Aula 13 - Componentes Gráficos e Prob de Otimização 2021-2

Graficamente f(x) f(b) f(a) a b f f(x) x r(x) \(r(x) < f(x) f é côncava r : segmento de reta Obrigado e Até a próxima aula! Definições Importantes Sejam 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ → ℝ, 𝑎 ∈ 𝐷 e 𝛿 > 0, tais que 𝑓 é duas vezes derivável em 𝑎 − 𝛿, 𝑎 + 𝛿 ⊂ 𝐷. Dizemos que 𝑎 é ponto de inflexão de 𝑓 se 𝑓’’ 𝑎 = 0 e uma das duas condições abaixo ocorrem: i. 𝑓’’ 𝑥 > 0, ∀𝑥 ∈ 𝑎 − 𝛿, 𝑎 e 𝑓’’ 𝑥 < 0, ∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑎 + 𝛿 ; ii. 𝑓’’ 𝑥 < 0, ∀𝑥 ∈ 𝑎 − 𝛿, 𝑎 e 𝑓’’ 𝑥 > 0, ∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑎 + 𝛿 ; Mas, o que significa no gráfico ser um ponto de inflexão? Exemplos de Pontos de Inflexão Ponto de Inflexão Pontos de Inflexão Nem tudo é o que parece! f(x) = x^4 f'(x) = 4x^3 f'(0) = 0 x = 0 é ponto crítico f''(x) = 12x^2 f''(0) = 0 Mas, 0 não é ponto de inflexão Definições Importantes Dizemos que 𝑎 é ponto de inflexão de 𝑓 se 𝑓’’ 𝑎 = 0 e uma das duas condições abaixo ocorrem: i. 𝑓’’ 𝑥 > 0, ∀𝑥 ∈ 𝑎 − 𝛿, 𝑎 e 𝑓’’ 𝑥 < 0, ∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑎 + 𝛿 ; ii. 𝑓’’ 𝑥 < 0, ∀𝑥 ∈ 𝑎 − 𝛿, 𝑎 e 𝑓’’ 𝑥 > 0, ∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑎 + 𝛿 ; O sinal da 𝑓’ determina crescimento e decrescimento de 𝑓, o que determina o sinal de 𝑓’’? Definições Importantes Sejam 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ → ℝ função em 𝐷 e 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 < 𝑏 tais que [𝑎, 𝑏] ⊂ 𝐷. Dizemos que 𝑓 é convexa (côncava) em [𝑎, 𝑏] se ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] tem-se 𝑓 𝑥 ≤ " # $"(&) #$& 𝑥 + #" & $&"(#) #$& (𝑓 𝑥 ≥ " # $"(&) #$& 𝑥 + #" & $&"(#) #$& ). Dizemos que 𝑓 é estritamente convexa (estritamente côncava) em [𝑎, 𝑏] se ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] tem-se 𝑓 𝑥 < " # $"(&) #$& 𝑥 + #" & $&"(#) #$& (𝑓(𝑥) > " # $"(&) #$& 𝑥 + #" & $&"(#) #$& ). Graficamente r: segmento de reta f(x) < r(x) f é convexa Observação Importante Sejam 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ → ℝ e 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐷 tais que 𝑎 < 𝑏 e 𝑓 é duas vezes derivável em 𝑎, 𝑏 ⊂ 𝐷. Se 𝑓’’ 𝑥 > 0, ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) então 𝑓 é estritamente convexa em (𝑎, 𝑏). Se 𝑓’’ 𝑥 < 0, ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) então 𝑓 é estritamente côncava em (𝑎, 𝑏). Definições Importantes Dizemos que 𝑎 é ponto de inflexão de 𝑓 se 𝑓’’ 𝑎 = 0 e uma das duas condições abaixo ocorrem: i. 𝑓’’ 𝑥 > 0, ∀𝑥 ∈ 𝑎 − 𝛿, 𝑎 e 𝑓’’ 𝑥 < 0, ∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑎 + 𝛿 ; ii. 𝑓’’ 𝑥 < 0, ∀𝑥 ∈ 𝑎 − 𝛿, 𝑎 e 𝑓’’ 𝑥 > 0, ∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑎 + 𝛿 ; Exemplos Exemplo 2: Considere a função 𝑦 = 𝑓 𝑥 = "#$% #$% . Determine: a) o maior subconjunto de ℝ na qual podemos definir 𝑓; b) os intervalos em que 𝑓 é positiva ou negativa; c) os zeros de 𝑓; d) os pontos críticos de 𝑓; e) os intervalos de crescimento e decrescimento de 𝑓; f) os valores de máximo e mínimo locais e globais de 𝑓; g) os pontos de inflexão de 𝑓; h) os intervalos nos quais 𝑓 é convexa ou côncava. Exemplos Exemplo 3: Considere a função 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑒$#". Determine: a) o maior subconjunto de ℝ na qual podemos definir 𝑓; b) os intervalos em que 𝑓 é positiva ou negativa; c) os zeros de 𝑓; d) os pontos críticos de 𝑓; e) os intervalos de crescimento e decrescimento de 𝑓; f) os valores de máximo e mínimo locais e globais de 𝑓; g) os pontos de inflexão de 𝑓; h) os intervalos nos quais 𝑓 é convexa ou côncava. Modelagem de Problemas Otimização Exemplo 4: Uma cerca de 8 pés de comprimento corre paralela a um edifício alto a uma distância de 4 pés do edifício. Qual o comprimento da menor escada que vai do chão até a parede do edifício, passando por cima da cerca? Exemplos Exemplo 5: Sejam 𝑎 > 0 e 𝑏 > 0 e considere um segmento de reta conPdo no primeiro quadrante que passa pelo ponto (𝑎, 𝑏). Suponha que as extremidades desse segmento estejam sobre os eixos coordenados. Encontre o comprimento do menor segmento com essas caracterísPcas.