Homomorfismos de Grupos Cíclicos

Homomorfismos de Grupos Ciclicos Prof. Sérgio Luiz Silva Teorema 10.1. Sejam (G,*) um grupo ctclico com G = (a), (G, x) um grupo qualquer eb € G. Entao, valem: i) Se o(a) € um numero finito e o(b) nao divide o(a), entdo nao existe homomorfismo f : G > G tal que f(a) = b. ii) Se o(a) € um numero finito e o(b) divide o(a), entao existe um tinico homomorfismo f : G— G tal que f(a) = b, dado por f(a") = b" para todo r € Z. iii) Se o(a) é infinita e o(b) é qualquer, entao existe um tinico homomorfismo f : G — G tal que f(a) = b, dado por f(a") =b" para todo r € Z. Prova: o item i) é uma consequéncia direta da propriedade HMG8 de homomorfismos. Passemos a provar os itens ii) e iii): consideremos a funcgao f : G > G, dada por f (a”) = b" para todo r € Z. Primeiro, devemos verificar que f esta bem definida, ou seja, devemos verificar que se a” = a® entao f(a") = b" = b* = f (a*). Consideremos dois casos: e o(a) éinfinita. Neste caso, a” = a* implica a” * = eg er = 8, jA que o(a) é infinita. Consequentemente, f(a") = f (a*). e o(a) 6 um ntimero finito. Neste caso, a” = a* implica a’~* = eg er — 8s 6 um miultiplo inteiro de o(a). Como o(b) divide o(a), temos que r—s é também um miultiplo inteiro de o(b). Consequentemente, b"~* = eg e b” = b°. Ou seja, f (a”) = f (a*). f €um homomorfismo: f (a" « a’) = f (ats) = b's = b" x b§ = f (a”) x f (a*) para quaisquer r, s € Z. Agora, se g : G > G é também um homomorfismo satisfazendo g(a) = b, entao, para todo r € Z, vale g(a") = g(a)’ =b' = f(a’). Portanto, g = f. Oo Exemplo 10.1. Consideremos os grupos Z/8Z = (1) e D3. Temos, o (1) = 8. Se b € Ds e o(b) divide 8, entao b = id, 01, 02 ou a3. Assim, pelo Teorema 10.1, temos exatamente quatro homomorfismos de Z/8Z em D3, a saber: f, (™) = fi (m1) = id, _ = id sem é par J) = f(T) =o = | i o, sem é impar, _ = id sem é par fs) = fol) =o = | Lo a2 sem é impar, _ = sid sem é par fl) = fall) =o = | io 03 sem é impar. para todo m = 0,1,...,7. 1 EXERC´ICIOS 10.1) Dados n´umeros naturais n˜ao nulos n e m, mostre que m Z ⊃ n Z se, e somente se, m divide n. Tamb´em utilize o Corol´ario 9.2 para mostrar que se m Z ⊃ n Z ent˜ao (m Z : n Z) = n/m. 10.2) Seja ( G , ∗ ) um grupo c´ıclico finito de ordem n com G = ⟨ a ⟩. Mostre os seguintes itens: (a) Se H ´e subgrupo de G, com H ̸= {e}, ent˜ao H ´e c´ıclico. Mais precisamente, mostre que H = ⟨ am ⟩, sendo m o menor inteiro positivo tal que am ∈ H. Tamb´em mostre que |H| = n/m. (b) Se d ´e um divisor positivo de n, existe um ´unico subgrupo H de ordem d, a saber H = ⟨ a n d ⟩. 10.3) Nos casos abaixo, encontre todos os homomorfismos do grupo G no grupo G: (a) G = Z/8Z e G = Z/10Z; (b) G = Z/4Z e G = D4; (c) G = Z/6Z e G = D3; (d) G = Z/5Z e G = D4; (e) G = Γ6 e G = Q8; (f) G = Z/8Z e G = U(36)/⟨13⟩. 10.4) Sejam n um n´umero natural n˜ao nulo, G e G dois grupos de ordem n com G c´ıclico. Calcule o n´umero de homomorfismos de G em G. 10.5) Sejam m e n dois n´umeros naturais n˜ao nulos e relativamente primos. Considere a aplica¸c˜ao f : Z → Zm × Zn, dada por f(k) = (Clm(k), Cln(k)) para todo k ∈ Z, onde Clt(ℓ) representa a classe m´odulo t do n´umero inteiro ℓ. Considerando Zm × Zn com a estrutura de grupo dada no Exerc´ıcio 1.9, mostre os seguintes itens: (a) f ´e um homomorfismo sobrejetivo; (b) Ker f = mnZ; (c) f, dado pelo Teorema 9.1, ´e um isomorfismo de Zmn em Zm × Zn; (d) f(U(mn)) = U(m) × U(n), com U(t) representando o conjunto dos elementos invert´ıveis em Zt; (e) φ(mn) = φ(m)φ(n) quando m e n s˜ao relativamente primos, sendo φ a fun¸c˜ao φ de Euler. 2