Aulas de Geometria Analítica do Professor Jaime Velasco Parte 2

4 / 09 / 15\n1 = 4 \n3 2\nl = h = h 3.10\n10 5\nR is in R3\n5 s s n uma ruta em R3. A um ponto fixo em m = x + 0 um vetor paralelo a a\nDiga PCIR3, Tomar gina PE\ns m PB/ = 1 bx Per\nx, rr exist ter tal que\nAP = t\nA = P + t\nter R\nI esta é a equação vetorial de r.\n\nO no t R \u00b0 que paralelo a r é chamado ao vtn duto de r.\nSiga do n fundo a r. Um vtn s;\nde r n se, se, n\\u00f3. Observação: \\ Nem toda reta possui equações simétricas. O eixo x, por exemplo, não possui.\n\n2x + 3 = y - 4 = -2 + 5\n3 5\n\n=> (2x + 3) = x = 3/2\n\n= > y - y4 = + 2 + 5 / (-1)\n5 7\n\n(5/2, 4/5) \\ r = (3/2, 5 - 7) // n\n\nEquações Reduzidas\n\nObjetivo: \\ saber duas coordenadas em função da terceira.\n\nExemplo: Determinamos as equações vetoriais, paramétricas, simétricas e reduzidas da reta que passa pelos pontos A(2, 1, 1) e B(-3, 0, 4)\n\nh: r\nAB = (B - A) = (-5, -1, 3)\nP1(2, 1, -9) t(B - P1)\n\nx - 2 = -5t\nx - x2 = y4 - z + 1\nz - 2 = -1\n= -5 / 5 Exemplo: \\ Determinar as equações vetoriais e paramétricas da reta.\n\nA(2, 0, 0) \\ C \\ r: x\nP1(1, 0, 0) e P2(2, 0, 1) --> eq. reta\n\nx = 2 + 4t\ny = 0\nequações paramétricas da reta.\n\nx = x0 + at\ny = y0 + bt\nz = z0 + ct\n\nx - x0 = at\n\ny - y0 = bt\n\nz - z0 = ct\n\nx - x0 = y - y0 = z - z0\n\na b c\n\nEssas são as equações simétricas de r. 4x - 2 = y - 1\ny - d = z + 1\n-5 = -1\n-x + 2 = y + 15\n-y + 2 = -2 - 1\nx - 2 = -5y - 5\nx = 5y - 3\ny = -5y + 4\n\nExemplo: Determinar as equações reduzidas da reta:\n{x = 2 + 3t\ny = 5\nz = -1 - 2t\n\n(3, 9, 2)// r: \\ O. não possui equações paramétricas\n\nx = 2 + 3t\n2t = z - 1 -> t = z - 1 / 2\n1 x = 2 + 3(-2 - 1) / 2 = z - 2 - 3 / 2\n\ny - 3 = 2 + 5 / 2\nx = -3/2 + y / 2\n\ny = 5 + 0z - 1\n\nNão precisa 16/09/15\nSejam r_1 e r_2 duas retas com vetores diretores \\vec{u} e \\vec{v}, respectivamente.\n* As retas são paralelas quando \\vec{u} é paralelo a \\vec{v}. Denotamos r_1 || r_2.\n* As retas são ortogonais quando \\vec{u} é \\perp \\vec{v}.\n* As retas são perpendiculares quando suas direções são coincidentes.\n\nÂngulo entre retas\n\nSejam r_1 e r_2 duas retas com vetores diretores \\vec{u} e \\vec{v}, respectivamente.\nDefinimos o ângulo entre r_1 e r_2 como o menor ângulo possível formado entre os diretores de r_1 e r_2. 16/09/15\nDenotamos por \\angle (r_1, r_2) \nVale sempre que: 0° ≤ \\angle (r_1, r_2) ≤ 90°.\nVale sempre que:\n\n\\angle (r_1, r_2) = | \\vec{u} \\cdot \\vec{v} | / | \\vec{u} | | \\vec{v} |.\n\nExemplo: Calculos de ângulo entre\n\n\\begin{cases}\nx = 3t - 2 \\\\\n y = t \\\\\n z = -1 - 2t\end{cases},\\ \\begin{cases}\nx = 2 \\\\\n y = 3t \\\\\n z = t\end{cases}\n\n\\implies\\ (1,1,-2)\\ || \\ (2,4,1)\n\\Rightarrow\ (1,-2)|\n\\implies\\ ||\\ \\sqrt{6} = |\\vec{u}|.\n\n(co) \\angle (r_1, r_2) |(1-3) = 3 = |1|\n\\sqrt{6} = 6.\n\\Rightarrow\\ \\angle (r_1,r_2)=60°. 18/09/15\nRio de Janeiro, 18 de setembro de 2015\n\nPosição relativa entre retas\n\nSejam r_1 e r_2 duas retas em R^3 e \\vec{u} e \\vec{v} respectivamente. Temos as seguintes possibilidades:\n\n Paralelos\n \n- paralelos\n \n- distintas\n\n Concurentes\n- \n Reversos\n\n1º Caso: r_1 e r_2 são paralelas\n\nNecessitamos que \\vec{u} e \\vec{v} sejam iguais a paralelos distintos, quando assim, teremos um ponto A pertencente a r_1.\nSe A pertence a r_1, então r_1 e r_2 não são iguais. Se A não pertence a r_2, então r_1 e r_2 são paralelos distintos. 18/09/15\n\n2º Caso: r1 e r2 não são paralelas\n\nNum caso em que r1 e r2 são concorrentes ou recortes, deduzirão próximos pontos de interseção entre r1 e r2.\nSe r1 e r2 se intersectam então eles são concorrentes. Caso contrário, são distintos.\n\nExemplo:\nDeterminamos a posição relativa entre\n\nr1 = { x = 1 + t\n y = 1 - t\n z = 2 - t }\n\nr2 = { x = 2 - 3h\n y = 4 + 3h\n z = 3 + h }\n\nComo r2 = -3h temos que 0 = 0 . Logo estamos no caso, isto é, r1 e r2 vão igual a paralelas distintos.\n\nA (1, 1, 2) ∈ r1\nA é?\n\nComo A é, temos que r1 e r2 não são paralelas distintos.