Lista 4 - Análise Vetorial 2022-2

s a UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO s**a7_) gy 2 INSTITUTO DE MATEMATICA E ESTATISTICA "im e % DERI e ANALISE VETORIAL Instituto de Matematica e Estatistica *Srapo * Ata. Lista de Exercicios Prof. Claudio Plinio 1. Seja o campo escalar ®(x,y, z) = ry? + yz’. Determine a derivada direcional no ponto (0,1, 2), na orientagao do vetor ial onde u@ = (1, 2,1). u 2. Dado 0 campo escalar ®(x, y, z) = xyz” — 4, obter o vetor unitario normal a suérficie de nivel ®(x,y, z) =0 no ponto (1, 1,2). 3. Sejaa fungao r, a distancia de um ponto (2, y, z) 4 origem (0,0,0). Determinar o gradiente desta fungao. funca | : 4. Dada a funcao f(z, y) = Pap pede-se: a) As curvas de nivel. b) A equagao e o esboco da curva de nivel que contém o ponto (0,2). c) Um esbogo do grafico da fungao. 24 — 6x? — 2y? 5. Seja f(e.y) =) a) Determine o dominio da fungao f, e esboce o seu grafico. 6 3V2 b) Encontre a curva de nivel C’ da funcgao f que contém o ponto P = e, BN ). c) Calcule 0 comprimento da reta tangente a curva C' no ponto P compreendida entre os eixos coordenados. 6. A temperatura de um ponto (x,y,z) 6 dada por T(z, y, z) = exp(—a? — 2y? + 327) graus. Identifique a superficie de R? cujos pontos possuem temperatura igual & temperatura do ponto (—1,—1,1). 7. Represente geometricamente o campo vetorial dado. a) Ple,y) = (0.2), b) h(a,y) = (1,2). c) F(x,y) = (9,21). xr y d. x,y) = | ——., ——=——_ ]. (x,y) ( Zi Jaa =) e x,y) = | —=. , -——_ ]. ) Pew) ( a a) 1 8. Seja FE = Vf, desenhe FE no conjunto A, onde: a) f(x,y) =x —2yeoconjunto Aéx+2y=1. b) f(z,y) =y— 2? eo conjunto A é y = 2”. c) f(z, y,z) = 2? +y?+ 2% eo conjunto Aéa?+y?4+27,7>0,y>0e2>0. 9. Determine se os seguintes campos vetoriais sao conservativos, se for determine a sua funcao potencial. a) F(a,y, 2) = (@,y, 2). b) F(x,y) = (y, 2). c) F(a,y,2) =(w@—y)it (@tyt2 jit 2k. i x > ¥ > z > d F 9d) = 75D OND 79a DAS rs k. )Pewd= pep ep twas! t @ appre 10. Seja f : R > R uma funcao continua e seja Fo campo vetorial central F(a, y, z) = f(r) - Yr onde F=rityj+zker= |||. Prove que F é conservativo. r Dica: Verifique que grady = F onde p(z,y,2) = g(\/2? + y? + 27) sendo g(u) uma primitiva de f(w). 11. Determine se os campos sao conservarivos e determine a funcao potencial: ~ yit+y? x(l+a? a) F(x,y) = (jo eS (1+2?+y?)’ (1+2?+y?) = 2 —1 b) F(z,y) = (In(y? +1) +y? +y, 2y(a — 1) + arctan }. y+ = 2y(x — 1) F = ( In(y? + 1), ———— }. c) Flea) = (int? +1), =) d) F(a,y,z) =(y+2,2+a,0+y). e) F(x, y,2z) = (y+2,0—-2,04+y?). f) F(a,y) = (7+ y? — 32, exp(y) + 2xy +1). g) F(x,y, 2) = (cosy + 2xy2z?, —x sin y + exp(z) + 2yx?2z?, yexp(z) + 2y2x?2). h) Considere o campo F : R? —+ R? dado por: F (x,y) = (8+y? — 3a”, eY + 2ry + ye” ) Determine se F' é conservativo e encontre todas as funcoes potenciais associadas a F 2 12. Calcule o divergente do campo vetorial dado: a) −→ν (x, y) = (−y, x). b) −→u (x, y, z) = (x, y, z). c) −→ F (x, y, z) = (x2 − y2, sin(x2 + y2), arctan z). d) −→η (x, y, z) = (0, 0, (x2 + y2 + z2) arctan(x2 + y2 + z2)). 13. Seja V (x, y) = x2 + y2. Desenhe um campo −→ F (x, y) para o qual se tenha ∇V (x, y) · −→ F (x, y) ≤ 0. 14. Sejam V e −→ F como no exerc´ıcio anterior 7 (obs. somente com a ultima propriedade ∇V (x, y) · −→ F (x, y) ≤ 0). Seja γ(t) = (x(t), y(t)), t ∈ I uma curva tal que, para todo t no intervalo I, γ ′(t) = −→ F (γ(t)). Prove que g(t) = V (γ(t)) ´e decrescente em I. Comclua que se γ(t0), t0 ∈ I, for um ponto da circunferencia x2 + y2 = r2, ent˜ao, para todo t ≥ t0, t ∈ I, γ(t) pertencer´a oa c´ırculo x2 + y2 ≤ r2, interprete geometricamente. 15. Calcule o rotacional: a) −→ F (x, y, z) = (−y, x, z). b) −→ F (x, y, z) = (x, x, xz). c) −→ F (x, y, z) = (yz, xz, xy). d) −→ F (x, y) = (x2 + y2, 0). e) −→ F (x, y) = (xy, −x2). 16. Seja φ : R2 → R. Verifique que o campo −→ F = ∇φ ´e irrotocional. 17. Sejam ⃗F(x, y, z) = sin x⃗i+cos y⃗j+ln z ⃗k, z > 0 e ⃗G(x, y, z) = exp(x) cos y⃗i+exp(x) sin y⃗j. Ache: a) ⃗F + ⃗G. b) ⃗F · ⃗G. c) ⃗F × ⃗G. 18. Sejam ⃗F(x, y, z) = exp(x)cosz⃗i + exp(x) sin z⃗j + ⃗k e ⃗G(x, y, z) = exp(x)cosz⃗i + exp(x) sin z⃗j + exp(2x)⃗k. a) Mostre que ⃗F e ⃗G s˜ao ortogonais para todo (x, y, z). b) Mostre que o campo vetorial ⃗F × ⃗G ´e paralelo ao plano xy. 19. Se ⃗F(⃗r) = rn · ⃗r onde ⃗r = x⃗i + y⃗j + z ⃗k e r = ∥⃗r∥. Ache div ⃗F e mostre que grad(div ⃗F) = n(n + 3)rn−2 · ⃗r 3 20. Sejam F, G:U CR => R? dois campos vetoriais e gy : U + R um campo escalar. Prove que: a) rot(F + G) = rot(F) + rot(G). b) div(F' + G) = div(F) + div(G). c) div(yF’) = ydivF'+ grady: F. d) rot(yF) = prot F + grady x F. e) div(rot F’) = 0. f) rot(rot F) = grad(div F)—V°?F, onde se F' = (P,Q, R) entao V?F' = (V?P, V?Q, V?R). 21. Calcule o Laplaciano da fungao y dada: a) p(x, y) = ry. x b) y(a, y) = arctan —, y > 0. y c) (x,y) = In(x?* + y’). l 2 2 d) p(z.y) = Fexp(x —y’) 22. Seja y(x,y) = f(x? + y?), onde f(u) é uma funcdo de uma variavel real que possui derivadas até segunda ordem. Suponha que A y = 0. a) Mostre que u- f”(u) = —f’(u), para u > 0. b) Determine uma f nao constante, para que se tenha A y = 0. 23. Sejam F eG dois campos vetoriais definidos em aberto 2 C R® cujas componentes admitem derivadas parciais em (2, prove que div(F' x G) = G- rot(F) — F - rot(G) 24. Seja y(z,y) = f (*), y > 0, onde f(u) é uma funcao de uma variavel derivavel até y segunda ordem. Suponha A y = 0. a) Mostre que (1+ u?)- f”(u) + 2u- f’(u) =0. b) Determine uma f nao constante, para que se tenha A y = 0. 4