Lista de Exercicios Dinamica das Maquinas - Modelagem Matematica de Sistemas

para a entrega no formato pdf UNOESC UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA JOAÇABA SANTA CATARINA CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA Componente Curricular Dinâmica das Máquinas Professor Douglas Roberto Zaions Data Nota Acadêmicoa Integrantes do grupo Aluno 01 Aluno 02 3ª Lista de Exercícios Modelagem Matemática de Sistemas Sistema livre amortecido Exercício 01 Para o caso do movimento subamortecido deduzir as empressões da velocidade e aceleração passo a passo a partir da equação do movimento Exercício 02 Para o caso do movimento crítico deduzir as empressões da velocidade e aceleração passo a passo a partir da equação do movimento Exercício 03 Para o caso do movimento superamortecido deduzir as empressões da velocidade e aceleração passo a passo a partir da equação do movimento ou com as constantes Exercício 04 Elabore no Scilab um código computacional para gerar o gráfico do deslocamento velocidade e aceleração para o caso de movimento com amortecimento crítico Exercício 05 Elabore no Scilab um código computacional para gerar o gráfico do deslocamento velocidade e aceleração para o caso de movimento superamortecido Exercício 06 Elabore o gráfico do deslocamento velocidade e aceleração para o caso do sistema abaixo especificado A figura abaixo ilustra um sistema massamola livre com amortecido viscoso Exercício 04 Elabore no Scilab um código computacional para gerar o gráfico do deslocamento velocidade e aceleração para o caso de movimento com amortecimento crítico Exercício 05 Elabore no Scilab um código computacional para gerar o gráfico do deslocamento velocidade e aceleração para o caso de movimento superamortecido Exercício 06 Elabore o gráfico do deslocamento velocidade e aceleração para o caso do sistema abaixo especificado A figura abaixo ilustra um sistema massamola livre com amortecido viscoso k 1000 Nm Constante elástica m 8 kg massa c 20 Nsm Constante de amortecimento t 2 s tempo para calcular deslocamento velocidade e aceleração Condições iniciais 020 m deslocamentro inicial 000 ms velocidade inicial Para a conferência de seus dados programa apresento os resultados esperados com RESULTADO DA ANÁLISE DO SISTEMA DE TRANSLAÇÃO LIVRE AMORTECIDO 020 m deslocamento inicial 000 ms velocidade inicial ωn 1118 rads Frequência natural nãoamortecida ωd 1111 rads Frequência natural amortecida ξ 011 Fator de amortecimento t 200 s tempo para o cálculo do deslocamento velocidade e aceleração Movimento Movimento Subamortecido Gráfico de deslocamento Gráfico de velocidade Gráfico de aceleração Exercício 07 O projeto de um absorvedor de choque subamortecido para uma motocicleta de massa m deve atender as seguintes especificações 1 Quando o amortecedor estiver sujeito a uma velocidade vertical inicial devido a uma saliência na estrada a curva deslocamentotempo resultante deve ser como a indicada na figura b Pedese a Determine as constantes de rigidez e amortecimento necessárias para o amortecedor se o período de vibração for Td e a amplitude x1 tiver que ser reduzida a um quarto em um meio ciclo isto é x15x14 b Determine também a velocidade inicial mínima que resulta em um deslocamento máximo de 250 mm c Trace o diagrama de deslocamento para este sistema Dados m 200 kg Obs Veja exemplo 211 Td 2 s x 250 mm Exercício 07 O projeto de um absorvedor de choque subamortecido para uma motocicleta de massa m deve atender as seguintes especificações 1 Quando o amortecedor estiver sujeito a uma velocidade vertical inicial devido a uma saliência na estrada a curva deslocamentotempo resultante deve ser como a indicada na figura b Pedese a Determine as constantes de rigidez e amortecimento necessárias para o amortecedor se o período de vibração for Td e a amplitude x1 tiver que ser reduzida a um quarto em um meio ciclo isto é x15x14 b Determine também a velocidade inicial mínima que resulta em um deslocamento máximo de 250 mm c Trace o diagrama de deslocamento para este sistema Dados m 200 kg Obs Veja exemplo 211 Td 2 s x 250 mm Figura Amortecedor para uma motocicleta Exercício 08 O diagrama esquemático de um canhão de grande porte é ilustrado na figura a seguir Figura Recuo de um canhão de grande porte Funcionamento Quando a arma é disparada gases sob alta pressão aceleram o projétil no interior do cano até velocidades altíssimas A força de reação empurra o cano do canhão no sentido contrário ao projétil Visto que é necessário que o canhão volte na posição de equilíbrio no menor tempo possível sem oscilação ele é forçado a fazer uma translação para trás contra um sistema molaamortecedor criticamente amortecido denominado mecanismo de recuo Em um caso particular o cano do canhão e o mecanismo de recuo tem uma massa total mt com uma mola de recuo de rigidez k O recuo do canhão após disparo é de xo Pedese a O coeficiente de amortecimento crítico do amortecedor b A velocidade inicial de recuo do canhão c O tempo que leva o canhão a retornar até uma posição x1 de sua posição inicial Dados k 10000 Nm Constante elástica m 500 kg massa c Nsm Constante de amortecimento t 2 s tempo para calcular deslocamento velocidade e aceleração Condições iniciais xo 040 m deslocamento inicial xo ms velocidade inicial 4 Elabore no Scilab um código computacional para gerar o gráfico do deslocamento velocidade e aceleração para o caso de movimento com amortecimento crítico Para gerar os gráficos de deslocamento velocidade e aceleração para o caso de movimento com amortecimento crítico podemos utilizar as seguintes equações deslocamento xt A Btew0t velocidade vt Aw0 Bw0t A Btw0ew0t aceleração at Aw02 2Bw02t 2Aw0 2Bw0tew0t Onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais w0 é a frequência natural de oscilação e t é o tempo Segue abaixo o código em Scilab para gerar os gráficos clear all clf Constantes m 1 massa k 1 constante de mola c 2sqrtmk coeficiente de amortecimento crítico w0 sqrtkm frequência natural de oscilação Condições iniciais x0 1 deslocamento inicial v0 0 velocidade inicial Constantes determinadas pelas condições iniciais A x0 B v0 Aw0w0 Vetor de tempo t 000110 Deslocamento x A Btexpw0t Velocidade v Aw0 Bw0t A Btw0expw0t Aceleração a Aw02 2Bw02t 2Aw0 2Bw0texpw0t Gráficos subplot311 plottx titleDeslocamento xlabelTempo s ylabelDeslocamento m subplot312 plottv titleVelocidade xlabelTempo s ylabelVelocidade ms subplot313 plotta titleAceleração xlabelTempo s ylabelAceleração ms2 5 Elabore no Scilab um código computacional para gerar o gráfico do deslocamento velocidade e aceleração para o caso de movimento superamortecido Podemos utilizar as seguintes equações deslocamento xt c1expr1t c2expr2t velocidade vt c1r1expr1t c2r2expr2t aceleração at c1r12expr1t c2r22expr2t Onde c1 e c2 são constantes determinadas pelas condições iniciais e r1 e r2 são as raízes da equação característica do sistema Vamos lá agora segue o código em Scilab para gerar os gráficos clear all clf Constantes m 1 massa k 2 constante de mola c 4sqrtmk coeficiente de amortecimento superamortecido w0 sqrtkm frequência natural de oscilação r1 c2m sqrtc2m2 km primeira raiz r2 c2m sqrtc2m2 km segunda raiz Condições iniciais x0 1 deslocamento inicial v0 0 velocidade inicial Constantes determinadas pelas condições iniciais c1 v0 x0r2r1 r2 c2 x0 c1 Vetor de tempo t 000110 Deslocamento x c1expr1t c2expr2t Velocidade v c1r1expr1t c2r2expr2t Aceleração a c1r12expr1t c2r22expr2t Gráficos subplot311 plottx titleDeslocamento xlabelTempo s ylabelDeslocamento m subplot312 plottv titleVelocidade xlabelTempo s ylabelVelocidade ms subplot313 plotta titleAceleração xlabelTempo s ylabelAceleração ms2 1 Simplificando 8 Wn γ 1 6² Wn Wd X₀ 8 Wn X₀ 16² Wn Ω₀ xt e yt X₀ cos Wdt Ω₀ sen Wdt Derivando NTt dxt dt NTt ɣ e ɣt xoCosWdt Ω₀ sen Wdt e ɣt X₀ Woй sen Wdt Ω₀ Woй cos Wdt NTt eγt Ω₀Wdt 7x0 cosWdt yΩ₀ X₀Wdt sen Wdt NTt e ɣwnt x₀ cos 1 6² wnt ξ₀² ξ²wnx₀ X₀1 ξ²wl sen 1 6² Wnt Simplificando γ0 ξẋ0 ξ²Wn x0 x01ξ² Wn 1ξ² xt eγt x0cosWdt γ0sinWdt Derivando at dνtdt at γeγt x0cosWdt γ0sinWdt eγt x0Wd sinWdt γ0Wd cosWdt at eγt γ0Wd γx0 cosWdt γγ0 x0Wd sinWdt at e3γWt ξ²Wn²x0 x01ξ²Wn² cosWdt ξ²Wn x0 ξ³Wn² x0 x0 ξ 1ξ² Wn² 1ξ² sinWdt 2 Derivando xt ewnt c1 c2t νt dxtdt wnewnt c1 c2t ewnt c2 νt ewnt c2 Wnc1 wnc2t νt ewnt ẋ0 Wn x0 Wn x0 ẋ0 Wn Wn² x0 t νt ewnt ẋ0 ẋ0Wn Wn²x0 t Derivando at dνtdt 3 Simplificando x0Wn Wn²x0 c3 at Wnewnt ẋ0 c3 t ewnt c3 at ewnt Wnc3t Wnẋ0 c3 at ewnt ẋ0Wn x0Wn³ t Wnẋ0 Wnẋ0 Wn²x0 at ewnt 2ẋ0Wn x0Wn ẋ0Wn² x0Wn³ t 3 Derivando νt dxtdt νt c1Dneᴰ¹ªt c2D₂eᴰ²ªt Derivando at dνtdt at c1Dn²eᴰ¹ªt c2D₂²eᴰ²ªt 6 Equação do movimento mẍ cẋ kx 0 8ẍ 20ẋ 1000x 0 2ẍ 5ẋ 250x 0 Cálculo de autovalores 2² 5λ 250 0 λ 5 5² 42250 22 5 4444j 2 λ 25 2222j Solução geral xt Ae25tcos2222t Be25tsen2222t Derivando vt 25Ae25tcos2222t 2222Ae25tsen2222t 25Be25tsen2222t 2222Be25tcos2222t Condições iniciais x0 020 ẋ0 0 3 020 A11 B10 A 020 0 25A11 2222A10 25B10 2222B11 B 25020 2222 B 00225 xt 020e25tcos2222t 00225e25tsen2222t vt 222200225 2500225e25tcos2222t 2222020 2500225e25tsen2222t vt 0100005e25tcos2222t 450025e25tsen2222t Derivando at 00000525e25tcos2222t 0000052222e25tsen2222t 45002525e25tsen2222t 4500252222e25tcos2222t at 99995e25tcos2222t 112517e25tsen2222t 6 7 2do Cálculo do fator de amortecimento 1mlnx1 xn1 2πξ 1 ξ² 105lnx1 x15 2πξ 1 ξ² 105ln4 2πξ 1 ξ² 0194720 ξ² 1 ξ² ξ 0194720 1194720 ξ 0162984 ξ 04037 Frequência amortecida Wd 2π Td Wd 2π 2 Wd 31416 rads Frequência natural Wn Wd 1 ξ² Wn 31416 1 04037² Wn 31416 070061 Wn 37533 rads 7 Constante de amortecimento 2ξ Wn cm C 2ξ Wn m C 20403737533200 C 6060829 Nsm Constante de amortecimento K m W2 K 200375332 K 28174512 Nm b Equação de movimento X 2ξ Wn X Wn2 X 0 X 20403737533 X 375332 X 0 X 30304 X 140873 X 0 Autovalores λ 30304 sqrt303042 4140873 2 λ 152 343 i Solução Geral xt Ae152t cos343t Be152t sen343t Posição inicial X0 0 0 A11 B10 A0 xt Be152t sen343t Derivando vt 152Be152t sen343t 343Be152t cos343t Posição da Parada 0 152Be152t sen343t 343Be152t cos343t tg343t 343152 22566 t 11537343 t 03364 Calculando B 01250 Be15203364 sen 34303364 01250 Be051173 sen11539 01250 B0599709144 B 04559 Velocidade inicial v0 152B10 343B11 v0 34304559 v0 15637 ms 8 a Cálculo da Frequência Natural Wn sqrtKm Wn sqrt1000500 Wn 44721 rads Cálculo do Coeficiente de amortecimento C 2ξwnm C 2144721500 C 44721 NS m b Equação do Sistema e autovalores x 2wnx wn2 0 λ2 2 wn λ wn2 0 λ wn2 0 λ wn λ 44721 Solução Geral xt Ae44721t Bte44721t Posição inicial x0 0 0 A1 B01 A0 xt Bte44721t 19 Derivando xt Be44721t 44721Bte44721t Tempo de parada 0 B 44721Bt t 1 44721 t 02236 s Calculando B x02236 x0 090 B02236e4472102236 090 B02236e1 B 090e 02236 B 48628 xt 48628te44721t Velocidade inicial x0 B 1 44721B01 x0 B 20 x0 48628 ms a Deslocamento para t2 x2 486282e447212 x2 48628200001305 x2 000127 m Velocidade para t 2 x2 Be447212 447212Be447212 x2 B000013051 447212 x2 448260000130579442 x2 0004647 ms Aceleração para t2 x Bwnewnt 44721Bewnt 447212Btewnt 13 x2 B44721 44721 447212 2 010001305 x2 48628 318552 010001305 x2 001971 ms2