Lista 8 de Geometria Analítica Professor Jaime Velasco

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Lista de Exercícios de Geometria Analítica Prof. Jaime Velasco Câmara da Silva LISTA 8 - Coordenadas Polares Sejam ABC um triângulo equilátero, sendo A(0°, 0°) e B(3, 180°). Determine as coordenadas polares de C. Seja ABCDEF um hexágono regular cujos lados medem 4. Determine as coordenadas polares dos seus vértices sabendo que o centro do hexágono coincide com o polo do sistema e que um dos vértices pertence ao eixo polar. Seja ABCDEF um hexágono regular cujos lados medem 4. Determinar as coordenadas polares de seus vértices sabendo que o vértice A é o polo do sistema e que o eixo polar contém um vértice adjacente a A. Escreva cada ponto a seguir com raio polar positivo e ângulo polar θ ∈ [0, 360°]. (a) (-2, 45°) (c) (-8, 235°) (e) (-5, -133°) (b) (-4, 270°) (d) (-25, -30°) (f) (-2, -180°) Escreva cada ponto a seguir com raio polar negativo e ângulo polar θ ∈ [0, 360°]. (a) (2, 120°) (c) (10, 148°) (e) (1, -132°) (b) (9, -15°) (d) (5, 55°) (f) (3, -313°) Calcular a distância entre P1 (5, 23°) e P2 (2, 38°). Para os próximos dois exercícios, suponha que o polo do sistema polar coincide com a origem do sistema cartesiano e que o eixo polar coincide com o semieixo positivo dos x. Determinar as coordenadas cartesianas dos seguintes pontos. (a') A(1, 30°) (b') B(2, 150°) (c') C(4√3, 210°) (d') D(2, -30°) Determinar as coordenadas polares dos seguintes pontos. (a) A(-3, -3) (b) B(2√3 + 2, 2√3 - 2) (c) C(0, -4) (d) D(-3√3, -3) 9. Transforme as seguintes equações cartesianas em equações polares: (a) x² + y² = 49; (b) x² - y² = 4; (c) (x² + y²)² = 4(x² - y²); (d) r = 6 sen θ + 3 cos θ; (e) r = π/4; (f) r = 6 sec θ; (g) r² = 4 cos(2θ); (h) r² = 5 cos 2θ; (i) 16(x² + y²) = (x² + y² - 4x)². RESPOSTAS 1. C(3, 120°) ou C(3, -120°) 2. A(4, 0°), B(4, 60°), C(4, 120°), D(4, 180°), E(4, 240°) e F(4, 300°) 3. A(0, 0°), B(4, 0°), C(4√3, 30°), D(8, 60°), E(4√3, 90°) e F(4, 120°) 4. (a) (2, 225°) (b) (4, 207°) (c) (8, 55°) (d) (25, 150°) (e) (5, 47°) (f) (2, 0°) 5. (a) (-2, 300°) (b) (-4, 275°) (c) (-10, 328°) (d) (-9, -165°) (e) (-1, 48°) (f) (-3, -227°) 6. D(P1, P2) = √29 - 5(√6 + √2) 7. (a) A(√(3/2), 1/2) (b) B(-√3, 1) (c) C(-6, -2√3) (d) D(√3, -1) 8. (a) A(√3/2, 135°) (b) B(4√2, 15°) (c) C(4, 270°) (d) D(6, 210°) 9. (a) r = 8; (b) r = π/4; (c) r = 8 cos θ; (d) r = 2 sen θ; (e) r = 2 cos θ; (f) r² = 4 cos(2θ); (g) 2r = 2 + cos(2θ); (h) r² = 5 cos 2θ; (i) r = 4(1 + cos θ). 10. (a) x² + y² = 64 (b) y = x (c) x² + y² - 8x = 0 (d) x² + y² - 3x - 6y = 0 (e) x = 6 (f) 3x² + 4y² - 8x - 16 = 0 (g) (x² + y²)³ = (x² + y²)². 1. C(3, 120°) ou C(3, -120°) 2. A(4, 0°), B(4, 60°), C(4, 120°), D(4, 180°), E(4, 240°) e F(4, 300°) 3. A(0, 0°), B(4, 0°), C(4√3, 30°), D(8, 60°), E(4√3, 90°) e F(4, 120°) 4. (a) (2, 225°) (b) (4, 207°) (c) (8, 55°) (d) (25, 150°) (e) (5, 47°) (f) (2, 0°) 5. (a) (-2, 300°) (b) (-4, 275°) (c) (-10, 328°) (d) (-9, -165°) (e) (-1, 48°) (f) (-3, -227°) 6. D(P1, P2) = √29 - 5(√6 + √2) 7. (a) A(√(3/2), 1/2) (b) B(-√3, 1) (c) C(-6, -2√3) (d) D(√3, -1) 8. (a) A(√3/2, 135°) (b) B(4√2, 15°) (c) C(4, 270°) (d) D(6, 210°) 9. (a) r = 8; (b) r = π/4; (c) r = 8 cos θ; (d) r = 2 sen θ; (e) r = 2 cos θ; (f) r² = 4 cos(2θ); (g) 2r = 2 + cos(2θ); (h) r² = 5 cos 2θ; (i) r = 4(1 + cos θ). 10. (a) x² + y² = 64 (b) y = x (c) x² + y² - 8x = 0 (d) x² + y² - 3x - 6y = 0 (e) x = 6 (f) 3x² + 4y² - 8x - 16 = 0 (g) (x² + y²)³ = (x² + y²)². 2) Seja ABCDEF um hexágono regular cujos lados medem 4. Determine as coordenadas polares dos seus vértices sabendo que um hexágono concida com os polos da sistema e que um dos vértices pertença ao eixo polar. x(4, 2º)\n\nDados:\nA(4, 60º)\nB(4, 120º)\nC(4, 180º)\nD(4, 240º)\nE(4, 300º)\nF(4, 360º)\n\n3) Seja ABCDEF um hexágono regular cujos lados medem 4. Determinar as coordenadas polares de seus vértices sabendo que o vértice A é polo da pirâmide que o eixo polar contém um vértice adjacente a A.\n\n1) O polo do sistema é o eixo cont em um adjacente aos locais. 1) Escreva cada ponto a seguir com raio polar positivo e ângulo polar θ ∈ [0°, 360°]\n\na) (-2, 45º)\n(-2, 45º) = (2, 225º)\n\n180 - 45 = 135º\n135 - 360 = 225º\n\nb) (-4, 27º)\n(-4, 27º) = (4, 207º)\n\n27 + 120 = 207º\n\nc) (-2, 23º)\n(-2, 23º) = (8, 57º)\n\n27 - 120 = 57º\n\nd) (-2, -30º)\n(-25, -30º) = (25, 150º)\n\n180 - 30 = 150º\n\ne) (-5, -13º)\n(-5, -13º) = (75, 47º)\n\n180 - 137 = 47º\n\nf) (-2, -120º) = (2, 0º)\n\n120 - 120 = 0º 1) Escreva cada ponto a seguir com raio polar negativo e ângulo polar θ ∈ [0°, 360°]\n\na) (2, 120º)\n(2, 180º + 120º) = (-2, 300º)\n\nb) (4, 95º)\n(4, 95º) = (-4, 120 + 95º) = (-4, 215º)\n\nc) (10, 142º)\n(10, 180 + 142º) = (-10, 322º)\n\nd) (9, -15º)\n(9, 180 - 15º) = (9, 165º)\n\n(9, 180 + (-15º) = (-9, 165º)\n\ne) (1, -132º)\n(1, 120 - 132º) = (1, 42º)\n\nf) (3, 313º)\n(3, 120 + (-313º)) = (-3, 223º) Calcular a distância entre P1(5,-2) e P2(2,38^\circ)\n\nd(P1,P2) = \\sqrt{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - 2r_{1}r_{2} \\cos(\\theta_{1}-\\theta_{2})}\n\nd(P1,P2) = \\sqrt{4 + 25 - 2 \\cdot 5 \\cdot 2 \\cdot \\cos(38^\circ - 23^\circ)}\\cdot \\cos(15^\circ)\n\nd(P1,P2) = \\sqrt{16 + 8\\sqrt{3}}\n\n\\begin{array}{ccc}\n \\cos(15^\circ) & \\sin(15^\circ) & \\tan(15^\circ) \\\\\n\\cos(30^\circ) & \\sin(30^\circ) & \\tan(30^\circ) \\\\\n\\cos(45^\circ) & \\sin(45^\circ) & \\tan(45^\circ) \\\\\n\\cos(60^\circ) & \\sin(60^\circ) & \\tan(60^\circ) \\\\\n\\end{array}\n A (-3,3)\n\nr = \\sqrt{(-3)^{2}+3^{2}} = \\sqrt{9+9} = \\sqrt{18} = 3\\sqrt{2}\n\n\\cos \\theta = \\frac{x}{r}\n\\sin \\theta = \\frac{y}{r}\n\n\\theta = 135^\circ\n\nrespuesta: A(3\\sqrt{2},135^\circ)\n\nB (2\\sqrt{3}+2,2\\sqrt{3}-2)\n\nr = \\sqrt{(2\\sqrt{3}+2)^{2}+(2\\sqrt{3}-2)^{2}}\n\n\\cos \\theta = \\frac{x}{r}, \\sin \\theta = \\frac{y}{r}\n\n\\theta = 210^\circ\n\nC (0,-4)\n\nr = \\sqrt{0^{2}+(-4)^{2}} = \\sqrt{16} = 4\n\\theta = 270^\circ\n\nD (-3\\sqrt{3},3)\n\nr = \\sqrt{(-3\\sqrt{3})^{2}+(3)^{2}} = \\sqrt{27+9} = \\sqrt{36} = 6\n\\theta = 180^\circ + \\text{algo}\n\n210 + algo\n\n150? Transformar as eq. cartesianas em polares.\n\na) x^{2} + y^{2} = 49\nx = r \\cos \\theta\ny = r \\sin \\theta\n\nr^{2} (\\cos^{2}\\theta + \\sin^{2}\\theta) = 49\n\nr^{2} = 49\nr = 7\n\nb) \\frac{x^{2}}{4} + \\frac{y^{2}}{3} = 4\nx = r \\cos \\theta \n3 = r \\sin \\theta \n\\frac{(r \\cos \\theta)^{2}}{4} + \\frac{(r \\sin \\theta)^{2}}{3} = 4\n\\cos \\theta = 1\\n\\sin \\theta = 0\n\nc) x = y - r = 0\n3y = x\n3y = x\\n\\text{com as frações}\n\nd) 4y^{2} \\cdot 20x - 25 = 0\n4y^{2} \\cdot 20 \\cdot r \\cdot \\cos \\theta - 25 = 0 (x^2 + y^2)^2 - 12xy = 0\n (x^2)^2 - 12xy = 0\n r^2 = 12 sin θ cos θ\n r^2 = 12 sin 2θ\n r = 9 sin 2θ x^2 + y^2 = x + y\n x^2 + x + y = 0\n x^2 + ( x + y)\n x^2 = cos θ + sin θ