneiro da moderna Análise Matemática e mentor da matemática Sofia Vasilyevna Kovalevskaja Dentre seus mais brilhantes seguidores destacase também outro russo Georg Cantor O Teorema de Weierstrass também é um teorema de existência ou seja ele garante somente a existência de ponto de mínimo e ponto de máximo no intervalo ab desde que essa função seja contínua Os cálculos desses pontos são feitos com utilização da derivada da função f 113 1 1 2 3 1 1 2 3 x y O gráfico mostra uma função contínua sem mínimo e sem máximo A resposta é sim basta que ela não esteja definida em um intervalo fechado Por exemplo a função f 0 2IR dada por fxx não possui pontos de máximo nem de mínimo em 02 Isso só aconteceu porque o domínio dessa função não é um intervalo fechado a b Outro exemplo é a função f 0 2IR dada por fxx Ela possui ponto de mínimo em x0 mas não possui ponto de máximo Exemplo 13 Considere a função polinomial pxx3x23x1 do Exemplo 8 definida no intervalo 1 2 Como esta função é contínua e o intervalo é fechado temos garantia de pelo menos um ponto de máximo e outro de mínimo Nesse caso os pontos de máximo e mínimo estão no interior do intervalo 1 2 mas poderia ter acontecido que um deles estivesse na extremidade 1 1 2 3 2 1 1 2 X1 Xo Na figura abaixo podemos ver o gráfico de uma função com um ponto de máximo e outro de mínimo A demonstração do Teorema de Weierstrass usa argumentos de topologia da reta que não estão contemplados nesse curso e que não estamos nos propondo a colocar nessa primeira versão do texto Exemplo 12 Vamos mostrar que as duas hipóteses do Teorema de Weierstrass são essenciais quer dizer a retirada de uma delas faz com que o resultado seja FALSO i Pode existir uma função f a b IR definida em um intervalo fechado que não satisfaça a conclusão do Teorema do Valor Weierstrass A resposta é sim basta que ela não seja contínua em algum ponto Por exemplo a função f 02IR dada por fx x se 0 x 2 1 se x 1 não possui ponto de máximo ii Pode uma função contínua f XIR não possuir ponto de máximo ou de mínimo 114 Exemplo 14 Considere a função polinomial pxx3x23x1 do Exemplo 8 definida agora no intervalo 1 3 Neste caso o ponto de mínimo permanece no interior do intervalo mas o ponto de máximo é a extremidade x3 1 1 2 3 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Neste capítulo vimos a noção formal de limite e continuidade de uma função e de como os matemáticos precisaram delas para provar vários resultados importantes na Matemática Vimos também as propriedades básicas das funções contínuas e terminamos com dois importantes teoremas do Valor Intermediário e o de Weierstrass No próximo capítulo iniciaremos o estudo de derivada de funções e algumas de suas aplicações REFLEXÃO Que tal ler um pouco mais sobre os teoremas do Valor Intermediário e Weierstrass Você já ouviu falar do Teorema de BolzanoWeierstrass sobre seqüências numéricas Leia sobre esses assuntos nas referências bibliográficas ou da internet ou consulte um bom livro de Cálculo LEITURAS RECOMENDADAS 1 LIMA Elon Análise Real vol 1 Soc Bras Matemática Rio de Janeiro 2008 2 EVES Howard Introdução à História da Matemática 3ª ed Campinas Ed Unicamp 2002 115 SITES INDICADOS Sobre Karl Weierstrass httpwwweducfculpticmicm2002icm105weierstrasshtm Sobre Bolzano httpptwikipediaorgwikiBernardBolzano Applet sobre ε e δ em limite de funções httpwwwslueduclassesmaymkAppletsEpsilonDeltahtml 116 CAPÍTULO 8 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO Neste capítulo abordaremos o tema derivada de funções que é conhecido de todos da disciplina Cálculo Diferencial Como fizemos no capítulo anterior essa abordagem será feita de um ponto de vista mais formal Mas por que essa formalização é importante Veja após um curso de Cálculo o que conseguimos lembrar é que a derivada da função yx2 é y2x que a derivada da função ysenx é ycosx etc e temos uma vaga lembrança que a derivada tem algo a ver com a reta tangente a uma curva Resumindo isso significa que sobre derivada lembramos apenas das suas regras de derivação e esquecemos o conceito de derivada qual sua interpretação geométrica e para que ela se destina Essa é a razão da importância em rever esse tópico Além do que argumentamos acima acrescentaremos algo mais sobre a parte teórica do assunto como os Teoremas de Rolle e Lagrange que possuem aplicações ao crescimento de funções e estudo de máximos e mínimos Sem dúvida você verá como esse estudo ficará agora mais fácil e agradável pelo fato de já ter feito as disciplinas de Cálculo e ter percorrido um longo caminho até chegar na fase final do Curso de Matemática Mesmo assim convém ler o material com atenção pois existem detalhes técnicos importantes que podem passar despercebidos 1 A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO Nesse primeiro parágrafo vamos relembrar que a derivada de uma função f X IR é um número real e é calculada em cada ponto fixado xo X Além disso a derivada em alguns pontos de X pode não existir O conjunto X pode ser pensado como um intervalo da reta ou uma reunião deles Definição 1 Seja f uma função f X IR e xo um ponto de X A derivada de f em xo é dada pelo limite o o x x o x x f x il m f x x f o desde esse limite exista A derivada também pode ser calculada pelas fórmulas x f x x f x il m fx o o 0 x o ou ainda h f x h il m f x fx o o 0 h o O quociente o o x x f x f x x y é chamado de taxa de variação média da função f no ponto xo Logo a derivada fxo é o limite dessas taxas médias Por essa razão dizemos que fxo é a taxa de variação instantânea da função f no ponto xo 117 Exemplo 1 Se fxx2 então f12 f24 f36 etc De fato 2 1 x 1 1x i l m x 1 x 1 i l m x 1 x f 1 i l m f x f 1 1 x 2 1 x x 1 O cálculo de f24 fica como exercício Vamos fazer o cálculo de f3 ok 6 3 x 3 3x i l m x 3 x 9 i l m x 3 x 3 f f x i l m f 3 3 x 2 3 x 3 x Observe que fica mais simples calcular a derivada em um ponto xo genérico fixado Com isso ficamos com uma fórmula para a derivada dessa função em qualquer ponto veja o o o o x x o 2 o 2 x x o o x x o 2x x x x x x i l m x x x x i l m x x x f x f x i l m x f o o o Exemplo 2 Se gxx3 então em um ponto xo qualquer temos 2 o o 3x gx Em particular g13 g00 g212 etc Com efeito temos que 2 o o 2 o o 2 o x x o 3 o 3 x x o o x x o 3x x x x xx x x i l m x x x x i l m x x x gx i l m gx x g o o o Logo g13 12 3 g03 02 0 e g2 3 22 12 SAIBA MAIS Quando queremos determinar uma fórmula para a derivada fx de uma função f num ponto x devemos tratar x como um ponto fixo Nesse caso devemos utilizar a variável com outra letra que pode ser h x ou outra Assim temos que a fórmula para fx pode ser calculada das seguintes maneiras h f x h il m f x fx 0 h ou ainda x f x x il m f x fx h 0 Exemplo 3 Determine fx e gx no caso das funções fxx 2 e gxx 3 Solução h x h 2xh i l m x h x h i l m x h f x h i l m f x x f 2 2 2 0 h 2 2 0 h h 0 Cancelando o termo x2 em comum e colocando h em evidência temos 119 Caso xo 0 temos que fxo1 pois esta é a inclinação da reta tangente nesse ponto Veja o cálculo 1 x x lim x x x x x x lim o o x x o o x x o o Analogamente se xo 0 temos 1 x x lim x x x x x x lim o o x x o o x x o o 5 5 5 5 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1111 2222 3333 4444 5555 2 2 2 2 1 1 1 1 1111 2222 3333 4444 5555 x y yx Exemplo 6 A função f IR IR dada por fxx1x1x33 não é derivável nos pontos x 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1111 2222 3333 4444 1 1 1 1 1111 2222 3333 4444 5555 6666 x y Observe que o gráfico dessa função tem quinas nos pontos x 1 1 e 2 Isso faz com que as derivadas laterais nesses pontos não coincidam ocasionando portanto a não existência da derivada Nos demais pontos essa função é derivável Obs Em 1860 Karl Weierstrass apresentou exemplo de uma função contínua que não é derivável em ponto algum Os Exemplos 4 5 e 6 mostram funções contínuas mas que não possuem derivada em alguns dos seus pontos Por outro lado como veremos abaixo se uma função for derivável então ela é necessariamente contínua Proposição 1 Toda função derivável em xo é contínua nesse ponto Melhor dizendo se o limite o o x x x x fx fx lim o existe então f x fx lim o x x o Demonstração Mostrar que f x fx lim o x x o é equivalente a mostrar que 0 fx f x lim o x x o Pois é vamos provar isso Multiplicando e dividindo o termo fxfxo por xxo e usando propriedades dos limites teremos fx lim h0 2xh h² h lim h0 h2x h h lim h0 2x h 2x Logo fx2x Analogamente para a função gxx³ temos gx h gx h x h³ x³ h x³ 3x²h 3xh² h³ x³ h h3x² 3xh h² h temos gx lim h0 gx h gx h lim h0 h3x² 3xh h² h 3x² Nos exemplos anteriores vimos que as funções fxx² e gxx³ possuem derivada em todos os pontos do seu domínio no caso IR Mas como veremos a seguir isso nem sempre isso acontece pois algumas funções não possuem derivada em alguns pontos do seu domínio Exemplo 4 A função f IR IR dada por fx x não é derivável em x₀0 mas fx 1 2x para x0 Já vimos em Cálculo que fx₀ 1 2x₀ para x₀0 mas vamos relembrar ok lim xx₀ x x₀ x x₀ lim xx₀ x x₀x x₀ x x₀x x₀ lim xx₀ x x₀ x x₀x x₀ 1 2x₀ Mas no caso de x₀0 ficamos com lim x0 x 0 x 0 lim x0 x x lim x0 x x lim x0 x x lim x0 1 x que não existe Exemplo 5 A função f IRIR dada por fxx é derivável em todos os pontos x0 mas não é derivável no ponto x₀0 Além disso temos fx 1 se x 0 1 se x 0 Para x₀0 temos lim x0 x 0 x 0 lim x0 x x lim x0 x x 1 1 lim x0 x 0 x 0 lim x0 x x lim x0 x x 1 2 Como as derivadas laterais não coincidem concluímos que f0 não existe 120 x lim x x x fx f x lim x x x x fx f x lim fx f x lim o x x o o x x o o o x x o x x o o o o Logo como por hipótese fx x x lim fx fx o o o x x o deduzimos 0 fx 0 x lim x x x fx f x lim fx f x lim o o x x o o x x o x x o o o como queríamos Exemplo 7 A função f IR IR dada por 2 7 se x x 2 se x 3 2 se x 1 x x f 2 não é derivável no ponto x2 Solução A função dada não pode ser derivável no ponto x2 por que isso De fato se esta função fosse derivável no ponto x2 então ela deveria ser contínua nesse ponto o que não acontece Terminaremos com um exemplo não trivial de uma função não derivável em x0 Exemplo 8 A função f IR IR dada por 0 sex 0 0 x sex xsen1 f x é contínua mas não é derivável no ponto x0 04 04 04 04 02 02 02 02 02 02 02 02 04 04 04 04 04 04 04 04 02 02 02 02 02 02 02 02 04 04 04 04 x y Esta função oscila bastante nas proximidades de x0 Mas como x fx x temos que 0 f x 0 e f0 lim x o x ou seja f é contínua no ponto x0 Por outro lado x lim xsen x 0 f x f0 lim x 1 0 x 0 x x lim sen 1 x 0 que não existe Logo não existe f0 121 Exemplo 9 As funções fxsenx e gxcosx hxex são deriváveis em qualquer ponto e além disso fxcosx gxsenx e hxe x Esses resultados decorrem de três limites chamados de fundamentais justamente pelo fato que eles são fundamentais para o cálculo das derivadas dessas funções Três limites fundamentais 1 1 h lim senh h 0 2 0 h lim cosh1 h 0 3 1 h e 1 lim h h 0 Limite do seno Limite do cosseno Limite da exponencial h y π π π π π π π π 2222 ππππ 2222 ππππ 1 h y π π π π π π π π 2222 ππππ 2222 ππππ 1 1 1 1 1111 h y 2 1 1 1 2 Os gráficos acima ilustram a veracidade desses limites mas não valem como demonstração A prova do 1º limite é feita usando propriedades da Trigonometria e o teorema do confronto sanduiche O 2º limite é uma consequência direta do anterior onde multiplicamos e dividimos o quociente acima pelo conjugado do numerador A demonstração do 3º limite é mais delicada Derivada da função seno Devemos provar que cosx h h senx lim senx h 0 Com efeito usando que senabsenacosbsenbcosa temos h sen h cos x sen xcos h 1 h senx sen h cosx sen x cosh h h senx senx cos x h senh h sen x cos h 1 Tomando agora o limite e usando nossos limites fundamentais teremos cosx 1 cosx senx 0 cos x h sen h h lim sen x cos h 1 h h senx lim senx 0 h h 0 122 Derivada da função cosseno Devemos provar que senx h h cosx lim cosx h 0 Com efeito usando que cosabcosacosbsenasenb temos h sen x sen h cos xcos h 1 h cos x sen x senh cos x cosh h h senx cosx Tomando o limite e usando nossos limites fundamentais teremos analogamente sen x h senx senh h lim cos x cos h 1 h h cosx lim cosx 0 h h 0 Derivada da função exponencial ye x Como sempre devemos provar que x x h x h 0 e h e lim e Com efeito usando propriedades de potências e nosso limite fundamental temos x x h 0 h x h x 0 h x h x 0 h x h x h 0 e 1 e h e lim e 1 h lim e e 1 h e e lim e h e lim e Exemplo 10 Como corolário do exemplo anterior temos se yax então yax lna A demonstração pode ser feita usando a Regra da Cadeia que veremos mais adiante mas como é assunto já visto em Cálculo não há problema Como a elna podemos escrever que lnax lna x x e e a Logo pela regra da cadeia temos a lna lnax e e a x lnax lnax x 123 2 RETA TANGENTE E DERIVADA Nesse parágrafo reapresentaremos a vinculação que existe entre o conceito de derivada e a reta tangente ao gráfico dessa função Na verdade o cálculo da reta tangente a uma curva foi uma das motivações históricas para matemáticos como Fermat Barrow Newton e Leibniz entre outros nos Sec XVII e XVIII Considere uma função fX IR e um ponto xo do seu domínio Logo Poxo fxo é um ponto do gráfico dessa função Dado um acréscimo h ao ponto xo determinamos outro ponto Pxoh fxoh desse mesmo gráfico Ao tomarmos o quociente h f x h f x x y o o obtemos a tangente do ângulo que a reta que passa pelos pontos Po e P faz com o eixo Ox como na figura abaixo x y Po P xoh xo Resumindo A taxa média h f x h f x x y o o é o coeficiente angular declividade da reta secante que passa pelos pontos Po e P Quando h 0 temos que o ponto P se aproxima do ponto Po e consequentemente as retas secantes vão se aproximando cada vez mais da reta tangente no ponto Po No limite quando ele existe temos a reta tangente à curva bem determinada Consequentemente h f x h f x lim fx o o 0 h o não é mais a declividade de reta secante e sim a declividade da reta tangente 124 Resumindo A taxa instantânea derivada h f x h lim f x fx o o 0 h o representa o coeficiente angular da reta tangente que passa pelo ponto Po A equação da reta tangente é dada por yyofxoxxo O Exemplo a seguir mostra uma situação concreta do que estamos fazendo no caso da função fxx 2 e xo1 Exemplo 11 Consideremos a função fxx2 e o ponto xo1 Vamos determinar a equação da reta tangente ao gráfico nesse ponto Solução Como fxx2 temos que Po1 1 e também que P1h 1h2 Daí 2 h h h h2 h 1 h 2h 1 h 1 1 h x y 2 2 2 2 é o coeficiente angular da reta secante que passa nos pontos Po e P 1 1 2 3 4 5 6 Po 1h 1 1 1 2 3 4 5 6 Po P 1h 1 1 1 2 3 4 5 6 Po P 1h 1 Quando h 0 temos 2 2 limh x y lim f 1 0 h h 0 ou seja f12 Consequentemente a equação da reta tangente a essa curva é y12x1 ou seja y2x1 1 1 2 1 1 2 3 Po tangente 125 Exemplo 12 Determinar as coordenadas do ponto Pxy da curva 1 4x f x no qual a reta tangente é paralela à reta 4 x 3 2 y Solução A declividade da reta 4 3 x 2 y é 3 2 Como sabemos do Cálculo a derivada de 1 4x f x é 1 4x 2 4 1 4x 2 1 fx Como retas paralelas têm a mesma declividade igualamos esses dois números 2 x 9 1 4x 3 1 4x 3 2 1 4x 2 Logo o ponto procurado é P2 3 x y 5 5 reta x y 3 PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DAS DERIVADAS Você já imaginou calcular a derivada de uma função com uma expressão mais complicada como 3 2x 5x x x f 2 utilizando a definição O trabalho que se tem é muito grande e envolve muitos cálculos Para simplificar esse trabalho os matemáticos observaram que se duas funções são deriváveis em um ponto xo então a soma fg o produto por uma constante kf o produto fg e o quociente fg são também deriváveis nesse ponto Além disso o que é a grande vantagem desta descoberta explicitaram as fórmulas para estas derivadas Elas são chamadas de regras de derivação Proposição 2 Se f g são deriváveis em xo X então f g kf fg e fg são também deriváveis neste ponto e além disso 1 f gxo fxo gxo 2 kf xo kf xo 3 fgxo fxogxo fxogxo 4 2 o o o o o o x g f x gx fx gx gx f desde que gxo 0 As demonstrações dessas regras são relativamente simples e são consequências das propriedades dos limites de funções 126 Derivada da soma fg Nossas hipóteses são que o o x x x x fx fx lim o e o o x x x x lim gx gx o existem e devemos provar que o o x x x x gx gx f lim f o também existe e é igual a fgxo Veja como é fácil Pela definição de soma de funções temos o o o x x o o x x o x x gx gx fx lim fx x x gx gx f lim f gx f o o Agrupando os termos que contém a função f e a função g e usando que o limite de uma soma é igual à soma dos limites ficamos com gx fx x x lim gx gx x x lim fx fx x x gx gx lim fx fx o o o o x x o o x x o o o x x o o o Conclusão f gxo fxo gxo Derivada do produto de constante k por uma função f Muito fácil também essa prova veja k fx x x lim k fx fx x x lim k fx k fx x x lim kfx kfx kf x o o o x x o o x x o o x x o o o o Derivada do produto de duas funções f e g o o o x x o o x x o x x lim fxgx fx gx x x lim f gx f gx gx f o o Nesse ponto temos um problema que não aconteceu antes Nós não podemos melhorar o numerador de nossa expressão como fizemos no cálculo da derivada da soma fg Mas existe um meio um pequeno truque algébrico que nos permitirá chegar ao nosso resultado Qual é então esse truque Veja Nosso numerador é do tipo ADBC logo somando e subtraindo o termo BD podemos escrevêlo da seguinte forma ADBC ADBDBDBC ABD BDC 127 Voltando ao nosso cálculo da derivada temos o o o o o x x o o o x x o x x fx gx fx gx lim fxgx fx gx x x lim fxgx fx gx gx f o o o o o x x o o x x o o o o x x x x gx lim fx gx x x lim fx fx gx x x gx fx gx lim fx fx gx o o o Ora como g é uma função derivável é também contínua Logo lim gx gx o x x o Usando nossas hipóteses de f g serem deriváveis finalmente teremos f x gx fx gx x x gx lim fx gx x x lim fx fx gx gx f o o o o o o o x x o o x x o o o Derivada do quociente de duas funções f e g o o o o x x o o o x x o o x x o x x gxgx f x gx xgx f lim x x gx f x gx x f lim x x gx gx f f lim gx f o o o xgx g x x f x gx f xgx f xgx xgx f lim xgx g x x f x gx xgx f lim o o o o x x o o o o x x o o 2 o o o o o o o o o x x gx f x gx f x gx xgx g x x gx f xgx f x gx x f lim o Exemplo 13 Determinar as coordenadas dos pontos da curva 1 x x x f 2 no qual a reta tangente horizontal ou seja derivada igual a zero Solução O gráfico de nossa função mostra que existem 2 pontos x1 x2 onde a reta tangente é horizontal Um deles é x10 como veremos nos cálculos Pela regra do quociente temos 1 x 2x x 1 x x 2x 2x 1 x 1 x 1 2xx x f 2 2 2 2 Logo fx0 x22x0 x0 e x2 Finalmente os pontos são P00 e Q2 4 x y 5 x y 128 Na Proposição a seguir faremos a prova da importante regra de derivação que é a regra da cadeia ou derivada da função composta Essa regra merece destaque por sua importância e aplicações Proposição 3 regra da cadeia Se f X Y é uma função derivável no ponto xo e g Y IR é derivável no ponto fxo então a função gf X IR é também derivável no ponto xo Além disso vale a regra gfxo gfxofxo Demonstração Precisamos mostrar que a derivada da função composta gf é o produto das derivadas nos pontos correspondentes Ou seja devemos provar que g f x fx x x lim gfx gfx g fx o o o o x x o o o Para sermos mais precisos vamos dividir a demonstração em dois casos ok 1 Em qualquer vizinhança de xo existem infinitos pontos x tais que fxfxo 2 Caso contrário ou seja existe uma vizinhança de xo onde fx fxo x No primeiro caso tomamos uma sequencia de pontos xn xo onde fxnfxo 1 x 2 x 3 x n x Logo como o limite independe da forma como nos aproximamos do ponto xo temos 0 x x 0 lim x x lim fx fx x x lim fx fx x f o x x o o o x x o o x x o o o o 0 x x 0 lim x x lim gfx gfx x x lim gfx gfx g fx o x x o o o x x o o x x o o o o o Resumindo nesse caso teremos fxo0 e também gfxo0 e portanto a fórmula gfxo gfxofxo se reduz a uma igualdade 00 que é verdadeira No segundo caso temos fx fxo x numa vizinhança de xo Logo podemos multiplicar e dividir nosso quociente o o x x gfx gfx por fx fxo e terminar a demonstração Veja abaixo gfx x fx 129 x x fx fx fx fx lim gfx gfx fx fx fx fx x x lim gfx gfx g fx o o o o x x o o o o x x o o o o Como o limite do produto é o produto dos limites podemos escrever g f x fx x x fx fx fx fx lim gfx gfx g fx o o o o o o x x o o o cqd Nosso próximo resultado é consequência direta da Regra da Cadeia e nos diz que a derivada da função inversa f1 é igual ao inverso da derivada da função f nos pontos correspondentes claro Proposição 4 derivada da função inversa Seja f X YIR uma função bijetiva que possui inversa g Y X ou seja gf 1 Se g é contínua no ponto yofxo f é derivável no ponto xo e fxo0 então a função g é também derivável no ponto fxo Mais ainda temse fx 1 f x g o o Observemos que a continuidade da inversa f1 é automática no caso de X ser um intervalo ou uma união de intervalos X Ela é consequência do Teorema do Valor Intermediário Demonstração Como g é contínua em yo temos o o y y x gy lim gy o Pela definição de derivada fx fx lim gfx gfx y y lim gy gy y g o o y y o o y y o o o Como g é a função inversa de f temos gfxx e gfxoxo Além disso x xo equivale a dizer que y yo Logo temos fx 1 x x fx fx 1 lim fx fx x x lim fx fx lim gfx gfx y g o o o x x o o y y o o y y o o o o yo xo 130 Exemplo 14 Determinar a derivada da inversa da função fxx33x23x1 no ponto y3 cujo gráfico está dado abaixo Solução Podemos ver pelo gráfico que f é contínua e crescente em IR logo é inversível e sua inversa é contínua Como yo3 para usar nossa fórmula precisamos saber qual o ponto xo onde fxo3 Igualando fx a 3 temos x 33x 23x13 ou seja temos x33x23x20 cuja única raiz é x2 Logo xo2 3 x y fx Derivando a função fxx 33x 23x1 fx3x 26x3 f23 Daí temos finalmente que 3 1 f2 1 g3 Exemplo 15 Determinar a derivada da inversa de 2x 5 1 3x f x no ponto yo8 SAIBA MAIS Observe que a função 2x 5 1 3x f x é injetiva e não está definida no ponto 2 x 5 Além disso ela só não assume o valor 2 y 3 note que 2 3 2x 5 lim 3x 1 f x lim x x que nos dá a assíntota horizontal 2 y 3 do gráfico Assim a rigor temos que 2 3 R 2 5 f R é uma bijeção contínua com inversa também contínua 4 4 4 4 8 x fx Solução Precisamos encontrar 8 f 1 Para isso devemos achar o ponto x tal que fx8 Igualando fx a 8 temos 3 x 13x 39 16x 40 3x 1 8 2x 5 1 3x Derivando fx 2 2 2 5 2x 13 2x 5 2 6x 15 6x 2x 5 1 2 3x 5 3 2x fx 131 Logo 13 5 6 13 f3 2 e portanto 13 1 f3 1 8 f 1 A invenção do Cálculo Diferencial é tributada a dois grandes homens Isaac Newton e G Leibniz em lugares diferentes Newton nasceu na Inglaterra e Leibinz era alemão Ambos deram muitas contribuições à Ciência Leia um pouco mais sobre eles Sir Isaac Newton 1643 1727 foi um cientista inglês Sua obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica é considerada uma das mais influentes em História da ciência Foi o primeiro a demonstrar que o movimento de objetos tanto na Terra como em outros corpos celestes são governados pelo mesmo conjunto de leis naturais Em uma pesquisa promovida pela renomada instituição Royal Society Newton foi considerado o cientista que causou maior impacto na história da ciência De personalidade sóbria fechada e solitária para ele a função da ciência era descobrir leis universais e enunciá las de forma precisa e racional Newton foi respeitado como nenhum outro cientista e sua obra marcou efetivamente uma revolução científica Seus estudos foram como chaves que abriram portas e mais portas para diversas áreas que hoje possuímos acesso com mais facilidade do que séculos atrás Extraído de httpptwikipediaorgwikiIsaacNewton Gottfried Wilhelm von Leibniz 16461716 foi um filósofo cientista matemático diplomata e bibliotecário alemão A ele é atribuída a criação do termo função 1694 que usou para descrever uma quantidade relacionada a uma curva como por exemplo a inclinação ou um ponto qualquer situado nela É creditado a Leibniz e a Newton o desenvolvimento do cálculo moderno em particular o desenvolvimento da Integral e da Regra do Produto Demonstrou genialidade também nos campos da lei religião política história literatura lógica metafísica e filosofia httpptwikipediaorgwikiGottfriedLeibniz Gottfried Leibniz Origem Wikipédia 132 4 OS TEOREMAS DE ROLLE E LAGRANGE Assim como Newton e Leibniz vários outros cientistas se dedicaram à Matemática tanto antes como depois deles O matemático J Lagrange foi um deles e tem seu nome em várias partes da matemática como Cálculo e Álgebra O Teorema do Valor Médio ou de Lagrange é um dos teoremas mais conhecidos sobre derivadas e tem aplicações ao estudo do crescimento de funções JosephLouis de Lagrange fonte Wikipédia Joseph Louis Lagrange 1736 1813 foi um matemático francês pois apesar de ter nascido na Itália naturalizouse francês Aos 16 anos tornouse professor de Matemática na Escola Real de Artilharia de Turim Desde o começo foi um analista nunca um geômetra o que pode ser observado em sua obra prima projetada aos 19 anos Méchanique Analytique Aos 23 anos aplicou o cálculo diferencial à teoria da probabilidade indo além de Newton com um novo começo na teoria matemática do som Foi também eleito como membro estrangeiro da Academia de Ciências de Berlim em 1759 Foi o primeiro a formular o Teorema do Valor Médio em Cálculo que consiste em Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses f é contínua no intervalo fechado ab f é diferenciável no intervalo aberto ab Então existe um número c a b tal que fb fa fcba httpptwikipediaorgwikiJoseph LouisdeLagrange O resultado que apresentaremos a seguir é chamado Teorema de Rollle 1652 1719 Apesar de ser um caso particular do Teorema de Lagrange esse teorema é utilizado na sua demonstração ou seja esses teoremas são de fato equivalentes Teorema 1 Rolle Suponhamos que f a b IR é uma função contínua derivável em a b e além disso fa fb Então existe c ab tal que fc 0 Qual é o significado geométrico do Teorema de Rolle Veja ele nos diz que deve existir um ponto c no interior do intervalo ab onde a reta tangente ao gráfico de f é horizontal Para isso acontecer é importante termos as três as hipóteses desse Teorema f contínua em ab derivável em ab e além disso fafb O gráfico a seguir ilustra a situação que desejamos 133 x y 1 2 a b fafb c Demonstração Como f é contínua e a b é fechado e limitado o Teorema de Weierstrass Teorema 2 do capítulo anterior garante a existência de um ponto de mínimo x1 e também um ponto de máximo x2 em ab Em outras palavras existem x1 x2 no intervalo ab tais que fx1 fx fx2 x ab Duas situações podem ocorrer 1 x1 x2 coincidem com as extremidades do intervalo Por exemplo x1a e x2b 2 Pelo menos um dos pontos x1 ou x2 não é extremidade do intervalo Na 1 a situação x1a e x2b ou seja o ponto de mínimo e o ponto de máximo estão nas extremidades do intervalo Note também que nossa hipótese diz que fafb Logo temos fafxfb x ou seja f é constante Daí fx0 xa b e o Teorema está provado neste caso x y 1 x1a x2b x Na 2a situação estamos supondo que x1 ou x2 está no interior do intervalo ab Suponha que seja x1 o ponto que está no interior do intervalo a b Vamos mostrar que neste caso fx10 Note que x1 é ponto de mínimo de f e portanto fx fx1 numa vizinhança de x1 x y a b x1 fa Daí quando xx₁ pela esquerda temos fx fx₁ x x₁ 0 Logo como f é derivável temos fx₁ 0 ① Quando x x₁ pela direita temos fx fx₁ x x₁ 0 Logo como f é derivável fx₁ 0 ② De ① e ② concluímos que fx₁0 como queríamos demonstrar SAIBA MAIS É importante notar que as hipóteses do teorema acima são todas necessárias ou seja a retirada de qualquer dessas três hipóteses torna falsa a conclusão do Teorema de Rolle Veja abaixo os exemplos Uma função f 12 IR que satisfaz fafb é derivável no intervalo 12 mas que não satisfaz a conclusão do T de Rolle Isso mostra que a hipótese da continuidade da função f é importante ou seja não pode ser retirada Uma função f 02 IR que é contínua em ab tem f0f2 mas que não satisfaz a conclusão do T de Rolle Isso mostra que a hipótese da diferenciabilidade da função f é importante Obs No ponto x1 a derivada não existe Uma função f 12 IR que é contínua derivável no intervalo 12 mas que não satisfaz a conclusão do T de Rolle Isso mostra que a hipótese de fa ser igual a fb é importante 135 Teorema 2 Lagrange Seja f a bIR uma função contínua e derivável no intervalo aberto a b Então existe c a b tal que fbfafcba O teorema de Lagrange tem uma interpretação geométrica Escrevendo a igualdade fbfafcba na forma f c a b f a f b o teorema de Lagrange afirma que existe c a b onde o declividade da reta tangente no ponto c fc é igual à declividade da reta que passa nos pontos a fa e b fb Ou ainda de outra forma A reta tangente à curva yfx no ponto c é paralela à reta que passa nos pontos a fa e b fb 1 2 2 4 6 8 x y c Demonstração do Teorema Considere a função auxiliar F a b IR x a a b f a f b f a f x Fx Vamos mostrar facilmente que FaFb 0 ok 0 f a f a a a a b f a f b f a f a Fa 0 f a f b f a f b b a a b f a f b f a f b Fb Como F é contínua no intervalo ab e derivável em a b temos pelo Teorema de Rolle que existe c a b tal que F c 0 Fazendo os cálculos temos que 1 0 a b f a f b 0 fx Fx Logo a b f a f b fc Fc 0 ou seja a b f a f b fc como queríamos Exemplo 16 Dada função f13 IR fxx 33x 2x4 determine o ponto c03 que satisfaz o Teorema de Lagrange Solução O gráfico a seguir mostra o gráfico da função fxx33x2x4 definida em IR e sua restrição ao intervalo 1 3 136 x y 1 1 2 3 1 1 2 3 4 5 6 7 c Como f13 e f37 temos que o quociente a b f a f b neste caso é 2 1 3 3 7 1 3 f 1 f 3 Daí o Teorema de Lagrange garante a existência de um ponto c03 tal que fc2 Nesse caso podemos calcular o ponto c veja fxx 33x 2x4 fx 3x 26x1 Igualando essa derivada a 2 temos 3x26x12 ou seja 3x26x10 As raízes dessa equação são 3 2 3 3 6 4 3 6 6 48 6 6 12 36 6 x Finalmente o ponto procurado é 21547 3 2 3 1 3 2 3 3 c Como dissemos o Teorema de Lagrange é útil para provarmos resultados do Cálculo que são intuitivos Por exemplo é natural pensar que uma função derivável f I R estritamente crescente tenha derivada positiva Veja a seguir os enunciados Corolário 1 Se f a b IR é uma função derivável e fx0 xI então f é constante D Fixemos um ponto x1 I e considere x um outro ponto qualquer à sua direita Pelo Teorema de Lagrange temos fxfx1fcxx10 logo fxfx1 Caso x esteja à esquerda de x1 vale a mesma relação fx1fxfcx1x0 Logo em qualquer caso temos fxfx1 x I ou seja f é constante Corolário 2 Seja f a b IR uma função contínua e derivável em a b Se fx0 xI então f é estritamente crescente ou seja x1x2 fx1fx2 Analogamente se fx0 x I então f é estritamente decrescente ou seja x1x2 fx1fx2 137 D Se x1 x2 pertencem ao intervalo I e x1 x2 temos pelo Teorema de Lagrange que fx2 fx1 f c x2x1 Como fc 0 e x2x1 0 temos fx2 fx1 0 ou seja fx1 fx2 A outra parte da demonstração segue o mesmo raciocínio SAIBA MAIS A recíproca do Corolário 2 é falsa De fato a função f IR IR dada por fxx3 é estritamente crescente mas existe um ponto onde a derivada se anula Nesse exemplo temos que f 0 0 1 1 1 1 x y Exemplo 17 Mostre que a função x 3 1 2x f x é estritamente decrescente em cada um dos intervalos 3 e 3 Solução Note que a função f definida por x 3 1 2x f x tem domínio IR3 Como o Teorema de Lagrange e os Corolários 1 e 2 tratam de funções definidas em um intervalo devemos estudar o crescimento dessa função em cada um dos intervalos dados 3 e 3 separadamente Derivada de x 3 1 2x f x 2 2 2 x 3 7 x 3 1 2x 6 2x x 3 1 1 2x 3 2 x fx Como fx0 para todo x pertencente a qualquer um dos intervalos dados temos que a função f é estritamente decrescente neles Observação É importante ver para crer sentir que o que fizemos é de fato verdadeiro Por essa razão exibimos o gráfico da função x 3 1 2x f x ao lado Ele mostra geometricamente o que vimos acima isto é que f é estritamente decrescente 138 Definição 2 Uma função f X IR é chamada de Lipschitziana se existe um número c0 tal que fxfy cxy para todos xy X Uma função f X IR é dita uniformemente contínua se dado ε0 existe δ0 tal que xy δ fxfy ε x y I De acordo com as definições dadas temos que toda função Lipschitziana é uniformemente contínua De fato dado ε0 podemos tomar c δ ε Logo se f é Lipschitziana xy δ temos ε c c ε c δ y c x f y x f A noção de continuidade uniforme é utilizada em algumas demonstrações em Matemática como na parte de integrais definidas Corolário 3 Se f a b IR é uma função contínua em ab e fx c x ab então f é uma função Lipschitziana Em particular f é uniformemente contínua Demonstração Pelo Teorema do Valor Médio temos que para quaisquer dois pontos x1x2 temos fx2fx1 fcx2x1 Mesmo quando x2 x1 podemos escrever fx2 fx1 f c x2x1 f c x2x1 c x2x1 Resumindo se a derivada fx é uma função limitada então temos que a função f é uniformemente contínua Exemplo 18 As funções fxsenx e gxcosx são uniformemente contínuas pois possuem derivadas limitadas De fato temos f x 1 e gx 1 É claro que toda função uniformemente contínua é também contínua mas a recíproca é falsa como mostra o exemplo a seguir Exemplo 19 f IR IR dada por x 1 f x não é uniformemente contínua Demonstração A condição xy δ fxfy ε x y I nos diz que uma função uniformemente contínua leva quaisquer pontos próximos x y do domínio em pontos próximos fx e fy Isso não acontece com a função x 1 f x 139 De fato tomando ε½ temos que os pontos n xn 1 e 1 n 1 yn são tais que 0 1 nn 1 1 n 1 n y 1 x n n mas ε 1 1 n n f y x f n n O teorema a seguir que não será demonstrada nesse texto dá a condição para uma função contínua ser uniformemente contínua Teorema 3 Se f IIR uma função contínua e I é um intervalo fechado e limitado então f é uma função uniformemente contínua Finalmente o exemplo abaixo mostra que a recíproca do Corolario 3 é falsa Exemplo 20 A função f 01 IR x f x é uniformemente contínua pois está definida num intervalo fechado e limitado mas não possui derivada limitada no intervalo 01 De fato x 2 1 fx quando x 0 SÍNTESE Neste capítulo vimos a noção formal de derivada de uma função e vários resultados básicos Além disso analisamos o comportamento de funções deriváveis quando definidas em um intervalo a b nos Teoremas de Rolle e Lagrange Nosso próximo capítulo será sobre Integral de Riemann LEITURAS INDICADAS EVES Howard Introdução à História da Matemática 3 ed Campinas Unicamp 2002 LIMA Elon Análise Real v 1 Rio de Janeiro SBM 2008 SITES INDICADOS Funções não Deriváveis httpwwwfcupptmpjcsantosnaoderhtml httpptwikipediaorgwikiKarlWeierstrass Sobre Isaac Newton e Leibniz 140 httpptwikipediaorgwikiIsaacNewton httpastroifufrgsbrbibnewtonhtm httpwwwyoutubecomwatchv0rQB8VDlR5c httpptwikipediaorgwikiGottfriedLeibniz Sobre Rolle httpenwikipediaorgwikiMichelRolle httpwwwimeunicampbrcalculomoduloshistoryrolle Sobre Lagrange httpptwikipediaorgwikiJosephLouisdeLagrange httpcwxprenhallcombookbindpubbooksthomasbrchapter1medialibcustom3bi oslagrangehtm 141 CAPÍTULO 9 A INTEGRAL DE RIEMANN O conceito de integral definida surgiu no Séc XVII pela necessidade da obtenção de áreas de figuras planas e outras aplicações Porém na antiguidade Arquimedes já havia determinado o valor da área sob um arco de parábola usando um método que basicamente foi o utilizado pelos matemáticos do Sec XVII Que interessante não é Este capítulo tem como objetivo reapresentar o conceito de integral definida com um pouco mais de rigor que é característico de um curso de Análise Matemática Faremos também a conexão entre os conceitos de integral e de derivada dado pelo Teorema Fundamental do Cálculo Como de costume apresentaremos vários exemplos e figuras com o intuito de dar maior visibilidade e clareza ao texto 1 A CONTRIBUIÇÃO DE ARQUIMEDES Segundo os historiadores os primeiros sucessos para cálculos de áreas de figuras com fronteiras curvas segmentos de parábolas círculo etc foram feitos por Hipócrates de Quio que calculou áreas de figuras chamadas lunas Arquimedes considerado o mais eminente matemático da Antiguidade trabalhou muito no sentido de calcular áreas e volumes de várias figuras assim como o círculo e a esfera No caso do arco ACB de uma parábola determinado pela corda AB Arquimedes tomou como primeira aproximação o triângulo ABC no qual C é um ponto da parábola em que a reta tangente é paralela ao lado AB Depois considerou dois outros pontos D e E um em cada lado da parábola formando dois novos triângulos ACD e BCE A soma da área do triângulo ABC com as áreas dos triângulos ACD e BCE já nos dão uma melhor aproximação da área do arco da parábola Prosseguindo dessa forma tomando mais e mais triângulos inscritos Arquimedes conseguiu provar que a área desse arco de parábola é igual a 43 da área do ABC 142 Para o caso da área do círculo Arquimedes inscreveu polígonos regulares dobrando em cada etapa o número de lados Dessa forma as áreas desses polígonos ficam cada vez mais próximas por falta da área do círculo procurada Analogamente tomando polígonos circunscritos Arquimedes obteve aproximações por excesso da área do círculo Esse processo é chamado de método de exaustão que é devido a Eudoxo matemático anterior a Arquimedes No caso de polígono inscrito e circunscrito com 96 lados Arquimedes obteve que a razão da área do círculo pelo quadrado do seu raio estava compreendida entre 70 71 e 3 10 3 10 ou seja temos 3142857 r A 3140845 2 Daí se conclui que A 3142857 2r Hoje dizemos que a área do círculo é exatamente Aπr 2 e que π314159 é um número irracional A área do quadrado inscrito dá uma aproximação por falta da área do círculo A área do octógono inscrito dá uma aproximação por falta da área no círculo A figura mostra um octógono ABCDEFGH circunscrito em um círculo Neste caso a área do octógono é maior do que a área do círculo ou seja temos uma aproximação por excesso da área procurada Considerando mais polígonos circunscritos temos uma boa aproximação da área do círculo 143 2 FUNÇÕES LIMITADAS SOMAS INFERIORES E SOMAS SUPERIORES A ideia utilizada para definir a integral de uma função contínua f a bIR é análoga a que foi utilizada por Arquimedes ou seja a ideia de considerar aproximações por falta e por excesso da região limitada pela curva e o eixo Ox Essas aproximações serão chamadas de somas inferiores e somas superiores da função f no intervalo a b Para dar maior generalidade ao texto trabalharemos com funções f a bIR limitadas Como é fácil ver toda função contínua a bIR é limitada mas a recíproca é falsa Definição 1 Uma função f a b IR é dita limitada se f satisfaz qualquer uma das três condições abaixo O conjunto imagem Imf fx x ab é um conjunto limitado Existe K 0 tal que fx K x ab Existem m M 0 tais que m fx M x a b Existem funções limitadas que não são contínuas como é o caso da função f 0 3 IR dada por 3 x 3 se 2 x 2 x se 1 2 1 x se 0 x f x Temos que 0 fx 2 mas f é descontínua nos pontos x1 e x2 x y 1 1 2 3 1 1 2 Proposição 1 Toda função contínua f a b IR é limitada Demonstração Como f é uma função contínua e está definida num intervalo fechado e limitado o Teorema de Weierstrass garante que f assume máximo M e mínimo m em a b Logo f é uma função limitada Observe que a hipótese do domínio ser um intervalo fechado e limitado é importante para garantir a veracidade da Proposição anterior Por exemplo a função f 01 IR dada por x 1 f x é contínua mas não é limitada O exemplo acima mostra uma função com apenas dois pontos de descontinuidade Veja mais esse estranho exemplo 144 Exemplo 1 A função f0 1IR 01 0 se x Q 01 1 se x Q f x é descontínua em todos os pontos do intervalo 0 1 Demonstração A função f assume o valor um para números x racionais e valor zero para números irracionais Logo dado xo 01 racional considere uma sequencia x1 x2 x3 xn de números irracionais tais que xn xo Daí temos que fxn0 fxo1 Analogamente para xo 01 irracional tome uma sequencia x1 x2 x3 xn de números racionais tais que xn xo Daí temos que fxn1 fxo0 Exemplo 2 A função f 0 1IR dada por x se x 01 1 0 se x 1 f x é ilimitada logo descontínua De fato quando x 0 temos fx 2 1 1 2 1 2 3 4 As palavras chaves que vamos introduzir para chegar aos conceitos de somas inferiores e somas inferiores de uma função limitada são Partição do intervalo ab Ínfimo de um conjunto limitado Supremo de um conjunto limitado Definição 2 Uma partição P do intervalo a b é uma coleção de n1 pontos do intervalo ab ou seja pontos toa t1 t2 tn1 tnb que dividem este intervalo em n partes não necessariamente iguais Escrevemos P to t1 t2 tn1 tn Observe que para termos uma partição de um intervalo ab são necessários n1 pontos em que o 1º é igual a extremidade a e o último é a extremidade b Além disso esses pontos não precisam estar igualmente espaçados uns dos outros Os comprimentos de cada subintervalo são denotados por ti ou seja t1 t1to t2 t2t1 t3 t3t2 tn tntn1 to t1 t2 tn1 tn a b Um exemplo de uma partição P do intervalo ab com n subintervalos de mesmo comprimento 145 Dada f a b IR limitada e uma partição Pto t1 t2 tn1 tn podemos tomar em cada subintervalo ti1 ti o menor valor da função f ou seja o ínfimo dos valores fx nesse intervalo Analogamente podemos tomar o maior valor da função f em cada subintervalo ou seja o supremo dos valores fx no intervalo ti1 ti Dessa forma temos a seguinte definição Definição 2 Dada uma partição P to t1 t2 tn1 tn do intervalo a b definimos m1inf fx xto t1 m2inf fxxt1 t2 mn inf fx xtn1 tn M1sup fx xtot1 M2sup fxxt1t2 Mn sup fx xtn1 tn Note que se f é uma função contínua o ínfimo coincide com o valor mínimo de f nesse intervalo e sua existência é assegurada pelo Teorema de Weierstrass O mesmo ocorre com o supremo que coincide com o valor máximo Exemplo 3 Considere a função f 0 3IR dada por fxx1 e a partição Pto0 t21 t32 t43 Essa partição divide o intervalo 03 em 3 partes iguais Neste caso No subintervalo 01 temos m11 M12 No subintervalo 12 temos m22 M23 No subintervalo 23 temos m33 M34 2 1 1 2 3 1 1 2 3 4 Exemplo 4 Considere a função f 0 3IR dada por fxx maior inteiro menor ou igual a x e a partição Pto0 t21 t32 t43 Neste caso No subintervalo 01 temos m10 M11 No subintervalo 12 temos m21 M22 No subintervalo 23 temos m32 M33 1 1 2 3 1 1 2 3 Podemos agora definir as somas inferiores sfP e somas superiores SfP Definição 3 Seja f a b IR limitada e P uma partição do intervalo a b A soma inferior de f em relação a P é o número real sfPm₁Δt₁m₂Δt₂mₙΔtₙ Analogamente a soma superior de f é definida por SfPM₁Δt₁ M₂Δt₂ MₙΔtₙ Exemplo 5 Seja f 12 IR dada por fxx Dividindo o intervalo 1 2 em 5 partes iguais temos a partição Pt₀1 12 14 16 18 t₆2 Vamos determinar sf P e também Sf P como as aproximações por falta e por excesso da área A limitada por essa curva e o eixo Ox Todos os intervalos têm o mesmo comprimento Δt₁ Δt₂ Δt₃ Δt₄ Δt₅ 02 Temos também m₁1 m₂12 m₃14 m₄16 e m₅18 M₁12 M₂14 M₃16 e M₄18 e M₅2 A soma inferior sfP neste caso é dada por sfP ΣmᵢΔtᵢ 102 12 02 14 02 16 02 18 02 Colocando Δtᵢ em evidência temos sfP 02 1 12 14 16 18 02 7 14 ① sfP é a soma das áreas dos retângulos inscritos no gráfico de f SfP é a soma das áreas dos retângulos circunscritos ao gráfico de f 148 Como 1 22 23 2 4 25 2 55 temos 0 25463 55 6 1 6 1 f P s 2 Analogamente vamos calcular SfP 6 1 6 6 6 1 6 5 6 1 6 2 6 1 6 1 f P S 2 2 2 2 ou seja 6 6 6 5 6 2 6 1 6 1 f P S 2 2 2 2 Como 1 22 23 2 4 25 2 6 2 91 temos 0 42129 91 6 1 6 1 6 3 2 1 6 1 6 1 f P S 2 2 2 2 2 2 Exemplo 7 Seja f IR IR dada por fxx 21 e consideremos a parte do gráfico dessa função restrita ao intervalo 01 ver figura Vamos tomar duas partições P1 e P2 do intervalo 01 com 4 e com 6 subintervalos respectivamente As somas inferiores sfP são calculadas somando se as áreas dos retângulos de base ti e altura mi x y 1 1 2 x y 1 1 2 Soma inferior sfP com 4 subintervalos x y 1 1 2 Soma inferior sfP com 6 subintervalos Como fxx 21 e to 0 4 t1 1 4 t2 2 4 t3 3 4 t 4 4 temos 1 0 m 2 1 1 4 1 m 2 2 1 4 2 m 2 3 1 4 3 m 2 4 Logo Analogamente temos SfP ΣMᵢΔtᵢ ou seja SfP 12 02 14 02 16 02 18 02 2 02 Colocando Δtᵢ em evidência ficamos com SfP 02 12 14 16 18 2 02 8 16 ② Logo de ① e ② temos 14 A 16 Exemplo 6 Seja f 01 IR dada por fxx² As figuras abaixo mostram uma partição P do intervalo 01 com 6 subintervalos As somas inferiores sfP são calculadas somandose as áreas dos retângulos de base Δtᵢ e altura mᵢ enquanto que as somas superiores são calculadas somandose as áreas dos retângulos de base Δtᵢ e altura Mᵢ Logo é claro que sfP SfP Como a função fxx² e t₀ 0 t₁ 16 t₂ 26 t₃ 36 t₆ 66 1 temos m₁ 0 m₂ 16² m₃ 26² m₆ 56² M₁ 16² M₂ 26² M₃ 36²M₆ 66² Daí temos o cálculo de sfP sfP 0² 16 16² 16 26² 16 56² 16 16 0² 16² 26² 56² ou sfP 16 16² 1² 2² 3² 4² 5² 149 4 1 1 4 3 4 1 1 4 2 4 1 1 4 1 4 1 1 0 t m f P s 2 2 2 2 4 i 1 i i 1 Colocando ti em evidência ficamos com 1 4 3 1 4 2 1 4 1 1 0 4 1 f P s 2 2 2 2 1 Somando os 4 números iguais a 1 ficamos com 3 2 1 4 1 4 4 1 4 3 4 2 4 1 0 4 4 1 f P s 2 2 2 2 2 2 2 2 1 Como 122232 14 temos 121875 16 14 4 4 1 14 4 1 4 4 1 3 2 1 4 1 4 4 1 f P s 2 2 2 2 2 1 Analogamente para a partição P2 temos 6 parcelas 6 1 1 6 5 6 1 1 6 2 6 1 1 6 1 6 1 1 0 f P s 2 2 2 2 2 ou seja 1 6 5 1 6 2 1 6 1 1 0 6 1 f P s 2 2 2 2 2 5 4 3 2 6 1 1 6 6 1 f P s 2 2 2 2 2 2 2 Como 122232 4252 55 temos 125463 6 55 1 6 6 1 f P s 2 2 Note que quando aumentamos o número de pontos da partição P a soma inferior não diminui ou seja sfP1 sfP2 150 Exemplo 8 Seja f 01 IR dada por fxx21 As figuras mostram duas partições P1 e P2 do intervalo 01 com 4 e com 6 subintervalos respectivamente As somas superiores SfP são calculadas somandose as áreas dos retângulos de base ti e altura Mi x y 1 1 2 Soma superior SfP com 4 subintervalos x y 1 1 2 Soma superior SfP com 6 subintervalos Como fxx 21 e to 0 4 t1 1 4 t2 2 4 t3 3 4 t 4 4 temos 1 4 1 M 2 1 1 4 2 M 2 2 1 4 3 M 2 3 1 4 4 M 2 4 Logo 4 1 1 4 4 4 1 1 4 3 4 1 1 4 2 4 1 1 4 1 t m f P S 2 2 2 2 4 i 1 i i 1 Colocando ti em evidência ficamos com 1 4 4 1 4 3 1 4 2 1 4 1 4 1 f P S 2 2 2 2 1 4 3 2 1 4 1 4 4 1 f P S 2 2 2 2 2 1 Como 122232 42 30 temos 146875 16 30 4 4 1 30 4 1 4 4 1 f P S 2 1 Analogamente para a partição P2 temos 6 parcelas Como to 0 6 t1 1 6 t2 2 6 t3 3 1 6 6 t6 temos 151 1 6 1 M 2 1 1 6 2 M 2 2 1 6 3 M 2 3 1 6 6 M 2 6 Com isso podemos calcular 6 i 1 i i 2 M t S f P Logo 6 1 1 6 6 6 1 1 6 5 6 1 1 6 2 6 1 1 6 1 f P S 2 2 2 2 2 ou seja 1 6 6 1 6 5 1 6 2 1 6 6 1 1 f P S 2 2 2 2 2 Daí 142129 6 91 1 6 6 1 6 3 2 6 1 1 6 6 1 f P S 2 2 2 2 2 2 2 Note que quando aumentamos o número de pontos da partição P a soma superior não aumenta ou seja SfP2 SfP1 Para definirmos a integral de Riemann precisamos introduzir o conceito de refinamento de uma partição P Definição 4 Sejam P e Q duas partições do intervalo a b Quando Q P dizemos que Q é um refinamento de P 152 3 A INTEGRAL DE RIEMANN Bernhard Riemann Fonte Wikipédia Georg Friedrich Bernhard Riemann 1826 1866 foi um matemático alemão com contribuições fundamentais para a Análise e a Geometria Diferencial Riemann era filho de um pastor luterano e tinha problemas de saúde desde a infância Mesmo com a família em condições financeiras precárias seu pai conseguiu proporcionarlhe uma boa educação que começou na Universidade de Berlim e continuou na de Göttingen Nesta útima Universidade conseguiu seu doutorado com uma tese na área da teoria das funções de variáveis complexas Nessa tese encontramos as equações diferenciais de CauchyRiemann que garantem a análise de uma função de variável complexa e o conceito de superfícies de Riemann que trouxe considerações topológicas à análise Com uma definição própria integral de Riemann ele tornou mais claro o conceito de integrabilidade abrindo caminho para a generalização deste conceito no século XX a integral de Lebesgue e daí para horizontes mais amplos como a relatividade geral Dadas partições P1 P2 P3 Pn de uma função f podemos constatar que A sfP1 sfP2 sfP3 sfPn somas inferiores em geral aumentam SfPn SfPn1 SfP2 SfP1 somas superiores em geral diminuem B Qualquer soma inferior é menor ou igual a qualquer soma superior Em símbolos sfP SfQ para quaisquer partições P e Q do intervalo ab Reunindo esses dois resultados ficamos com sfP1 sfP2 sfPn1 sfPn SfPn SfPn1 SfP2 SfP1 Como as somas inferiores aumentam na verdade não diminuem à medida que refinamos uma partição inicial P ou seja aumentamos a quantidade de subintervalos de ab definiremos a integral inferior de f como sendo a maior das somas inferiores sfP 153 De forma semelhante como as somas inferiores diminuem à medida que aumentamos a quantidade de subintervalos de ab definiremos a integral superior de f como a menor das somas superiores dessa função As notações utilizadas para essas integrais serão xdx f b a e b a f xdx Definição 5 Seja f a b IR uma função limitada e P uma partição de a b Definimos a integral inferior de f como o supremo das somas inferiores sf P da função f para todas as partições P do intervalo Simbolicamente sups f P P partição de a b xdx f b a Analogamente integral superior de f é definida como o ínfimo das somas superiores Sf P de f Simbolicamente inf S f P P partição de a b xdx f b a Pelas observações anteriores para calcular uma integral inferior é suficiente considerar uma partição P e acrescentar pontos a ela Outra simplificação pode ser feita tomandose partições P que dividem o intervalo ab em partes iguais Exemplo 9 Calcular a integral inferior e a integral superior de f01 IR dada por fx x 1 Solução Considere a função fxx1 e vamos dividir o intervalo 01 em n partes iguais Isso equivale a tomar a partição P to0 n t1 1 n t 2 2 n 1 n t 1 n tn 1 com comprimentos iguais a n t 1 Cálculo das somas inferiores sf P Como fxx1 temos 1 n 1 n 1 m n 2 m 1 n 1 1 m m n 3 2 1 Logo n 1 1 n 1 n n 1 1 n 2 n 1 1 n 1 n 1 1 m t P fs n i 1 i i Colocando n 1 em evidência ficamos com 154 1 n 1 n 1 n 2 1 n 1 1 n 1 t m f P s n i 1 i i Como são n subintervalos temos que 1111 n Logo 1 n 2 1 n 1 n n 1 n 1 n n 2 n 1 n n 1 t m f P s n i 1 i i Pelo que já vimos no capítulo sobre números naturais indução matemática temos que a soma dos 1os números naturais é 2 1 n n 1 n 2 1 Finalmente 2n 1 3n 2 1 n n n 1 2 1 n n n 1 n n 1 P fs Como 2n 1 3n P fs podemos calcular alguns valores particulares 14 10 14 P fs 5 n 145 20 29 s f P 10 n 149 100 149 s f P 50 n 1499 100 1499 P fs 500 n 1 2 x y y x1 to 1t tn n 1 t A integral inferior de f é então 15 2n 1 2 l im3 2n 1 l im 3n sups f P fxdx n n b a Cálculo das somas superiores Sf P Como fxx1 temos 1 n n 1 M n 3 1 M n 2 1 M n 1 M n 3 2 1 n 1 1 n n n 1 1 n 2 n 1 1 n 1 t M f P S n i 1 i i 155 Colocando n 1 em evidência e fazendo os cálculos de modo semelhante ficamos com n 2 n 1 1 n n 1 M t f P S n i 1 i i Mas 2 1 nn n 2 1 Daí 2 1 n 3n 1 2 1 n n n 1 S f P Finalmente temos 2n 1 3n S f P 1 2 x y y x1 to t1 tn n 1 t Consequentemente 51 2n 1 2 il m3 2n 1 il m 3n inf S f P P xdx f n n b a Resumindo nossos cálculos anteriores vimos que a integral inferior e a integral superior de f coincidiram quer dizer 51 f xdx xdx f b a b a Quando isso acontece dizemos que a função f é integrável e este valor comum é chamado de integral de Riemann da função yfx Veja a definição a seguir Definição 6 Considere f a b IR uma função limitada Se b a b a f xdx f xdx dizemos que a função f é integrável em a b Esse valor comum é definido como a integral de Riemann da função f O símbolo utilizado é b a f xdx Exemplo 10 Calcular a integral inferior e a integral superior de f01 IR dada por fx x2 1 x y y x2 t4 to 1t t2 t3 t5 1 t6 1 x y y x2 t4 to 1t t2 t3 t5 1 t6 Como a função é fxx2 e t00 t11n t22n tnnn1 temos m10 m21n2 m32n2mnn1n2 e M11n2 M22n2 M33n2Mnnn2 Cálculo de sfP sfP021n1n21n2n21nn1n21n ou seja sfP1n021n22n2n1n2 sfP1n1n2122232n12 Como 122232n12n1n2n16 vem sfP1n1n2n1n2n16 n12n16n2 2n23n16n2 Logo 01 x2 dx supsfP lim n 2n23n16n2 lim n n22 3n 1n26n2 26 13 Analogamente vamos calcular SfP SfP 1n21n2n21nn1n21nnn21n ou seja SfP1n1n22n2n1n2nn2 SfP1n1n2122232n2 Como 122232n2 nn12n16 vem SfP1n1n2 nn12n16 n12n16n2 2n23n16n2 Finalmente 01 x2 dx infSfP lim n 2n23n16n2 26 13 157 Conclusão Como 3 1 f xdx xdx f 1 0 1 0 temos que a função fxx2 é integrável no intervalo 0 1 e 3 1 dx x 1 0 2 O teorema abaixo nos dá um grande número de funções que são integráveis Teorema 1 Toda função contínua fab IR é integrável Corolário 1 As funções polinomiais px são integráveis em qualquer intervalo fechado ab O mesmo ocorre com as funções seno cosseno exponencial e logaritmo A demonstração do Teorema 1 utiliza o fato que toda função contínua fab IR é uniformemente contínua Com isso é possível mostrar que a diferença entre a soma superior SfP e a soma inferior sfP pode se tornar menor que qualquer quantidade ε0 desde que tomemos partições P adequadas Ora como S f P f xdx f xdx P fs b a b a e ε P fs S f P podemos concluir que ε f xdx xdx f b a b a ε 0 Logo b a b a f xdx f xdx O Teorema 1 admite uma generalização para funções contínuas por partes veja abaixo Teorema 2 Se fab IR é uma função contínua em todos os pontos do intervalo exceto num subconjunto finito Dc1 c2 cn desse intervalo então f é integrável Uma das consequências desse teorema é que para calcularmos a integral de uma função contínua fab IR basta calcular a integral inferior xdx f b a ou a integral superior b a f xdx pois já sabemos de antemão que essas integrais coincidem Corolário 2 A função f 0 3 IR dada por 3 x 3 se 2 x 2 x se 1 2 1 x se 0 x f x é integrável Além disso temos 3 2 2 1 1 0 3 0 f xdx f xdx f xdx f xdx 158 x y 1 1 2 3 1 1 2 SAIBA MAIS É possível mostrar que uma função limitada fab IR é integrável quando o conjunto dos pontos de descontinuidade de f tem medida zero Isso significa que certas funções com infinitos pontos de descontinuidade são integráveis desde que esses infinitos pontos sejam enumeráveis por exemplo 4 O TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO Já vimos no parágrafo anterior que toda função contínua é integrável ou seja a integral inferior de f coincide com a integral inferior Mas o modo clássico de calcular a integral de fabIR envolve a escolha de uma partição P do intervalo ab o cálculo das somas inferiores e superiores dessa função e a posterior obtenção da integral inferior e superior como o limite dessas somas Essas não são obviamente tarefas fáceis de executar Embora alguns avanços para calcular integrais b a f xdx de forma mais simples terem sido divulgados a grande revolução neste sentido ocorreu no Sec XVII e através de trabalhos independentes dos matemáticos Isaac Newton 1642 1727 e Gottfried Leibniz 1646 1716 Esse método é hoje conhecido pelo nome Teorema Fundamental do Cálculo dada a sua importância por relacionar dois tópicos aparentemente sem conexão derivada que se relaciona com obtenção de tangentes e integral que está relacionada com cálculo de áreas httpptwikipediaorgwikiIs aacBarrow SAIBA MAIS Isaac Barrow 16301677 foi professor de Isaac Newton Ele desenvolveu um método para determinar tangentes de curvas que se aproxima de perto do método abordado em Cálculo Ele também foi um dos primeiros que reconheceu que os processos de integração e diferenciação em Cálculo eram operações inversas Mais tarde em 1669 Barrow cedeu sua cadeira na Universidade de Cambridge para Newton 159 Antes de enunciar o Teorema Fundamental do Cálculo faremos algumas considerações Seja fabIR uma função limitada e integrável Logo f é integrável em qualquer intervalo a c onde cab Com isso podemos definir uma nova função FabIR por x a dt tf Fx função área no caso de fx 0 A função x a dt tf Fx é chamada de uma integral indefinida da função yfx Teorema 3 Seja fab IR uma função limitada e integrável e um ponto c ab Se f é contínua num ponto cab então a função x a dt tf Fx é derivável nesse ponto e além disso temse que Fcfc O Teorema 3 nos diz que o processo de passagem da função f para a função F integração indefinida melhora as qualidades da função f Por exemplo Quando f é uma função contínua em ab temos que f possui uma primitiva x a dt tf Fx ou seja uma função derivável F tal que Fxfx x ab Exemplo 11 Seja f 0 2 IR dada por 2 x 1 se 1 1 x 0 se 0 f x Como vemos pelo gráfico a função f não é contínua no ponto c1 nem x a dt tf Fx é derivável nesse ponto De fato temos que a integral indefinida 2 x se 1 x 1 1 x 0 se 0 Fx é uma função contínua mas tem no ponto c1 uma quina mudança brusca da reta tangente 160 x y 1 2 1 A função f não é contínua no ponto c1 x y 1 2 1 A função F não é derivável no ponto c1 Terminamos nosso trabalho nesse parágrafo com o famoso Teorema Fundamental do Cálculo Teorema 4 Fundamental do Cálculo Seja fab IR uma função integrável que possui uma primitiva Fx Então temse que Fa Fb xdx f b a Teorema 5 Fundamental do Cálculo para funções contínuas Seja fab IR uma função contínua e F uma primitiva qualquer de f Então temse que Fa Fb xdx f b a Exemplo 12 Seja f 0 1 IR fxx 2 Como 3 x x F 3 é uma primitiva da função f temos pelo Teorema Fundamental do Cálculo que 3 1 3 0 3 1 3 x dx x 3 3 1 0 3 1 0 2 Esse cálculo é muitíssimo mais simples que o obtido anteriormente Exemplo 13 Do mesmo modo feito no exemplo anterior a função f01 IR fxx1 do Exemplo 5 tem uma primitiva dada por x 2 x x F 2 Logo 51 1 2 1 0 2 0 1 2 1 x 2 x 1 dx x 2 2 1 0 2 1 0 como já foi calculado 161 SÍNTESE Neste capítulo vimos a noção formal de integral de Riemann de uma função Nos preliminares focamos nossa atenção nas partições do intervalo ab na integral inferior e na integral superior da função f A definição de integral que vimos é bastante compreensível pois tem um forte apelo geométrico embora não se necessite dele Por outro lado a obtenção da integral por esse método tornase difícil para a maioria das funções Consequentemente o Teorema Fundamental do Cálculo se apresenta como uma ferramenta indispensável para a Matemática e trouxe fama para aqueles matemáticos que descobriram REFLEXÃO Pense e responda Quem surgiu primeiro a integral indefinida fxdx ou a integral definida b a fxdx A integral indefinida é um instrumento para calcular a integral definida Daí o que você pode concluir LEITURAS RECOMENDADAS ÁVILA Geraldo Análise Matemática para Licenciatura São Paulo Edgar Blucher 2006 EVES Howard Introdução à História da Matemática 3 ed Campinas Unicamp 2002 LIMA Elon Curso de Análise v 1 5ª ed Rio de Janeiro IMPA 2001 LIMA Elon Análise Real v 1 Rio de Janeiro IMPA 2008 SITES INDICADOS Sobre Arquimedes e Eudoxo httpptwikipediaorgwikiArquimedes httpwwwimeunicampbrcalculohistoryarquimedesarquimedeshtml httpptwikipediaorgwikiEudoxodeCnido httpwwwimeunicampbrcalculohistoryeudoxoeudoxohtml Sobre Riemann httpptwikipediaorgwikiBernhardRiemann 162 CAPITULO 10 SEQUENCIAS NUMÉRICAS opcional Este capítulo tem como objetivo o estudo das sequencias x1 x2 x3 xn de números reais Você já conheceu alguns exemplos quando estudou Progressões Aritméticas e Geométricas lembra Pois é as sequencias podem assumir formas variadas e como veremos nem todas possuem as regularidades das progressões Nosso objetivo principal além de dar exemplos de várias delas e importantes é estudar o comportamento de uma sequencia x1 x2 x3 xn quando n ou seja apresentar o conceito de limite de uma sequencia 1 AFINAL O QUE É SEQUENCIA Em primeiro lugar vamos responder a essa pergunta dizendo sequencia não é conjunto Por que não Afinal sequencia não é um conjunto de números Veja bem a palavra sequencia em matemática e em outras áreas sugere que tenhamos uma ordem entre os objetos Temos o 1º termo 2º termo 3º termo e assim por diante o que não acontece com conjuntos Por exemplo os conjuntos A13469 B14396 e C91463 são iguais enquanto conjuntos mas se pensarmos nas listas 1 3 4 6 9 e 1 4 3 9 6 e 9 1 4 6 3 vemos que elas são diferentes Por essa razão devemos diferenciar o conceito de sequencia com o de conjunto Pois bem superado esse primeiro impasse sobre sequencia e conjuntos fica ainda a pergunta O que é então sequencia Qual sua definição Do ponto de vista intuitivo podemos pensar numa sequencia de números reais como uma lista x1 x2 x3 xn de um número finito ou infinito de pontos da reta Mas para maior precisão e evitar redundâncias sequencia é uma lista e lista é uma sequencia utilizaremos a definição mais usual nos textos de Matemática ou seja de que sequencia é uma FUNÇÃO Veja a seguir Definição 1 Uma sequencia numérica infinita é uma função x IN IR ou seja é uma função cujo domínio é o conjunto IN e com valores reais Neste caso dizemos que a sequencia possui infinitos termos 163 Definição 2 Quando a função x In 1 2 3 n IR ou seja o domínio é um conjunto finito In dizemos x é uma sequencia numérica é finita ou que tem um número finito de termos A definição acima significa que sequencia é uma função que associa ao número natural 1 o termo x1x1 ao número 2 o termo x2x2 e assim sucessivamente Temos assim 1 x1 2 x2 3 x3 n xn etc O número real xn é chamado nésimo termo da sequencia É muito importante ter em mente na maioria dos casos o aspecto visual de uma sequencia como sendo formada por inúmeros pontos indexados x1 x2 x3xn caminhando sobre a reta real IR 0000 1111 2222 3333 4444 5555 1 x 2 x 3 x n x 2 NOTAÇÕES PARA SEQUENCIAS E EXEMPLOS BÁSICOS Usaremos as notações x1 x2 x3 xn ou xn para sequencias infinitas e x1 x2 x3 xn para sequencias finitas Exemplo 1 Como exemplos de sequencias não necessariamente numéricas temos a verão outono inverno primavera sequencia finita b janeiro fevereirodezembro sequencia finita c domingo segunda sábado sequencia finita d 2 4 6 8 10 12 sequencia infinita e 1 1 1 1 1 1 sequencia infinita f 3 3 3 3 3 3 sequencia infinita Lembrese mais uma vez de não se confundir sequencia com conjunto ou melhor sequencia NÃO é um conjunto de números reais agrupados ou mesmo ordenados Veja por exemplo as duas últimas sequencias do exemplo anterior 164 No exemplo e temos x11 x21 x31 x41 etc Já no exemplo f temos a sequencia constante x1x2x3xn3 que possui infinitos termos iguais a 3 Por essa razão é importante lembrar de que a notação para sequencias é a de colocála entre parênteses como uma lista e de não a colocar entre chaves Exemplo 2 Exemplos de sequencias numéricas infinitas são a xn tal que xn 2n 1 n N isto é xn 1 3 5 7 b xn tal que xn n1 n N isto é xn 2 3 4 5 c xn 3 7 11 15 19 23 isto é xn34n1 PA de razão 4 d xn 3 6 12 24 48 56 isto é xn32n1 PG de razão 2 e xn 32 16 8 4 2 1 isto é xn3212 n1 PG de razão 12 f xn tal que xn nn 1 n N isto é xn 2 6 12 2030 g xn tal que xn se n é ímpar 3 0 se n é par isto é xn 3 0 3 0 3 h xn tal que xn 1 n ou seja xn 1 1 1 1 1 1 Exemplo 3 Uma sequencia não precisa ter necessariamente um termo geral ou seja uma fórmula para o nésimo termo xn embora fique claro que as sequencias cujos termos xn são dados por fórmulas sejam de maior interesse É fácil dar exemplos de sequencias esdrúxulas sem uma lei de formação Veja os exemplos a seguir a 1 2 4 3 2 5 8 15 2 7 6 8 1 1 3 2 2 6 2 3 b 3 2 1 0 7 5 4 5 9 9 9 3 4 1 6 5 c 0 1 0 0 1 1 0 0 0 2 1 1 0 0 0 4 0 0 0 1 1 1 5 3 CLASSIFICAÇÕES DAS SEQUENCIAS As sequencias numéricas podem ser classificadas de algumas maneiras Elas podem ser limitadas ou ilimitadas crescentes decrescentes ou nenhuma delas convergentes ou não convergentes Como os próprios adjetivos nos dizem sequencias limitadas são aquelas que cabem dentro de um intervalo a b sequencias crescentes são aquelas cujos termos sempre crescem e finalmente sequencias convergentes são aquelas cujos termos ficam cada vez mais próximos de um ponto a da reta 165 O quadro abaixo dá uma visão melhor das definições que faremos em seguida convergentes não es convergent es decrescent crescentes limitadas não mi tadas il Resumindo temos Sequências Além dessas definições encontramos na literatura matemática os termos sequencias monótonas crescentes sequencias monótonas decrescentes significando aquelas que não decrescem e aquelas que não crescem respectivamente Veja as definições precisas desses tipos de sequencias Definição 3 Seja xn uma sequencia numérica Dizemos que xn é uma sequencia a limitada quando existem números a b IR tais que a xn b n IN b ilimitada quando não for limitada c crescente quando x1 x2 x3 xn d monótona crescente quando x1 x2 x3 xn e decrescente quando x1 x2 x3 xn f monótona decrescente quando x1 x2 x3 xn Exemplo 4 Voltando ao nosso Exemplo 2 temos As sequencias dos itens a b c d são crescentes e ilimitadas a xn tal que xn 2n 1 n N isto é xn 1 3 5 7 b xn tal que xn n1 n N isto é xn 2 3 4 5 c xn 3 7 11 15 19 23 isto é xn34n1 d xn 3 6 12 24 48 56 isto é xn32n1 A sequencia do item e é decrescente e limitada e xn 32 16 8 4 2 1 isto é xn3212n1 As sequencias dos itens g e h não são crescentes nem decrescentes mas são limitadas 166 g xn tal que xn 3 se n é ímpar 0 se n é par isto é xn 3 0 3 0 3 h xn tal que xn 1 n ou seja xn 1 1 1 1 1 1 Exemplo 5 Uma forma simples e eficiente de criar sequencias decrescentes limitadas é partir de uma sequencia padrão xn decrescente e limitada e a ela adicionarmos um número fixo A Por exemplo tomando a sequencia n xn 1 ou seja 6 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 x n e A2 temos n 1 2 x 2 n Ou seja 5 1 4 2 1 3 2 1 2 2 1 3 2 y n A sequencia xn é decrescente e além disso limitada pois 0 xn 1 n Logo o mesmo vale para a sequencia yn2xn Embora esse resultado seja simples e intuitivo vamos demonstrar ok Temos que a xn b n Logo aA Axn bA n Daí yn é limitada Além disso como x1 x2 xn temos Ax1 Ax2 Axn Logo yn é também decrescente Veja a seguir as representações geométricas de xn e yn 0000 1111 1 12 13 14 2222 3333 3 52 73 94 Exemplo 6 De modo análogo ao exemplo anterior partindo de uma sequencia xn crescente e limitada podemos construir infinitas outras do mesmo tipo Basta tomar yn Axn em que A é um número fixo qualquer Por exemplo tomando a sequencia 10 6 9 5 5 4 4 3 3 2 2 1 ou seja 1 n n xn temos que ela é crescente e limitada pois 0 xn 1 Logo yn 3xn é também crescente e limitada 167 Exemplo 7 Duas sequencias particularmente interessantes são n n A x em que A é um número positivo fixo e n n n y Por exemplo quando A10 temos 10 10 10 10 10 10 x 5 4 3 n n A tabela a seguir mostra o comportamento da sequencia xn que é decrescente limitada cujos termos se aproximam cada vez mais do número 1 n 101n n 101n n 101n n 101n 1 10 21 11158840 41 10577676 100 10232930 2 31622777 22 11103363 42 10563541 200 10115795 3 21544347 23 11052951 43 10550081 300 10077048 4 17782794 24 11006942 44 10537250 400 10057731 5 15848932 25 10964782 45 10525003 500 10046158 6 14677993 26 10926009 46 10513302 600 10038450 7 13894955 27 10890230 47 10502111 700 10032948 8 13335214 28 10857111 48 10491397 800 10028824 9 12915497 29 10826367 49 10481131 900 10025617 10 12589254 30 10797752 50 10471285 1000 10023052 11 12328467 31 10771051 51 10461834 1100 10020955 12 12115277 32 10746078 52 10452755 1200 10019207 13 11937766 33 10722672 53 10444026 1300 10017728 14 11787686 34 10700690 54 10435626 1400 10016461 15 11659144 35 10680004 55 10427539 1500 10015362 16 11547820 36 10660505 56 10419746 1600 10014402 17 11450476 37 10642092 57 10412233 1700 10013554 18 11364637 38 10624678 58 10404983 1800 10012800 19 11288379 39 10608184 59 10397984 1900 10012126 20 11220185 40 10592537 60 10391223 2000 10011520 No caso da sequencia 6 5 2 3 4 1 n y 6 5 4 3 2 n n temos que ela é crescente até o 3º termo mas decresce a partir daí Como sugere a tabela abaixo esta sequencia é limitada e seus termos se aproximam cada vez mais do número 1 n n1n n n1n n n1n n n1n 1 1 21 11560133 41 10948035 100 104712854 2 14142136 22 11508513 42 10930721 200 102684560 3 14422496 23 11460553 43 10914093 300 101919449 168 4 14142136 24 11415864 44 10898110 400 101509140 5 13797297 25 11374115 45 10882735 500 101250678 6 13480062 26 11335014 46 10867932 600 101071858 7 13204692 27 11298310 47 10853668 700 100940261 8 12968396 28 11263781 48 10839915 800 100839077 9 12765180 29 11231235 49 10826643 900 100758685 10 12589254 30 11200499 50 10813827 1000 100693166 11 12435752 31 11171422 51 10801443 1100 100638673 12 12300755 32 11143867 52 10789469 1200 100592588 13 12181140 33 11117716 53 10777884 1300 100553071 14 12074420 34 11092859 54 10766669 1400 100518785 15 11978601 35 11069200 55 10755806 1500 100488738 16 11892071 36 11046651 56 10745278 1600 100462174 17 11813521 37 11025133 57 10735069 1700 100438510 18 11741873 38 11004574 58 10725164 1800 10041728 19 11676235 39 10984911 59 10715549 1900 10039813 20 11615863 40 10966082 60 10706212 2000 10038076 Exemplo 8 O conhecido número e271828 foi denominado assim em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler Ele é dado aproximadamente pelos termos suficientemente grandes da sequencia crescente e limitada n n n 1 1 x ou seja 2 1 1 x 1 1 2 25 2 1 1 x 2 2 237037 3 1 1 x 3 3 2 441406 4 1 1 x 4 4 etc A tabela seguinte mostra a evolução dessa lenta sequencia aproximandose do número e n 11nn n 11nn n 11nn n 11nn 1 2 21 265626321 41 26858563 100 27048138294 2 225 22 265896986 42 26866119 200 27115171229 3 237037037 23 266145012 43 26873331 400 27148917444 4 244140625 24 266373126 44 26880221 800 27165848467 5 248832 25 266583633 45 26886812 1600 27174328518 6 252162637 26 266778497 46 26893121 3200 27178572186 7 25464997 27 266959398 47 26899167 6400 27180694931 8 256578451 28 267127785 48 26904966 12800 27181756532 169 9 258117479 29 267284914 49 26910532 25600 27182287389 10 259374246 30 267431878 50 26915880 51200 27182552832 11 260419901 31 267569631 51 26921022 102400 27182685557 12 261303529 32 267699013 52 26925970 204800 27182751921 13 262060089 33 267820765 53 26930733 409600 27182785103 14 262715156 34 267935543 54 26935324 819200 27182801695 15 263287872 35 268043929 55 26939750 1638400 27182809987 16 26379285 36 268146442 56 26944021 3276800 27182814141 17 264241438 37 268243548 57 26948144 6553600 27182816197 18 264642582 38 268335663 58 26952127 13107200 27182817265 19 265003433 39 268423162 59 26955978 26214400 27182817819 20 265329771 40 268506384 60 26959701 52428800 27182818136 SAIBA MAIS Na matemática o número de Euler assim chamado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler é a base dos logaritmos naturais A primeira referência à essa constante foi publicada em 1618 na tabela de um trabalho sobre logaritmos de John Napier No entanto este não contém a constante propriamente dita mas apenas uma simples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta a primeira indicação da constante foi descoberta por Jakob Bernoulli quando tentava encontrar um valor para a seguinte expressão n n n 1 il m 1 muito comum no cálculo de juros compostos esse número é aproximadamente e 2718281828459045235360287 Número de Euler Origem Wikipédia a enciclopédia livre httpptwikipediaorgwikiNC3BAmerodeEuler 4 SEQUENCIAS CONVERGENTES Nesta parte você verá a noção de convergência de uma sequencia numérica xn É importante ter em mente a imagem geométrica de uma sequencia x1 x2 x3 xn como pontos sobre a reta real O aspecto geométrico da convergência ou da aproximação de uma sequencia para um determinado ponto a IR é um sentimento que devemos cultivar pois nos ajuda a entender o conceito de limite de uma sequencia 170 0000 1111 2222 3333 4444 5555 1 x 2 x 3 x n x Por outro lado sabemos que dados quaisquer dois pontos distintos x y IR sempre existem infinitos pontos entre eles por mais próximos que eles estejam Vemos daí que a noção geométrica de convergência ou de aproximação não é suficiente para comprovarmos que de fato uma sequencia se aproxima cada vez mais de um ponto a IR Veja no exemplo a seguir como nossa intuição fica prejudicada Exemplo 9 A sequencia 100 99 10 9 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 n n xn é crescente e seus termos são todos menores que 1 pois são frações próprias Além disso esses termos se aproximam cada vez mais do número 1 não é isso Mas será esse de fato o limite da sequencia xn Será que esta sequencia não está se aproximando do número 0999999999999999999999999999845 Ou de 0999999999999999999999999999999999999999999999987542 Como demonstrar que de fato essa sequencia converge para o número 1 Baseados nestas questões sobre números reais matemáticos dos Secs XVIII e XIX tiveram que dar uma ideia precisa formal sobre convergência a fim de eliminar problemas com a visualização de pontos sobre uma reta Foi a época da arimetização da Análise como é conhecida nos textos da História da Matemática O texto a seguir nos esclarece um pouco mais Leia com atenção Os limites da matemática clássica Antônio Zumpano maio de 2001 CIÊNCIA HOJE httpwwwdmatufpebrgraduaintervalocienciahorjeinfinitopdf Entre os intelectuais que se sentiram incomodados com a falta de fundamentação destacamse o filósofo e matemático francês Jean le Rond D Alembert 17171783 e o matemático alemão Carl Friedrich Gauss 17771855 Por volta de 1850 era consenso a necessidade de uma revisão completa dos fundamentos da matemática Muitos fatos contribuíram para isso Um dos mais importantes foi o aparecimento das geometrias não euclidianas em torno de 1830 introduzidas pelo matemático húngaro Janos Bolyai 1802 1860 e pelo matemático russo Nikolai I Lobachevsky 17921856 Essas geometrias 171 puseram em dúvida a própria noção de axioma e o sistema hipotético dedutivo característico da racionalidade grega A revisão consistia em demonstrar os resultados sem apelar para intuições geométricas espaciais Para isso seria necessário definir todos os conceitos aritmeticamente encontrar uma linguagem adequada para lidar com o infinito e determinar precisamente a noção de limite Essa tarefa começou a ser feita pelo matemático francês Augustin L Cauchy 17891857 e levada a cabo pela escola alemã na segunda metade do século 19 A questão dos irracionais só foi resolvida em 1872 pelos matemáticos alemães Georg Cantor 18451918 e Julius W R Dedekind 18311916 independentemente e de maneiras diferentes Esse movimento ficou conhecido como aritmetização da análise Toda a intuição geométrica foi abolida e as demonstrações passaram a ser puramente analíticas formais e rigorosas dentro dos princípios do método hipotético dedutivo dos gregos A definição a seguir dá uma ideia do conceito de convergência veja Definição 4 noção intuitiva de limite Dizemos que uma sequencia xn converge para um número real a quando os termos xn ficam cada vez mais próximos do ponto a à medida que n cresce Simbolicamente n xn a Nossa crítica a esta definição é a de que a noção cada vez mais próximo é imprecisa e dá margem a equívocos O que significa precisamente cada vez mais próximo Veja por exemplo que os termos da sequencia 100 10 99 6 9 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 n n xn ficam cada vez mais próximos do número 2 ou seja o termo xn1 está mais próximo de 2 que o termo xn mas é evidente que não faz sentido dizer que esta sequencia deva convergir para a2 como ilustra a figura abaixo 0000 1111 2222 12 23 34 a2 n x Devemos então dar um sentido mais preciso matemático à expressão cada vez mais próximo além de eliminar as setas utilizadas na Definição 4 A idéia é 172 substituir xn a por xna 0 mas sem utilizar o símbolo que também carece de significado algébrico Na definição que daremos a seguir a expressão n é substituída nno e a expressão xn a é substituída por xn a ε Definição 5 limite de uma sequencia Dizemos que uma sequencia xn converge para um número real a ou que a il m x n n quando para qualquer que seja o número real ε 0 dado é possível obter um correspondente índice no IN tal que xna ε n no Simbolicamente temos o n o n n n n ε a x IN n 0 qualquer Dado ε a il m x Quando a il m x n n dizse também que a sequencia xn tende para a e se denota por xn a Uma sequencia que possui limite chamase convergente Do contrário ela é chamada divergente SAIBA MAIS Observe que o correto é dizer que o limite de xn é igual ao número a e não que o limite tende para a A palavra tende é utilizada quando mencionamos somente a sequencia xn Neste caso dizemos xn tende para a Resumindo devemos escrever xn a ou então a il m x n n Usando o conceito de módulo de um número real temos xna ε é equivalente a escrever ε xna ε ou seja aε xn aε Daí podemos reformular a definição de convergência assim xn a se εεεε 0 no IN aεεεε xn aεεεε n no As figuras a seguir reproduzem pontos de uma sequencia xn que converge para um dado ponto a IR em escalas diferentes O intervalo aε aε é dado e é qualquer pequeno muito pequeno muitíssimo pequeno Mesmo assim deve ser sempre possível exibir calcular determinar um índice no tal que todos os termos da sequencia xn pertençam ao intervalo aε aε a partir desse índice no 1111 2222 a n x n a εεεε εεεε a 173 1111 2222 a n x x n a εεεε εεεε a 1111 2222 a x n a εεεε εεεε a Exemplo 10 Embora seja um exemplo simples vamos demonstrar que de fato a sequencia n xn 1 converge para a0 Solução Note inicialmente que a sequencia n xn 1 é decrescente e limitada De fato temos 1 n 1 x n 1 e n xn 1 Logo xn1 xn n IN Além disso 1 n 1 0 Vamos começar com 01 10 1 ε Neste caso aε aε 01 01 A pergunta que fazemos é Qual é o índice noIN tal que os termos n 1 pertencem ao intervalo 01 01 A resposta é simples veja Como 12 1 11 1 10 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 x n temos que no10 satisfaz nossa definição pois 11 x11 1 12 x12 1 13 x13 1 pertencem ao intervalo 10 1 10 1 Vamos tomar agora 01 50 ε 1 Neste caso aε aε 002 002 A pergunta agora é Qual o índice noIN tal que os termos n 1 pertencem ao intervalo 002 002 A resposta é no50 satisfaz nossa definição pois 50 1 51 1 x51 50 1 52 1 x52 e assim por diante E se fosse dado 3 2009 1 ε qual seria o índice no Seria no 2009 3 174 Para não ficarmos determinando índices no para casos particulares vamos fazer agora o caso geral ok Seja então um número ε 0 qualquer Devemos encontrar um índice noIN tal que ε 0 x n ou melhor ε 0 n 1 para todo índice n no Ora ε 0 n 1 nos dá ε n 1 ou ainda ε n 1 pois estes números são positivos Invertendo a desigualdade ficamos finalmente com ε n 1 A conclusão é que para esse ε 0 dado tomando noIN ε n o 1 todos os termos xn satisfazem à desigualdade ε 0 x n Exemplo 11 Este também é um exemplo simples Vamos demonstrar que a sequencia 1 n n xn converge para a1 Demonstração Note inicialmente que a sequencia 1 n n xn é crescente e limitada De fato temos 1 n n xn e 2 n 1 n x n 1 Logo 1 2n n 1 1 2n n 2n n 1 2n n 1 2n n 2 nn 1 n 1 n n 2 n 1 n x x 2 2 2 n n 1 que é um número positivo Logo xn xn1 n IN Além disso 1 1 n n 0 o que mostra que esta sequencia é limitada Seja então um número ε 0 qualquer O cálculo do índice no IN é do mesmo tipo veja a seguir Devemos encontrar um índice noIN a partir do qual ε 1 x n ou melhor ε 1 1 n n para todo índice n no Ora como 1 n 1 1 n 1 1 n 1 n 1 1 n n n temos que 1 ε n 1 175 Isso tudo nos dá que ε 1 1 n ou seja 1 ε 1 n Resumindo Dado ε 0 qualquer escolhemos um índice 1 ε 1 no Este índice satisfaz nossa definição de convergência Alguns casos particulares do índice no para a sequencia 1 n n xn ε ε 1 1 ε 1 no 001 1000 999 00005 5000 4999 3 20000 1 3 20000 34642 00000056 17857143 178571 Exemplo 12 Vamos mostrar que a sequencia 3 n 1 2n xn converge para a2 Solução Como sempre a questão é a mesma Dado ε0 é possível determinar um índice no IN tal que xn2 ε n no A resposta neste caso é que existe esse índice Basta tomar 3 ε 5 no no IN Vamos ver o cálculo de no neste caso Queremos encontrar n tal que ε 2 3 n 1 2n não é isso Como 3 n 5 3 n 5 3 n 6 2n 1 2 2n 3 n 1 2n temos ε 3 n 5 2 3 n 1 2n Invertendo ambos os membros da desigualdade vem ε 1 5 3 n ou seja ε 5 3 n Logo 3 ε 5 n como queríamos 176 Proposição 1 Unicidade do limite Uma sequencia não pode convergir para dois números diferentes a e b ou seja o limite de uma sequencia quando existe é único O enunciado da proposição é bem simples de entender Ela afirma por exemplo que se uma sequencia converge para o ponto a176 então não pode convergir também para b178 É absurdo uma sequencia possuir dois limites 176 178 n n x Demonstração Como a b suponhamos para simplificar que a b Logo tomando 2 a b ε temos que b aε aε veja a figura Como xn a para esse ε 0 existe índice no tal que xna ε n no a b n x a ε ε a Como TODOS os termos xn pertencem ao intervalo aε aε a partir desse índice no e b aε aε concluímos que essa sequencia não pode convergir para o ponto b Definição 6 subsequencias Para cada sequencia xn n IN é possível construir várias restrições da mesma a subconjuntos infinitos IN IN Essas restrições xn n IN são denominadas subsequencias da sequencia xn De acordo com nossa definição dada a sequencia x1 x2 x3 xn temos condições de construir várias subsequencias tais como x2 x4 x6 x2n índices pares x1 x3 x5 x2n1 índices ímpares x1 x4 x7 x10 índices do tipo 13n1 177 Proposição 2 Se uma sequencia xn converge para a então toda subsequencia de xn também converge para esse número Demonstração Como para todo ε 0 existe no IN tal que xn aε é claro que essa mesma propriedade vale para os elementos da subsequencia xn Logo xn também converge para o ponto a Exemplo 13 A sequencia 1 2 1 2 1 2 1 não pode ser convergente Demonstração Os termos de índices ímpares x1 x3 x5 x7 dessa sequencia formam uma subsequencia constante 1 1 1 1 que converge obviamente para a1 Por outro lado os termos de índices pares x2 x4 x6 x8 formam a subsequencia constante 2 2 2 2 que converge obviamente para b2 Como estas subsequencias convergem para pontos diferentes a e b temos pela unicidade do limite que xn não pode ser convergente Proposição 3 Toda sequencia convergente xn é limitada mas a recíproca é falsa Ou seja existem sequencias limitadas que não são convergentes Demonstração Note que x x x x x x 2 n 1 n n 2 1 n o o o pode ser dividida em duas partes Uma parte finita no 2 1 x x x e outra parte infinita x x x 2 n 1 n n o o o Como xna temos que todos os infinitos termos x x x 2 n 1 n n o o o pertencem ao intervalo limitado aε aε ficando possivelmente fora desse intervalo os termos no 2 1 x x x que são em número finito Ora o conjunto x x x no 2 1 finito é limitado Os demais elementos estão também limitados Logo toda a sequencia x x x x x 2 n 1 n n 2 1 o o o é limitada cqd Como vimos no Exemplo 12 a recíproca da proposição é falsa a sequencia xn 1 2 1 2 1 2 1 é limitada mas não é convergente porque possui duas subsequencias que convergem para limites diferentes 178 Exemplo 14 Vimos que sequencias ilimitadas não podem convergir mas pode ocorrer que algumas subsequencias dela convirjam Daremos exemplo de uma sequencia ilimitada mas com duas subsequencias convergentes De fato 0 6 6 1 0 5 5 1 0 4 0 4 1 3 0 3 1 2 2 1 x n é uma sequencia ilimitada que possui duas subsequencias convergentes a saber 5 4 1 3 1 2 1 1 x x x x 11 8 5 2 e 0 0 0 0 x x x x 12 9 6 3 Vimos que toda sequencia convergente é limitada mas sua recíproca é falsa Mas se colocarmos mais uma hipótese este resultado se torna verdadeiro Teorema 1 Dedekind Se uma sequencia xn é limitada e monótona então ela é convergente Este Teorema é devido a R Dedekind que ao querer demonstrálo notou que os números reais precisavam de uma construção mais rigorosa A demonstração desse teorema utiliza propriedades básicas do supremo e do ínfimo de um conjunto e por isso não faremos a demonstração neste texto Nos limitaremos a exemplificar casos importantes A demonstração é basicamente dividida em dois casos i A sequencia x x x n 2 1 é monótona crescente e limitada Neste caso provase que xn converge para o supremo do conjunto dos valores da sequencia Xx1 x2 x3 xn Exemplo 6 5 5 4 4 3 3 2 2 0 1 x n converge para sup X1 0000 1111 supX1 12 23 0 ii A sequencia x x x n 2 1 é monótona decrescente e limitada Neste caso xn converge para o ínfimo do conjunto Xx1 x2 x3 xn 179 Exemplo 5 4 11 3 9 2 7 3 5 y n converge para infY2 2222 3333 Y infY2 52 73 94 3 Outro exemplo A sequencia n n 10 x do Exemplo 7 é decrescente e limitada Logo converge para inf x1 x2 x3 xninf 10 10 10 10 4 3 1 Exemplo 15 No Exemplo 8 vimos uma tabela que mostra termos da sequencia n n n 1 1 x para valores de n bastante grandes n 11nn n 11nn 100 27048138294 102400 27182685557 200 27115171229 204800 27182751921 400 27148917444 409600 27182785103 800 27165848467 819200 27182801695 1600 27174328518 1638400 27182809987 3200 27178572186 3276800 27182814141 6400 27180694931 6553600 27182816197 12800 27181756532 13107200 27182817265 25600 27182287389 26214400 27182817819 51200 27182552832 52428800 27182818136 Utilizando a fórmula do Binômio de Newton provase matematicamente que esta sequencia é crescente e ainda que 3 n 1 1 2 n n IN ou seja esta sequencia é também limitada Logo pelo Teorema de Dedekind n n n 1 1 x CONVERGE Como já comentamos este importante limite é hoje conhecido por e 2718281 que é um número irracional Escrevemos então e n 1 1 m il n n 180 5 PROPRIEDADE DOS LIMITES Assim como vimos em Cálculo as propriedades dos limites de funções temos também o análogo para sequencias ou seja existem propriedades que reduzem nosso trabalho de encontrar limites de sequencias Imagine por exemplo como seria difícil provar que 2 3 2n 1 2n m 4n il 2 2 n usando a definição de convergência Dado ε0 qual seria o índice no IN que satisfaz nossa definição Pensando nisso no trabalho que teríamos em calcular para cada sequencia estes índices no os matemáticos estabeleceram e provaram propriedades que vêm substituir esse trabalho por um simples cálculo de limites Teorema 2 propriedades dos limites Seja k um número real e xn yn duas sequencias Se xn a e yn b então i xnyn ab ii kxn ka e xn yn ab iii b a y x n n desde que yn b 0 iv a xn desde que xn 0 v outras semelhantes Exemplo 16 Não é difícil mostrar que 2 1 4n 1 m 2n nil De fato n 1 4 1 2 1 4n 1 4 2 4n 1 4n 2n 4n 1 2n Logo pelas propriedades dos limites e lembrando que 0 n l im 1 n temos 2 1 0 4 1 2 1 n il m 1 4 1 2 1 n 1 4 1 2 il m 1 4n 1 m 2n il n n n Exemplo 17 Calcular os seguintes limites a 1 4n 4 5n m 3n i l 2 2 n b 2 4n 1 n m 2n i l 2 2 n c 9n 3n 25 2n mcos4n i l 2 3 2 n 181 d n2 1 3 4 n2 6 lim2 n e 1 2n n 2 8n lim log 3 3 2 n Solução Vamos resolver os itens a e c deixando os demais como exercícios a Note que a sequencia 1 4n 4 5n 3n z 2 2 n é o quociente de duas sequencias ilimitadas 4 5n 3n x 2 n e 1 4n y 2 n Melhor dizendo quando n temos xn e yn Logo NÃO podemos aplicar diretamente a propriedade do limite do quociente como quociente dos limites veja 1 m4n i l 4 5n m3n i l 1 4n 4 5n m 3n i l 2 n 2 n 2 2 n Estes limites são chamados de indeterminados pois os resultados variam de acordo com o exemplo específico ou melhor cada caso é um caso Nestes casos como já foi visto no curso de Cálculo a ideia para eliminar a indeterminação é colocar o termo de maior grau em evidência no caso x2 e depois cancelar vamos rever n 1 4 n 4 n 5 3 i l m n 1 4 n n 4 n 5 n 3 i l m 1 4n 4 5n m 3n i l 2 2 n 2 2 2 2 n 2 2 n Usando nossas propriedades dos limites ficamos finalmente com 4 3 0 4 0 0 3 n 1 m4 i l n 4 n 5 i l m 3 1 4n 4 5n m 3n i l 2 n 2 n 2 2 n c Note inicialmente que 9n 3n 25 2n cos i l m 4n 9n 3n 25 2n mcos4n i l 2 3 2 n 2 3 2 n como mencionamos na propriedade v Mas 0 3 0 n 9 3 n 25 n 2 n 4 i l m n 9 3 n n 25 n 2 n n 4 i l m 9n 3n 25 2n m 4n i l 3 2 n 3 3 2 3 n 2 3 2 n Conclusão 1 cos0 9n 3n 25 2n cos i l m 4n 9n 3n 25 2n mcos4n i l 2 3 2 n 2 3 2 n 182 SÍNTESE Neste capítulo vimos que uma sequencia infinita é uma função x IN IR cujos termos x1 x2 x3 xn são números reais Após alguns exemplos e classificação de sequencias vimos a noção de convergência muito importante na Análise Matemática Ao final foram dadas as propriedades operatórias dos limites aproximando nosso curso ao de Cálculo Esperamos que você tenha conseguido dar o passo inicial para estudos posteriores dessa disciplina dando exemplos ilustrativos da teoria REFLEXÃO Na literatura matemática existem sequencias chamadas sequencias de Cauchy Elas possuem a propriedade que seus termos ficam cada vez mais próximos entre si ou seja dado qualquer ε0 temos xm xn ε a partir de um certo índice noIN Um Teorema importante sobre este assunto é que toda sequencia de Cauchy é convergente Reflita sobre isso e pesquise um pouco mais sobre o assunto nos livros indicados para leitura LEITURAS INDICADAS BOYER Carl História da Matemática São Paulo Edgar Blucher 1996 LIMA Elon Análise Real v 1 Rio de Janeiro SBM 2008 SITES INDICADOS Sobre Leonard Euler httpwwwexatascommatematicaeulerhtml httpwwwimeunicampbrcalculomoduloshistoryeulereulerhtml Arimetização da Análise httpwwwdmatufpebrgraduaintervalocienciahorjeinfinitopdf Teste on line sobre sequencias e convergência httpwpsprenhallcombrmatosseries1128673471cwindexhtml Sobre a letra grega épsilon httpenwikipediaorgwikiEpsilon 183 Referências 1 ANTON HOWARD Cálculo v 1 8ª ed Porto Alegre Bookman 2007 2 ÁVILA Geraldo Análise Matemática para Licenciatura São Paulo Ed Edgar Blucher 2006 3 BIRKHOFF Garret Mac Lane S A Survey of Modern Algebra A K Peters 1941 4 BOYER Carl História da Matemática Ed Edgar Blucher São Paulo 1996 5 EVES Howard Introdução à História da Matemática 3ª ed Campinas Ed Unicamp 2002 6 JURKIEWICZ Samuel Divisibilidade e Números Inteiros Rio de Janeiro OBMEP 2007 7 LIMA Elon Conceitos e Controvérsias Revista do Professor de Matemática vol 1 Rio de Janeiro SBM 1986 8 LIMA Elon Análise Real Vol 1 Rio de Janeiro SBM 2007 9 Revista do Professor de Matemática RPM Vols 09 e 37 São Paulo SBM