Aulas de Geometria Analítica do Professor Jaime Velasco Parte 3

05/10/15\nGeometria Analítica\nCoordenadas Polares\n\nFixamos em R² um ponto O e uma simetria s paltida da O. Este ponto O é chamado de polo de um sistema polar. A simetria se xícara pela de sistema.\n\nDado um ponto P quaisquer em R², dizemos que as coordenadas polares de P são (r, θ), onde r é a distância entre P e O e O é o ângulo que representa OP formando com o eixo polar, P.\n\nObservação: Não confundimos o polo da sistema polar com a origem do sistema Cartesian.\n\nConvenhamos que as coordenadas polares de O sejam (0, 0).\n\nO ângulo θ é positivo quando a reta que o eixo polar se dá no sentido anti-horário e negativo quando a reta se dá no sentido horário. 05/10/15\nExemplo: P(4, 57°) ⇒ P(8, 203°) dizemos que...\n\n360° - 57° = 303°\n\nA maneira que definimos o raio polar, ele sempre não é negativo. Vamos como definir raio polar não negativo.\n\nTomamos P(0, θ) definimos: (r, θ) = (r, θ + 180°)\n\nExemplo: (-3, 72°)\n\nTodos os pontos do plano distintos do polo polar podem ser escritos de infinitas maneiras em coordenadas polares (r, θ), (r, θ+K360°) onde K ∈ Z. Porém, tomando θ > 0 e θ ∈ [0, 360°] todos os pontos do plano se escrevem de modo único com coordenadas polares. -05/10/15\nDado um (r, θ) e o conforme e r ≥ 0 se (x(o), y(o)) = (r cos(θ), r sen(θ)).\n\nD = √[(x1 - x2)² + (y1 - y2)²]\n\nDados\n5 pontos P₁(r₁,θ₁) e P₂(r₂,θ₂) pontos em coordenadas li.\n\nd(P₁, P₂) = √[r₁² + r₂² - 2r₁r₂ cos(θ₁ - θ₂)]\n\nExemplo: D determina a distância em P₁(2, 77°) + P₂(8, 82°)\n\n√[13 - 12√2] = 7\n\nd(P₁, P₂) = ...\n\n= √[13 - 12(√6)(√2)] = ...\n\n= √[(6 - √2)²] Transformação entre coordenadas cartesianas e coordenadas polares\nAl partir da agora vamos supor que pelo de um sistema polar coincide com a origem de um sistema cartesian e que o eixo polar coincide com o semelhor aos x.\nSiga p um ponto polar no R^2. O ínemo, foram suas coordenadas cartesianas, reform (x,y) e as suas coordenadas polares sejam (r,θ).\n\nx = r * cos(θ) \n y = r * sin(θ)\n\nr = √(x^2 + y^2) → reta (3)\n\ncos(θ) = x/r \nsin(θ) = y/r \nθ = arcos( \n\nExemplo: Determinar as coordenadas cartesianas do ponto A (4,120°). Exemplo: Determinar as coordenadas polares de A (-2, 2√3)\n\ncos(θ) = x/r = -2/√(4 + 12) \nθ = 300°.\n\nExemplo: Transformar a equação polar em equação cartessiana\nn = 2 \n1 - cos(θ) = r^2 cos²(θ)\n\nDesejamos calcular como a r no sistema cartessiana.\n\nn(1 - cos(θ)) = 2 \n(x² + y²) = 2(2 - x) → \nx² + y² = 4 + 4x → 2x + 4. Exemplo: Transformar a equação cartessiana em equação polar.\nxy = 4\n\nn cos(θ) * n sin(θ) = 4\n\nsen(20°) * 2 * sen(θ) = 4 * cos(θ).\n\nsen(θ)cos(θ) = sen(20°) / 2.\n\nTransformações de Coordenadas.\n\n1. Translação ao eixo.\n\nRosaças\nA ∈ R - {0}, n ∈ Z - {0,1,2} → r = a cos(nθ).\n\n2n pétalos se n é par \nn pétalos se n é ímpar 08/10/15\n\n- Limitações\n - Cardióide\n\n- Limitação sem laço\n (|a| > |b|)\n\n- Limitação com laço (|a| < |b|)\n\n- Liminiscate = a ≠ 0\n\n- Espiral ao Arquímedes\n x = a ≠ 0, y = k * a² * θ 05/10/15\n\n- Translações de Coordenadas\n 1. Translação dos eixos\n\nFizemos um ponto O'(h,k) em R²\n Transladando os eixos x e y para O', obtemos os novos eixos x' e y' paralelos a x e y respectivamente.\n\nNotamos que:\n (x,y) → \n x' = x - h\n y' = y - k\n\nO ponto O' é a origem dos novos eixos x' e y'.\n\nExemplo: Para uma translação dos eixos para a nova origem O'(1,2) de modo que a equação abaixo se simplifique 09/10/15\n\nx = x' + 1\n y = y' + 2\n\n(x'²)² + 3(x'²)² - 2y'² + 3x' + 4y' - 5 = 0\n\nx' = ∅, y' = ∅\n\n1° Caminho { x = x' + h \n no y' + k\n\nExemplo 1: \n A translação de eixos transforma as disparidades de si mesmo a 1° grau.\n\n2h + 6 = 0\n Conclui-se que a nova origem O'(-2,1) 05/10/15\nx² - 4y² - 4 = 0 - Pega os valores e calcula para achar 4.\n\n2: Combinado Completo Quadrado.\n\nx² - 4y² - 6x + 8y + 1 = 0\n\nx' = x + 3\n\ny' = y + 2\n\n(x² - 6x) - (4y² - 8y + 1) = 0\n\n(x - 3)² - (y - 1)² - 7 = 4\n\nx² - 3y² - 4y + 1 = 0\n\nExemplo 2\n\nVá a tradução a um transfor\nma as eq. assovi\d\*dâ di â\*' grao. \n\n2x² - 3y² + 3x - 9y + 2 = 0\n\n(2(x² + 3x) - 3(y² - 2y)) + 2 = 0\n\n2(x + 3/2)² - 3(y - 3/2)² = 27\n\n2(x + 3/2)² + 3(y - 3/2)² - 24 = 0\n\nUma slope 16x² + 24y² = 47.