Quadro - Funções Vetoriais - Análise Vetorial 2021-2

Def: Seja C uma curva diferenciável dada pela parametrização α: I -> R^n Definimos a reta tangente a C no ponto P = α(t_0) como segue: L: α(t_0) + s. α'(t_0), s ∈ R. Seja uma partícula cujo movimento é descrito por α: I -> R^n α(t) é chamada a função posição da partícula no instante t. a derivada α'(t) é chamada vetor velocidade e ||α'(t)|| é chamada velocidade escalar α''(t) é chamada de vetor aceleração. Ex: Hélice circular: a, b ∈ R η(t) = (a cos t, a sen t, b t), t ∈ R η'(t) = (-a sen t, a cos t, b) Calcular o vetor tangente a H no ponto (a, 0, 2π b). η(t_0) = (a, 0, 2π b) t_0 = ? (a cos t_0, a sen t_0, b t_0) = (a, 0, 2π b) => T(t_0) = η'(2π) = (-a sen 2π, a cos 2π, b) = (0, a, b) L: (a, 0, 2π b) + s.(0, a, b), s ∈ R Ex: \\sigma(t) = (\cos t, \sin t), \quad t \in [0, 2\pi]\sigma'(t) = (-\sin t, \cos t)\sigma(0) = (1, 0)\sigma(\pi/2) = (0, 1)\sigma(\pi) = (-1, 0)\ldotsT(\pi/2) = \sigma'(\pi/2) = (-\sin \pi/2, \cos \pi/2) = (-1, 0)\vdots T(\pi) = \sigma'(\pi) = (-\sin \pi, \cos \pi) = (0, -1)\cos Def: \quad Seja \quad \vec{f}:I \rightarrow \mathbb{R}^n \quad uma \; função \; vetorial, \; a\in I\\ \vec{f} \; é \; dita \; contínua \; em \; a \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{t \to a} \vec{f}(t) = \vec{f}(a)\\ \ Proposição: \quad \vec{f}: I \rightarrow \mathbb{R}^n \quad função \; vetorial.\\ "\vec{f}(t) = (f_1(t), f_2(t),..., f_n(t))"\\ "\vec{f} \; contínua \; em \; a \quad \Leftrightarrow \quad \forall \; i = 1,...,n. \; f_i \; é \; contínua \; em \; a"\\ \;\;\;\;\;\;\;\; Lembrar: \quad (Cálculo \; 1) \; \quad f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\\ \ \ \ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\\ Seja \quad \vec{f}:I \rightarrow \mathbb{R}^n, \quad a\in I \quad definimos \quad \vec{f}'(a):\\\ \vec{f}'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{\vec{f}(a+h)-\vec{f}(a)}{h}\\ n=2\\ \vec{f}'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{\vec{f}(a+h)-\vec{f}(a)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(f_1(a+h), f_2(a+h))-(f_1(a), f_2(a))}{h}\\ =\lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\begin{pmatrix}f_1(a+h)-f_1(a) \\ f_2(a+h)-f_2(a)\end{pmatrix}\\ = \left(\lim_{h \to 0} \frac{f_1(a+h)-f_1(a)}{h}, \lim_{h \to 0} \frac{f_2(a+h)-f_2(a)}{h}\right)\\ \vec{f}'(a) = \left(f_1'(a), f_2'(a)\right) Def: Seja \vec{f}: I \to \mathbb{R}^n, \ a \in I, \ \vec{f}(t) = (f_1(t), f_2(t), \ldots, f_n(t)) \vec{f}'(a) \ \text{existe} \iff \ f_i'(a) \ \text{existe , para} \ i=1,\ldots,n. e \ \text{neste caso}: \vec{f}'(a) = (f_1'(a), f_2'(a), \ldots, f_n'(a) ) Dizemos que \ \vec{f} \ \text{é diferenciável em} \ "a". Ex: \ \vec{f}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 , \ \vec{f}(t) = (\cos t, e^t) \vec{f}'(t) = \frac{d}{dt} \vec{f} = ( 1.\cos t + t . \sin t, e^t) = (\cos t - t.\sin t, e^t) Ex: \ \ \vec{g}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3 , \ \vec{g}(t) = (2t, t^3 + 7, t . e^t) \vec{g}'(t) = \frac{d}{dt} \vec{g} = ( 2, 3t^2, e^t + t e^t ) \underline{\alpha: [0,+\infty[ \to \mathbb{R}^2} \alpha'(t) \alpha''(t) \vec{f}: I \to \mathbb{R}^3 \mathbb{R}^2 \subset \mathbb{R}^3 (x,y) (x,y,0) limite, continuidade, derivada \vec{f}(t) = ( f_1(t), f_2(t), f_3(t)) f_i: I \to \mathbb{R}, \ f_2: I \to \mathbb{R}, \ f_j: I \to \mathbb{R} \vec{f}'(t) = ( f_1'(t), f_2'(t), f_3'(t)) \vec{g} = \vec{f}': I \to \mathbb{R}^2 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textrm{é uma função vetorial.} \vec{g} \ \rightarrow \ \ \ \textrm{é contínua?} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textrm{é diferenciável?} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textrm{$\vec{g}' = (\vec{f}')' = \vec{f}''$}} Podemos falar sobre derivadas de ordem superior. \dot{f}\ \textrm{é contínua em I} \iff \\ \qquad \ f_1, \ f_2, \ f_3 \ \textrm{não funções contínuas em I} Def: Seja \( \vec{\beta} : I \to \mathbb{R}^n \) uma função vetorial, dizemos que \( \vec{\beta} \) é uma função diferencial quando \( \vec{\beta} \) possui derivada em todo I. Ex: \( \vec{\alpha} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 \) \( \vec{\alpha}(t) = (t, \sin t + \cos t) \) \( \vec{\alpha}'(t) = (1, \cos t - \sin t) \) \( \vec{\alpha} \) é diferenciável Ex: \( \vec{\beta} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 \) \( \vec{\beta}(t) = (t, |t|) \) \( \vec{\beta}'(0) \) não existe! Def: Seja \( \vec{\Theta} : I \to \mathbb{R}^n \) uma função vetorial, dizemos que \( \vec{\Theta} \) é uma função de tipo \( C^1 \) se \( \vec{\Theta} \) é diferenciável e \( \vec{\Theta}' \) é uma função contínua. Ex: \( \vec{\Theta} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 \) \( \vec{\Theta}(t) = (e^t, te^t, t^2 + 1) \) \( \vec{\Theta}'(t) = (e^t, e^t, 2t) \) CURVAS: Seja \( \sigma : I \to \mathbb{R}^3 \) uma função vetorial contínua. O ponto final do vetor \( \sigma(t) = (x(t), y(t), z(t)) \) descreve uma curva. Para cada \( t \in I \) obtemos \( (x(t), y(t), z(t)) \) é chamado parametrização da curva. \( x(t) \) \( y(t) \) São chamadas equações paramétricas da curva \( \mathcal{C} \). \( z(t) \) \( t \to \) é chamado de parâmetro da curva \( \mathcal{C} \). Liminar: \( \alpha(t) = (\cos t, \sin t) \) \( x(t) = \cos t \) \( y(t) = \sin t \) \( x^2 + y^2 = 1 \) Equação cartesiana de \( \mathcal{C} \) Def: Seja \( \vec{\Theta} : I \to \mathbb{R}^2 \) uma curva, se conseguimos uma expressão com as equações paramétricas e um parâmetro “t” diremos que essa expressão é uma equação cartesiana da curva. Ex: \( \vec{\pi}(t) = (t, t^2) \) \( \vec{\pi} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 \), obter uma eq. cartesiana de \( \vec{\pi} \). \( x = t \) \( y = t^2 \) Ex: \( \vec{\alpha}(t) = (t^3, t^6) \) \( \vec{\alpha} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 \) \( x = t^3 \) \( y = t^6 \) Ex: \alpha(t) = (\cos t, \sin t) \quad t \in [0, 2\pi[ \alpha'(t) = (-\sin t, \cos t) Obs: \alpha(t) \perp \alpha'(t) ||\alpha'(t)|| = 1 Comprimento de arco: \alpha: I \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n Seja \alpha uma curva C^{1} \; (\alpha' \text{ é uma função contínua}) O comprimento de \alpha é definido por: \mathcal{L}(\alpha) = \int_{a}^{b} ||\alpha'(t)|| \, dt. Obs: n=2 \Rightarrow \alpha(t) = (x(t), y(t)) \Rightarrow \mathcal{L}(\alpha) = \int_{a}^{b} \sqrt{x'(t)^{2} + y'(t)^{2}} \, dt n=3 \Rightarrow \alpha(t) = (x(t), y(t), z(t)) \Rightarrow \mathcal{L}(\alpha) = \int_{a}^{b} \sqrt{x'(t)^{2} + y'(t)^{2} + z'(t)^{2}} \, dt Ex: \alpha(t) = (\cos t, \sin t) \quad t \in [0, 2\pi] comprimento = 2\pi \cdot 1 = 2\pi. \alpha'(t) = (-\sin t, \cos t) \mathcal{L}(\alpha) = \int_{0}^{2\pi} ||(-\sin t, \cos t)|| \, dt = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{(-\sin t)^2 + \cos^2 t} \, dt = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{1} \, dt = \int_{0}^{2\pi} \, dt = 2\pi. Ex: \theta(t) = (\cos t, \sin t, t) \quad t \in [0, 2\pi] \theta'(t) = (-\sin t, \cos t, 1) \mathcal{L}(\theta) = \int_{0}^{2\pi} ||\theta'(t)|| \, dt = \int_{0}^{2\pi} ||(-\sin t, \cos t, 1)|| \, dt = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{(-\sin t)^2 + \cos^2 t + 1^2} \, dt = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{2} \, dt = 2\pi \sqrt{2}. Comprimento de arco α:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}^2 \ \ \text{com} \ C^1 L(\alpha) = \int_a^b ||α'(t)||dt. Ex: α(t) = (e^t \ \cos t, e^t \ \sin t) \ , \ t \in [0,2] α(0) = e^t \ (\cos t, \sin t) α(0) = e^0 (\cos 0,\sin 0) = (1,0) e^t \geq e^0 = 1 e^t > 0 α'(t) : (e^t \ \cos t - e^t \ \sin t, e^t \ \sin t + e^t \ \cos t) L(\alpha) = \int_0^2 ||(e^t \ \cos t - e^t \ \sin t, e^t \ \sin t + e^t \ \cos t)|| \, \mathrm{d}t = \int_0^2 e^t ||(\cos t -\sin t, \sin t + \cos t)|| \mathrm{d}t = \int_0^2 e^t \sqrt{1 - 2 \ \cos t \sin t + (\cos t)^2 + (\sin t + \cos t)^2} 1 \underline{- 2 \ \cos t \sin t} \ \ \ \underline{+ \ \sin^2 t} \underline{+ \cos t^2} = \int_0^2 e^t \sqrt{1 + 1} \ dt = \int_0^2 \ e^t \ dt = = \sqrt{2} \ \left[ \frac{e^t^2}{2} \right]_0^2 = \sqrt{2} \ ( e^2 - 1) α:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n \ \ \ \ L(\alpha) = \int_a^b ||α'(t)||dt. α \ \epsilon \ C^1 α(t) = (\cos t, \sin t) \ , \ t \ \epsilon [0, 2\pi] β(t) = (\sin t, \cos t)\ , \ t \ \epsilon [0, 2\pi] Θ(t) = (t, 2t) \ , \ t \ \epsilon [0,1] η(t) = (t^2, 2t^2) \ \ \ t \ \epsilon [0, 1] y = 2x t \in [0,1] η(t) = Θ(n(t)) n(t) = t^2 Sejam \ \ \ α:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ β:[c,d] \rightarrow \mathbb{R}^m \ \ duas \ parametrizações \ de \ uma \ curva \ de \ classe \ C^1 \ Dizemos \ que \ α \ e \ β \ \ são \ parametrizações \ equivalentes \ se \ existe \ uma \ função \ h: [c,d] \rightarrow [a,b] \ bijetiva, \ de \ classe \ C^1 \ tal \ que \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ β(t) = α(h(t)) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ t \ \epsilon \ [c,d] Obs: \ \ \ \ \ \ h \ \ é \ crescente \ ou \ h \ é decrescente h(c)=a h(d)=b \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ h(c)=b \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ h(d)=a \ \ h'(t) > 0 \ \ h'(t) < 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ h'(t) \neq 0 \\ β'(t) = \frac{d}{dt}(α(h(t))) \ L(\alpha) = \int_a^b ||α'(s)|| \mathrm{d}s = \int_c^d ||α'(h(t))|| \ |h'(t)| \, dt \\ α'(t) // | β'(t) | L(\beta) = \int_c^d || β'(c)»\verdana || \dt = \int_c^d ||h'(t) \ . \ \alpha'(h(t))|| \ , \ dt \\ h'(t)>0 = \int_d^c h'(t) ||α'(h(t))||dt = - \int_b^a ||α'(s)|| \mathrm{d}s = - \int_b^a ||α'(s)||\mathrm{d}s = \int_a^b ||α'(s)|| \mathrm{d}s = L(\alpha) \\ \ \ = \int_a^b ||α'(s)|| \mathrm{d}s = L(\alpha) \ \ \ \ \ \ = \int_c^d -h'(t) ||α'(h(t))\\ dt =\int_a^b ||α'(s)|| \ \mathrm{d}s = L(\alpha) s = h(t) d(s) = h'(t) \, dt Teorema: O comprimento de arco de uma curva C independe das parametrizações equivalentes escolhidas Ex) a) r(t) = (a(1 - cos t), a(t - sin t)), 0 <= t <= 2π, a > 0. a=1: r(t) = (1 - cos t, t - sin t) r'(t) = (sin t, 1 - cos t) L(r) = ∫(0 to 2π) ||r'(t)|| dt = ∫(0 to 2π) ||(sin t, 1 - cos t)|| dt = ∫(0 to 2π) sqrt(sin^2 t + (1 - cos t)^2) dt = ∫(0 to 2π) sqrt(sin^2 t + 1 - 2 cos t + cos^2 t) dt = ∫(0 to 2π) sqrt(2 - 2 cos t) dt [... (Perhaps more calculations follow)] sen(θ/2) = sqrt(1 - cos θ / 2) 7. Seja α : I → R^3 uma curva parametrizada, com α'(t) ≠ 0 para todo t ∈ I. Prove que ||α(t)|| é constante não zero se, somente se α(t) é ortogonal a α'(t) para todo t ∈ I. (⇒) α(t) = (x(t), y(t), z(t)) => h(t) = ||α(t)||^2 = x(t)^2 + y(t)^2 + z(t)^2 = cte. := c h(t) = c => h'(t) = 0 2 x(t)·x'(t) + 2 y(t)·y'(t) + 2 z(t)·z'(t) = 0 x(t)x'(t) + y(t)y'(t) + z(t)z'(t) = 0 (x(t), y(t), z(t)) · (x'(t), y'(t), z'(t)) = 0 α(t) α'(t) α(t) · α'(t) = 0 => α(t) ⊥ α'(t) 9. Verifique que a reta tangente da curva regular parametrizada α(t) = (3t, 3t^2, 2t^3) tem ângulo constante com a reta y = 0, z = x. T(t), reta α'(t) = (3, 6t, 6t^2) L : (0,0,0) + (t,0,t) = t(1,0,1) n = (1,0,1) α'(t), n = ? u, v => u·u = ||u|| ||v|| cos θ α'(t) · n = ||α'(t)|| ||n|| cos θ {Ex} \ \alpha(t)=(\cos t,\sin t)\ t\in[0,2\pi] \newline \alpha(0)=(1,0) \newline \beta(t)=(\sin t, \cos t)