Grupos de Permutações e de Simetrias

Grupos de Permutacoes e de Simetrias Prof. Sérgio Luiz Silva Exemplo 2.1. Seja C um conjunto nao vazio e B(C) 0 conjunto de todas as bijegdes de C' em C’. Considere em B(C) a operagao de composicao de fungdes “o”, ou seja, se f, g: C’ — C sao elementos de B(C) entao fog: CC é dada por (f 0 g)(x) = f(g(x)) para todo x € C. Temos que ( B(C),°o) é um grupo e, quando C' tem pelo menos trés elementos, (B(C), 0) nao é abeliano. Se C é um conjunto finito com m elementos entao B(C) tem m! elementos. No caso particular em que C = {1,2,...,m}, 0 grupo B(C) é representado por S;, e denominado de o grupo das permutacdes de m elementos. Um elemento f de Si, é normalmente representado por fH ( 1 20... m ) FQ) f(2) --. F(m))° . 12 3 4\ , Assim, @ = 3941) °° elemento de S4 tal que a(1) = 3, a(2) = 2, a(3) = 4, a(4) = 1. Para 12 3 4 B= (3 3 4 1) va goa-(i 23 4\,(1 23 4)_(1 234 “~\o 34 1)°\3 241) > \4 3.1 2)° A Exemplo 2.2. Seja ABC um triadngulo equilatero de vértices A, B, C e centro O. Consideremos as aplicacgdes A A id, Rox /3; Rag /3; O1, 02, 03: ABC > ABC, dadas por id é a aplicagao identidade, Rg,/3 ¢ a rotagao de 27/3 radianos em torno do centro do triangulo e no sentido anti-horario, Cc Cc ; a, R,,(p) ols ee a P A B A B Raz/3 6 a rotagao de 47/3 radianos em torno do centro do triangulo e no sentido anti-horario, 7] é a reflexao em relacio a mediatriz do lado BC, c C Cc Cc a ti, T i(P ‘ B\-— i _ Le A B 4 FR B acl?) A B A R 1 o2 6a reflexdo em relacio a mediatriz do lado C/A e a3 é a reflexdo em relacdéo a mediatriz do lado AB Cc Cc Cc Cc Ta Ty op) > rr —_>—___ A e A (p) a A B A B Seja D3 = { id, Ror/3, Rag/31 1, F2; a3 } munido com a operacao de composicaéo de fungdes “o”. Temos que (Ds, 0) é um grupo, denominado o grupo das simetrias de um triangulo equildtero ou o grupo diedral de ordem 6. Cada elemento de D3 é completamente determinado pela acao nos vértices. Por exemplo, 0; é o tinico elemento de D3 tal que o1(A) = A, o1(B) = Ce o1(C) = B. Assim, se adotarmos uma convencao andloga 4 adotada na representacgaéo de um elemento de S,,,(veja Exemplo 2.1), podemos escrever: . (A BC (A BC (A BC id = A B CG)? Rox /3 = BC A)’ Rag /3 = C A B)’ _(A BC) ._(A BC\ | _(A BC "la cB)? ?~\o B A)’ 8 \B A CG): Podemos representar os resultados das composicdoes dos elementos de D3 na tabela abaixo: ° td | Ron/3 | Rany3 | 1 02 | 03 id o3 Rowjs | Ronjs | Rana | | | Ravja| | | Roms | | of ff Ros | o | | | Rays | 03 A tabela acima é constituida de 7 linhas e 7 colunas. No encontro de uma linha, a partir da segunda, com uma coluna, também a partir da segunda, esta a composicao do elemento da linha com o elemento da coluna, sendo que a composicao do elemento da linha com o elemento da coluna é sempre feita considerando-se o elemento da linha antes do simbolo de composicao e o elemento da coluna depois do simbolo de composicao. Note que essa convencao é importante pois, como veremos abaixo, a operacao considerada em Dz nao é comutativa. Por exemplo, no encontro da linha de o;(quinta linha) com a coluna de o2(sexta coluna) esta o elemento 5 _{A BC) (A BC\_(A BC)\_, ore "\a Cc B)°\c B A) \B Cc A) Ja no encontro da linha de o2(sexta linha) com a coluna de oj (quinta coluna) estdé o elemento og -(4 8 ©), (4 8 C\_(4 8 C\_p e2°7"\o B A)°\A CB) \c A B) 4 * Observe que D3 nao é abeliano pois 01 002 # 0200. A tabela acima é denominada de a tabela de composi¢ao de D3. Mais geralmente, usando convengoes andlogas as usadas na tabela de composicao de D3, dado um grupo finito (G, «) com n elementos, podemos representar os resultados das operagdes dos elementos de G em uma tabela com n+ 1 linhas e n+ 1 colunas, denominada de a tabela de operagao de G. Na primeira casa da tabela, sempre colocamos o simbolo da operacao que esta sendo considerada. 2 EXERCICIOS 2.1) Preencha as demais casas da tabela de D3. o 2.2) Considere um quadrado ABCD com vértices A, B, C, D e centro O e¢ as aplicagées Oo Oo id, Ry/2; Rr, R3n/2; Rac, Rep, Fer, Ras: ABCD + ABCD, pk ¢ DK A P B dadas por id é a aplicagao identidade, Rz/2, Rr, R3z/2 sao, respectivamente, as rotagoes de 7/2, 7, 30/2 radianos em torno do centro do quadrado e no sentido anti-horario e Rac, Rap, Rpr, Rag sao, respecti- —_ << CO CL . . vamente, as reflexdes em relacgéo as retas AC, BD, PR, QS(retas suportes das diagonais e mediatrizes dos lados do quadrado ). Seja D4 = { id, Ry/2, Rr, R3n/2; Rac, Rep, Fer, Ras } munido com a operacaéo de composigéo de fungdes “o”. Temos que (D4, 0) 6 um grupo, denominado o grupo das simetrias de um quadrado ou o grupo diedral de ordem 8. Como no Exemplo 2.2, represente os elementos de D4 por suas respectivas acdes nos vértices e construa a tabela de composicao de D4. 3