Lista 1 - Análise Vetorial 2022-2

Sa UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO sm) eq a - a> * | | vee % UERJ e INSTITUTO DE MATEMATICA E ESTATISTICA ime a esl ae Instituto de Matematica e Estatistica ! ANALISE VETORIAL lra. Lista de Exercicios Prof. Claudio Plinio 1. Determine o dominio das funcoes vetoriais. a) r(t) = (?, Vt —1,V5—-t ) b) r(t) = (int, —,e7 r(t) = (Int, +e 2. Calcule os limites: a) lim (cost, sint,tInt). t0+ e'—1 V1l+t-1 e b) lim { ———, —————_,, —— ]. t0 t t t+1 . . ¢—-1,. tant c) lim (vie ra k) 3. Determine r(t), se r/(t) = (sint, cost, 2t) e r(0) = (1,1, 2) 4. Para cada um dos itens abaixo determine o dominio de r(t) (Dom r), r’(t) e r’(t). a) r(t) = (Vt—1,V2-t ). 1. b) r(t) = pin (2—t) }. c) r(t) = (vt, e*, t). d) r(t) = (In(1 — 2), sin¢, t?). e) r(t) = (#7, tant, 3). 2 943 dd d 5. Se u(t) = (1, 2t°, 3t’) e v(t) = (t, cost, sint), determine ale “vie ale x v]. 1 6. Ache uma curva parametrizada α(t), cujo tra¸co ´e a circunferencia unitaria e talque α(t) percorra em sentido horario ao redor da circunferencia unitaria e com α(0) = (0, 1). 7. Seja α : I → R3 uma curva parametrizada, com α′(t) ̸= 0 para todo t ∈ I. Prove que ∥α(t)∥ ´e constante n˜ao zero se, somente se α(t) ´e ortogonal a α ′(t) para todo t ∈ I. 8. Seja α : I → R3 uma curva parametrizada que n˜ao passa pela origem, se α(t0) ´e o ponto do tra¸co de α mais perto `a origem e α ′(t0) ̸= 0, prove que o vetor posi¸c˜ao α(t0) ´e ortogonal a α′(t0). 9. Verifique que a reta tangente da curva regular parametrizada α(t) = (3t, 3t2, 2t3) tem ˆangulo constante com a reta y = 0, z = x. 2 Gabarito 1. a) Dom(r) = [1,5] b) Dom(r) =]0, +00[ \ {1} 2. a)f b) (1 ‘ 5) 2 2 ) (2,4, tant Cc 5? an 3. r(t) = (—cost + 2,sint + 1, t? +2) 4. a) Dom(r) =[1,2] b) Dom(r) = R \ {0} c) Dom(r) = [0, +00 | d) Dom(r) =] — oo, 1| c) Dom(r) = R \ {Pa ne n} 5. Feito em sala. 6. Feito em sala. 7. Feito em sala. 8. Feito em sala. 9. Feito em sala. 3