Capítulo 2: Vibração Livre de Sistemas com 1 Grau de Liberdade

Capítulo 2 VIBRAÇÃO LIVRE DE SISTEMAS COM 1 GRAU DE LIBERDADE RAO 2011 22 Vibração livre de um sistema de translação não amortecido 221 Equação do movimento pela segunda lei do movimento de Newton Nesta seção usaremos a segunda lei do movimento de Newton para obter a equação de movimento O procedimento que usaremos pode ser resumido da seguinte maneira 1 Selecione uma coordenada adequada para descrever a posição da massa ou do corpo rígido no sistema Use uma coordenada linear para descrever o movimento linear de uma massa pontual ou do centróide de um corpo rígido e uma coordenada angular para descrever o movimento angular de um corpo rígido 2 Determine a configuração do equilíbrio estático do sistema e meça o deslocamento da massa ou corpo rígido em relação à sua posição de equilíbrio 3 Desenhe o diagrama de corpo livre da massa ou corpo rígido quando o sistema está submetido a um deslocamento positivo e a inércia Indique todas as forças ativas e reativas que agem sobre o corpo rígido 4 Aplique a segunda lei do movimento de Newton à massa ou corpo rígido mostrado no diagrama de corpo livre A segunda lei do movimento de Newton pode ser enunciada como A taxa de variação do momento linear é igual à força que age sobre a massa Assim se a massa m for deslocada por uma distância xt quando uma força resultante Ft age sobre ela na mesma direção a segunda lei do movimento de Newton resulta em Ft kx mx ou mx kx 0 222 Equação de movimento por outros métodos Como afirmamos na Seção 16 as equações de movimento de um sistema vibratório podem ser derivadas por vários métodos Nesta seção consideraremos a aplicação do princípio de DAlembert do princípio dos deslocamentos virtuais e do princípio da conservação de energia Princípio de DAlembert As equações de movimento Equações 21 e 22 podem ser reescritas como Ft mx 0 24a Mt Jθ 0 24b Essas equações podem ser consideradas equações de equilíbrio contanto que mx Jθ sejam tratados como uma força e um momento Essa força ou momento fictícia é conhecida como força de inércia ou momento de inércia e o 25 Sistema massamola equivalente para o sistema cameseguidor da Figura 132 A agulha espacial estrutura 22 Vibração livre de um sistema de translação não amortecido 221 Equação do movimento pela segunda lei do movimento de Newton Se a massa m for constante essa equação se reduz a Ft m d²xtdt² mx 21 onde x d²xtdt² 23 A equação do movimento do sistema massamola pode ser enunciada em palavras como Força resultante sobre a massa Massa Aceleração Para um corpo rígido sujeito a movimento rotacional a lei de Newton resulta em 2222 onde M é o momento resultante que age sobre o corpo e é e é a 2θtdt² são o deslocamento angular e a aceleração angular resultantes respectivamente A Equação 21 ou a Equação 22 representa a equação de movimento do sistema vibratório Agora o procedimento é aplicado ao sistema não amortecido com um grau de liberdade mostrado na Figura 21a Nesse caso a massa está apoiada sobre roletes sem atrito e pode ter movimento de translação no sentido horizontal Quando a massa é deslocada a uma distância x em relação à sua posição de equilíbrio estático a força na mola é kx e o diagrama de corpo livre da massa pode ser representado como mostra a Figura 21c A aplicação da Equação 21 à massa m resulta na equação de movimento Ft kx mx ou mx kx 0 23 Princípio dos deslocamentos virtuais O princípio dos deslocamentos virtuais afirma que se um sistema que está em equilíbrio sob a ação de um conjunto de forças for submetido a um deslocamento virtual então o trabalho virtual total realizado pelas forças será zero Nesse caso o deslocamento virtual é definido como um deslocamento infinitesimal imaginário que ocorre instantaneamente Esse deslocamento deve ser possível em termos físicos e compatível com as restrições do sistema O trabalho virtual é definido como o trabalho realizado por todas as forças incluindo as forças de inércia no caso de um problema dinâmico devido a um deslocamento virtual Considere um sistema massamola em uma posição deslocada como mostrado na Figura 26a onde x denota o deslocamento da massa A Figura 26b mostra o diagrama de corpo livre da massa com as forças reativa e de inércia indicadas Quando a massa sofre um deslocamento virtual δx como ilustrado na Figura 26b o trabalho virtual realizado por força pode ser calculado da seguinte maneira Trabalho virtual realizado pela força da mola δWg kδx x Trabalho virtual realizado pela força de inércia δWl mδx δx Quando o trabalho virtual total realizado por todas as forças igualase a zero obtemos mδx kδx 0 Essa equação pode ter um valor arbitrário δx 0 para d a equação de movimento do sistema massamola como mx kx 0 Princípio da conservação da energia Dizse que um sistema é conservativo se nenhuma energia for perdida devido ao atrito ou membros não elásticos que dissipem energia Se nenhum trabalho for realizado sobre um sistema conservativo por forças externas com exceção da força de gravidade ou de outras forças potenciais então a energia total do sistema permanece constante Visto que a energia de um sistema vibratório é parcialmente potencial e parcialmente cinética a soma dessas duas energias permanece constante A energia cinética T é armazenada na massa em virtude de sua velocidade e a energia potencial U é armazenada na mola em virtude de sua deformação elástica Assim o princípio de conservação de energia pode ser expresso como T U constante ou ddt T U 0 As energias cinética e potencial são dadas por T 12 mi² e U 12 kx² A substituição das equações 27 e 28 na Equação 26 dá a equação desejada mx kx 0 223 Equação de movimento de um sistema massamola em posição vertical Considere a configuração do sistema massamola mostrada na Figura 27a A massa está pendurada na extremidade inferior de uma mola cuja extremidade superior por sua vez está ligada a um suporte rígido Em repouso a massa penderá em uma posição denominada posição de equilíbrio estático na qual a força da mola dirigida para cima equilibra exatamente a força gravitacional dirigida para baixo que age sobre a massa Nessa posição o comprimento da mola é l₀ δ st onde δ st é a deflexão estática o alongamento devido ao peso W da massa m Pela Figura 27a constatamos que para equilíbrio estático W mg kδ st onde g é a aceleração devida à gravidade Se a massa sofrer uma deflexão até uma distância x em relação à posição de equilíbrio estático então a força da mola é kx δ st como mostra a Figura 27c A aplicação da segunda lei do movimento de Newton à massa m dá mx kx δ st W e visto que kδ st W obtemos mx kx 0 Observe que as equações 23 e 210 são idênticas Isso indica que quando a massa se movimenta em uma direção vertical podemos ignorar seu peso contanto que x seja medida em relação à sua posição de equilíbrio estático Observação A Equação 210 a equação de movimento do sistema mostrado na Figura 27 também pode ser derivada pelo princípio de DAlembert o princípio dos deslocamentos virtuais ou pelo princípio de conservação de energia Por exemplo se usarmos o princípio de conservação de energia observaremos que a expressão para a energia cinética T permanece igual à Equação 27 Todavia a expressão para Capítulo 2 Vibração livre de sistemas com um grau de liberdade 53 permanece constante Visto que a energia de um sistema vibratório é parcialmente potencial e parcialmente cinética a soma dessas duas energias permanece constante A energia cinética T é armazenada na massa em virtude de sua velocidade e a energia potencial U é armazenada na mola em virtude de sua deformação elástica Assim o princípio de conservação de energia pode ser expresso como T U constante ou ddt T U 0 26 As energias cinética e potencial são dadas por T 12 mi² 27 e U 12 kx² 28 A substituição das equações 27 e 28 na Equação 26 dá a equação desejada mx kx 0 23 223 Equação de movimento de um sistema massamola em posição vertical Considere a configuração do sistema massamola mostrada na Figura 27a A massa está pendurada na extremidade inferior de uma mola cuja extremidade superior por sua vez está ligada a um suporte rígido Em repouso a massa penderá em uma posição denominada posição de equilíbrio estático na qual a força da mola dirigida para cima equilibra exatamente a força gravitacional dirigida para baixo que age sobre a massa Nessa posição o comprimento da mola é l₀ δst onde δst é a deflexão estática o alongamento devido ao peso W da massa m Pela Figura 27a constatamos que para equilíbrio estático W mg kδst 29 onde g é a aceleração devida à gravidade Se a massa sofrer uma deflexão até uma distância x em relação à posição de equilíbrio estático então a força da mola será kx δst como mostra a Figura 27c A aplicação da segunda lei do movimento de Newton à massa m dá mx kx δst W e visto que kδst W obtemos mx kx 0 210 Observe que as equações 23 e 210 são idênticas Isso indica que quando a massa se movimenta em uma direção vertical podemos ignorar seu peso contanto que x seja medido em relação à sua posição de equilíbrio estático Observação A Equação 210 a equação de movimento do sistema mostrado na Figura 27 também pode ser derivada pelo princípio de DAlembert o princípio dos deslocamentos virtuais ou pelo princípio de conservação de energia Por exemplo se usarmos o princípio de conservação de energia observaremos que a expressão para a energia cinética T permanece igual à Equação 27 Todavia a expressão para a energia potencial U deve ser derivada considerando o peso da massa Para tal observamos que a força da mola na posição de equilíbrio estático x 0 é mg Quando a mola sofre uma deflexão por uma quantidade x sua energia potencial é dada por ver Figura 27d mgx 12 kx² Portanto a energia potencial do sistema resultante da mudança na elevação da massa note que x é para baixo é mgx Assim a energia potencial líquida do sistema em relação à posição de equilíbrio estático é dada por U energia potencial da mola mudança na energia potencial resultante da mudança na elevação da massa m mgx 12 kx² mgx 12 kx² m mgx 12 kx² mgx 12 kx² Já que as expressões de T e U permanecem inalteradas a aplicação do princípio de conservação de energia dá a mesma equação de movimento Equação 23 224 Solução A solução da Equação 23 pode ser encontrada admitindose que xt Cest 211 onde C e s são constantes a determinar A substituição da Equação 211 na Equação 23 dá Cm s² k 0 Como C não pode ser zero temos ms² k 0 212 e por conseguinte s km12 213 onde i 112 e ωn km12 214 A Equação 212 é denominada a equação auxiliar ou característica correspondente à equação diferencial Equação 23 Os dois valores de s dados pela Equação 213 são os rácios da frequência característica também conhecidos como os eigenvalores autovalores ou valores característicos do problema Uma vez que ambos os valores de s satisfazem a Equação 212 a solução geral da Equação 23 pode ser expressa como xt C₁eωnt C₂eiωnt 215 onde C₁ e C₂ são constantes Usando as identidades eiαt cos αt isen αt a Equação 215 pode ser reescrita como xt A₁ cos ωnt A₂ sen ωnt 216 onde A₁ e A₂ são novas constantes As constantes C₁ e C₂ podem ser determinadas pelas condições iniciais do sistema Duas condições devem ser especificadas para avaliar essas constantes inequívocas Observe que o número de condições a especificar é igual à ordem da equação diferencial governante No presente caso se os valores do deslocamento x0 e da velocidade x0 forem especificados como x₀ e x₀ então pela Equação 216 xt A₁x₀ cos ωnt A₂ sen ωnt 217 Por consequência A₁ x₀ωn1 e A₂ x₀ωn Assim a solução da Equação 23 sujeita às condições iniciais da Equação 217 é dada por xt x₀ cos ωnt x₀ωn sin ωnt 218 225 Movimento harmônico As equações 215 216 e 218 são funções harmônicas do tempo O movimento é simétrico em relação à posição de equilíbrio da massa m A velocidade é máxima e a aceleração é zero toda vez que a massa passa por essa posição Nos deslocamentos extremos a velocidade é zero e a aceleração é máxima Visto que isso representa movimento harmônico simples ver Seção 110 o próprio sistema massamola é denominado um oscilador harmônico A quantidade ωn dada pela Equação 214 representa a frequência natural de vibração do sistema A Equação 216 pode ser expressa de uma forma diferente com a introdução da notação A₁ A cos φ A₂ A sen φ 219 onde A e φ são as novas constantes que podem ser expressas em termos de A₁ e A₂ como A A₁² A₂²12 x₀² x₀ωn²12 amplitude φ tg1A₂A₁ tg12₁A₁ x₀x₀ 220 Introduzindo a Equação 219 na Equação 216 a solução pode ser escrita como xt A cosωnt φ 221 Usando as relações A₁ A cos φ A₂ A sen φ a Equação 216 também pode ser expressa como xt A senωnt φ 223 Figura 29 Representação de plano de fase de um sistema não amortecido Assim quando a massa vibra em sentido vertical podemos calcular a frequência natural e o período de vibração pela simples medição da deflexão estática δs Não é necessário saber qual é a rigidez da mola k e a massa da mola m 2 Pela Equação 221 a velocidade xt e a aceleração xt da massa m no tempo t podem ser obtidas como xt dxdt ωnA senωnt φ xt d²xt dt² ωn²A cosωnt φ A Equação 231 mostra que a velocidade está adiantada defasada em relação ao deslocamento por π 2 e a aceleração está adiantada defasada em relação ao deslocamento por π 3 Se o deslocamento inicial x0 for zero a Equação 221 tornase xt x0 cosωnt x0 senωnt Contudo se a velocidade inicial x0 for zero a solução tornase xt x0 cosωnt Para isso consideramos o deslocamento dado pela Equação 221 e a velocidade correspondente xt A cosωnt φ ou cosωnt φ x A xt AωnA senωnt φ 234 ou senωnt φ x Aωn Elevando ao quadrado e somando as equações 234 e 235 obtemos cos²ωnt φ sen²ωnt φ 1 ou x² A² y² A² 1 O gráfico da Equação 236 no plano x y é um círculo como mostra a Figura 29a e constitui a representação de plano de fase ou espaço de estado do sistema não amortecido O raio do círculo A é determinado pelas condições iniciais de movimento Observe que o gráfico da Equação 236 no plano x x será uma elipse como mostrado na Figura 29b EXEMPLO 22 Resposta de vibração livre devido ao impacto Uma viga em balanço suporta uma massa M na extremidade livre como mostrado na Figura 211a A massa m cai de uma altura h sobre a massa M e adere a ela sem ricochetear Determine a vibração transversal resultante da viga Solução Quando a massa m cai de uma altura h atinge a massa M com uma velocidade vm 2gh onde g é a aceleração devido a gravidade Visto que a massa m adere a massa M sem ricochetear a velocidade da massa combinada M m imediatamente após o impacto x0 pode ser determinada usando o princípio de conservação do momento mv m M mx0 ou x0 m M mvm m M m2gh A posição de equilíbrio estático da viga com a nova massa M m está localizada a uma distância de h abaixo da posição de equilíbrio estático da massa original M como mostrado na Figura 211c Nesse caso k denota a rigidez da viga em balanço dada por k 3EI l3 Uma vez que a vibração livre da viga com a nova massa M m ocorre em relação à sua própria posição de equilíbrio estático as condições iniciais do problema podem ser enunciadas como x0 mg k x0 m M m2gh EXEMPLO 23 Módulo de Young pela medição da frequência natural Constatase que uma viga simplesmente apoiada com seção transversal quadrada de 5 mm 5 mm e comprimento de 1 m que suporta uma massa de 23 kg em seu ponto médio tem uma frequência natural de vibração transversal de 30 rads Determine o módulo de Young da viga k 192EI l3 Exemplos de sistemas mecânicos ωn k J012 Se a linha OG for estendida até o ponto A de modo que GA k g²d Para as condições iniciais θt 0 θ₀ e θt 0 θ₀ a solução tornase θt θ₀ e θt θ₀ θ₀ T frac12massa do mercúriovelocidade² Efeito da massa sobre ωn de uma mola Efeito da massa da coluna sobre a frequência natural da caixa dágua Vibração livre com amortecimento viscoso Pelas equações 266 e 265 podemos escrever c2m cc₀ 2ωn 267 e por consequência s₁₂ ζ ζ² 1ωn 268 Assim a solução Equação 264 pode ser escrita como xt C₁es₁tC₂es₂tζ² 1ωn269 A natureza das raízes s₁ e s₂ por consequência o comportamento da solução Equação 269 depende da magnitude do amortecimento Podese perceber que o caso ζ 0 resulta nas vibrações não amortecidas discutidas na Seção 22 Por consequência admitimos que ζ 0 e consideramos os três casos seguintes Caso 1 Sistema subamortecido ζ 1 ou c c₀ ou c2m km Para essa condição ζ² 1 é negativo e as raízes s₁ e s₂ podem ser expressas como s₁ s₂ cₐ c 2m ωn 277 Por causa das raízes repetidas a solução da Equação 259 é dada por 261 xt C₁ C₂eωnt 278 A aplicação das condições iniciais xt 0 x₀ e xt 0 x₀ para esse caso dá C₁ x₀ e C₂ x₀ ωnφ₀ 279 Na Equação 278 também pode ser obtida fazendo t aproximarse da unidade no limite na Equação 272 Quando ζ 1 ωn ωd φ₀ π2 e assim a Equação 272 dá onde C₁ eωntC₁ C₂ωn e C₂ C₁ω e a solução tornase xt x₀ x₀ ωnφ₀eζωnt280 Podese ver que o movimento representado pela Equação 280 é aperiódico isto é não periódico Visto que eζωnt 0 quando t o movimento eventualmente diminuirá até zero como indicado na Figura 224 Caso 3 Sistema superamortecido ζ 1 ou c c₀ ou c2m km ζ² 1 0 a Equação 268 mostra que as raízes s₁ e s₂ são reais e distintas e são dadas por s₁ ζ ζ² 1ωn 0 s₂ ζ ζ² 1ωn 0 com s₂ s₁ Nesse caso a solução Equação 269 pode ser expressa como xt C₁es₁tζ²1ωn t C₂es₂tζ²1ωn t 281 Para as condições iniciais xt 0 x₀ e xt 0 x₀ podemos obter as constantes C₁ e C₂ C₁ x₀ζ ζ² 1 x₀ 2ωnζ² 1 C₂ x₀ωnζ ζ² 1 x₀ 2ωnζ² 1 282 A Equação 281 mostra que o movimento é aperiódico independentemente das condições iniciais impostas ao sistema Visto que as raizes s₁ e s₂ são ambas negativas o movimento diminui exponencialmente com o tempo como mostra a Figura 224 Observe os seguintes aspectos desses sistemas 1 A natureza das raízes s₁ e s₂ com a variação dos valores de amortecimento c ou ζ pode ser mostrada em um plano complexo Na Figura 225 os eixos horizontal e vertical são escolhidos como os eixos real e imaginário O semicirculo representa o lugar geométrico das raízes s₁ e s₂ para diferentes valores de ζ na faixa 0 ζ 1 Essa figura permitenos ver instantaneamente o efeito do parâmetro ζ no comportamento do sistema Constantamos que para ζ 0 ambos as raízes imaginárias s₁ iωn e s₂ iωn o que resulta na solução dada na Equação 215 Para 0 ζ 1 as raízes s₁ e s₂ são conjugadas complexas e localizadas simetricamente em relação ao eixo real A medida que ζ aumenta aproximase de 1 ambas as raízes aproximamse do ponto ωn no eixo real Se ζ 1 ambas as raízes estão no eixo real uma crescendo e a outra decrescendo No limite quando ζ s₁ e s₂ Podese ver que o valor ζ 1 representa um estado de transição abaixo do qual ambas as raízes são complexas e acima do qual ambas as raízes são reais ΔW 2πωd t0 dxdt² dt 2π c²ω₀² cos²ωdt πcω₀²X² 294 coeficiente de perda ΔW2π W ΔW2πW 2100 r V₂ V₁ V₁ V₂ E4 EXEMPLO 212 Análise de um canhão 27 Vibração livre com amortecimento Coulomb Capítulo 2 Vibração livre de sistemas com um grau de liberdade