Cinética Tridimensional de Corpos Rígidos - Momentos e Produtos de Inércia

Cinética tridimensional de um corpo rígido EM404 Dinâmica Prof Dr Jony Javorski Eckert jonyunicampbr Departamento de Sistemas Integrados Faculdade de Engenharia Mecânica Universidade Estadual de Campinas Campinas 2024 Momentos e produtos de inércia 2 Quando estudamos a cinética plana de um corpo foi necessário introduzir o momento de inércia 𝐼𝐼𝐺𝐺 o qual foi calculado em relação a um eixo perpendicular ao plano do movimento e passando pelo centro de massa do corpo G Para a análise cinética do movimento tridimensional às vezes será necessário calcular seis quantidades inerciais Esses termos chamados de momentos e produtos de inércia Descrevem de maneira particular a distribuição de massa de um corpo em relação a um dado sistema de coordenadas que tem ponto de origem e orientação especificados Centro de gravidade e momento de inércia da massa de sólidos homogêneos 3 Momentos de inércia 4 O momento de inércia para um elemento diferencial 𝑑𝑑𝑑𝑑 do corpo em relação a qualquer um dos eixos de coordenadas é definido como o produto da massa do elemento e o quadrado da distância mais curta do eixo até o elemento Como observado na figura 𝑟𝑟𝑥𝑥 𝑦𝑦2 𝑧𝑧2 de maneira que o momento de inércia de massa do elemento em relação ao eixo x é Momentos de inércia 5 O momento de inércia 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 para o corpo pode ser determinado integrandose essa expressão sobre a massa total do corpo Assim para cada um dos eixos podemos escrever Produtos de inércia 6 O produto de inércia para um elemento diferencial 𝑑𝑑𝑑𝑑 em relação a um conjunto de dois planos ortogonais é definido como o produto da massa do elemento e as distâncias perpendiculares ou mais curtas dos planos até o elemento Essa distância é 𝐼𝐼 para o plano 𝑦𝑦 𝑧𝑧 e 𝑦𝑦 para o plano 𝐼𝐼 𝑧𝑧 O produto de inércia 𝑑𝑑𝐼𝐼𝐼𝐼𝑦𝑦 para o elemento é portanto Observe que 𝑑𝑑𝐼𝐼𝑦𝑦𝑥𝑥 𝑑𝑑𝐼𝐼𝑥𝑥𝑦𝑦 Produtos de inércia 7 Integrandose sobre a massa os produtos de inércia do corpo em relação a cada combinação de planos podem ser expressos como Diferentemente do momento de inércia que é sempre positivo o produto de inércia pode ser positivo negativo ou nulo O resultado depende dos sinais algébricos das duas coordenadas envolvidas as quais variam independentemente uma da outra Em particular se um ou ambos os planos ortogonais são planos de simetria da massa o produto de inércia em relação a esses planos será nulo Produtos de inércia Em caso de planos de simetria os elementos de massa ocorrerão em pares localizados em cada lado do plano de simetria Em um lado do plano o produto de inércia para o elemento será positivo Enquanto do outro lado o produto de inércia do elemento correspondente será negativo Portanto a soma resultante será nula O plano 𝑦𝑦 𝑧𝑧 é um plano de simetria Portanto 𝐼𝐼𝑥𝑥𝑦𝑦 𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥 0 Produtos de inércia O cálculo de 𝐼𝐼𝑦𝑦𝑥𝑥 produzirá um resultado positivo visto que todos os elementos de massa estão localizados utilizando somente coordenadas positivas y e z Para o cilindro com os eixos de coordenadas como mostrado os planos 𝐼𝐼 𝑧𝑧 e 𝑦𝑦 𝑧𝑧 são ambos planos de simetria Teoremas dos eixos paralelos e dos planos paralelos Se 𝐺𝐺 tem as coordenadas 𝐼𝐼𝐺𝐺 𝑦𝑦𝐺𝐺 𝑧𝑧𝐺𝐺 definidas em relação aos eixos x y z As equações dos eixos paralelos usadas para calcular os momentos de inércia em relação aos eixos x y z são 10 Teoremas dos eixos paralelos e dos planos paralelos Esse teorema é usado para transferir os produtos de inércia do corpo em relação a um conjunto dos três planos ortogonais que passam pelo centro de massa do corpo para um conjunto correspondente de três planos paralelos que passam por algum outro ponto O 11 Para os produtos de inércia de um corpo é aplicado o teorema dos planos paralelos Tensor inercial As propriedades inerciais de um corpo são portanto completamente caracterizadas por nove termos seis dos quais são independentes um do outro 𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥 𝐼𝐼𝑥𝑥𝑦𝑦 𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥 𝐼𝐼𝑦𝑦𝑥𝑥 𝐼𝐼𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐼𝐼𝑦𝑦𝑥𝑥 𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥 𝐼𝐼𝑥𝑥𝑦𝑦 𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥 𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥 𝐼𝐼𝑥𝑥𝑦𝑦 𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥 𝐼𝐼𝑦𝑦𝑥𝑥 𝐼𝐼𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐼𝐼𝑦𝑦𝑥𝑥 𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥 𝐼𝐼𝑥𝑥𝑦𝑦 𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥 Essa matriz é chamada de tensor de inércia Ele tem um conjunto único de valores para um corpo quando é determinado para cada localização da origem O e orientação dos eixos de coordenadas 12 Tensor inercial O tensor de inercia pode ser apresentado com sinais negativos Consequência do desenvolvimento da quantidade de movimento angular que será abordada futuramente 13 Momento de inércia em relação a um eixo arbitrário Considere o corpo mostrado na Figura onde os nove elementos do tensor de inércia foram determinados em relação aos eixos x y z tendo origem em O 14 Determinar o momento de inércia do corpo em relação ao eixo 𝑂𝑂𝑂𝑂 o qual tem direção definida pelo vetor unitário 𝑢𝑢𝑂𝑂 𝑏𝑏 é a distância perpendicular de 𝑑𝑑𝑑𝑑 até 𝑂𝑂𝑂𝑂 Momento de inércia em relação a um eixo arbitrário Se a posição de 𝑑𝑑𝑑𝑑 é localizada usando 𝑟𝑟 então 𝑏𝑏 𝑟𝑟 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜃𝜃 o que representa a intensidade do produto vetorial 𝑢𝑢𝑂𝑂 𝑟𝑟 Assim o momento de inércia pode ser expresso como 15 Momento de inércia em relação a um eixo arbitrário 16 Momento de inércia em relação a um eixo arbitrário Se o tensor de inércia for especificado para os eixos x y z o momento de inércia do corpo em relação ao eixo 𝑂𝑂𝑂𝑂 inclinado pode ser determinado Os cossenos diretores 𝑢𝑢𝑥𝑥 𝑢𝑢𝑦𝑦 𝑢𝑢𝑥𝑥 dos eixos devem ser determinados Esses termos especificam os cossenos dos ângulos diretores das coordenadas 𝛼𝛼 𝛽𝛽 𝛾𝛾 entre o eixo positivo 𝑶𝑶𝑶𝑶 e os eixos positivos x y z respectivamente Determine o momento de inércia da barra dobrada mostrada na Figura em relação ao eixo Aa A massa de cada um dos três segmentos é dada na figura Exemplo 1 18 18 Determine o momento de inércia da barra dobrada mostrada na Figura em relação ao eixo Aa Exemplo 1 19 Ixx IxxG myG2 zG2 Iyy IyyG mxG2 zG2 Izz IzzG mxG2 yG2 Ixy IxyG m xG yG Iyz IyzG m yG zG Izx IzxG m zG xG 22 Determine o momento de inércia da barra dobrada mostrada na Figura em relação ao eixo Aa Determine o momento de inércia da barra de 15 kg e do disco de 4 kg em torno do eixo z Exemplo 2 23 Exemplo 2 Haste delgada Ixx Iyy 112 m l2 Ixx Iyy 13 m l2 Izz 0 Disco circular fino Ixx Iyy 14 m r2 Izz 12 m r2 Izz 32 m r2 IOa Ixx ux2 Iyy uy2 Izz uz2 2 Ixy ux uy 2 Iyz uy uz 2 Izx uz ux Equações usadas para determinar a quantidade de movimento angular de um corpo rígido em relação a um ponto arbitrário Essas equações fornecerão um meio para desenvolver tanto o princípio de impulso e quantidade de movimento quanto as equações de movimento rotacional para um corpo rígido Quantidade de movimento angular 25 Considere o corpo rígido o qual tem massa 𝑑𝑑 e centro de massa em 𝐺𝐺 O sistema de coordenadas X Y Z representa um sistema inercial de referência e assim seus eixos são fixos ou realizam translação com uma velocidade constante A quantidade de movimento angular quando medida a partir da referência X Y Z será determinada em relação ao ponto arbitrário A Os vetores posição 𝒓𝒓𝑨𝑨 e 𝝆𝝆𝑨𝑨 são traçados da origem das coordenadas até o ponto A e de A até a iésima partícula do corpo Se a massa da partícula é 𝑑𝑑𝑖𝑖 a quantidade de movimento angular em relação ao ponto A é Quantidade de movimento angular 26 𝒗𝒗𝒊𝒊 representa a velocidade da partícula medida a partir do sistema de coordenadas X Y Z O somatório dos momentos de todas as partículas do corpo requer uma integração Visto que 𝑑𝑑𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑 Quantidade de movimento angular 27 Se A passa a ser um ponto fixo O no corpo 𝒗𝒗𝑨𝑨 0 Ponto fixo O 28 Se A está localizado no centro de massa G do corpo Centro de massa G 29 Em geral A pode ser outro ponto diferente de 𝑂𝑂 ou 𝐺𝐺 Mesmo assim a equação pode ser simplificada para a forma a seguir Ponto arbitrário A 30 Isso requer a substituição de 𝝆𝝆𝐴𝐴 𝝆𝝆𝐺𝐺 𝝆𝝆𝐺𝐺𝐴𝐴 Definição do centro de massa Demonstre que se a quantidade de movimento angular de um corpo é determinada em relação a um ponto arbitrário 𝐴𝐴 então 𝑯𝑯𝑨𝑨 pode ser expresso pela Equação Exemplo 31 Exemplo HA m ρA dm vA m ρA ω ρA dm m ρG ρGA dm vA m ρG ρGA ω ρG ρGA dm m ρG dm vA ρGA vA m dm m ρG ω ρG dm m ρG dm ω ρGA ρGA ω m ρG dm ρGA ω ρGA m dm Exemplo HA m ρG dm vA ρGA vA m dm m ρG ω ρG dm m ρG dm ω ρGA ρGA ω m ρG dm ρGA ω ρGA m dm m ρG dm 0 HG m ρG ω ρG dm HA ρGA vAm HG ρGA ω ρGAm ρGA vA ω ρGAm HG ρGA m vG HG Exemplo HA ρGA vAm HG ρGA ω ρGAm ρGA vA ω ρGAm HG ρGA m vG HG HA ρGA m vG HG Para fazer uso prático das equações a quantidade de movimento angular tem de ser expressa em termos de suas componentes escalares Componentes retangulares de H 35 Para esse fim é conveniente escolher um segundo conjunto de eixos xyz tendo uma orientação arbitrária em relação aos eixos X Y Z Para uma formulação geral as equações acima estão da forma Expressando 𝑯𝑯 𝝆𝝆 e 𝝎𝝎 em termos das componentes x y z Componentes retangulares de H 36 Equacionando as respectivas componentes 𝒊𝒊 𝒋𝒋 𝒌𝒌 e reconhecendo que as integrais representam os momentos e produtos de inércia obtemos Componentes retangulares de H 37 Estas equações podem ser simplificadas mais ainda se os eixos de coordenadas x y z são orientados de forma que eles se tornem os eixos principais de inércia para o corpo no ponto Com a formulação da quantidade de movimento angular para um corpo desenvolvida o princípio de impulso e quantidade de movimento pode ser usado para resolver problemas cinéticos que envolvem força velocidade e tempo Para esse caso as duas equações vetoriais seguintes estão disponíveis Princípio de impulso e quantidade de movimento 38 Em 3 dimensões cada termo vetorial pode ser representado por três componentes escalares e portanto um total de seis equações escalares pode ser escrito 3 equações relacionam o impulso e a quantidade de movimento linear 3 equações relacionam o impulso e a quantidade de movimento angular do corpo Para aplicar o princípio do trabalho e energia para resolver problemas envolvendo movimento de corpo rígido geral primeiro é necessário formular expressões para a energia cinética do corpo Para fazer isso considere o corpo rígido mostrado tem massa 𝑑𝑑 e centro de massa em 𝐺𝐺 Energia cinética 39 A energia cinética da iésima partícula do corpo com massa 𝑑𝑑𝑖𝑖 e velocidade 𝑣𝑣𝑖𝑖 medida em relação ao sistema de referência inercial X Y Z é Energia cinética 40 Contanto que a velocidade de um ponto arbitrário A sobre o corpo seja conhecida 𝒗𝒗𝒊𝒊 pode ser relacionado a 𝒗𝒗𝑨𝑨 Energia cinética 41 A energia cinética para o corpo inteiro é obtida somandose as energias cinéticas de todas as partículas do corpo Isso exige uma integração com 𝑑𝑑𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑 Se A é um ponto fixo O no corpo Ponto fixo O 42 Se A está localizado no centro de massa G do corpo Centro de massa G 43 A barra na Figura tem massa por unidade de comprimento de 849kgm Determine sua velocidade angular logo após a extremidade A cair no gancho em E O gancho fornece uma conexão permanente para a barra decorrente do mecanismo de trava com mola S Imediatamente antes de atingir o gancho a barra está caindo com velocidade 𝑣𝑣𝐺𝐺 1 3 ms Exemplo 3 44 Exemplo 3 Ixx IxxG myG2 zG2 Iyy IyyG mxG2 zG2 Izz IzzG mxG2 yG2 Ix 01338 kg m2 Iy 00764 kg m2 Iz 02102 kg m2 A barra na Figura tem massa por unidade de comprimento de 849 kgm Determine sua velocidade angular logo após a extremidade A cair no gancho em E O gancho fornece uma conexão permanente para a barra decorrente do mecanismo de trava com mola S Imediatamente antes de atingir o gancho a barra está caindo com velocidade 𝑣𝑣𝐺𝐺 1 3 ms Exemplo 3 46 Um torque de 5 Nm é aplicado ao eixo vertical CD mostrado na Figura o qual permite que a engrenagem de 10 kg 𝐴𝐴 gire livremente em torno de CE Supondo que a engrenagem A parta do repouso determine a velocidade angular de CD após ele ter girado duas revoluções Despreze a massa dos eixos CD e CE e suponha que a engrenagem A possa ser aproximada por um disco fino A engrenagem B é fixa Exemplo 4 47 O movimento translacional de um corpo é definido em termos da aceleração do centro de massa do corpo que é medido a partir de uma referência X Y Z inercial Equações de movimento translacional 48 Considere o sistema de partículas onde X Y Z representam um sistema de referência inercial e os eixos x y z com origem em G transladam em relação a esse sistema A soma dos momentos de todas as forças externas que atuam sobre um sistema de partículas contidas em um corpo rígido em torno de um ponto fixo O é igual à taxa de variação temporal da quantidade de movimento angular total do corpo em relação ao ponto O Equações de movimento rotacional Quando momentos das forças externas que atuam sobre as partículas são somados em relação ao centro de massa G do sistema mais uma vez obtemos a mesma forma simples da Equação A quantidade de movimento angular da iésima partícula em relação ao sistema xyz Movimento rotacional Fazendo a derivada temporal temos 50 Expressões similares podem ser escritas para as outras partículas do corpo Quando os resultados são somados obtemos Movimento rotacional 51 é a taxa de variação temporal da quantidade de movimento angular total do corpo calculada em relação ao ponto G A aceleração relativa para a iésima partícula é definida pela equação Substituir e expandir usando a propriedade distributiva do produto vetorial Movimento rotacional 52 Por definição do centro de massa 0 O vetor posição 𝒓𝒓 em relação a G é zero Se essas componentes de 𝑯𝑯𝑶𝑶 e 𝑯𝑯𝑮𝑮 são calculadas em relação aos eixos x y z que estão girando com uma velocidade angular 𝛀𝛀 que é diferente da velocidade angular do corpo 𝝎𝝎 Equações de movimento rotacional Ω 𝝎𝝎 Se o corpo tem movimento geral os eixos 𝐼𝐼 𝑦𝑦 𝑧𝑧 podem ser escolhidos com origem em 𝐺𝐺 Os eixos apenas transladem em relação ao sistema de referência inercial 𝑋𝑋 𝑌𝑌 𝑍𝑍 Fazendo isso simplificase as Equações visto que Ω 0 Eixos x y z com movimento 𝛀𝛀 0 𝝎𝝎 Entretanto o corpo pode ter uma rotação 𝜔𝜔 em torno desses eixos e portanto os momentos e os produtos de inércia do corpo teriam de ser expressos como funções de tempo Na maioria dos casos essa seria uma tarefa difícil de maneira que essa escolha de eixos tem aplicação restrita Eixos x y z com movimento 𝛀𝛀 0 𝝎𝝎 Os eixos x y z podem ser escolhidos de tal maneira que estejam fixos sobre o corpo e se desloquem com ele Os momentos e produtos de inércia do corpo em relação a esses eixos serão então constantes durante o movimento Visto que Ω 𝜔𝜔 Eixos x y z com movimento 𝛀𝛀 𝝎𝝎 Ω 𝜔𝜔 Podemos expressar cada uma dessas equações vetoriais como três equações escalares Eixos x y z com movimento 𝛀𝛀 𝝎𝝎 57 Se os eixos x y z são escolhidos como os eixos principais de inércia os produtos de inércia são zero e as equações anteriores tornamse Eixos x y z com movimento 𝛀𝛀 𝝎𝝎 58 Esse conjunto de equações é conhecido historicamente como as equações de movimento de Euler Elas se aplicam somente a momentos somados em relação aos pontos O ou G Para simplificar os cálculos da derivada temporal de 𝝎𝝎 muitas vezes é conveniente escolher os eixos x y z com uma velocidade angular 𝛀𝛀 que seja diferente da velocidade angular 𝝎𝝎 do corpo Quando isso acontece os momentos e produtos de inércia permanecem constantes em relação ao eixo de rotação Eixos x y z com movimento 𝛀𝛀 𝝎𝝎 59 Ω 𝝎𝝎 Aqui Ω𝑥𝑥 Ω𝑦𝑦 Ω𝑥𝑥 representam as componentes x y z de Ω medidas a partir do sistema de referência inercial Eixos x y z com movimento 𝛀𝛀 𝝎𝝎 60 Ω 𝝎𝝎 𝜔𝜔𝑥𝑥 𝜔𝜔𝑦𝑦 𝜔𝜔𝑥𝑥 têm de ser determinados em relação aos eixos x y z que têm a rotação Ω O volante de 10 kg ou disco fino mostrado rotaciona em torno do eixo a uma velocidade angular constante 𝜔𝜔𝑠𝑠 6 rads No mesmo instante o eixo gira em torno do mancal em A com velocidade angular 𝜔𝜔𝑝𝑝 3 rads Se A é um mancal axial e radial e B é um mancal radial determine as componentes da força reativa em cada um desses apoios em decorrência do movimento Exemplo 5 61 O volante de 10 kg ou disco fino mostrado rotaciona em torno do eixo a uma velocidade angular constante 𝜔𝜔𝑠𝑠 6 rads No mesmo instante o eixo gira em torno do mancal em A com velocidade angular 𝜔𝜔𝑝𝑝 3 rads Se A é um mancal axial e radial e B é um mancal radial determine as componentes da força reativa em cada um desses apoios em decorrência do movimento Exemplo 5 62 𝛀𝛀 𝝎𝝎 O volante de 10 kg ou disco fino mostrado rotaciona em torno do eixo a uma velocidade angular constante 𝜔𝜔𝑠𝑠 6 rads No mesmo instante o eixo gira em torno do mancal em A com velocidade angular 𝜔𝜔𝑝𝑝 3 rads Se A é um mancal axial e radial e B é um mancal radial determine as componentes da força reativa em cada um desses apoios em decorrência do movimento Exemplo 5 63 O volante de 10 kg ou disco fino mostrado rotaciona em torno do eixo a uma velocidade angular constante 𝜔𝜔𝑠𝑠 6 rads No mesmo instante o eixo gira em torno do mancal em A com velocidade angular 𝜔𝜔𝑝𝑝 3 rads Se A é um mancal axial e radial e B é um mancal radial determine as componentes da força reativa em cada um desses apoios em decorrência do movimento Exemplo 5 64 𝛀𝛀 𝝎𝝎 A engrenagem mostrada tem massa de 10 kg e está montada em um ângulo de 10º com o eixo em rotação de massa desprezível Se Iz 01 kgm2 Ix Iy 005 kgm2 e o eixo está girando com velocidade angular constante 𝜔𝜔 30 rads determine as componentes da reação que o mancal de contato angular restringe deslocamento axial e radial A e o mancal radial B exercem sobre o eixo no instante mostrado Exemplo 6 65 Primeiramente será desenvolvido as equações que definem o movimento de um corpo pião o qual é simétrico em relação a um eixo e gira em torno de um ponto fixo Essas equações se aplicam ao movimento do dispositivo giroscópio Movimento Giroscópico 66 O movimento do corpo será analisado utilizando os ângulos de Euler 𝜙𝜙 𝜃𝜃 𝜓𝜓 phi theta psi Para ilustrar como eles definem a posição de um corpo considere o pião mostrado na Figura Movimento Giroscópico 67 Um segundo conjunto de eixos x y z está fixo ao pião Começando com os eixos X Y Z e x y z coincidentes A posição final do pião pode determinada usando os três passos Gire o pião em torno do eixo Z ou z através de um ângulo 𝜙𝜙 0 𝜙𝜙 2𝜋𝜋 A velocidade 𝜙𝜙 é conhecida como Precessão Movimento Giroscópico Precessão 68 Gire o pião em torno do eixo x através de um ângulo 𝜃𝜃 0 𝜃𝜃 𝜋𝜋 A velocidade 𝜃𝜃 é conhecida como Nutação Movimento Giroscópico Nutação 69 Gire o pião em torno do eixo z através de um ângulo 𝜓𝜓 0 𝜓𝜓 2𝜋𝜋 A velocidade 𝜓𝜓 é conhecida como Rotação Movimento Giroscópico Rotação 70 A sequência desses três ângulos 𝜙𝜙 𝜃𝜃 em seguida 𝜓𝜓 tem de ser mantida visto que rotações finitas Movimento Giroscópico 71 Suas direções positivas são mostradas na Figura Vêse que esses vetores não são todos perpendiculares uns aos outros 𝝎𝝎 do pião pode ser expresso em termos dessas três componentes Movimento Giroscópico 72 Visto que o corpo pião é simétrico em relação ao eixo z ou eixo de rotação não há necessidade de ligar os eixos x y z ao pião visto que as propriedades inerciais do pião vão permanecer constantes em relação a esse sistema durante o movimento Movimento Giroscópico 73 A velocidade angular do corpo é Os eixos x y z representam eixos principais de inércia para o pião Os momentos de inércia serão representados como 𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥 𝐼𝐼𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐼𝐼 𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥 𝐼𝐼𝑥𝑥 Movimento Giroscópico 74 Visto que Ω 𝜔𝜔 75 Cada somatório de momentos aplicase somente ao ponto fixo O ou ao centro de massa G do corpo Visto que as equações representam um sistema acoplado de equações diferenciais de segunda ordem não lineares em geral uma solução de forma fechada não pode ser obtida Entretanto existe um caso especial para o qual é possível simplificar as equações Comumente referido como a precessão estacionária Movimento Giroscópico Precessão Estacionária 76 A precessão estacionária ocorre quando o ângulo de nutação 𝜃𝜃 a precessão 𝜙𝜙 e a rotação 𝜓𝜓 permanecem todos constantes As equações são então reduzidas à forma O pião mostrado tem massa de 05 kg e está realizando uma precessão em torno do eixo vertical a um ângulo constante de 𝜃𝜃 60º Se ele gira com velocidade angular 𝜔𝜔𝑠𝑠 100 rads determine a precessão 𝜔𝜔𝑝𝑝 Suponha que os momentos de inércia axial e transversal do pião sejam 45103 kgm2 e 12103 kgm2 respectivamente medidos em relação ao ponto fixo O Exemplo 7 77 Exemplo 7 78 a baixa precessão do pião geralmente seria observada visto que a alta precessão exigiria uma energia cinética maior Efeitos a rotação 𝝍𝝍 79 É interessante observar quais efeitos a rotação 𝜓𝜓 tem sobre o momento em torno do eixo x Considere o rotor giratório na Figura com 𝜃𝜃 90º Efeito Giroscópico 80 Ω𝑦𝑦 e 𝜔𝜔𝑥𝑥 atuam ao longo de seus respectivos eixos positivos e portanto são mutuamente perpendiculares Instintivamente se esperaria que o rotor caísse sob a influência da gravidade Entretanto isso não acontece contanto que o produto 𝐼𝐼𝑥𝑥Ω𝑥𝑥𝜔𝜔𝑦𝑦 seja corretamente escolhido para contrabalançar o momento 𝑀𝑀𝑥𝑥 𝑊𝑊𝑟𝑟𝐺𝐺 do peso do rotor em torno de O Esse fenômeno incomum de movimento de corpo rígido é frequentemente O disco de 1 kg gira em torno de seu eixo com uma velocidade angular constante 𝜔𝜔𝐷𝐷 70 rads O bloco em B tem massa de 2 kg e ajustandose sua posição 𝑠𝑠 podese modificar a precessão do disco em torno de seu axial de apoio em O enquanto o eixo permanece horizontal Determine a posição 𝑠𝑠 que capacitará o disco a ter uma precessão constante 𝜔𝜔𝑝𝑝05rads em torno do apoio Despreze o peso do eixo Exemplo 8 81 O disco de 1 kg gira em torno de seu eixo com uma velocidade angular constante 𝜔𝜔𝐷𝐷 70 rads O bloco em B tem massa de 2 kg e ajustandose sua posição 𝑠𝑠 podese modificar a precessão do disco em torno de seu axial de apoio em O enquanto o eixo permanece horizontal Determine a posição 𝑠𝑠 que capacitará o disco a ter uma precessão constante 𝜔𝜔𝑝𝑝05rads em torno do apoio Despreze o peso do eixo Exemplo 8 82 Referências 83 HIBBELER R C Dinâmica Mecânica para engenharia 14 edição Pearson Education do Brasil 2018 MERIAM James L Engineering Mechanics Volume 2 Dynamics WILEY 9 edição 2018 RADE Domingos Alves Cinemática e Dinâmica para Engenharia Elsevier 2017