Capítulo 2: Vibração Livre de Sistemas com 1 Grau de Liberdade

Capítulo 2 VIBRAÇÃO LIVRE DE SISTEMAS COM 1 GRAU DE LIBERDADE RAO 2011 22 Vibração livre de um sistema de translação não amortecido 221 Equação de movimento pela segunda lei do movimento de Newton Nesta seção usaremos a segunda lei do movimento de Newton para obter a equação de movimento O procedimento que usaremos pode ser resumido da seguinte maneira 1 Selecione uma coordenada adequada para descrever a posição da massa ou do corpo rígido no sistema Use uma coordenada linear para descrever o movimento linear de uma massa pontual ou do centroide de um corpo rígido e uma coordenada angular para descrever o movimento angular de um corpo rígido 2 Determine a configuração de equilíbrio estático do sistema e meça o deslocamento da massa ou corpo rígido em relação à sua posição de equilíbrio 3 Desenhe o diagrama de corpo livre da massa ou corpo rígido quando submetida a um deslocamento positivo e a uma velocidade Inclua todas as forças ativas e reativas que agem sobre a massa ou corpo rígido 4 Aplique a seguinte lei do movimento de Newton à massa ou corpo rígido mostrado no diagrama de corpo livre A segunda lei do movimento de Newton pode ser enunciada como A taxa de variação do momento linear é igual à força que age sobre a massa ou corpo Assim se a massa m for deslocada por uma distância xt quando uma força resultante Ft age sobre ela na mesma direção a segunda lei do movimento de Newton resulta em Ft d dt m dxt dt mx onde Se a massa m for constante essa equação se reduz a mx 0 e é a aceleração da massa A Equação 21 pode ser enunciada em palavras como Força resultante sobre a massa Massa Aceleração Para um corpo rígido sujeito a movimento rotacional a lei de Newton resulta em Mt Jθ onde Mt é o momento resultante que age sobre o corpo e θ d2θtdt2 são o deslocamento angular e a aceleração angular resultantes respectivamente A Equação 21 ou a Equação 22 representa a equação de movimento do sistema vibratório Agora o procedimento é aplicado ao sistema não amortecido com um grau de liberdade mostrado na Figura 21a Nesse caso a massa está apoiada sobre roletes sem atrito e pode ter movimento de translação no sentido horizontal Quando a massa é deslocada à uma distância x em relação à posição de equilíbrio estático a força na mola kx e o diagrama de corpo livre da massa pode ser representado como mostra a Figura 21c A aplicação da Equação 21 à massa m resulta na equação de movimento Ft kx ou mx kx 0 222 Equação de movimento por outros métodos Como afirmamos na Seção 16 as equações de movimento de um sistema vibratório podem ser derivadas por vários métodos Nesta seção consideraremos a aplicação do princípio de DAlembert do princípio dos deslocamentos virtuais e do princípio da conservação de energia Princípio de DAlembert As equações de movimento Equações 21 e 22 podem ser reescritas como Ft mx 0 ou Mt Jθ 0 Essas equações podem ser consideradas equações de equilíbrio contanto que mx Jθ sejam tratados como uma força e um momento Essa força ou momento fictícia é conhecida como força de inércia ou momento de inércia e o estado de equilíbrio artificial subentendido pela Equação 24 ou 24b é conhecido como equilíbrio dinâmico Princípio subentendido na Equação 24a ou 24b é denominado princípio de DAlembert A aplicação do princípio ao sistema mostrado na Figura 21c resulta na equação de movimento kx mx 0 ou mx kx 0 Princípio dos deslocamentos virtuais O princípio dos deslocamentos virtuais afirma que se um sistema que está em equilíbrio sob a ação de um conjunto de forças for submetido a um deslocamento virtual então o trabalho virtual realizado pelas forças será zero Nesse caso o deslocamento virtual é definido como um deslocamento infinitesimal imaginário que ocorre instantaneamente Esse deslocamento deve ser possível em termos físicos compatível com as restrições do sistema O trabalho virtual é definido como o trabalho realizado por todas as forças incluindo as forças de inércia no caso de um problema dinâmico devido a um deslocamento virtual Capítulo 2 Vibração livre de sistemas com um grau de liberdade 53 Vibrações mecânicas 54 Representação gráfica do movimento de um oscilador harmônico 55 Representação do plano de fase de um sistema não amortecido Para isso consideramos o deslocamento dado pela Equação 221 e a velocidade correspondente xt A cosωn t φ ou cosωn t φ xA EXEMPLO 22 Resposta de vibração livre devido a impacto Uma viga em balanço suporta uma massa M na extremidade livre como mostrado na Figura 211a k 192EI l3 E2 onde E é o módulo de Young l é o comprimento e I é o momento de inércia da área da viga I 1 12 5 1035 103 05208 1010 m4 Como m 23 kg l 10 m e ωn 300 rads as equações E1 e E2 dão k 192EI l3 mωn2 ou E mω2nl3 1921 23300103 19205208 1010 2070132 109 Nm2 Isso indica que o material da viga é provavelmente acocarbono EXEMPLO 24 Frequência natural da caçamba de um caminhão de bombeiros A caçamba de um caminhão de bombeiros está localizada na extremidade de uma lança telescópica como mostrado na Figura 212a A caçamba mais o bombeiro pesam 2000 N Determine a frequência natural de vibração da caçamba no sentido vertical Dados Módulo de Young do material E 21 1011 Nm2 Comprimentos l1 l2 l3 3 m áreas de seções transversais A1 20 cm2 A2 10 cm2 A3 5 cm2 Solução Para determinar a frequência natural determinamos a rigidez equivalente da lança no sentido vertical e usamos uma idealização com um grau de liberdade Para isso admitimos que a massa da lança telescópica é desprezível e que ela só pode se deformar na direção axial sem curvatura O ponto O1 é onde a carga axial aplicada na extremidade da lança como mostrado na Figura 212b a rigidez axial da lança kb é dada por k b1 20 10421 1011 3 14 107 Nm kb2 10 10421 1011 3 7 107 Nm kb3 5 10421 1011 3 35 107 Nm Assim a Equação E1 dá 1 kb 1 14 107 1 7 107 1 35 107 2 107 Nm ou k kb cos 45 107 Nm A frequência natural de vibração da caçamba no sentido vertical é dada por ωn k m 10 2000 2214723 rads EXEMPLO 25 Frequência natural de sistema de polias Solução Para determinar a frequência natural determinamos a rigidez equivalente do sistema e resolvemos como um problema com um grau de liberdade Como as polias não têm atrito nem massa a tensão no cabo é constante e igual ao peso W da massa m Considerando o equilíbrio estático das polias e a massa m ver Figura 213b podemos ver que a força que age para cima sobre a polia 1 é 2W e que a força que age para baixo sobre a polia 2 é 2W O centro da polia 1 ponto A movese para cima por uma distância 2W k1 e o centro da polia 2 ponto B movese para baixo por uma distância 2W k2 Assim o movimento total da massa m ponto O é mx k1x1 0 e k1 k2 4W 4Wk1 1 k2 4Wk1 k2 k eq k1k2 4k1 k2 Se a linha OG for estendida até o ponto A de modo que GA k2Gd Quando as rodas dianteiras de um automóvel mostrado na Figura 216a batem contra uma saliência os passageiros não sentem nenhuma reação se o centro de pressão estiver localizado próximo ao eixo dianteiro Se o sistema estiver em movimento harmônico então T1 e U2 denotam os valores máximos de T e U respectivamente e a Equação 256 tornase Tmax Umax EXEMPLO 28 Efeito da massa sobre α ωn de uma mola e por consequência a Equação E2 tornase Tmáx 2 l ymax 2³ ₀ˡ 3x²l x³dx Pelas equações 266 e 265 podemos escrever c 2m c cc cc 2 ζωn Pelas equações 266 e 265 podemos escrever c 2m cc c0 ωdn e por consequência a solução tornase xt C1 eζ t ζ2 1 ωn t C2 eζ t ζ2 1 ωn t 269 Onde C1 C2 X φ e X0 φ0 são constantes arbitrárias a ser determinadas pelas condições iniciais O decremeto logarítmico δ pode ser obtido pela Equação 284 δ lnx1 x2 ζ0 ωn τd ζ0 ωn 2π ωd Variação do decremento logarítmico com amortecimento Capítulo 2 Vibração livre de sistemas com um grau de liberdade Amortecedor de choque para uma motocicleta EXEMPLO 212 Análise de um canhão O diagrama esquemático de um canhão de grande porte é mostrado na Figura 232 28 Quando a arma é disparada gases sob alta pressão aceleram o projétil no interior do cano até uma velocidade muito alta A força de reação empurra o canhão no sentido contrário ao do projétil Visto que é desejável que o canhão volte à posição de repouso no menor tempo possível sem oscilação ele é forçado a fazer uma translação para trás contra um sistema molaamortecedor criticamente amortecido denominado mecanismo de recuo Em caso particular o canhão e o mecanismo de recuo têm uma massa de 500 kg com uma mola de recuo e rígidez 10000 Nm O recuo do canhão após um disparo é 04 m Determine 1 o coeficiente de amortecimento crítico do amortecedor 2 a velocidade inicial de recuo do canhão e 3 o tempo que leva para o canhão retornar a uma posição a 01 m de sua posição inicial Solução 1 A frequência natural não amortecida do sistema é ωn km 10000500 44721 rads e o coeficiente de amortecimento crítico Equação 265 do amortecedor é cc 2mωn 250044721 44721 Nsm 2 A resposta de um sistema criticamente amortecido é dada pela Equação 278 xt C1 C2eωnt onde C1 x0 e C2 x0 ωnx0 O tempo t1 no qual xt alcança um valor máximo pode ser obtido fazendo xt 0 A diferenciação da Equação E1 dá xt C2eωnt ωnC1 C2eωnt Por consequência xt 0 dá t1 1ωnC1C2 2 A velocidade da massa pode ser obtida diferenciando o deslocamento xt Xeωnt sen ωdt como xt Xeωnt ωn sen ωdt ωd cos ωdt Quando t 0 a Equação E3 dá xt 0 x0 ωd X ωn 1 ξ² 0455034338 1 04037² 14294 ms Nesses casos x0 C1 0 por consequência a Equação E2 resulta em t1 1ωn Visto que o valor máximo de xt ou a distância de recuo é dada como xmax 04 m temos xmax xt t1 C2eωnt1 x0ωn ou x0 xmax ωn e 044472127183 48626 ms 3 Se t1 denotar o tempo que leva para o canhão voltar a uma posição a 01 m em relação a sua posição inicial temos 1 C2eωnt1 48626e44721t1 A solução da Equação E3 dá t2 08285 s 27 Vibração livre com amortecimento Coulomb Em muitos sistemas mecânicos são usados amortecedores Coulomb ou de atrito seco em razão de sua simplicidade mecânica e conveniência Embora isso sempre que os componentes de uma estrutura vibratória deslizem em relação ao outro o amortecimento por atrito aparece intermitentemente Como afirmamos na Seção 19 o amortecimento Coulomb surge quando corpos deslizam sobre superfícies secas A lei de Coulomb do atrito seco afirma que quando dois corpos estão em contato a força requerida para produzir deslizamento é proporcional à força normal que age no plano de contato Assim a força de atrito F é dada por F μN μW μmg onde N é a força normal igual ao peso da massa W mg e μ é o coeficiente de deslizamento ou atrito crítico O valor do coeficiente de atrito μ depende dos materiais em contato e da condição das superfícies em contato Por exemplo μ 01 para metal sobre metal com lubrificação 03 para metal sobre metal sem lubrificação e aproximadamente 10 para borracha sobre metal A força de atrito age na direção oposta à da velocidade O amortecimento Coulomb às vezes é denominado amortecimento constante uma vez que a força de amortecimento é independente do deslocamento e da velocidade ela depende somente da força normal N entre as superfícies deslizantes Considere um sistema com um grau de liberdade com atrito seco como mostrado na Figura 233 Uma vez que a força de atrito varia com a direção da velocidade precisamos considerar dois casos como indicado nas Figuras 233b e c Caso 1 Quando x é positivo e x é positivo ou quando x é negativo e x é negativa a equação de movimento pode ser derivada pela segunda lei de Newton ver Figura 233a kx μN mxi ou mi kx μN 2107 Esta é uma equação diferencial nãohomogênea de segunda ordem A solução pode ser verificada substituindo a Equação 2108 na Equação 2107 xt A1 cos ωnt A2 sen ωnt 2108 onde ωn km é a frequência de vibração e A1 e A2 são constantes cujos valores dependem das condições iniciais desse meiocírculo Caso 2 Quando x é positivo e x é negativa ou quando x é negativo e x é negativa isto é para o meiociclo durante o qual a massa se movimenta da direita para a esquerda a equação de movimento pode ser derivada pela segunda lei de Newton como kx μN mxi ou mi kx μN 2109 A solução da Equação 2109 é dada por xt A3 cos ωnt A4 sen ωnt 2110 onde A3 e A4 são constantes e são determinadas pelas condições iniciais desse meiociclo O termo μNk que aparece nas Equações 2108 e 2110 é uma constante que representa o deslocamento virtual da mola sob a força μN se essa fosse aplicada como uma força estática As equações 2108 e 2110 indicam que em cada meiociclo o movimento é harmônico e a posição de equilíbrio muda de μNk para μNk a cada meiociclo como mostrado na Figura 234