Lista de Exercícios - Dinâmica das Máquinas - Modelagem Matemática de Sistemas com Excitação Harmônica

UNOESC UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA JOACAABA SANTA CATARINA CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA Componente Curricular Dinâmica das Máquinas Professor Douglas Roberto Zaions Data Nota Acadêmicoa Acadêmicoa Integrantes do grupo Aluno 01 Aluno 02 4ª Lista de Exercícios Modelagem Matemática de Sistemas Sistema excitado harmonicamente nãoamortecido e amortecido Exercício 1 Placa de suporte de uma bomba Sistema excitado nãoamortecido Uma bomba alternativa com peso W é montada em uma placa de aço com uma espessura e largurua l e comprimento c Esta placa é presa pelas suas bordas a estrutura principal por duas braçadeiras Durante a operação da bomba a placa é sujeita a uma força harmônica F F1coswt Newton Dados W 66723 N e 127 mm c 2540 mm l 50800 mm F1 22241 N w 62832 rads E 2068 GPa Pedese Determine a amplitude de vibração da placa Exercício 2 Resposta total de um sistema Sistema excitado amortecido Um bloco de massa m esta suspenso por um conjunto de molas que apresentam uma constante elástica equivalente K um amortecimento equivalente c conforme ilustrado na figura abaixo As condições iniciais são o deslocamento inicial é xₒ e a velocidade inicial é ẋₒ Dados m 10 kg k 40000 Nm c 200 Nsm xₒ 001 m ẋₒ 000 ms Pedese a Calcular a resposta total do sistema quando Ft 100 cos 10 t Newtons b Calcular a resposta total do sistema quando Ft 0 Exercício 03 Sistema excitado amortecido A expressões indicadas abaixo equação 330 e 331 do Rao2011 conforme sugerido pela literatura técnica de maneira geral representam respectivamente o fator de amplificação ou fator de ampliação ou coeficiente de amplificação M e o ângulo de fase ϕ M Xδst representa a relação entre a amplitude do movimento e a deformação associada a deflexão sob força estática Fo ϕ representa o ângulo de fase entre a solução particular xp e a força excitante A figura a seguir ilustra a função forçante e a resposta resposta particular A figura a seguir mostra a variação de M e ϕ em relação a razão de frequencias r Pedese Apresente as 7 caratcterísticas que podem ser observadas nos gráficos e equações que são citadas na página 107 do Rao 2011 Obs Usando a impressão da propria folha faça anotações use setas destaque enfim use sua criatividade Exercício 04 Veículo em movimento em estrada irregular Sistema excitado amortecido movimento de base A figura abaixo mostra um modelo simples de um veículo automotor que pode vibrar no sentido vertical quando percorre uma estrada irregular O veículo tem uma massa m e a suspensão apresenta uma constante elástica equivalente k O fator de amortecimento do sistema é ζ O veículo se desloca na estrada a uma velocidade v O leito da estrada apresenta uma variação senoidal com uma amplitudeY e comprimento de onda λ Dados m 1200 kg k 4000000 Nm ζ 05 Y 005 m λ 600 m v 20 Kmh Pedese Determine a amplitude de vibração do veículo Exercício 05 Máquina sobre fundação resiliente Sistema excitado amortecido movimento de base Uma máquina pesando W esta apoiada sobre uma fundação resiliente A deflexão estática da fundação devido ao peso da máquina W é Observase que a máquina vibra com uma amplitude X quando a base da fundação submetida a oscilação harmônica na frequência natural amortecida wd com uma amplitude Y Dados do problema W 3000 N δst 750 mm X 100 mm Y 250 mm Pedese a A constante de amortecimento da fundação b A amplitude da força dinâmica na base c A amplitude do deslocamento da máquina em relação a base Exercício 06 Turbina hidráulica Francis Sistema excitado amortecido desbalanceamento rotativo O diagrama esquemático de uma turbina hidráulica Francis é mostrado na figura abaixo A água ecoa de A para B e desce até a calha de descarga C O rotor tem uma massa m e uma massa desbalanceada de me A folga radia entre o rotor e estator é f A turbina funciona na faixa de velocidade de n1a n2 Podese admitir que um eixo de aço suporta o rotor e este é amparado pelos mancais da máquina Dados do problema m 250 kg me 50 kgmm f 50 mm n₁ 6000 rpm n₂ 60000 rpm l 2 mm d Ver exemplo 35 RAO2011 Pedese A Determine o diâmetro do eixo de modo que o rotor fique sempre afastado do estator em todas as velocidades de operação da turbina Exercício 07 Resposta de vibração livre de um sistema com dois graus de liberdade Determine a resposta de vibração livre do sistema apresentado na figura abaixo com k1 30 k2 5 k3 0 m1 10 m2 1 e c1 c2 c3 0 a partir das seguintes condições de contorno x10 1 v1 0 0 x20 0 e v2 0 0 Ver exemplo 53 RAO2011 This page is blank and contains no text 1 Calculando inicialmente o momento de inércia da barra I bh³12 25400127³12 I 433510⁷⁴ m⁴ A rigidez a flexão da viga será K 192EIl³ 192206810⁹433510⁷0508³ K 1312954657 Nm A massa da placa é m Wg 66723981 m 6801 Kg Frequência natural ωn Km 13129546576801 ωn 138943 rads A amplitude da vibração será X Fok mω² 222411312954657 680162832² X 169710⁷ m 2 a Pelos dados fornecidos wn sqrtkm sqrt400010 wn 20 rads dst FoK 1004000 dst 0025m zeta C Cc 20 2 sqrt104000 zeta 005 wd Wn sqrt1 zeta2 20 sqrt1 0052 wd 19975 rads r wwn 1020 05 X dst sqrt1r22 2 zeta r2 X 0025 sqrt1 0522 2005052 X 0033 m phi tg12 zeta r 1r2 tg1200505 1052 phi 3814 x0 X0cos phi0 Xcos phi 001 X0cos phi0 003309977 X0cos phi0 00231 x0 zetawnX0cos phi0 wdX0sen phi0 wXsen phi 0 00520X0cos phi0 19975X0sen phi0 10003300679 0 00231 19975X0sen phi0 00224 X0sen phi0 2278103 X0sen phi0 2278103 X0cos phi0 00231 phi0 5586 X0 0023 xt 0023 et cos 19975t 5586 0033 cos 10t 3814 b Calculando X0 X0 sqrtx02 zetawnx0 wd2 X0 sqrt0012 00520001 199752 X0 001 m phi0 tg1x0 zetawnx0 wdx0 phi0 tg100520001 19975001 phi0 2366 3 As seguintes características são apresentadas na página 107 do livro do Rao 1 O valor máximo de X quando r sqrt1 2zeta2 é dado por Xdstmax 1 2 zeta sqrt1 zeta2 e o valor de X em wwn por Xdstwwn 1 2 zeta 2 Para zeta 1 sqrt2 dMdr 0 quando r0 Para zeta 1 sqrt2 o gráfico de M decresce monotonicamente com valores crescentes de r 3 Para um sistema não amortecido zeta 0 a equação 331 mostra que o ângulo de fase é 0 para 0 r 1 e 180 para r 1 Isso implica que a excitação e a resposta estão em fase para 0 r 1 e fora de fase para r 1 quando zeta 0 4 Para zeta 0 e 0 r 1 o ângulo de fase é dado por 0 phi 90 o que implica que a resposta se atrasa em relação à excitação 5 Para zeta 0 e r 1 o ângulo de fase é dado por 90 phi 180 o que implica que a resposta se adianta em relação à excitação 6 Para zeta 0 e r 1 o ângulo de fase é dado phi 90 o que implica que a diferença de fase entre a excitação e a resposta é 90 7 Para zeta 0 e valores grandes de r o ângulo de fase aproximase de 180 o que implica que a resposta e a excitação estão fora de fase 4 Frequência de excitação da base w 2πf 2π v 1000 3600 16 w 2π 20 1000 3600 16 w 5818 rads Frequência natural wn sqrtkm sqrt4001031200 wn 182574 rads Razão de frequências r r w wn 5818 182574 r 0318 Amplitude da vibração X Y sqrt12ξβr2 1r22 2ξβr2 X 005 sqrt120503182 1031822 20503182 X 00734 m 5 a Para w wn e r 1 X Y 0010 00025 4 sqrt12ξβ2 2ξβ2 ξβ 01291 c ξβ cc ξβ 2 sqrtmk c 01291 2 sqrt3000 40000 981 c 9030512 Nsm b Ft Y K sqrt14 ξβ2 4 ξβ2 Ft K X 40000 0010 Ft 400 N c Z Y 2 ξβ 00025 2 01291 Z 000968 m 6 A faixa de valores de w será dada por 600 rpm 600 2π 60 20π rads 6000 rpm 6000 2π 60 200π rads A partir da eq X m e w2 K M w2 A frequência natural é dada por wn sqrtkM sqrtk250 0625 sqrtk rads Para w 20π rads 0005 5 103 k 20π2 1 20π2 0004 k 2π2 k 105 π2 k 1004 104 π2 Nm Para w 200π rads 0005 5 103 k 200π2 1 200π2 0004 k 200π2 k 10 π2 k 1004 106 π2 Nm Fazendo r w grande wn wn deve ser pequeno Usase o menor valor de k 1004 104 π2 Nm Assim K 3 E I l3 3 E l3 π d4 64 d4 64 K l3 3 π E d 01270 m 127 mm 7 Problema do autovalor m1w2k1k2 k2 k2 m2w2k2k3 x1 x2 0 0 10w235 5 5 w25 x1 x2 0 0 Calculando o determinante da matriz de coeficientes 10w485w21500 Resolvendo w1225 w2260 w115811 rads w224495 rads Substituindo w12 na primeira equação 10x15x20 x22x1 Substituindo w22 na primeira equação 25x15x20 x25x1 Modos normais autovetores X1 1 2 X11 X2 1 5 X12 Resposta à vibração livre x1tX11 cos15811tφ1X12 cos24495 tφ2 x2t2X11 cos15811tφ15X12 cos24495tφ2 Condições iniciais x1 t0 1 X11 cos φ1 X12 cos φ2 x2 t0 0 2X11 cos φ1 5X12 cos φ2 ẋ1 t0 0 15811X11 sen φ1 24495X12 sen φ2 ẋ2 t0 0 31622X11 sen φ1 122475X12 sen φ2 Solução X11 cos φ1 57 X12 cos φ2 27 X11 sen φ1 0 X12 sen φ2 0 Resolvendo X11 57 X12 27 φ10 φ20 Resposta x1t 57 cos15811t 27 cos24495 t x2t 107 cos15811 t 107 cos24495 t