Lista 2 - Análise Vetorial 2022-2

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE MATEM´ATICA E ESTAT´ISTICA AN´ALISE VETORIAL 2da Lista de Exerc´ıcios Prof. Claudio Plinio 1. De uma parametriza¸c˜ao e o dominio para cada uma das curvas: a) A reta 2x − 5y = 3. b) A parabola 2x2 = 3ay. c) A circunferencia (x − h)2 + (y − k)2 = r2. d) A elipse x2 a2 + y2 b2 = 1, y > 0. e) A reta x − 1 3 = y 5 = z − 4 2 . f) o segimento de reta que liga P = (1, −1, 2) e Q = (0, 1, −3). 2. Esboce a curva e determine a equa¸c˜ao carteciana a) α(t) = (1 − t, 2 − 2t), t ∈ R b) β(t) = (1 − t2, 2 − t2), t ∈ R c) γ(t) = (− cos t, sin t), t ∈ R d) θ(t) = (t3, 2t2), t ∈ R e) δ(t) = (cos(2t), sin t), t ∈ [0, 2π] 3. Se σ′(t) = (sin2 t, 2 cos2 t) e σ(0) = (0, 0), encontre σ(t). 4. Seja C a curva definida por α(t) = (4 cos t, −1 + 4 sin t). Determine uma equa¸c˜ao da reta tangente e da reta normal `a curva no ponto (2 √ 3, 1). 5. Mostre que se α : I → R ´e a parametriza¸c˜ao de uma reta, ent˜ao α′′ e α′ s˜ao paralelos. 6. Seja C uma curva regular parametrizada por θ : R → R2 de modo que θ′′(t) = −2θ′(t), para todo t ∈ R. a) Determine as possiveis formas de θ. b) Que tipo de curva ´e C. 1 7. Escreva as equações da reta tangente e da reta normal à curva \(\sigma(t) = (t, 1 - t^2, 1)\) no ponto (0, 1, 1) 8. Seja \(\alpha : ]0, 2[ \to \mathbb{R}^3\) a curva parametrizada \[ \alpha(t) = \left( \frac{2t}{1 + t^2}, \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, 1 \right) \] Mostre que o angulo entre \(\alpha(t)\) e \(\alpha'(t)\) é constante, isto é, independe de \(t\). 9. Um haste presa na origem do plano \(xy\), ocupa a posição da reta que faz um angulo de \(\theta\) radianos com o eixo positivo dos \(x\). A haste intercepta a reta \(y = 2a\) no ponto \(A\) e a circunferencia \(x^2 + (y - a)^2 = a^2 \) no ponto \(B\). Quando \(\theta\) varia, o vertice \(P\) do triângulo \(APQ\) descreve uma curva chamada a *Curva de Agnesi*. a) Mostre que \(\sigma(\theta) = (2a \cdot \cotan \theta, 2a \cdot \sin^2 \theta)\), \(0 < \theta < \pi\), é uma parametrização da curva de Agnesi. b) Esboce a curva. c) Determine a equação cartesiana. Gabarito Lista 2 1. a) \(\alpha(t) = \left( t, \frac{2t - 3}{5} \right), t \in \mathbb{R} \) b) \(\alpha(t) = \left( t, \frac{2t^2}{3a} \right), t \in \mathbb{R} \) c) \(\alpha(t) = (h + r \cos t, k + r \sin t ), t \in [0, 2\pi] \) d) Feito na aula. e) \(\alpha(t) = (3t + 1, 5t, 2t + 4), t \in \mathbb{R} \) 2. a) \(y = 2x\) b) \(y = x + 1\) c) \(x^2 + y^2 = 1\) d) Feito na aula. e) \(2y^2 = 1 - x\) 3. \(\sigma(t) = \left( \frac{t}{2} - \frac{\sin(2t)}{4}, t + \frac{\sin(2t)}{2} \right)\) 4. Feito na aula. 5. Feito na aula. 6. Feito na aula. 7. Reta Tangente: \(L : (0, 1, 1) + s(1, 0, 0), s \in \mathbb{R}\). Reta Normal: Não possui reta Normal. 8. Dica: Utilize a fórmula: \[ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|} \] onde \(\theta = \angle \vec{u}, \vec{v}\) Verifique que \(\alpha\) e \(\alpha'\) possuem o mesmo angulo para qualquer \(t\). 9. a) b) 2 c) \(y = \frac{8a^3}{x^2 + 4a^2}\)