Caderno - Álgebra Linear 2012 2

Biografía: - Boltzmann - Algebra Lineal - Steinbruch - Algebra Lineal\n\nÍndice: I. Matrices\n- Definición\n- Igualdad\n- Matrices especiales\n- Operaciones básicas\n- Operaciones elementales\n- Matriz equivalente\n- Matriz en forma escalonada\n- Determinante\n\nII. Biografía de espacios Lineales\n- Definición\n- Matriz asociada a un sistema lineal\n- Calificación de sistemas\n- Resolución de sistemas cuando o\n- Método de eliminación Gaussiana\n- Sistema Homogéneo\n\nIII. Espacio vectorial Reel de dimensión finite\n- Definición\n- Espacio trivial\n- Combinar lineal\n- Sub-espacio generado - conjunto generado\n- Vectores linealmente independientes\n- Base y dimensión en espacios vet. \n- Operadores en espacios lineales\n- Combinación de vectores en n con.\n\nIV. Transformaciones Lineales\n- Definición\n- Lo que infiere a todo linear\n- Múltiple imagen de una transformación\n- Traslación, línea y objeto\n- Tiempos lineal subyectivo\n- Tiempos lineales bióticos (biomás)\n- Matriz asociada a una transformación\n- Operadores en todo linear\n\nV. Producto Interno\n- Definición\n- Norma de k viaje\n- Distancia entre dos puntos\n- Ángulo entre 2 vectores\n- Ortogonalidad\n- Fórmula de ortogonalización de Gram-Schmidt\n- Completado ortogonal\n\nVI. Atributos - Abstinencia\n- Definición\n- Células dos atributos.\n- Estabilidad a cero\n- Multiplicidad de soluciones\n- Diagnósticos de operadores lineales VII. Espacios vectoriales con producto interior, operadores lineales\n- Operador adjunto\n- Operador auto-adjunto\n- Operador unitarial\n- Operador normal\n\nPruebas:\n- e-mail: \nP1: 14/12\nP2: 20/02\nP3: 27/02 (hecho)\nPF: 06/03\n\nNota: 629-A\n- lista de matriz\n- lista 4 05/11/12\nMatrices - Contador iniciales\nDefinición: Una matriz de orden m x n es un conjunto de m n elementos expuesto en m líneas n columnas.\n\nA = \n[a11 a12 ... a1n\n a21 a22 ... a2n\n ... ...\n am1 am2 ... amn]\n\nTambién puede representar una matriz dentro de su elemento genérico, esto es, A = (aij)m x n donde aij = 0 el elemento genérico, es decir, matrice A y actuado en la definición.\n\nPuedes considerar también una matriz A = (aij) con un conjunto de m vectores lineales en un conocido.\n\nAi: = [aij aiz ... aing] R es el i-ésimo vector columna de A.\n\nBi:j = [bij bjj ... bjng] R es el j-ésimo vector columna de B.\n\nIgualdades de matrices: Dada dos matrices A = (aij)mn y B = (bij), decimos que A=B cuando aij=bji. Operações com Matrizes\n- Alguém: Dado duas matrizes A = (aij)m×n e B = (bij)n×p, a adição A + B é dada por A + B = (aij + bij), n é igual a i,j = 1,...,m.\n\nLo Propiedades:\n1) A + B = B + A\n2) (A + B) + C = A + (B + C)\n3) A + O m×n = A\n4) A T = A\n5) Tr(A + B) = Tr(A) + Tr(B)\n\n- Multiplicação de uma matriz por um escalar:\nDado uma matriz A = (aij)m×n, k ∈ R,\ndizendo k * A = (k * aij), onde i,j.\n\nLo Propiedades:\n1) k(A + B) = kA + kB, k ∈ R\n2) (k1 + k2)A = k1A + k2A, k1, k2 ∈ R\n3) (k3 * k4)A = k3(k4A) = (k3k4)A\n4) 0 . A = Om×n\n5) 1 . A = A\n6) Tr(kA) = k * Tr(A) Multiplicação de matrizes: Dados as matrizes A: (m×p)\ne B: (p×n), a multiplicação de A por B é dada pela\nQ = A * B, onde Q = (qij) m×n, com\ncada elemento qij de Q = soma dos produtos da i-ésima linha de A pela j-ésima coluna de B, este é:\nqij = Σ aij * bjk\n\nEx:\nA = \n⎡ 1 2 3 ⎤\n⎢ 0 3 1 ⎥\n⎣ 2 3 1 ⎦\n\nB =\n⎡ 1 2 ⎤\n⎢ 1 2 ⎥\n⎣ 0 2 ⎦\n\nΔAB =\n⎡ 1 2 3 ⎤\n[1 2 0 4 6 8 3 7 5] 2,\n0 + 6;\n\n1. 1 = 2x2; 1. 2\n+ 0. 0\n= 1. 2 + 1. 1. 2\n\nLo Propiedades:\n1) (AB)C = A(BC)\n2) A(B . C) = AB - AC\n3) A.O m×n = A\n4) A.T = A\n5) k(AB) = A(kB) = (kA)B, ∀ k ∈ R\n6) Tr(AB) = Tr(BA) Tipos de matrices especiales:\n- Matriz línea: A = (aij)n×1\n- Matriz columna: A = (aij)1×n\n- Matriz nula: A = (aij), donde aij = 0, ∀ i,j.\n- Matriz cuadrada: A = (aij)n×n, donde h = n.\n- Diagonal principal: i = j, donde aij = 0, i ≠ j.\n- Matriz diagonal: A = (aij)n×n, donde aij = 0, para i ≠ j.\n- Matriz escalar: A = (λi)1×n, donde λi es escalar.\n- Matriz triangular inferior: A = (aij)mn, donde i ≥ j.\n\nEj:\nA =\n⎡ 1 0 0 0 ⎤\n⎢ 2 0 0 0 ⎥\n⎣ 3 2 3 0 ⎦\n\n- Trazo de una matriz: E = suma dos elementos da diagonal principal.\nEj:\nTr(A) = Σi ai Obs 1: G produto de matrizes não sempre é comutativo\nObs 2: O produto de duas matrizes não nulos pode ser igual a zero\nex: A = [ 0 1 ] , B = [ 1 1 ] ; AB = [ 0 0 ]\n [ 0 0 ] [ 0 0 ]\n\n- Transposição de matrizes: Dada uma matriz A=(aij)mn define-se a matriz transposta dA, denotada por At como sendo At = (aji)nm, onde\n i = 1,2,3,...,m\n j = 1,2,3,...,n\n\nAs Propriedades:\n1) (A^t)^t = A\n2) (A + B)^t = A^t + B^t\n3) (kA)^t = kA^t, k ∈ R\n4) (AB)^t = B^t A^t\n5) tr(A + B) = tr(A) + tr(B)\n\n- Matriz simétrica: Diz-se que uma matriz A é simétrica se, e somente se A = At\nex: A = [ 3 4 -3 ]\n [ 4 0 0 ]\n [ -3 0 5 ]\n A = [ 3 4 -3 ]\n [ 4 0 0 ]\n [ -3 0 5 ] - Matriz anti-simétrica: Diz-se que uma matriz A é anti-simétrica se, e somente se A = -A^t\nex: A = [ 0 -2 3 ]\n [ 2 0 -1 ]\n [ -3 1 0 ]\n\n- Matriz invertível ou não singular:\nDiz-se que uma matriz A é invertível quando existe uma matriz B tal que AB = BA = I\nObs: B = A^(-1)\n\nAs Propriedades:\n1) (A^(-1))^(-1) = A\n2) (AB)^(-1) = B^(-1) A^(-1)\n3) (A^t)^(-1) = (A^(-1))^t\n4) A^(-1) (A^(-1))^t (A^t)^(-1) A^t = A A^(-1) I - Matriz Ortogonal: Uma matriz ortogonal A de ordem n é invertível e satisfaz A^t = A^(-1)\nex: A^t = A^(-1)\nA = [ 1 0 ] A^t = [ 1 0 ]\n [ 0 -1 ] [ 0 -1 ]\n\nOperações elementares lineares:\n- Permutações e troca de dois vetores lineares\n- Soma de dois vetores lineares\n- Multiplicação de uma linha por um escalar não nulo\n\nex 1:\nA = [ 1 2 3 ]\n [ 2 3 4 ]\n [ 4 5 6 ]\nI = [ 1 0 0 ]\n [ 0 1 0 ]\n [ 0 0 1 ]\n\nex 2:\nA = [ -1 3 0 ]\n [ 2 3 1 ]\n [ 4 5 3 ]\nI = [ 1 0 0 ]\n [ 0 1 0 ]\n [ 0 0 1 ] ex 3:\nA = \n[ -3 0 ]\n[ 2 3 ]\nL2 ↔ L3 \n[ 6 9 ] \nA3 \nA1\n[ 4 5 ]\nE2 . A = A1\n\nex 4:\nA = \n[ -3 0 ]\n[ 2 3 ]\nL2 ↔ 2L2 + L3\n[ 8 11 ]\n = A4 \n[ 4 5 ]\n\n• Matrices equivalentes\n\nDado:\nDuas matrizes são ditas equivalentes se uma delas é obtida da outra por meio de operações elementares.\n\nNota que nos exemplos 1, 2, 3, 4, as matrizes A1, A2, A3 e A4 são equivalentes à matriz A.\n\n- Processo de inverso de matrizes\n\nDada uma matriz A invertível, A-1 é equivalente a matriz I, consequentemente a matriz inversa de A. Também, A^g é equivalente a identidade I.\n\nobti: ∃ A^3 si det A ≠ 0