Grupos e Exemplos

Grupos e Exemplos Prof. Sérgio Luiz Silva 1 Grupos Representando por (G, *) um conjunto nao vazio G munido de uma operacao “x”, dizemos que (G, *) é um grupo ou tem uma estrutura de grupo quando as seguintes condicoes sao satisfeitas: G1) A operagaéo “x”é associativa. G2) A operacao “*”tem elemento neutro e. G3) Dado x em G, existe y em G tal quexxy=e=y*uz. O elemento y com a propriedade acima é tinico(verifique), representado por x’ e denominado “o simétrico de x”. Assim, x’ é 0 tnico elemento em G satisfazendo x*xa =e=a' xe. Observagao 1.1. Quando a operacao em G é uma operagao de adicéo “+”, o elemento neutro de G é genericamente representado por 0(zero) e o simétrico de um elemento x € G é representado por —2 e chamado de o oposto de x. Quando a operacéo em G é uma operacao de multiplicagao “.”, o elemento neutro de G é genericamente representado por 1(um) e o simétrico de um elemento x € G é representado por z~! e chamado de o inverso de x. Quando um grupo (G, *) também satisfaz G4) A operagao “x” é comutativa, dizemos que (G, *) 6 um grupo comutativo ou abeliano. Exemplo 1.1. (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +), (Q—{0}, -)s (R—{0}, -)s (C—{0}, -) sao exemplos de grupos abelianos. Exemplo 1.2. Para um nimero natural n, n > 2, seja Zp = { 0, 1,...,2—1} 0 anel dos inteiros médulo n. Temos que (Z,, +) 6 um grupo abeliano. Também (U(n), .), onde U(n) = {@€ Zp | mdc(a,n) = 1 }, é um grupo abeliano. Exemplo 1.8. Fixados ntimeros naturais néo-nulos m e n, temos que (M(m x n,R), +), o conjunto das matrizes reais de ordem m x nm com a adigao usual de matrizes “+”, 6 um grupo abeliano. Quando m = n, representamos M(n x n,R) simplesmente por M(n,R). Exemplo 1.4. Fixado um numero natural n, n > 2, consideremos o conjunto GL(n,R) = {A © M(n,R) | Aé invertivel } = {A € M(n,R) | det A #0}. Acima, “det” representa a fungéo determinante. Temos que (GL(n,R),.), sendo “.”a multiplicagao usual de matrizes, 6 um grupo nao abeliano(dé exemplos de duas matrizes em (GL(n,R), .) que nao comutam). (GL(n,R), .) 6 denominado de o grupo linear geral. Exemplo 1.5. Seja F(R) 0 conjunto de todas as fungdes de R em R. Considere em F(R) a adigao usual de funcoes reais; ou seja, se f, g: R— Rentéo f+g: R— R é dada por (f + g)(x) = f(x) + g(x) para todo x € R. Com esta operacgao usual, F(R) é um grupo comutativo. 1 1 GRUPOS Exemplo 1.6. A adicao e a multiplicacaéo usuais de nimeros complexos sao entendidas também como opercoes em R? tendo em vista a identidade natural de C com R? via o plano de Argand-Gauss. Dessa forma, (IR?,+) e (R? — {(0,0)},.) sao grupos abelianos(veja Exemplo 1.1). A adicao é estendida de forma natural ao espaco R? (e em geral ao R”) de forma a tornd-lo um grupo abeliano. No caso da multiplicacao, o matematico irlandés William R. Hamilton obteve, em 1843, uma multiplicacdéo em R* que estende e preserva as propriedades operatorias de C, exceto a comutatividade. Vejamos o caso da multiplicagao. Com efeito, em R*, consideremos os elementos é = (1,0,0,0), 7 = (0,1,0,0), 7 = (0,0,1,0) e k = (0,0,0,1). Dado a = (x,y,z,w) € R*, podemos escrever a= 2b + yt+ 27+ wk. Com o objetivo de se obter uma multiplicacéo em R* que estenda propriedades operatérias em C , admite-se € como o elemento neutro da multiplicacéo. Observe que na identificacéio de C com R?, o nimero complexo x+yi,z,yER,i1= V—1, é identificado naturalmente com (x,y) que pode ser identificado naturalmente com (2, y,0,0) em R*. Logo, o elemento neutro da multiplicacdo em C, a saber 1 = 1+0i é identificado com (1,0) em R? que é identificado com (1,0,0,0) = é em R*. Considerando-se 7, 7 e k unidades imaginarias (observe que a unidade imaginaria de C satisfaz i? = —1 que é 0 oposto do elemento neutro da multiplicacao), assumimos os seguintes produtos wj=k, j= —k; tkh=-j, kT=7 fk=%, kj=—v Observe que os produtos entre 7, Je k sao andlogos aos produtos vetoriais dos vetores canonicos de R?® (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). Assumindo que a multiplicacéo em R* é distributiva em relacdo a adicdo usual de R*, 0 produto de ay = ré+y7+ 217 +urk e ag = 12+ yo? +27 +wek em R? fica assim definido(verifique) 1.02 = (X41 12 — Yi y2 — 2122 — WiW2) E+ (iyo + yiw2 + 21W2 — W122) + (2122 — yrwe + 2122 + Wiy2) T+ (wwe + y122 — Z1Yy2 + Wix2) k. Assim, R* com a adicaéo usual e a multiplicacdo acima é representado por H e chamado de quatérnios. (HH — {(0,0,0,0)}, .) é um grupo nao abeliano(verifique os detalhes) cujo elemento neutro é € e o inverso do elemento a = r@+ y?+ z7+ wk € H— {(0,0,0,0)} é 1 ! (xe v— 27 wh) a => —yt—2z7- . + yet et Ye ed EXERCICIOS 1.1) Em um grupo, prove as unicidades do elemento neutro e do simétrico de um elemento. 1.2) Sejam (G, *) um grupo e aj, ag, ..., @, uma quantidade finita n de elementos em G, mostre que (ay * Qg * +++ * Gn)’ =a) x-+- ka, ea. 1.3) Considere a operagéo em Z dada por x xy = x+y+1, Vu,y © Z, onde “+”é a adicao usual em Z. (Z, *) 6 um grupo? 1.4) Em R — {1}, consideremos a operagao x *y =x+y+ux.y, Vx,y € R— {—-1} onde “+’e “.”sao a adicao e a multiplicagao usuais em R. Faca os seguintes itens: (a) Decida, justificando, se (R — {—1}, *) é um grupo. (b) Decida, justificando, sobre a existéncia e unicidade de solucao para a equacgdéo 2 * x * 3 = 7 em (R- {-l}, *). 2 1 GRUPOS 1.5) Em H (veja Exemplo 1.6), calcule a.8.a~! para 1 > a=5 (€— 27+ 37), B= —€+4+ 274+ 7- 3k. 1.6) Seja (G, *) um grupo. Dados a, b, c em G, mostre que em G a equacéo x *a*x*b=2*c tem uma unica solucao x e que a equacao x *a* 2 =b*b*a' admite alguma solucao z. 1.7) Dados um grupo (G, *) e elementos arbitrarios x, y, z em G, mostre que valem as seguintes leis de cancelamento a) Uxy=Uxz>y=z b) y*u=z*u>y=2 Também mostre que (z’)! = x. 1.8) Seja “*”uma operagao associativa em um conjunto nao vazio e finito G. Mostre que se em (G, *) valem as leis do cancelamento(veja Exercicio 1.7) entaéo (G, *) é um grupo. 1.9) Sejam (G1, *) e (G2, 0) dois grupos. No conjunto G1 x G2 defina a operacao (91,92) - (hi, ho) = (gi * hi, 92° h2) para quaisquer (91,92), (hi,h2) em Gi x Go. Mostre que (G; x G2, .) 6 um grupo, chamado de produto direto de G, por Gz. Demonstre também que (G x G2, .) é abeliano se, e somente se, (G), *) e (G2, 0) sao abelianos. 1.10) Dados um grupo (G, *), 7 € Gek € Z, definimos: x =e, teach Deg = oeax---xu , k>1 xys_-——“— k elementos iguais a x ak =(a!)* = alxale-. ea! 5 k< Al, cman —_—<—S |k| elementos iguais a 2x’ Quando a operacao é de adicéo “+”, as notacdes tornam-se Ox = 0, ku =(k-lA)a+u=2+2+4+---4+2, k>1 ————— k parcelas iguais a x ke = (-k)(—2) = (-2) (<2) +4 (cn), BS AL ES |k| parcelas iguais a —x Acima, na igualdade 02 = 0, 0 zero no primeiro membro representa o numero natural zero e o zero no segundo membro representa o elemento neutro de G. Mostre os seguintes itens: (a) v* xa! = okt! (2*) = hl (x*)' = (x')* para quaisquer rx € Gek,l eZ; (b) G é abeliano se, e somente se, (a * b)? = a? * b? para quaisquer a, b € G. (c) Se (G, *) é tal que x? = e para todo x € G, entao G é abeliano. 1.11) Seja (G, *) um grupo contendo um numero par de elementos. Mostre que existe z 4 e em G tal que r=. 1.12) Seja (G, *) um grupo. Defina a relacéo “~”em G como segue: g ~ h se, e somente se, existe x € G tal queh=axx*«gxa’. (a) Mostre que “~”é, de fato, uma relagao de equivaléncia em G. As classes de equivaléncia de G, com respeito a “~”, sao chamadas de classes de conjugacao de G. Se g ~h, dizemos que g é conjugado a h. (b) Mostre que toda classe de conjugacgéo de G consiste de um tnico elemento se e somente se G é abeliano. 3