Cinemática Tridimensional de Corpo Rígido - Dinâmica EM404 Unicamp

Cinemática tridimensional de corpo rígido EM404 Dinâmica Prof Dr Jony Javorski Eckert Jonyunicampbr Departamento de Sistemas Integrados Faculdade de Engenharia Mecânica Universidade Estadual de Campinas Campinas 2024 É importante que a ordem das rotações componentes em um corpo rígido sejam mantidas Rotações 2 É importante que a ordem das rotações componentes em um corpo rígido sejam mantidas Rotações 3 O teorema de Euler estabelece que duas rotações em torno de eixos diferentes que passam através de um ponto são equivalentes a uma única rotação resultante em torno de um eixo que passa pelo mesmo ponto Teorema de Euler 4 Quando se definem os movimentos angulares de um corpo submetido a um movimento tridimensional apenas rotações infinitesimais devem ser consideradas Se impusermos duas rotações 𝑑𝑑 𝜃𝜃1 𝑑𝑑 𝜃𝜃2 ao corpo é visto que o ponto P se desloca ao longo da trajetória 𝑑𝑑 𝜃𝜃1 𝑟𝑟 𝑑𝑑 𝜃𝜃2 𝑟𝑟 e termina em P Se as duas rotações sucessivas tivessem ocorrido na ordem 𝑑𝑑 𝜃𝜃2 𝑑𝑑 𝜃𝜃1 Os deslocamentos resultantes de P teriam sido 𝑑𝑑 𝜃𝜃2 𝑟𝑟 𝑑𝑑 𝜃𝜃1 𝑟𝑟 Teorema de Euler 5 Lei distributiva para produto vetorial 𝑑𝑑 𝜃𝜃2 𝑑𝑑 𝜃𝜃1 𝑟𝑟 𝑑𝑑 𝜃𝜃1 𝑑𝑑 𝜃𝜃2 𝑟𝑟 Rotações infinitesimais 𝑑𝑑 𝜃𝜃 são vetores visto que essas quantidades têm tanto uma intensidade quanto uma direção para a qual a ordem da adição vetorial não é importante 𝑑𝑑 𝜃𝜃2 𝑑𝑑 𝜃𝜃1 𝑑𝑑 𝜃𝜃1 𝑑𝑑 𝜃𝜃2 As duas rotações 𝑑𝑑 𝜃𝜃1 e 𝑑𝑑 𝜃𝜃2 são equivalentes a uma única rotação resultante 𝑑𝑑 𝜃𝜃 𝑑𝑑 𝜃𝜃2 𝑑𝑑 𝜃𝜃1 Se o corpo está sujeito a uma rotação angular 𝑑𝑑 𝜃𝜃 em torno de um ponto fixo a velocidade angular do corpo é definida pela derivada temporal Velocidade angular 6 𝜔𝜔 𝑑𝑑 𝜃𝜃 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜃𝜃 A direção de 𝜔𝜔 é colinear com 𝑑𝑑 𝜃𝜃 é referida como o eixo instantâneo de rotação Em geral esse eixo varia a direção durante cada instante de tempo 𝜔𝜔 𝜔𝜔1 𝜔𝜔2 𝜔𝜔1 𝜃𝜃1 𝜔𝜔2 𝜃𝜃2 A aceleração angular do corpo é determinada a partir da derivada temporal de sua velocidade angular Aceleração angular 7 𝛼𝛼 𝑑𝑑𝜔𝜔 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜔𝜔 Assim que 𝜔𝜔 é especificado a velocidade de qualquer ponto sobre um corpo que gira em torno de um ponto fixo pode ser determinada Velocidade 𝑣𝑣 𝜔𝜔 𝑟𝑟 Se 𝜔𝜔 e 𝛼𝛼 são conhecidos em um dado instante a aceleração de um ponto pode ser obtida a partir da derivada de 𝑣𝑣 𝜔𝜔 𝑟𝑟 Aceleração 𝑎𝑎 𝛼𝛼 𝑟𝑟 𝜔𝜔 𝜔𝜔 𝑟𝑟 Derivada temporal de um vetor medido a partir de um sistema fixo ou de um sistema transladando e rotacionando 8 Derivada temporal de um vetor medido a partir de um sistema fixo ou de um sistema transladando e rotacionando ω ωs ωp α dωdt dωs ωpdt α dωsĵ ωp kdt α dωsdtĵ ωs dĵdt dωpdtk ωp dkdt Eixo instantâneo de rotação Derivada temporal de um vetor medido a partir de um sistema fixo ou de um sistema transladando e rotacionando 10 Derivada temporal de um vetor medido a partir de um sistema fixo ou de um sistema transladando e rotacionando 11 Derivada temporal de um vetor medido a partir de um sistema fixo ou de um sistema transladando e rotacionando 12 𝑑𝑑 𝚤𝚤 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝜃𝜃 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝚥𝚥 Ω 𝚥𝚥 𝑑𝑑 𝚥𝚥 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝜃𝜃 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝚤𝚤 Ω 𝚤𝚤 𝑑𝑑 𝚤𝚤 𝑑𝑑𝑑𝑑 Ω 𝚤𝚤 𝑑𝑑 𝚥𝚥 𝑑𝑑𝑑𝑑 Ω 𝚥𝚥 Exemplo 1 13 O disco mostrado na Figura gira em torno de seu eixo com velocidade angular constante 𝜔𝜔𝑠𝑠 3 rads enquanto a plataforma horizontal sobre a qual o disco está montado gira em torno do eixo vertical a uma taxa constante 𝜔𝜔𝑝𝑝 1 rads Determine a aceleração angular do disco e a velocidade e aceleração do ponto A sobre o disco quando ele está na posição mostrada 14 Em um dado instante a antena tem movimento angular 𝜔𝜔1 3 rads e 𝜔𝜔1 2 rads² em torno do eixo z Nesse mesmo instante 𝜃𝜃 30º o movimento angular em torno do eixo x é 𝜔𝜔2 15 rads e 𝜔𝜔2 4 rads² Determine a velocidade e a aceleração do mastro receptor A nesse instante A distância de O até A é d 1 m Exemplo 2 Movimento geral tridimensional de corpos rígidos 15 𝑎𝑎𝐵𝐵 𝑎𝑎𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝑟𝑟𝐵𝐵𝐴𝐴 𝜔𝜔 𝜔𝜔 𝑟𝑟𝐵𝐵𝐴𝐴 𝑣𝑣𝐵𝐵 𝑣𝑣𝐴𝐴 𝜔𝜔 𝑟𝑟𝐵𝐵𝐴𝐴 𝑎𝑎𝐵𝐵𝐴𝐴 𝑛𝑛 𝜔𝜔2 𝑟𝑟𝐵𝐵𝐴𝐴 Aplicado somente em 2D com rotações em torno do eixo z e vetor posição xy Aceleração Velocidade Produto vetorial A B i j k Ax Ay Az Bx By Bz Para o elemento i i j k Ax Ay Az Bx By Bz iAy Bz Az By Lembrese do sinal negativo Para o elemento j i j k Ax Ay Az Bx By Bz jAx Bz Az Bx Para o elemento k i j k Ax Ay Az Bx By Bz kAx By Ay Bx Se o anel em C se desloca na direção de B com uma velocidade de 3 ms determine a velocidade do anel em D e a velocidade angular da barra no instante mostrado A barra está conectada aos anéis nas suas extremidades por juntas esféricas 17 Exemplo 3 Uma quarta equação pode ser escrita se a direção de 𝜔𝜔 for especificada Qualquer componente de 𝜔𝜔 que atue ao longo do eixo da barra não tem efeito sobre o deslocamento dos anéis Condição de contorno Juntas Esféricas 18 Condição de contorno Juntas Esféricas 19 𝑣𝑣𝐵𝐵 0 𝑣𝑣𝐴𝐴 0 𝜔𝜔𝐴𝐴𝐵𝐵 𝜔𝜔𝐴𝐴𝐵𝐵 A rotação da Barra AB em torno dela mesma não interfere na posição das guias A e B Condição de contorno Juntas Esféricas Isso ocorre porque a barra é livre para girar em torno de seu eixo Portanto se ω é especificado como atuando perpendicular ao eixo da barra então ω tem de ter uma intensidade única para satisfazer às equações anteriores ω rDC 0 Produto escalar entre os vetores 0 Indica perpendicularidade entre eles ω rDC ωx i ωy j ωz k 1i 2j 05k 0 1ωx 2ωy 05ωz 0 Produto escalar O produto escalar entre dois vetores A e B produz um escalar Se A e B são expressos na forma de vetor cartesiano então o produto escalar é a soma dos produtos de suas componentes x y e z O produto escalar pode ser usado para calcular o ângulo entre A e B O produto escalar também é usado para determinar a componente de um vetor A projetada sobre um eixo aa definido por seu vetor unitário ua Condição de contorno Juntas Esféricas 22 Plano na direção CD 𝜔𝜔 Plano na direção CD 𝐶𝐶 𝐷𝐷 Neste problema em particular a intensidade de 𝑣𝑣𝐷𝐷 pode ser obtida sem a 4 equação Resolva as equações 1 e 2 para 𝜔𝜔𝑦𝑦 e 𝜔𝜔𝑥𝑥 em termos de 𝜔𝜔𝑧𝑧 e substitua na Equação 3 𝜔𝜔𝑧𝑧 se cancelará o que permitirá uma solução para 𝑣𝑣𝐷𝐷 Se o anel em C se desloca na direção de B com uma velocidade de 3 ms determine a velocidade do anel em D e a velocidade angular da barra no instante mostrado A barra está conectada aos anéis nas suas extremidades por juntas esféricas 23 Exemplo 3 A Figura mostra um sistema bielacursormanivela tridimensional no qual a manivela AO gira no plano yz com velocidade angular constante 180 rads Exemplo 4 RADE 25 A biela AB comanda o movimento do cursor B ao longo da guia horizontal e tem uma articulação esférica em cada uma de suas extremidades Na posição ilustrada determinar a velocidade do cursor B b a aceleração do cursor B Para o mesmo mecanismo do problema anterior a Junta B é substituída por uma do tipo garfo Recalcule a velocidade e aceleração do cursor B 26 Exemplo 5 Condição de contorno Juntas não Esféricas A restrição da junta permite a rotação da haste tanto em torno da barra direção j quanto em torno do eixo do pino direção n Não há uma componente rotacional na direção u ou seja perpendicular a n e j Condição de contorno Juntas não Esféricas Não há uma componente rotacional na direção u ou seja perpendicular a n e j Onde u n j uma equação adicional para a solução pode ser obtida a partir de ω u 0 O vetor n está na mesma direção que rBC rDC Exemplo 5 Para o mesmo mecanismo do problema anterior a Junta B é substituída por uma do tipo garfo Recalcule a velocidade e aceleração do cursor B ω AB u 0 u é o vetor unitário na direção do eixo simultaneamente perpendicular ao eixo x e ao eixo PP u î u PP u PP î u AB u AB AB AB 015 î 005 ĵ 005 k 015² 005² 005² u PP î u AB 0 î 005 ĵ 005 k 015² 005² 005² u î u PP 005 ĵ 005 k 015² 005² 005² u 03 ĵ 03 k ω AB u 0 u 03 ĵ 03 k ω x î ω y ĵ ω z k 03 ĵ 03 k 0 03 ω y 03 ω z ω y ω z Das equações do problema anterior v B 0050 ω AB y 0050 ω AB z 090 0050 ω AB x 0150 ω AB z 000 0050 ω AB x 0150 ω AB y ω AB x 900 rads ω AB y 300 rads ω AB z 300 rads v B 030 ms Análise do movimento relativo usando eixos transladando e rotacionando Tridimensional 32 Análise do movimento relativo usando eixos transladando e rotacionando Tridimensional 33 Ω e Ω têm uma direção constante que é sempre perpendicular ao plano do movimento Para o movimento tridimensional Ω depende da variação da intensidade e da direção de Ω Velocidade vB vA Ω rBA vBAxyz vB velocidade de B medida a partir da referência X Y Z vA velocidade da origem A da referência x y z medida a partir da referência X Y Z vBAxyz velocidade de B em relação a A medida por um observador fixo à referência em rotação x y z Ω velocidade angular da referência x y z medida a partir da referência X Y Z rBA posição de B em relação a A Aceleração aB aA Ȧ rBA Ω Ω rBA 2Ω vBAxyz aBAxyz aB aceleração de B medida a partir da referência X Y Z aA aceleração da origem A da referência x y z medida a partir da referência X Y Z aBAxyz vBAxyz aceleração e velocidade de B em relação a A conforme medidas por um observador fixo à referência x y z em rotação Ȧ Ω aceleração e velocidade angulares da referência x y z medidas a partir da referência X Y Z rBA posição de B em relação a A 36 Um motor e a barra AB fixada nele têm os movimentos angulares mostrados na Figura Um anel C na barra está localizado a 025 m de A e está se deslocando para baixo ao longo da barra com velocidade de 3 ms e aceleração de 2 ms² Determine a velocidade e a aceleração de C nesse instante Exemplo 6 37 O pêndulo mostrado consiste em duas barras AB é suportada por um pino em A e oscila somente no plano YZ enquanto um mancal em B permite que a barra conectada BD gire em torno da barra AB Em um dado instante as barras têm os movimentos angulares mostrados Além disso um anel C localizado a 02 m de B tem velocidade de 3 ms e aceleração de 2 ms² ao longo da barra Determine a velocidade e a aceleração do anel nesse instante Exemplo 7 Referências 38 HIBBELER R C Dinâmica Mecânica para engenharia 14 edição Pearson Education do Brasil 2018 RADE Domingos Alves Cinemática e Dinâmica para Engenharia Elsevier 2017 MERIAM James L Engineering Mechanics Volume 2 Dynamics WILEY 9 edição 2018