Lista de Exercicios Dinamica das Maquinas - Modelagem Matematica de Sistemas

UNOESC UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA JOACABA SANTA CATARINA CIENCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA Componente Curricular Dinâmica das Máquinas Professor Douglas Roberto Zaions Data Nota Acadêmicoa Integrantes do grupo Aluno 01 Aluno 02 2ª Lista de Exercícios Modelagem Matemática de Sistemas Sistema livre e não amortecido Exercício 01 Deduz a equação do movimento de um pêndulo simples considerando pequenas amplitudes de movimento para um sistema livre e não amortecido Faça a dedução considerando 𝐹𝑡𝑚𝑎𝑡 somatório das forças tancenciais é igual a massa x aceleração tangencial Obs Você encontrará o apoio necessário para a dedução nas notas de aula referente ao pêndulo simples Assista ao vídeo pois ele apresenta as passagens e explicações necessárias Considere que a posição angular é dada pela equação 𝑆𝑙𝜃 de modo que derivando esta equação duas vezes em relação ao tempo obtense que 𝑎𝑡𝑙𝜃 Apresente todas as passagens referentes a dedução no seu arquivo pdf de entrega Também identifique a alternativa que represente a equação do movimento de um pêndulo simple livre e não amortecido Exercício 02 Um pêndulo composto é qualquer corpo rígido articulado em um ponto que não seja o seu centro de massa e que oscila em relação ao ponto de articulação sob sua própria força gravitacional A figura a seguir é uma ilustração do RAO 2011 Pedese Baseado na figura deduza a equação do movimento para um pêndulo composto livre e não amortecido Considere que 𝑀𝐺𝑀𝐺𝑒𝑓𝑒𝑡 𝑊𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑 𝑇𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 Obs Você encontrará o apoio necessário para a dedução nas notas de aula referente ao pêndulo composto e no livro do RAO2011 Assista ao vídeo pois ele apresenta as passagens e explicações necessárias Apresente todas as passagens referentes a dedução no seu arquivo pdf de entrega Também identifique a alternativa que represente a equação do movimento de um pêndulo composto livre e não amortecido Exercício 03 Adaptado do exemplo 115 RAO 2008 Uma massa está sujeita a dois movimentos harmônicos dados por 𝑥1𝑡𝑋 cos 𝜔𝑡 e 𝑥2𝑡𝑋 cos𝜔𝛿𝑡 onde X 10 mm Amplitude do movimento w 20 rads frequência do movimento δ 1 rads Uma pequena diferença entre as frequências de movimento Um pouquinho de teoria Batimento Quando dois movimentos harmônicos cujas frequências estão bem próximas uma da outra são somados o movimento resultante exibe um fenômeno conhecido como batimento O período s de batimento é determinado pela expressão 𝜏b2𝜋𝛿 Represente o movimento resultante da massa em um gráfico usando o SCILAB e identifique a frequência de batimento em rads e hertz Exercício 04 Um bloco de massa m esta suspenso por um conjunto de molas que apresentam uma constante elástica equivalente Keq conforme ilustrado na figura abaixo Se o bloco é deslocado verticalmente para baixo de sua posição de equilíbrio e liberado pedese A aceleração no tempo t se o deslocamento inicial é x0 e a velocidade inicial é x0 Dados m 20 kg keq 200 Nm x0 010 m x0 000 ms t 13 s Obs para um sistema massamola a solução da equação do movimento é dada pela seguinte expressão xt A1 cos ωn t A2 sen ωn t onde pelas condições de contorno temse A1 x0 e A2 x0ωn OBS Resposta com valores aproximados Exercício 05 Uma pequena massa esta presa a uma corda de comprimento l e é liberada do repouso em θA Pedese A frequência natural em hertz entre B e C Dados l 1 m d 04 m θA 10º m 200 kg t s OBS Resposta com valores aproximados Obs A solução é baseada no Video 8 disponível na trilha da aula Exercício 06 Um orifício de raio r é aberto em um disco de espessura uniforme de raio R Este disco gira sem atrito sob uma articulação O em seu centro geométrico Em um exercício um aluno de Engenharia deduziu a expressão do movimento para este sistema chegando à seguinte equação diferencial mR²2 mr²2 mx²θ mgxθ Pedese Calcule o período de vibração natural do sistema em segundos Dados R 350 mm r 500 mm x 1100 mm m 15 kg Exercício 07 Um barra de seção uniforme de peso P e comprimento L é suportada por um pino em seu ponto de giro C e esta presa a uma mola de constante elástica k A expressão do movimento para este sistema foi deduzida e corresponde à Joθ kL4 θ 0 Pedese Calcule o período de vibração natural do sistema em segundos Dados P 50 N k 200 Nm L 10 m Exercício 08 Um pneu e roda de um automóvel estão suspensos por uma haste de diâmetro d e comprimento l Quando na roda é dada um deslocamento angular e é solta ela realiza Xosc oscilações em t segundos A expressão do movimento foi deduzida e corresponde à θ ktJo θ 0 Pedese Determine o momento de inércia polar Jo do conjunto roda e pneu Algumas fórmulas J πd4 32 f ωn 2π kt GJ l τ 1 f Dados d 7 mm 00070 m l 200 m comprimento da haste Xosc 15 oscilações t 400 segundos G 80 GPa Exercício 09 Uma pequena massa esta presa a uma corda de comprimento l e é liberada do repouso em θA Determine a O comprimento l do pêndulo necessário para que a massa desloquese do ponto A para o ponto B em t segundos Obs admitir que não há amortecimento no sistema Dados l m θA º m 200 kg t 10 s Fórmulas ωn gl ωn km f ωn 2π τ 1 f Obs A solução é baseada no Video 7 disponível na trilha da aula Exercício 10 Uma pequena massa esta presa a uma corda de comprimento l e é liberada do repouso em thetaA Pedese a Determine a dimensão d para a qual a massa retorne ao ponto A em t segundos Dados l 15 m thetaA 5 t 2 s algumas fórmulas wnsqrtkm wnsqrtgl fwn2pi tau1f Obs A solução é baseada no Video 9 disponível na trilha da aula Exercício 11 Leia a afirmativa abaixo A solução xt A1 cos omegan t A2 sen omegan t é uma solução de mx kx 0 onde omegan km12 representa a frequência natural do sistema Avalie a afirmativa acima verdadeiro ou falso Prove sua resposta Exercício 12 Leia a afirmativa abaixo Introduzindo A1 A cos phi e A2 A sen phi na equação xt A1 cos omegan t A2 sen omegan t obtémse xt A cos omegan t phi Avalie a afirmativa acima verdadeiro ou falso Prove sua resposta através de dedução matematica Exercício 13 Para as expressões matemática do exercício 4 pêndulo composto e considerando as variáveis do problema elabore um código computacional no SCILAB para apresentar os gráficos de deslocamento velocidade e aceleração Apresente o código computacional desenvolvido e os gráficos gerados para um caso definido por você Um pêndulo composto consiste de um corpo rígido de massa M suspenso por um eixo fixo a uma distância L do centro de massa do corpo O pêndulo oscila em torno do ponto de equilíbrio na vertical Para deduzir a equação de movimento para um pêndulo composto livre e não amortecido podemos aplicar a segunda lei de Newton para rotações A força resultante que atua no corpo rígido é a força peso mg e a força de tensão T na corda A componente tangencial da força de tensão é responsável pela aceleração angular do pêndulo A força resultante tangencial é dada pela seguinte equação sinFresmgsinθIa onde heta é o ângulo que a corda faz com a vertical I é o momento de inércia do pêndulo em relação ao eixo de rotação e alpha é a aceleração angular O momento de inércia de um corpo rígido depende da sua forma e distribuição de massa Para um pêndulo composto o momento de inércia é dado por Σ12li1nmiri2 onde mi é a massa da iésima partícula do pêndulo e ri é a distância da partícula ao eixo de rotação Podemos usar a aproximação de pequenos ângulos onde sin heta approx heta para simplificar a equação de movimento 22mgθIaIdt2d2θ Assim a equação de movimento para um pêndulo composto livre e não amortecido é 220dt2d2θImgθ0 Essa equação diferencial pode ser resolvida para obter a solução para a posição angular do pêndulo em função do tempo A solução é dada por cosθtAcosImgtφ onde A e phi são constantes determinadas pelas condições iniciais do movimento A frequência natural de oscilação do pêndulo composto é dada por 012f02π1Img A equação de movimento para um pêndulo composto livre e não amortecido é uma equação diferencial de segunda ordem que descreve o movimento harmônico simples do pêndulo em torno do ponto de equilíbrio