Classes Laterais e O Teorema de Lagrange 2021-2

Classes Laterais e o ‘Teorema de Lagrange Prof. Sérgio Luiz Silva Classes Laterais. Sejam (G,, «) um grupo e H um subgrupo de G. Em G, consideremos a seguinte relagao de equivaléncia: “Se x, y € G entao y ~ @ se, e somente se, x’ * y € H.” Abaixo, verificamos que “ne, de fato, uma relacao de equivaléncia em G. Ou seja, verificamos que “~" satistaz as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva. RE1) Propriedade Reflexiva: para todo x € G, vale x ee pois x’ *x =e € H jé que H é subgrupo de G. RE2) Propriedade Simétrica: sejam x,y € G tais que x sy Isto significa que y’ * x € H. Daf, (y! xa) = 2' x (y')' = a! xy é também um elemento de H pois y/ * x € H e o seu simétrico, a saber 2! * y, é também um elemento de H, tendo em vista que H é subgrupo de G. Assim, mostramos que y ~ ve que “~” é simétrica. E RE3) Propriedade Transitiva: sejam x, y, z € G tais que x UCU Re Neste caso, y'*x € He zi xy © H. Dat, 2! xx = (2' xy) * (y’* x) 6 também um elemento de H, tendo em vista que H, sendo subgrupo de G, é fechado para a operacao “x”. Consequentemente, x eee nee transitiva. Lembremos que @, a classe de equivaléncia de x, é 0 subconjunto de G dado por tT={yeGly~e }={yeGla'xyeH}={yeG|a'*y=cparaalgumce H} ={yeG|y=x2*cparaalgumce HH}. Se definirmos 0 conjunto « * H = {x*c|cé€ H}, valex* H = %. Daqui em diante, usaremos x * H, no lugar de Z%, para indicar a classe de equivaléncia do elemento x de G segundo a relacao de equivaléncia “~”. A classe x * H é denominada de a classe lateral a4 esquerda de H em G do elemento x. De maneira andloga poderfamos definir a seguinte relacao de equivaléncia em G: “Se x, y € G entao y¥ > @ se, € somente se, y « x’ € H.” Neste caso, a classe de equivaléncia de um elemento x € G é dada por Hxx={cxx|cé€ H}e denominada de a classe lateral a direita de H em G do elemento «x. Exemplo 6.1. Em (D3, ©), consideremos 0 subgrupo H = (a1) = {id, o1 }. Temos, ido H = {idoid, idoo,}={id,o,} =o oH, Roz/3 0 H = { Rog/3 0 id, Rog/3 001} = { Roz/3, 03 } = 030 Rar/3 oH = { Ran/3 0 id, Rar/3 OO1 } = { Rar/3: 02 } = 020 H. Lembre-se que uma classe lateral 4 esquerda é uma classe de equivaléncia e que classes de equivaléncias diferentes(de uma mesma relagao de equivaléncia) nao tém elementos em comum. Logo, o conjunto das classes laterais 4 esquerda de H = (0; ) em G é dado por: {ido H, Rogj3° H, Ragjg0 H} = {H, { Rozz, 03}, { Rags, 72} }- 1 Ja as classes laterais a direita sao dadas por H oid = {idoid, 0, 0id} = {id, 01} =Hoa, Ho Ror /3 = { ido Ror /35 a1° Rox /3 } = { Rox/3: 02 } = Hoo, Ho Rag/3 = {ido Rag/3, 01° Rag3 } = { Razz, 03 } = H 003. O conjunto das classes laterais 4 direita de H = (01) em G é dado por: { H 0 id, Ho Rox /3, Ho Rays } = { A, { Rog/3s O2 }, { Ran/3s 03 } } : Observe que Rg,/3°0 H # Ho Rox /3 e também que o conjunto das classes laterais 4 esquerda nao coincide com o conjunto das classes laterais a direita. Proposigao 6.1. O niimero de classes laterais a esquerda e o numero de classes laterais a direita sao iguais. Prova: Sejam (G, *) um grupo e H um subgrupo de G. Designemos por € e D o conjunto das classes laterais & esquerda e o das classes laterais a direita respectivamente. Consideremos a fungéo y : E > D, definida por p(x * H) = H « a’ para todo x € G. Primeiro observemos que y esté bem definida, ou seja, que y (a * H) nao depende do representante da classe x * H. De fato, se x * H = y x H entao y =o. Dai, a’ xy € H. Como H é subgrupo, temos (a! « y)' = y! * (x’)! € H. Pela definicao de “~ y' x(a’)! €Hé equivalente a y’ x x’. Consequentemente, H *2' = H «y' e yp(x*x H) =y(y*A). Agora, passamos a provar que y é uma bijecao: e » é sobrejetiva pois, para Hxz € D, temos y (2! * H) = Hx(z’)! = Hz, 0 que mostra a sobrejetividade de y. e ¢ é injetiva pois, se p(x* H) = y(y*H), entao H * 2’ = H xy’. Consequentemente, 4’ < ve y! *(a')' =y' «a € H. Pela definicao de “~~, concluimos x xy: Portanto, x * H = y* H e € injetiva. Definigao 6.1. Dados um grupo (G, *) e um subgrupo H de G, o ntmero de classes laterais a esquerda(direita) é definido como sendo o indice de H em G e é representado por (G: H). Por exemplo, de acodrdo com o Exemplo 6.1, temos (D3 : (a1)) = 3. Quando (G : H) for infinito, escreveremos (G : H) = oo. Teorema 6.1(Teorema de Lagrange). Sejam (G, *) um grupo tal que |G| é um ntimero finito e H um subgrupo de G. Entao, vale |G| = (G: H)|H|. Em outras palavras, quando |G| € um nimero finito, a ordem de um subgrupo H de G € um divisor inteiro da ordem de G e o quociente da divisdo é precisamente o indice de H emG. Prova: Seja E o conjunto das classes laterais 4 esquerda de H em G. Como cada classe lateral a esquerda é uma classe de equivaléncia da relacao de equivaléncia ~, temos que se x x H # y x H entao x*HNy*xH =. Além do mais, G é a uniao de todas as classes laterais A esquerda. Portanto, sendo G um conjunto finito, devemos ter um ntimero finito m de distintas classes laterais & esquerda. Suponhamos E = {2 * H, ro * H,..., Um * H}. Para cada x € G, o numero de elementos de x « H é igual ao ntimero de elementos de H pois verifica-se facilmente que a fungao f(a) = x *a, Va € H, é uma bijecéo de H em x * H. Consequentemente, podemos escrever |G] = # (a1 * 1) + # (@2* A) +--+ # (tm * H) = |A|+|A|+---+|H) =m |A| = (G: A) Al. eS ————__ —___ m parcelas iguais a |H| Acima, # (a; * H), i = 1,2,...,m, representa o numero de elementos de x; *« H. Corolario 6.1. Se um grupo (G, *) tem ordem finita e a € G, entao o(a) € um divisor inteiro de |G|. Prova: O Corolario 6.1 é uma consequéncia direta do Teorema de Lagrange porque o(a) é, por definicao, a ordem do subgrupo (a). 2 Corolario 6.2. Se um grupo (G, *) tem ordem finita ea € G, entao alCl =e. Prova: Pelo Corolario 6.1, temos |G| = mo(a) para algum nimero natural m. Consequentemente, alGl = (a) =e"=e. Corolario 6.3. Se um grupo (G, *) tem ordem finita igual a um ntimero primo entdo G € ctclico. Prova: Coloquemos |G| = p com p um numero primo. Como p > 2, existe a € G com a # e. Temos que o(a) divide p pelo Corolario 6.1. Como p é primo e o(a) > 2, j4 que a £ e, concluimos o(a) = p. Logo, (a) tem p elementos. Tendo em vista a inclusao (a) C G e que G tem p elementos, podemos concluir que G = (a) o que mostra que G é ciclico. Observe que, quando a ordem de G é um numero primo p, todo elemento que nao seja o elemento neutro tem ordem p. EXERCICIOS 6.1) Determine o conjunto das classes laterais 4 esquerda e o das classes laterais 4 direita de H = (R,) em . ys 1 2 4 D4(veja Exercicio 2.2) e de H = 3 em G = 54. 3.14 2 6.2) Determine todos os subgrupos do grupo (G, *) nos casos abaixo: (a) (Ziz, +), (b) (U(16),.), (©) (Ds,°), (A) (Ds, 0), (©) (Qs, -)(Exemplo 3.6). 6.3) Determine (G : H) nos casos abaixo: (a) G = D3, H = (Ron/3) 3 (b) G = Dy, H = (R;z); (c) G = Z, H = 2Z; (d) G = C— {0}, AH = (7), i=vV-l. 6.4) Sejam (G, *) um grupo de ordem finita, K e H subconjuntos de G tais que K < H < G. Mostre que vale a igualdade (G: K) =(G: H)(H: K). 6.5) Sejam (G, *) um grupo de ordem finita. Fixado m € N, definamos y,», : G > G por Ym(x) = 2™, Va € G. Mostre que se mdc(|G|, m) = 1 entéo ym é uma bijecao. 6.6) Seja (G, *) um grupo tal que |G| < 5. Mostre que G é abeliano. 6.7) Usando o Corolario 6.2, dé uma prova do Teorema de Euler: “Sea € Zen €N, n> 2, sao tais que mdc(a,n) = 1 entao a®™ = 1 (modn). 6.8) Decida, justificando, se a seguinte afirmacao é verdadeira ou falsa: “Sejam (G, .) um grupo de ordem n,n > 2,e pum numero primo que divide n. Se np é o numero de subgrupos de G' que tem ordem p, entao e [Ra 1}, n —— |]. P= \5-1 . (Observagao: para um nimero real x, [x] representa a parte inteira de 2.) 6.9) Sejam (G, *) um grupo e H e K subgrupos de G. Mostre que se (G : H) e (G: K) sao nuimeros finitos entao (G: HM K) também é um numero finito. 3