Lista 1 - Análise Vetorial 2021-2

2» Universidade do Estado do Rio de Janeiro oes Instituto de Matematica e Estatistica % uns & Disciplina: Andlise Vetorial % eM ge Professora: Rosiane Soares Cesar 12 Lista de Exercicios (1) Calcule os limites: In(1+¢? 3t (a) lim (aur. weet tcos 9 t—0 t t f_] 1 t (b) lim (.toos (;) , =) t0 t t t Vt? +1—1 sen2t (c) im | ———_., ——— t>0 \ /t?+16—4 sent _ (te(t-1) Wt-1 (¢) i ( t-1 '¢t-1 (2) Esboce o trago das curvas abaixo: (a) o(t) = (t? —5t+6,t),teER. (b) o (t) = (cost,3+sent), t € [0,27]. (c) o (t) = (cos? (t) ,sen? (t)), tE R. (d) o(t) = (sen?t, sent), t € (-5, >): (e) a(t) = (2cost,3sent, 5), t € [0, 27] (f) o(t) =(2—3t,5+14), teER. (g) ot) = (0,0 —9), tER. (h) o (t) = (sent, cos 2t), t € [0, 27]. (i) o(t) = (t,t,t), t € [0,1] (j) o(t) = (# —1,2,t), t € [0,+00). é uma parametrizacao para as seguintes curvas: 3) De izaca 1 (a) areta 2x — 3y = 6. (b) a circunferéncia (a — 2)? + (y — 3)? = 25. —1 1 —1 (c) a reta —— = “_ = — (d) o segmento de reta que liga os pontos A = (—1,0, 2) e (2, 3,3) ey? e) O ramo da hipérbole: — — ~ =1, com x > 0. 4 9 (4) Parametrize e esboce as curvas planas abaixo. (a) C={(z,y)ER; r=y', 0<2 <2}. 1 (b) C={(@,y) €R’?; e+ y=1, y<c}. (c) C= {(z,y) ER? ; 2 +y =4, y> 1}. 2 @) = {(nyers S+y=1, eso} (5) Todas as parametrizagoes destas questoes descrevem o circulo unitdrio, ou parte dele. Descreva cada uma delas, indicando o sentido do movimento, os pontos incicial e final e quantas voltas ela percorre. (a) a(t) = (cost, sent), O<t<2n. (b) a(t) = (sent, cost), O<t<2n. (c) a(t) = (cos (5t) , sen (5t)), O<t<2n. (d) a(t) = (cos(Int), sen(Int)), 1<t<exp(z). (e) a(t) = (cos(cost), sen(cost)), O<t<2r. (6) Encontre a equacao da reta tangente a curva dada no ponto dado: (a) o(t) = (20°) wP - Bt): o (4). 5 (b) a(t) = (.sen (t?7) , In (5¢3 — 6) o(—1). (c) o (t) = (e*), 4° + 3, V9 — 1); 0 (0). (7) Dada a curva o, encontre a reta tangente a o no ponto P, sendo: (a) a(t) = (e', te’, t? +4); P = (1,0,4). 4 (b) a (vi, t? — 10, +): P = (8,6,1). (8) Encontre os pontos da curva o (t) = (6¢ + 1,t? — 2t), t € R, tais que suas retas tangentes sao perpendiculares a reta 3x + 5y — 8 = 0. (9) Encontre o ponto de intersegao das retas tangentes a curva o (t) = (sen zt, sen mt, cos 7t) 1 nos pontos onde t= 0et= 5" 5 8 (10) Encontre a reta tangente a curva y(t) = (« + xt — 4, *) que é paralela a reta r-5 y-6 2z4+7 2 12 -2° (11) Considere a hélice definida por o (t) = (acost,asent, bt). Mostre que a reta tangente, em cada ponto da hélice, faz um angulo constante com o eixo z, e que o cosseno deste b angulo é ————. ° Va’ + b? 2 GABARITO "5 (2) (a) parabola x = y? — 5y + 6 (b) circunferéncia 2? + (y — 3)? = 1? (c) parte da retay=1—2,com0<a2<1 (d) parte da parabola x = y?, com -—1<y<1 ey? (e) elipse zp + 32 1 no plano z = 5 (f) reta passando pelo ponto (2,5) e paralela ao vetor (—3, 1) (g) pardbola y = x? — 9. (h) parte da parabola y = —277 + 1, com -1 <a <1. (i) segmento de reta que une (0,0,0) com (1, 1,1). (j) parte da parabola x = z? — 1, z > 0, no plano y = 2. 2 (3) (a) o(t)= (:.5¢-2) ,tER (b) o (t) = (2+ 5cost,3+ 5sent), t € [0, 27] (c) o(t) = (1 + 2t, -1 + 3t,14 2t),t ER (d) a(t) = (-14 3¢, 3t,2 +t), t € [0,1] (c) a(t) = (2sect, 3tant), t € |—3, 3]. (4) (a) e a(t) = (t?, 2), t € [0, 2]. e Funcao quadratica que une os pontos (0,0) com (4, 2). (b) e a(t) = (t,1—t), t € [4,1]. e Segmento que une os pontos (1,0) com (4, t). (c) @ a(t) = (2cost,2sent), t € [%, *]. e Parte da circunferéncia x? + y? = 4, y > 1 com ponto inicial (3,1) e ponto final (—Vv3,1). (d) @ a(t) = (2cost, sent), t € [%, =]. 2 e Parte da elipse sty = 1, x < 0com ponto inicial (V3, 1) e ponto final (—v3, 1). (5) Temos (a) Sentido antihordrio. Ponto inicial = (1,0) = ponto final. Uma volta. (b) Sentido horatio. Ponto incial = (0,1) = ponto final. Uma volta. (c) Sentido antihoradrio. Ponto inicial = (1,0) = ponto final. 5 voltas. (d) Sentido antihordrio. Ponto inicial = (1,0), ponto final = (—1, 0). (e) Ida e volta em um arco de circulo, ida no sentido horario. O arco de circulo unindo os pontos P = (cos (1), sen (1)) e Q = (1,0). ) 1 3ln2 (6) (a) r(s)= (5:3) +s (7), sER. (b) r(s) = (—5,0,0) + s(—15, 27,9), s ER 1 (c) r(s) = (1,3,3)4+s (-8,0.-7) ,sER (7) (a) r(s) = (1,0,4) + s(1,1,0),sER 1 (b) r(s) = (8,6,1) +s (1.8,-4) ,sER (8) (13,4) e (—11, —4) (9) (1, 1,1) (10) (2,-12,—4) + ¢(1,6,-1), teER. (11) demonstragao 4