Slide - Noção Intuitiva e Propriedades de Limites 2021-2

Limites Noção intuitiva e propriedades Velocidade Média e Velocidade Instantânea • Conhecemos o conceito de velocidade média estabelecido pela Física Clássica: • Nessa fórmula representa a velocidade média; • é o deslocamento do móvel considerado e • é o tempo gasto pelo móvel para executar o deslocamento . Exemplo 1: Determine a velocidade média de um automóvel que passa pela posição 4 km em um circuito automobilístico no instante 5 segundos e passa pela posição 12 km no instante 10 segundos. • Temos os seguintes dados: , , , . • Então e . • Portanto . Observação: A velocidade média é uma estimativa da velocidade do móvel ao longo do percurso. Não significa que o móvel manteve sempre aquela velocidade constante ao longo de todo o trajeto. • Vejamos mais um exemplo: Exemplo 2: Um ônibus parte do Rio de Janeiro às 8 horas da manhã com destino a São Paulo e chega a essa cidade à uma hora da tarde. Considerando que a distância aproximada entre as cidades do Rio de Janeiro e São Paulo é de 430 km, calcule a velocidade média do ônibus. • • • . Comentários: • Provavelmente o ônibus não manteve a velocidade constante ao longo de todo o percurso. • Se o ônibus realizou duas paradas de 15 minutos em postos de conveniência ao longo do caminho, então manteve velocidade zero por meia hora. • De modo geral, nenhum móvel costuma manter a velocidade constante ao longo de todo o trajeto. • Os carros encontram sinais fechados, engarrafamentos e naturalmente não se consegue manter uma velocidade constante ao longo de todo o percurso. • Isaac Newton, ao estudar movimentos, preocupou-se em determinar exatamente a velocidade em cada instante ao longo de todo o trajeto. • Para conseguir tal feito, criou o conceito de velocidade instantânea a partir da definição de velocidade média. • Inicialmente vamos pensar que as posições sejam conhecidas em cada instante ao longo do trajeto, ou seja, as posições ocupadas são dadas em função do tempo: s = f(t). • Desse modo temos que vm = (f(t) - f(t_0)) / (t - t_0). Exemplo 3: Um móvel se desloca ao longo de uma estrada segundo a função f(t) = t^2 - t + 1, sendo t medido em segundos e s em metros. 1. Determine a velocidade média do móvel entre os instantes t = 2 s e t = 6 s. Temos f(2) = 2^2 - 2 + 1 = 3 m e f(6) = 6^2 - 6 + 1 = 31 m. Então vm = (f(6) - f(2)) / (6 - 2) = (31 - 3) / 4 = 28 / 4 = 7 m/s. 2. Determine a velocidade média do móvel entre os instantes t = 2 s e t = 2,01 s. Temos f(2) = 3 m e f(2,01) = 2,01^2 - 2,01 + 1 = 3,0301 m. Então vm = (f(2,01) - f(2)) / (2,01 - 2) = (3,0301 - 3) / 0,01 = 0,0301 / 0,01 = 3,01 m/s. 3. Determine a velocidade média do móvel entre os instantes t = 2 s e t = 2,0001 s. Temos f(2) = 3 m e f(2,0001) = 2,0001^2 - 2,0001 + 1 = 3,00030001 m. Então vm = (f(2,0001) - (2)) / (2,0001 - 2) = (3,00030001 - 3) / 0,0001 = 0,00030001 / 0,0001 = 3,0001 m/s. • Observe que para intervalos de tempo muito pequenos iniciados no instante , obtemos velocidades médias cada vez mais próximas de . • A partir dessa observação diremos que a velocidade instantânea do móvel no instante é igual a . • Isso pode ser constatado intuitivamente fazendo contas semelhantes às apresentadas no slide anterior, com valores de cada vez mais próximos de . • Pergunta: É necessário fazer sempre essas contas para valores distintos de ? • Resposta: felizmente não! • Vamos utilizar o Exemplo 3 para verificar que não é necessário repetirmos sempre essas contas. • Tome a função f(t) = t^2 - t + 1. Sabemos que f(2) = 3. • Então vm = (f(t) - f(2)) / (t - 2) = (t^2 - t + 1 - 3) / (t - 2) = (t^2 - t - 2) / (t - 2). • Note que o valor numérico do numerador dessa fração algébrica para t = 2 é igual a zero! • Isso significa que 2 é uma raiz desse polinômio e consequentemente podemos fatorá-lo, obtendo t^2 - t - 2 = (t - 2)(t + 1). • Desse modo obtemos vm = (t - 2)(t + 1) / (t - 2) e como t ≠ 2, tem-se t - 2 ≠ 0. • Isso nos permite simplificar essa expressão, resultando em vm = t + 1 para todo t ≠ 2. • Desse modo fica fácil calcular as velocidades médias do móvel nos trechos entre 2 e t segundos, seja qual for o valor de t (inclusive para t < 2). • Podemos montar a seguinte tabela: | t | v_m | |---------|--------| | 2,01 | 3,01 | | 2,001 | 3,001 | | 2,0001 | 3,0001 | | 2,00001 | 3,00001| | 2,000001| 3,000001| • Agora ficou mais fácil perceber o que está acontecendo: quanto mais próximo t estiver de 2, teremos v_m mais próxima de 3. • Formalmente diremos que o limite de v_m quando t tende para 2 é igual a 3 e escreveremos lim_{t→2} v_m = 3. v_m (m/s) v_m = \frac{t^2 - t - 2}{t - 2} t (s) • O conceito de limite foi criado por Newton inicialmente para resolver esse tipo de problemas. • A partir daí ficou definido o conceito de velocidade instantânea como o limite da velocidade média. v(t_0) = \lim_{t→t_0} v_m • De outro modo também poderíamos escrever: v(t_0) = \lim_{t→t_0} \frac{Δs}{Δt} • E lembrando que Δt = t - t_0, podemos deduzir que para t próximo de t_0, teremos a diferença t - t_0 próxima de 0, ou seja, Δt → 0, o que nos dá: v(t_0) = \lim_{Δt→0} \frac{Δs}{Δt} • Repare que o conceito de limite surge para resolver o problema de calcular um quociente da forma para valores de tão próximos de quanto desejemos. • E no caso não teria sentido fazer , já que isso resultaria no quociente , o qual chamamos de indeterminação. • Porém, o fato de que é raiz das funções que se apresentam tanto no numerador como no denominador, nos permite simplificar esse quociente e resolver o problema inicial. • Depois de simplificada a expressão, é permitido fazer na fórmula encontrada e obter o valor exato do limite. • Vejamos alguns exemplos a seguir. Exemplo 5: Calcule \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x} - \sqrt[3]{x}}{\sqrt[4]{x} - \sqrt[6]{x}}. • Vamos reduzir todas as raízes ao mesmo índice m.m.c.{2,3,4,6} = 12. • Temos então \sqrt{x} = \sqrt[12]{x^6}, \sqrt[3]{x} = \sqrt[12]{x^4}, \sqrt[4]{x} = \sqrt[12]{x^3} e \sqrt[6]{x} = \sqrt[12]{x^2}. • Feito isto, vamos reescrever: \sqrt{x} = (\sqrt[12]{x})^6 , \sqrt[3]{x} = (\sqrt[12]{x})^4, \sqrt[4]{x} = (\sqrt[12]{x})^3 e \sqrt[6]{x} = (\sqrt[12]{x})^2. • Agora mudamos a variável para t = \sqrt[12]{x}. Note que t \rightarrow 1 quando x \rightarrow 1. • Então \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x} - \sqrt[3]{x}}{\sqrt[4]{x} - \sqrt[6]{x}} = \lim_{t \rightarrow 1} \frac{t^6 - t^4}{t^3 - t^2} = \lim_{t \rightarrow 1} \frac{t^4(t^2 - 1)}{t^2(t-1)} = \lim_{t \rightarrow 1} \frac{t^4(t-1)(t+1)}{t^2(t-1)} = \lim_{t \rightarrow 1} t^2(t + 1) = 2. Exemplo 6: Calcule \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+h} - 1}{h}. • Vamos usar a identidade (a+b)(a-b) = a^2 - b^2. • Fazendo a = \sqrt{1+h} e b = 1, temos: • (\sqrt{1+h} + 1)(\sqrt{1+h} - 1) = (\sqrt{1+h})^2 - 1^2 = (1+h) - 1 = h. • Então \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+h} - 1}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{1+h}-1)(\sqrt{1+h}+1)}{h (\sqrt{1+h}+1)} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{h}{h (\sqrt{1+h}+1)} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{(\sqrt{1+h}+1)} = \frac{1}{\sqrt{1+0+1}} = \frac{1}{2}. • Pode ser calculado através de mudança de variáveis: \sqrt{1+h}=x. • Quando h \rightarrow 0, temos \sqrt{1+h} \rightarrow \sqrt{1+ 0}, ou seja, x \rightarrow 1. • Então \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+h} - 1}{h} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x-1}{x^2 -1} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{1}{x+1} = \frac{1}{2}. Exemplo 7: Calcule \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{3 + \sqrt[3]{x} - 2}}{x-1}. • Nesse caso fazemos a mudança de variável t = \sqrt[3]{x}. • Quando x \rightarrow 1 temos t \rightarrow 1. • Então \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{3 + \sqrt[3]{x} - 2}}{x-1} = \lim_{t \rightarrow 1} \frac{\sqrt{3+t-2}}{t^3-1}. • Aqui podemos usar ou racionalização ou mudança de variável. • Usando novamente mudança de variável, temos y = \sqrt{3+t}. • Portanto quando t \rightarrow 1 temos \sqrt{3 + t} \rightarrow \sqrt{3 + 1}, ou seja, y \rightarrow 2. • E t = y^2 - 3. • Logo \lim_{t \rightarrow 1} \frac{\sqrt{3+t-2}}{t^3-1} = \lim_{y \rightarrow 2} \frac{y-2}{(y^2-3)^3-1}. • Lembrando que (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3, vamos desenvolver: • (y^2 - 3)^3 = (y^2)^3 - 3·(y^2)^2·3 + 3·(y^2)·3^2 - 3^3 = = y^6 - 9y^4 + 27y^2 - 27. • Então lim (y→2) (y-2)/(y^2-3)^3-1 = lim (y→2) (y-2)/(y^6-9y^4+27y^2-27)-1 = = lim (y→2) (y-2)/(y^6-9y^4+27y^2-28). • Podemos observar que 2 é raiz do polinômio y^6 - 9y^4 + 27y^2 - 28. • Aplicando Briot-Ruffini obtemos: 2 | 1 0 -9 0 27 0 -28 | 2 -5 -10 7 14 0 | 1 2 -5 -10 7 14 0 • y^6 - 9y^4 + 27y^2 - 28 = (y - 2)(y^5 + 2y^4 - 5y^3 - 10y^2 + 7y + 14). • Logo lim (y→2) (y-2)/(y^6-9y^4+27y^2-28) = lim (y→2) (y-2)/(y-2)(y^5+2y^4-5y^3-10y^2+7y+14) = = lim (y→2) 1/(y^5+2y^4-5y^3-10y^2+7y+14) = 1/(2^5+2·2^4-5·2^3-10·2^2+7·2+14) = 1/12. • Poderíamos resolver lim (t→1) √(3+t)-2/(t^3-1) usando racionalização: • lim (t→1) √(3+t)-2/(t^3-1) = lim (t→1) (√(3+t)-2)(√(3+t)+2)/((t^3-1)(√(3+t)+2)) = lim (t→1) (3+t)-4/((t^3-1)(√(3+t)+2)) = • = lim (t→1) (t-1)/(t^3-1)(√(3+t)+2) = lim (t→1) (t-1)(t^2+t+1)/(t-1)(t^2+t+1)(√(3+t)+2) = = lim (t→1) 1/(t^2+t+1)(√(3+t)+2) = 1/(1^2+1+1)(√3+1+2) = 1/3·4 = 1/12. Definição intuitiva de limite • Considere uma função real definida em um intervalo aberto tal que , exceto possivelmente em . • Dizemos que o limite de quando tende para é igual a , e simbolizamos se: • Para valores de muito próximos de , tem-se • Valores de muito próximos de . Observação: Essa não é uma definição formal! 𝑥 𝑦 0 𝑎 𝐿 𝑦 = 𝑓(𝑥) • Note que o conceito de limite é local e depende apenas da existência da função próximo ao ponto considerado, não sendo necessário que a função esteja definida nesse ponto. Exemplo 8: Considere a função f definida pela lei de formação dada a seguir. f(x) = { x + 1 se x ≠ 1 3 se x = 1 O gráfico de f é: • É possível verificar que quando x assume valores próximos de 1, a função f(x) assume valores próximos de 2. • Embora por definição se tenha f(1) = 3, podemos observar que lim (x→1) f(x) = 2. • Observe que no Exemplo 8, quando se aproxima de , tanto por valores mores do que , quanto por valores maiores do que , obtém-se sempre valores de próximos de . • Então independentemente da forma como se faça se aproximar de , teremos sempre o mesmo resultado para o limite de . • Essa situação não acontece sempre. Vejamos alguns casos em que isso não ocorre. Exemplo 9: Considere a função . • está definida para todo real diferente de . • Lembrando que temos . • O gráfico de é: • Não é difícil perceber que para todo , próximo de tem-se . • Analogamente, para todo , próximo de tem-se . • Desse modo não existe um número real tal que se aproxime de quando se aproxima de . • Nesse caso, diremos que não existe 𝑥 𝑦 0 1 −1 Exemplo 10: Considere a função g(x) = \sqrt{1-x^2}. • O domínio de g é o conjunto dos x \in \mathbb{R} para os quais 1-x^2 \geq 0. • Resolvendo essa desigualdade obtemos o intervalo fechado [-1,1]. • O gráfico de g é: • Observe que não existe g para x < -1 e nem para x > 1. • Consequentemente não faz sentido considerar a definição usual de limite. • Quando x se aproxima de 1 por valores menores do que 1 tem-se g(x) se aproximando de 0. • Analogamente, quando x se aproxima de -1 por valores maiores do que -1 tem-se g(x) se aproximando de 0. Simbolizamos esses comportamentos escrevendo: • \lim_{x \to 1^-} g(x) = 0 e • \lim_{x \to -1^+} g(x) = 0. • No Exemplo 9, usando uma notação semelhante podemos escrever: • \lim_{x \to 0^+} h(x) = 1 e • \lim_{x \to 0^-} h(x) = -1. Definição informal de Limites Laterais • Considere f uma função real definida em um intervalo da forma I = (a, a + \delta). • Dizemos que o limite de f(x) quando x tende para a por valores maiores do que a (ou pela direita) é igual a L, e simbolizamos \lim_{x \to a^+} f(x) = L se: • Para valores de x maiores do que a, muito próximos de a tem-se • Valores de f(x) muito próximos de L. Teorema 11: Considere f uma função definida em um intervalo I, exceto possivelmente em a ∈ I. Existe o limite lim x→a f(x) se, e somente se, os limites laterais lim x→a+ f(x) e lim x→a− f(x) existirem e forem iguais. Simbolicamente temos: lim x→a f(x) = L ⇔ lim x→a+ f(x) = lim x→a− f(x) = L • Como uma consequência imediata do Teorema 11, podemos concluir que vale a unicidade do limite. Teorema 12 (Unicidade do Limite): O limite, quando existe, é único. Em outras palavras: Se lim x→a f(x) = L e lim x→a f(x) = M, então L = M. Exemplo 13: Considere a função f(x) = {x + 2 se x ≤ 1 x − 1 se x > 1. Não existe lim x→1 f(x), pois: • lim x→1− f(x) = lim x→1− x + 2 = 3 e • lim x→1+ f(x) = lim x→1+ x − 1 = 0. Como esses valores são distintos, não existe o limite em questão. • Considere f uma função real definida em um intervalo da forma I = ( a − δ, a ). • Dizemos que o limite de f(x) quando x tende para a por valores menores do que a (ou pela esquerda) é igual a L, e simbolizamos lim x→a− f(x) = L se: • Para valores de x menores do que a, muito próximos de a tem-se • Valores de f(x) muito próximos de L. Exemplo 14: Determine a e b reais para que existam \lim_{x \to -1} f(x) e \lim_{x \to 2} f(x), para a função f dada a seguir: f(x) = \begin{cases} 2a - 3x & \text{se } x < -1 \\ ax^2 + bx - 3 & \text{se } -1 \leq x \leq 2 \\ 3x + b & \text{se } x > 2 \end{cases} • \lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} (2a - 3x) = 2a - 3(-1) = 2a + 3. • \lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} (ax^2 + bx - 3) = a(-1)^2 + b(-1) - 3 = a - b - 3. • Como queremos que exista \lim_{x \to -1} f(x), devemos ter 2a + 3 = a - b - 3, ou seja, a + b = -6 (*). • \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (ax^2 + bx - 3) = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 - 3 = 4a + 2b - 3. • \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (3x + b) = 3 \cdot 2 + b = 6 + b. • Como queremos que exista \lim_{x \to 2} f(x), devemos ter 4a + 2b - 3 = 6 + b, ou seja, 4a + b = 9 (**). • O sistema resultante formado por (*) e (**) é: \begin{cases} a + b = -6 \\ 4a + b = 9 \end{cases} que tem como solução a = 5 e b = -11. Continuidade • A ideia de continuidade é intuitiva. • Dizemos que uma função é contínua quando podemos traçar seu gráfico ininterruptamente, ou seja, “sem tirar o lápis do papel”. • Desse modo, o gráfico de uma função contínua não pode apresentar nem “furos” e nem “saltos”. • Um “furo” é um ponto no qual a função não esteja definida, ou tenha imagem diferente da maioria dos pontos do domínio. • Um “salto” acontece quando temos um ponto no qual os limites laterais da função são diferentes. • Quando uma função não é contínua em um ponto, dizemos que ela é descontínua nesse ponto. Exemplo 15: A função f(x) = (x^3−5x^2+7x−3) / (x−1) é descontínua em x = 1. • A função não está definida para x = 1 pois esse valor não faz parte do seu domínio. • Simplificando a expressão de f(x) obtemos f(x) = ((x−1)^2(x−3)) / (x−1) • Para x ≠ 1 temos f(x) = (x−1)(x−3) Exemplo 16: A função g(x) = { x + 1 se x ≠ 1 \ 3 se x = 1 é descontínua em x = 1. • Observe que g(1) = 3. • Porém lim x→1 g(x) = 2. • O gráfico de g apresenta um “furo” no ponto (1,2). Pergunta: Existe alguma maneira de tornar as funções e dos exemplos 15 e 16 contínuas em ? • Sim! • Para isso basta obtermos um gráfico com traçado ininterrupto nesse ponto. • No Exemplo 15, não existe . • Porém está definida em uma vizinhança de , de modo que . • Então se fizermos resolveremos o problema obtendo uma curva contínua. • No Exemplo 16, existe , mas . • Novamente se fizermos teremos um traçado contínuo para o gráfico de . Definição: Uma função é contínua em um ponto quando: existe; existe e . Exemplo 18: Determine e reais para que a função a seguir seja contínua em e . • Devemos ter e . • Então e . • Temos o sistema • Que equivale a . • Pelo método da adição obtemos , ou seja, e • . • Resposta: e .