Lista 10 de Geometria Analítica Professor Jaime Velasco

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Lista de Exercícios de Geometria Analítica Prof. Jaime Velasco Câmara da Silva LISTA 10 - Cônicas Elipse 1. Determinar a equação reduzida da elipse sabendo que (a) C(0,0), eixo maior horizontal, distância focal 6 e excentricidade e = 3/5; (b) C(0,0), eixo maior horizontal, eixo menor medindo 10 e excentricidade e = 12/13; (c) C(0,0), eixo maior vertical, eixo menor medindo 10 e excentricidade e = 12/13; (d) C(0,0), eixo maior horizontal, eixo menor medindo 6 e passa pelo ponto P(2√5,2); (e) C(0,0), eixo menor horizontal, e = 1/2 e passa pelo ponto P(9/2,3); (f) focos F₁(3,2) e F₂(3,8) e eixo maior medindo 8; (g) seus vértices são A₁(-2,2), A₂(4,2), B₁(1,0) e B₂(1,4); (h) dois vértices são (7,2) e (1,2) e seu eixo menor mede 2; (i) C(0,0), eixo maior horizontal, distância focal 8 e P(√15,-1) pertence a elipse. 2. Determinar a equação da elipse de centro C(3,1), com um dos extremos do eixo maior em A(3,-2) e excentricidade e = 1/3. 3. Determinar a equação da elipse de centro em C(-2,1), sabendo que e = 3/5 e que seu eixo maior é horizontal de comprimento 20. 4. Determinar a equação da elipse de centro C(4,1), com um foco F₁(1,1) e excentricidade e = 1/3. 5. Determinar a equação da elipse de vértices A₁(1,8) e A₂(1,-4) e excentricidade e = 2/3. 6. Determinar a equação reduzida da elipse de focos F₁(-1,-3) e F₂(-1,5) e excentricidade e = 2/3. 7. Determinar a equação da elipse de excentricidade 3/5, cujos focos são pontos da reta y = 1 e sendo B(-2,9) um dos extremos do seu eixo menor. 8. A uma elipse de excentricidade 1/3, circunscreve-se um retângulo de lados paralelos aos eixos dessa elipse. Calcular a área do retângulo, sabendo que seu perímetro é 8(3 + 2√2) m. 9. O centro de uma elipse é a origem. O eixo maior é vertical e mede o dobro do comprimento do eixo menor. Sabendo que a elipse passa pelo ponto P(π/7,3), determinar sua equação reduzida. 10. Uma elipse é tangente ao eixo x no ponto A(3,0) e ao eixo y no ponto B(0,-4). Determinar a equação reduzida dessa elipse, sabendo que seus eixos são paralelos aos eixos coordenados. 11. Para cada uma das equações abaixo, determinar as coordenadas dos vértices, focos, centro, comprimentos dos eixos maior e menor, distância focal e excentricidade. Esboçar essas elipses. (a) x²/100 + y²/36 = 1; (b) 9x² + 5y² = 45; (c) 4x² + y² = 1; (d) 25x² + 16y² + 50x + 64y - 311 = 0; (e) 16x² + 25y² + 32x - 104y - 284 = 0; (f) 4x² + 3y² - 32x - 24y + 64 = 0; (g) 4x² + 9y² - 48x + 72y + 144 = 0; (h) 18x² + 7y² - 108x - 28y + 64 = 0; RESPOSTAS 1. (a) x²/25 + y²/16 = 1 (b) x²/25 + y²/36 = 1 (c) x²/9 + y²/16 = 1 (d) (x - 3)²/49 + (y - 5)²/12 = 1 (e) (x - 13/2)²/16 + (y - 3)²/9 = 1 (f) (x - 3)²/9 + (y - 7)²/16 = 1 (g) x²/4 + y²/9 = 1 (h) (x - 3)²/100 + (y - 19)²/144 = 1 2. x²/100 + (y - 1)²/36 = 1 3. (x + 2)²/100 + (y - 2)²/100 = 1 4. (x - 4)²/81 + (y - 1)²/36 = 1 5. (x + 2)²/81 + (y - 1)²/100 = 1 6. (x + 1)²/72 + (y - 3)²/144 = 1 7. (x + 2)²/100 + (y - 9)²/64 = 1 8. A = 96√2m² 9. x²/4 + y²/16 = 1 10. x²/3² + y²/16 = 1 11. (a) C(0,0), A₁(10,0), A₂(-10,0), B₁(0,6), B₂(0,-6), F₁(8,0), F₂(-8,0), eixo maior: 20, eixo menor: 12, distância focal: 16, e = 4/5 (b) C(0,0), A₁(0,3), A₂(0,-3), B₁(√5,0), B₂(-√5,0), F₁(0,2), F₂(0,-2), eixo maior: 6, eixo menor: 2√5, distância focal: 4, e = 2/3 (c) C(0,0), A₁(0,2), A₂(0,-2), B₁(1/2,0), B₂(-1/2,0), F₁(0,√3/2), F₂(0,-√3/2), eixo menor: 2, eixo maior: 1, distância focal: √3/2, e = √3/2 (d) C(1,-2), A₁(-1,3), A₂(-1,-7), B₁(3,-3), B₂(5,-1), F₁(-1,1), F₂(-1,5), eixo maior: 10, eixo menor: 1, distância focal: 6, e = 3/5 (f) C(-4,-4), A₁(-4,0), A₂(-4,-8), B₁(-4 - √2,4√2), B₂(-4 - √12,-4), F₁(-4,-2), F₂(-4,-6), eixo menor: 8, eixo maior: 2√12, distância focal: 4, e = 1/2 (g) C(6,-4), A₁(12,-4), A₂(0,-4), B₁(6,8), B₂(6,-0), F₁(6 + √20, -4), F₂(6 - √20, -4), eixo maior: 12, eixo menor: 8, distância focal: 6, e = 3/5 (h) C(3,-2), A₁(3,-2 + √18), A₂(3,-2 - √18), B₁(3 + √7,-2), B₂(3 - √7,-2), F₁(3,-2 + √11), F₂(3,-2 - √11), eixo maior: 2√18, eixo menor: 2√7, distância focal: 2√11, e = √11/√18 Elipses da questão 11 (a) (b) Dist. focal 6 e = 3/5 C(0,0), eixo maior horizontal c = 3 a = 5 k = 4 e = c/e = 3/5 = 3/25 = 9/ 25 = 2 = a b = ×2/25 + y2/16 = 1 Eq. do Elipse C(0,0), eixo maior vert. eixo menor 6 c = 12 2 x = -10 b = 2 a b = 5 a = 6 Eq. do Elipse x2/25 + y2/169 = 1 c(90) eixo maior ha, eixo menor medi e para pelo ponto P(-2.5, 2): a = 3 b^2 - b^2 + c^2 a^2 = b^2 + c^2 3^2 = b^2 + 6 9 = b^2 + 6 b^2 = 36 - 9 b^2 = 25 b = 5 E = 5/3 eixo maior = 1 eixo maior = x f_1 f_2 P(2\sqrt{2}, 1) E q da elipse x^2 y^2 a^2 + b^2 = 1 x^2 y^2 36 + 9 = 1 c = 6 c(0,0), eixo, numa horizontal, e = 1/..p para pelo e para P(9/2,3). e;c = 1..z 2c: 2 cz c = a e/2 e= c/a "(x-h)^2 -(h2-k)^2 " ....9 / (a^2) c = a/2 3a^2/4 3a^2/4 29/4 + 9/a^4 = 4 81/4b(3 a^/2) = 1 1/a 91 + 22 = 3a^2 108 - ..a^2 a^2 = 36 - 36 a^2 = 6 eixo maior ? x x Centro nas pontos principais dos focos. logo, a^2 = - b^2 + c^2 u_2 = b^2 + 9 16 - b^2 + 9 16 - 6 = b^2 7 = 2 b^2 fi(-3,2) eixo maior 2 2 a = 8 a=4 (x-x_2)^2 + y_y^2)^2 = 1 2 e = \/a /a= a^2 =b^2 + c^2 2/\/3 1/ ______\/3/ x 2 2 2 3 c = fi: (-1, 2) f2(3,2): eixo menor = 4 eixo maior = 6 Centro: (1,2) Eq da Elipse: (x-1)^2 + (y-2)^2 a^2 = x 4 a^2 + b^2 = y 4 16 = 1 excentridade: 2\/4 3 eixo maior: 6 f1 (3,2)^2 A1(2,2) B1(-4,1) f2 (5,2)^2 A2(2,2) B2(4,3) 3 x 3 / a =3 b = 1 a^2 = b^2 + c^2 a^2 = l^2 + c 9 = m^2 + c^2 c^2 = 1 - 9 c^2 = [2] (X-x)^2 1 ----- + (y- x)^2 --- = 1 9/ B/ 9 ( c{0.o} ll c=4.l) a^2 b^2 + c^2 c=147 a^2,b^2 + c^2 a^2 - 4 a 2 .. = 20 ...qs = 2(81.1 - 4) ...with..(40 H /\b2)16 2x=20 ..76. =10 ..16x =...6. = 8 2.} ..4..4 4 l(x = 9) x l=0- 6- b (1x 1/ x +.. + d- l r/l y b4 .e a (3) A reta em seu C, construdio um retangulo de lados // \ nos eixo dessa reta. Calcular a área do retângulo, sabendo que seu perímetro é 8(3 + 2√2)m. c, b = c a c = b Área do retângulo: 4ab = ? a^2 b+c = √2 * l^2 9 2a + 2b = 2(3 + 2√2) a + b = 4(3 + 2√2) a = 2√2 a = 2a, √2 3 Perímetro: P: 4a + 4b = 2(3 + 2√2) a + b = 2 (3 + 2√2) a + 2a√2 = 2(3 + 2√2) a = 6 b = 12√2 b = 2√2 3 A = 4ab = 4 . (4.4√2 = 96√2 m (9) O centro da elipse é a origem o eixo menor é vertical e se encanc o eixo da elipse corresponde ao eixo maior. Sabendo que la elipse passp pesso \(√2, 2). Alt uni está no qua do x^2 y 2 . a^2 c b = a 2y=x (√2, 3) C(0,0) o eixo menor mede o ponto a \ maior x^2 y^2 —— + —— = 1 a^2 (2a)^2 x^2 (√2)^2 y^2 —— + (——) = 1 a^2 ^^ 4a^2 \7/4 9 \7 9 —— = 1 —— + — = 1 a^2 4a^2 4a^2 16 —— = 1 4a^2 16.4a^2 10 a^2 = 4 a^2 = 2 x^2 y^2 —— + —— = 1 4 16 a = 2 b = 4