Exercícios Semana 8 2021-2

Análise Vetorial Professor: Walberto Guzmán Ramírez Exercícios Semana 8 Campos conservativos (a) Determine uma função f tal que \( \vec{F} = \nabla f \) e (b) use o resultado para calcular \( \int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} \) sobre a curva dada. 1. \( \vec{F}(x, y) = x^3y\hat{i} + x^4y^3\hat{j} \). \(C : \vec{r}(t) = \sqrt{t}\hat{i} + (1 + t^3)\hat{j} \), \(0 \leq t \leq 1\) Resp. (a) \(f(x, y) = \frac{1}{4}x^4y, \) (b) 4. 2. \( \vec{F}(x, y, z) = y\hat{i} + (x + z)\hat{j} + y\hat{k} \). \(C \) é o segmento de reta de (2, 1, 4) a (8, 3, -1) Resp. (a) \(f(x, y, z) = xy + yz, \) (b) 15. 3. \( \vec{F}(x, y, z) = (2xz + sen(y))\hat{i} + xcos(y)\hat{j} + x^2\hat{k} \). \(C : \vec{r}(t) = cos(t)\hat{i} + sen(t)\hat{j} + t\hat{k}, \) \(0 \leq t \leq 2\pi \) Resp. (a) \(f(x,y,z) = xz^2 + xsen(y), \) (b) 2\pi. Operador \(\nabla \) 4. Para a função escalar \(f(x, y, z) = xey + yex + xez, \) calcule i) \(grad \, f\), ii) \(rot \, (grad \, f)\) e iii) \(div \, (grad \, f)\). Resp. i) \(grad \, f = (ey + xez)\hat{i}+(xey + ex)\hat{j}+(yex + ex)\hat{k}, \) ii) \(rot \, (grad \, f) = \vec{0}, \) iii) \(div \, (grad \, f) = xey + yex + xez\). 5. Para a função vetorial \(\vec{F}(x, y, z) = xcos(y)\hat{i} + ysen(x)\hat{j} + z\hat{k}, \) calcule i) \(grad \, (div \, \vec{F})\) e ii) \(div(rot \, \vec{F})\). Resp. i) \(rot \, \vec{F} = (ycos(x) + xsen(y))\hat{k}, \) ii) \(div \, \vec{F} = cos(y) + sen(x) + 1. \) iii) \(grad \, (div \, \vec{F}) = cos(z)\hat{i} - sen(y)\hat{j} \) iv) \(div(rot \, \vec{F}) = 0.\) 6. Calcule a integral de volume \( \iiint_V (div \, \vec{F}) \, dv \), onde \(\vec{F}(x, y, z) = xy \, sen^2(y)\hat{i} + y\hat{j} + z \, cos^2(y)\hat{k} \) e o volume \(V\) é a esfera de raio 1. Resp. \(\frac{4}{3},\) 7. Calcule a integral de superfície do campo vetorial \( \vec{F}(x, y, z) \) para \( \vec{F}(x, y, z) = xy \hat{i} - x \hat{y} + y \hat{k} \). Onde a superfície \(S\), é a parte do elipsoide \(\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}y^2 + z^2 = 1 \) que está no primeiro octante. Resp. \(\frac{-\sqrt{3}\left(3 + \sqrt{2} \right)\) 8. Calcule a integral de linha da função escalar \( \Vec{H}(x, y, z), \) onde \(\Vec{H}(x, y, z) = (x^2y - xz) \hat{i} + (yx - y^2z) \hat{j} - (z^2x - zy) \hat{k}. \) A curva de integração \(C \) é o contorno da parte da esfera de raio 3 que está no primeiro octante que une os pontos (3, 0, 0) com (0, 3, 0) e (0, 3, 0) com (0, 0, 3). Resp. 18. 9. Calcule a integral de linha do campo vetorial \( \nabla \times \Vec{H}(x, y, z), \) onde \( \Vec{H}(x, y, z) = (x^2y - xz)\hat{i} + (yx - y^2z)\hat{j} - (z^2x - zy) \hat{k}. \) A curva de integração \(C \) é o contorno da parte da esfera de raio 3 que está no primeiro octante que une os pontos (3, 0, 0) com (0, 3, 0) e (0, 3, 0) com (0, 0, 3). Resp. -36.