Algumas Propriedades de Subgrupos Cíclicos

Algumas Propriedades de Subgrupos Ciclicos Prof. Sérgio Luiz Silva Prova da Proposigado 4.1. Primeiro provamos que o conjunto {me N-— {0} | a” =e} é nao vazio. Com efeito, temos que o(a) = |(a)| 6 um niimero finito. Logo, (a) = {a* | k € Z } é um conjunto finito. Consequentemente, existem inteiros 1 4 u tais que a! = a”. Dai, 1 Seals (aly =a" + (a!) al" = (5.1) a=a . —> a! « (a’)! =a" * (a) Se =a", Ou sejam, a“ =e e a“! =e. Sendol —u>0 ou u—1> 0, deduzimos que {m € N— {0} | a” =e} é nao vazio e podemos considerar r = min{m € N— {0} | a” =e}. A inclusao {e, a,a’,..., a" } C (a) é imediata. Agora, passamos a provar a incluséo (a) C {e, a, a,...,a"—4 }: dado k € Z, dividindo k por r, encontramos tnicos inteiros q e t tais que k = qr +t com 0 <t <r. Dat, a* = aft = (a")2 xa’ = (e)! x at = a'. Logo a*¥ = at com 0 <t <r. Isto mostra que a® € {e, a, a?,..., a" } para todo k € Z. Assim, (a) C {e, a, a?,..., a”! }. Com isto provamos (a) = {e, a, a”,..., a" 1}. Afirmamos que fe, a, a?,..., a’ \ tem exatamente r elementos. Com efeito, sejam i, 7 ntimeros naturais tais que i #4 7 e0 <i,7 <r—41. Vamos mostrar que a’ 4 a/. Se, por absurdo, tivéssemos a’ = a/, como em (5.1), concluirfamos a’J = eeaJ~' =e. Dei-j £0, vemi—j > 0ouj—i>0. Sei—Jj > 0, entao i-—j7 €{ mE N- {0} | a™ =e}. Como0 <i-j <rer=min{meN-— {0} | a” =e}, obterfamos uma contradicao. Se 7 — i > 0, procedendo de maneira andloga, também obteriamos uma contradicao. Logo, a#a)sei~AjeIV<i,7 <r-—1. Isto mostra que {e, a, a,..., at" } tem exatamente r elementos. Portanto, o(a) = |(a)| =r. Proposigao 5.1 Sejam (G, *) um grupo ea € G um elemento de ordem finita. Se k € um niimero inteiro tal que ak = e entéo k € um miiltiplo inteiro de o(a). Prova. Colocando r = o(a), como na prova da Proposigao 4.1, dividindo k por r, encontramos inteiros qettais quek=qr+tcom0<t<-r. Dat, e=a’ = ai" = (a")1 xa! = (e)1 xa’ =a". Ou seja a’ = e com0<t<r. Set > 0, entéo t € {me N—{0} | a™ =e}. Como0 <t<re r = min{meéeN-— {0} | a” =e}, obtemos uma contradicgaéo. Consequentemente, t = 0ek = qr éum multiplo inteiro de r = o(a). Exemplo 5.1. Em U(30) = {1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, }(ver Exemplo 1.2), temos 7 ==19; Tl =121=1; 13° =169=19; 17° =289=19; 19° =1 7 = 133 = 13 13 =2M7=7 17 =323=23 7 =91=1 3 =91=1 17 =391=1 33° = 520-19; 29° =841=1 23° = 437 = 17: 33 = 391 =1 Assim, o (11) =0 (19) =0O (29) =2e0 (7) =0 (13) =0 (17) =0O (23) = 4, Consequentemente, (IT) = {LTT}, (19) = {7,19}, (2) = {7,9}. 1 e (7) = {1, 7, 13, 19} = (13), (17) = {1, 17, 19, 23} = (23). Exemplo 5.2. Fixado um ntimero natural n 4 0, consideremos [,, = {z€C | z”=1}. Deixamos como um exercicio para o leitor provar que [, 6 um subgrupo de (C — {0}, .). Consideremos o elemento a de T, dado por @ = cos (27) + isen (2), a = V—1. Recordemos que pela férmula de Moivre vale (cosx +isenx)™ = (cosmxz +isenmz) para todo x € Re todo m EN. Assim, para j = 1,2,...,n—1, temos . . 9 9 J . . a = cos (=) +isen (=*)| = cos (247) +isen (24) #1 n n n n pois 0 < i < le, por conseguinte, 0 < Qin <2. Ja 2 2 n Qa” = cos (=) +isen (=)] = cos (27) +i sen (2m) = 1. n n Logo, o(a) =ne(a) = { 1, a, a7,..., a" }. Como os elementos de I, sao as raizes de z™ —1, conclufmos que I, tem, no maximo, n elementos. Tendo em vista que (a) C T,, deduzimos T, = { 1, a, a?,..., a"! }. O subgrupo T,, 6 denominado de o grupo das ratzes n-ésimas da unidade. Exemplo 5.3. Em Zz9 = { 0, 1, 2,..., 19}, temos 24=44+4=8 34=44+44+4=12 44=4+4+444+4=16 54=44+4444+44+4=20=0. Logo, em (Z29 , +), vale o (4) =5e(4)= { 0, 4, 8, 12, 16 }. EXERCICIOS 5.1) Determine o subgrupo gerado por a no grupo G indicado: _ _ 1 _v3 (a)a=1,G=Z; (b)a=8,G=2Z; (c)a=10,G=U(21); (d)a= 2 2 |, v3 1 2 2 G = GL(2,R). 5.2) Em F(R), determine o subgrupo gerado pelo subconjunto I={f € F(R) | f(x) =c, Va € R, com c € [0,1] }. 5.3) Em R* — {(0,0,0,0)}(veja Exemplo 1.6), determine 0 subgrupo gerado por @ = vay vez. 5.4) Para n € N — {0}, seja I’, o grupo das raizes n-ésimas da unidade(veja Exemplo 5.2). Consideremos T= Ut, e Sl={zeEC||z|=1} n#0 (dado um nimero complexo w = «+ iy, x, y € R, i = V—1, temos |w| = \/2? + y2). Mostre que I e S! sao subgrupos de (C — {0}, .). O subgrupo I é denominado de o grupo das ratzes da unidade. Observe que, para qualquer n fixado, vale Tr, <I <S! <C-— {0}. 5.5) Dados a, b € R, com a ¥ 0, defina 7,4): R — R por tT ,(~) = ax +b para todo x € R. Seja H = {Tap |a #0, bE R}. Decida, justificando, se H é subgrupo de B(R)(ver Exemplo 2.1). 2 5.6) Seja B (IR?) (ver Exemplo 2.1) o grupo das bijecdes de R? em R?. Um elemento de B (IR?) é dito um movimento (ou uma transformacdo) do R?. Um subgrupo H de B (R?) é dito transitivo se a seguinte condicao é satisfeita: Dados p, q € R?, existe F € H tal que q = F(p). Resolva os seguintes itens: (a) Mostre que L (R*) = { F € B(R?) | Fé linear } é um subgrupo nao transitivo de B (R?). (b) Fixado w € R?, a translagaéo de w 6 a aplicacao T,,: R? — R? dada por Tw(v) =u +, Vu € R’. Mostre que T (R*) = {Tw | w ER}, é subgrupo transitivo de B (R?). (c) Responda, justificando, a seguinte pergunta: “Se H é finito, H pode ser subgrupo transitivo de B (IR?)?” 5.7) Seja (G, *) um grupo abeliano e considere o subconjunto de G definido por T(G) ={a€G| o(a) é um ntmero finito }. Mostre que T(G) é subgrupo de G. O subgrupo T(G) é denominado de o subgrupo de torgao de G. Também determine T(R — {0}) e T(C — {0}). 5.8) Sejam (G,*) um grupo e H um subgrupo de G. Mostre que fixado a € G, o conjunto H,=a*xHxa' ={axhxa |heH} é subgrupo de G. 5.9) Seja (G, *) um grupo. Considere o conjunto Z(G) ={ae€Glaxxv=a2xa, Vr eG}. Mostre que Z(G) é subgrupo de G. O subgrupo Z(G) é denominado de o centro de G. Observe que G é abeliano se, e somente se, Z(G) = G. Também determine Z (D3), Z (D4) e Z (Qs). 5.10) Seja (G, *) um grupo abeliano tal que |G| = 35. Sejam a, b em G tais que o(a) = 5 e o(b) = 7. Mostre que G é ciclico. 5.11) Dé exemplo de um grupo (G, *) e de elementos a, b € G tais que o(a) e o(b) sao ntimeros finitos mas o(a * b) = co. 5.12) Seja (G,*) um grupo de ordem finita. Decida, justificando, se a seguinte afirmacao é verdadeira ou falsa: “Se m € N — {0} é um divisor inteiro de |G], entéo existe um elemento em G que tem ordem m”. 5.13) Para n € N, n > 2, determine, justificando, a ordem de n — 1 em U(n). 3