Lista de Exercícios - Dinâmica das Máquinas - Modelagem Matemática de Sistemas

UNOESC UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA JOACABA SANTA CATARINA CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA Componente Curricular Dinâmica das Máquinas Professor Douglas Roberto Zaions Data Nota Acadêmicoa Integrantes do grupo Aluno 01 Aluno 02 2ª Lista de Exercícios Modelagem Matemática de Sistemas Sistema livre e não amortecido Exercício 01 Deduz a equação do movimento de um pêndulo simples considerando pequenas amplitudes de movimento para um sistema livre e não amortecido Faça a dedução considerando Ftmat somatório das forças tancençiais é igual a massa x aceleração tangencial Obs Você encontrará o apoio necessário para a dedução nas notas de aula referente ao pêndulo simples Assista ao vídeo pois ele apresenta as passagens e explicações necessárias Considere que a posição angular é dada pela equação S l θ de modo que derivando esta equação duas vezes em relação ao tempo obtense que at l θ Apresente todas as passagens referentes a dedução no seu arquivo pdf de entrega Também identifique a alternativa que represente a equação do movimento de um pêndulo simple livre e não amortecido Exercício 02 Um pêndulo composto é qualquer corpo rígido articulado em um ponto que não seja o seu centro de massa e que oscila em relação ao ponto de articulação sob sua proópia força gravitacional A figura a seguir é uma ilustração do RAO 2011 Pedese Baseado na figura deduza a equação do movimento para um pêndulo composto livre e não amortecido Considere que MGMGefet Wsenθd Torque Obs Você encontrará o apoio necessário para a dedução nas notas de aula referente ao pêndulo composto e no livro do RAO2011 Assista ao vídeo pois ele apresenta as passagens e explicações necessárias Apresente todas as passagens referentes a dedução no seu arquivo pdf de entrega Também identifique a alternativa que represente a equação do movimento de um pêndulo composto livre e não amortecido Exercício 03 Adaptado do exemplo 115 RAO 2008 Uma massa está sujeita a dois movimentos harmônicos dados por x1t X cos ωt e x2t X cosω δt onde X 10 mm Amplitude do movimento w 20 rads frequência do movimento δ 1 rads Uma pequena diferença entre as frequências de movimento Um pouquinho de teoria Batimento Quando dois movimentos harmônicos cujas frequências estão bem próximas uma da outra são somados o movimento resultante exibe um fenômeno conhecido como batimento O período s de batimento é determinado pela expressão τb 2πδ Represente o movimento resultante da massa em um gráfico usando o SCILAB e identifique a frequência de batimento em rads e hertz Exercício 04 Um bloco de massa m esta suspenso por um conjunto de molas que apresentam uma constante elástica equivalente Keq conforme ilustrado na figura abaixo Se o bloco é deslocado verticalmente para baixo de sua posição de equilíbrio e liberado pedese A aceleração no tempo t se o deslocamento inicial é x₀ e a velocidade inicial é x₀ Dados m 20 kg keq 200 Nm x₀ 010 m x₀ 000 ms t 13 s Obs para um sistema massamola a solução da equação do movimento é dada pela seguinte expressão xt A₁ cos ωₙt A₂ sen ωₙt onde pelas condições de contorno temse A₁ x₀ e A₂ x₀ ωₙ OBS Resposta com valores aproximados Exercício 05 Uma pequena massa esta presa a uma corda de comprimento l e é liberada do repouso em θA Pedese A frequência natural em hertz entre B e C Dados l 1 m d 04 m θA 10 m 200 kg t s OBS Resposta com valores aproximados Obs A solução é baseada no Video 8 disponível na trilha da aula Exercício 06 Um orifício de raio r é aberto em um disco de espessura uniforme de raio R Este disco gira sem atrito sob uma articulação O em seu centro geométrico Em um exercício um aluno de Engenharia deduziu a expressão do movimento para este sistema chegando à seguinte equação diferencial mR² 2 m r² 2 m x² θ m g x θ Pedese Calcule o período de vibração natural do sistema em segundos Dados R 350 mm r 500 mm x 1100 mm m 15 kg Exercício 07 Um barra de seção uniforme de peso P e comprimento L é suportada por um pino em seu ponto de giro C e esta presa a uma mola de constante elástica k A expressão do movimento para este sistema foi deduzida e corresponde à Jo θ kL4 θ 0 Pedese Calcule o período de vibração natural do sistema em segundos Dados P 50 N k 200 Nm L 10 m Exercício 08 Um pneu e roda de um automóvel estão suspensos por uma haste de diâmetro d e comprimento l Quando na roda é dada um deslocamento angular e é solta ela realiza Xosc oscilações em t segundos A expressão do movimento foi deduzida e corresponde à θ kt Jo θ 0 Pedese Determine o momento de inércia polar Jo do conjunto roda e pneu Algumas fórmulas J π d⁴ 32 f ωₙ 2 π kt GJ l τ 1 f Dados d 7 mm 00070 m l 200 m comprimento da haste Xosc 15 oscilações t 400 segundos G 80 GPa Exercício 09 Uma pequena massa esta presa a uma corda de comprimento l e é liberada do repouso em θA Determine a O comprimento l do pêndulo necessário para que a massa desloquese do ponto A para o ponto B em t segundos Obs admitir que não há amortecimento no sistema Dados l m θA m 200 kg t 10 s Fórmulas ωₙ g l ωₙ k m f ωₙ 2 π τ 1 f Obs A solução é baseada no Video 7 disponível na trilha da aula Exercício 10 Uma pequena massa esta presa a uma corda de comprimento l e é liberada do repouso em θA Pedese a Determine a dimensão d para a qual a massa retorne ao ponto A em t segundos Dados l 15 m θA 5 t 2 s algumas fórmulas ωn sqrtkm ωn sqrtgl f ωn 2π τ 1f Obs A solução é baseada no Video 9 disponível na trilha da aula Exercício 11 Leia a afirmativa abaixo A solução xt A1 cos ωn t A2 sen ωn t é uma solução de m x k x 0 onde ωn km12 representa a frequência natural do sistema Avalie a afirmativa acima verdadeiro ou falso Prove sua resposta Exercício 12 Leia a afirmativa abaixo Introduzindo A1 A cos ϕ e A2 A sen ϕ na equação xt A1 cos ωn t A2 sen ωn t obtemse xt A cosωn t ϕ Avalie a afirmativa acima verdadeiro ou falso Prove sua resposta através de dedução matematica Exercício 13 Para as expressões matemática do exercício 4 pêndulo composto e considerando as variáveis do problema elabore um código computacional no SCILAB para apresentar os gráficos de deslocamento velocidade e aceleração Apresente o código computacional desenvolvido e os gráficos gerados para um caso definido por você 1 Σ Ft m at m g ln θ m x Para pequenas oscilações x l θ e l n θ θ m l θ m g θ 0 Digitalizado com CamScanner θ g θ 0 l 2 Σ Mo Io α m g sen θ d Io θ Ig m d 2 θ m g sen θ d 0 Para pequenas oscilações sen θ θ Ig m d 2 θ m g d θ 0 Onde Ig momento de inercia do pêndulo em relação a G 4 xt x0 cos wn t x0 sen wn t wn xt x0 wn sen wn t xo cos wn t xt x0 wn2 cos wn t x0 wn sen wn t x13 01 20 20 cos 20 13 00267 ms² 5 Σ Mo Io θc mg sen θc l d m l d 2 θc m l d θc m g θc 0 θc g θc 0 l d wn g l d 981 1 04 wn 404 rads wn 404 Hz 2π wn 0643 Hz 6 m R2 2 m r2 2 m x2 θ m g x θ 0 15 0352 2 15 0052 2 15 0112 15 981 011 θ 0 007185 θ 161865 θ 0 wn 161865 007185 wn 4746 rads f 4746 Hz 0755 Hz 2π T 1 f 1 0755 T 13235 7 Jo θ K l θ 0 4 mg P m 981 50 m 5096 kg Jo m r2 2 5096 052 2 Jo 0637 kgm2 0637θ 201θ 0 4 0637θ 5θ 0 wn 50637 28 rads T 2πwn 2π28 T 2045 3 f 1540 0375 Hz wn 2πf 2π0375 wn 2356 rads J πd⁴32 π0007⁴32 J 23571010 kgm² kt 8010⁹235710102 kt 9428 Nm wn ktJo 2356 9428Jo Jo 16985 kgm² 9 θ gl θ 0 wn gl θt θAcos wnt 0 θAcos gl 1 gl 1 π2 981l 157 l 3976 m 10 θt θAcos wn t θt θAwnsin wn t 0 0087cos wn t gl t₁ π2 93115 t₁ 157 t₁ 0614 s t 2t₁ T2 T2 2 20614 T 1544 s wn 2πT 2π1544 wn 4068 rads wn gld 98115d 4063 d 0907 m 11 xt A1 cos wnt A2 sen wnt dotxt A1 wn sen wnt A2 wn cos wnt ddotxt A1 wn 2 cos wnt A2 wn 2 sen wnt Substituindo na equação de movimento m A1 wn 2 cos wnt m A2 wn 2 sen wnt k A1 cos wnt k A2 sen wnt 0 0 m A1 wn 2 k A1 cos wnt m A2 wn 2 k A2 sen wnt 0 m A1 k k A1 cos wnt m A2 k k A2 sen wnt 0 0 verdadeiro 12 xt A cos φ cos wnt A sen φ sen wnt xt A cos φ cos wnt sen φ sen wnt Pela soma e diferença do cosseno xt A cos wnt φ 3 Código em Scilab tinicial00 Dt001 tfinal160 ttinicialDttfinal x1 10cos20t x2 10cos21t xx1x2 plottx Gráfico Período 2pi1 628s 13 Pêndulo composto m 1 kg d 05 m g 981 ms² Ig 3 kgm² Código em Scilab m 1 d 05 g 981 Ig 3 meq Ig md2 keq mgd wn sqrtkeqmeq xop 0 xo 0174 tinicial 00 Dt 001 tfinal200 t tinicialDttfinal x xocoswnt xp xownsinwnt xppxown2coswnt plottx plottxp plottxpp Gráfico posição Gráfico velocidade Gráfico aceleração