Questões - Integrais e Áreas - 2024-1

16) Calcule as seguintes integrais: b). ∮_C \left(\frac{-xy}{1+x}\right) dx + \ln(1+x) dy \onde \mathcal{C} é formada por y=0, x+2y=4 e x=0. 2067 Dados \mathbf{F}(x, y, z) = e^y \mathbf{i} + xe^y \mathbf{j} + (z+1)e^z \mathbf{k}, \mathcal{C} : \mathbf{r}(t) = t\mathbf{i} + t^2\mathbf{j} + t^3\mathbf{k}, 0 \leq t \leq 1. 1. Determine uma função f tal que \mathbf{F} = \nabla f. 2. Use o resultado anterior para calcular \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} sobre a curva \mathcal{C} dada. Considere o campo vetorial dado por \overrightarrow{F}(x, y) = \nabla f(x, y) - (y, -x), onde f(x, y) = x^2 e^{xy} \cos(y^2). Calcule \int_C \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{r}, onde \mathcal{C} é a elipse 4x^2 + 9y^2 = 36, percorrida no sentido anti-horário. Seja F(x, y) = \left(\frac{-y}{x^2 + y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2} + 3y\right) um campo vetorial em \mathbb{R}^2. Calcule a integral de linha do campo \mathbf{F} ao longo das curvas C_1 e C_2, orientadas no sentido anti-horário, onde: 1. C_1 é a circunferência de equação x^2 + y^2 = 4. 2. C_2 é a fronteira do retângulo R = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | -\pi \leq x \leq \pi, -3 \leq y \leq 3\}.