Mecanica Analitica - Trabalho Virtual e Equacoes de Lagrange

Mecânica Analítica Trabalho virtual Equações de Lagrange EM404 Dinâmica Prof Dr Jony Javorski Eckert jonyunicampbr Departamento de Sistemas Integrados Faculdade de Engenharia Mecânica Universidade Estadual de Campinas Campinas 2024 A Mecânica baseada nas Leis de Newton e nos Princípios de Newton Euler aplicados a partículas sistemas de partículas e corpos rígidos é também conhecida como Mecânica Vetorial uma vez que é baseada no emprego de grandezas vetoriais forças momentos acelerações e quantidades de movimento lineares e angulares Fundamentos de Mecânica Analítica 2 A aplicação dos métodos da Mecânica Vetorial para a resolução de problemas de Dinâmica requer a elaboração de diagramas de corpo livre para cada um dos corpos que compõem o sistema mecânico em estudo e o estabelecimento das relações envolvendo as forças eou momentos e as derivadas temporais das quantidades de movimento lineares e angulares Fundamentos de Mecânica Analítica 3 Embora sejam aplicáveis a qualquer tipo de sistema mecânico os métodos da Mecânica Vetorial podem ter seu uso dificultado no caso de sistemas complexos formados por número significativo de componentes interconectados que podem ainda estar sujeitos a diversos tipos de restrições cinemáticas Fundamentos de Mecânica Analítica 4 Nestes casos uma alternativa que se revela interessante é aquela baseada no uso de métodos que compõem a chamada Mecânica Analítica A Mecânica Analítica se baseia no uso de quantidades escalares trabalho de forças e momentos energia cinética e energia potencial para obtenção das equações diferenciais do movimento Permite modelar com mais facilidade sistemas mecânicos complexos notadamente os sistemas formados por corpos rígidos interconectados sem que seja necessário decompor tais sistemas em seus elementos constituintes A Mecânica Analítica tem um caráter mais abstrato e faz uso de formalismo matemático mais sofisticado Princípio do Trabalho Virtual Princípio de Hamilton Equações de Lagrange 5 Mecânica Analítica O princípio do trabalho virtual afirma que se um corpo está em equilíbrio a soma algébrica dos trabalhos virtuais realizados por todas as forças e momentos de binário que atuam sobre o corpo é zero para qualquer deslocamento virtual do corpo 6 Princípio do Trabalho Virtual O método de trabalho virtual é particularmente eficiente para resolver os problemas de equilíbrio que envolvem sistemas de vários corpos rígidos conectados Cada um dos mecanismos ao lado é denominado sistema com apenas um grau de liberdade O arranjo das ligações pode ser especificado completamente usandose apenas uma coordenada 𝜃𝜃 7 Princípio do Trabalho Virtual para um sistema de corpos rígidos conectados São um conjunto qualquer de parâmetros que servem para determinar de maneira unívoca a configuração de um mecanismo ou sistema mecânico com um número finito de graus de liberdade 8 Coordenadas Generalizadas Coordenadas Generalizadas Coordenadas Generalizadas Para um conjunto de 𝑛𝑛 partículas sujeito a restrições podemos sempre expressar os vetores posição das partículas em função de um conjunto previamente escolhido de N coordenadas generalizadas 11 Equações de Lagrange A força total sobre a iésima partícula é composta pela força aplicada externamente 𝑭𝑭𝑒𝑒𝑒𝑒 e pela força de restrição 𝑭𝑭𝑐𝑐𝑒𝑒 que pode ser uma força interna de corpo rígido Pela 2 Lei de Newton 12 Equações de Lagrange Reorganizando a equação O trabalho virtual é necessariamente zero e a soma desses termos sobre todas as partículas permanece zero Assumindo que as restrições não realizam trabalho sem atrito a soma do trabalho virtual das restrições é zero 13 Equações de Lagrange Reescrevendo a equação o subscrito 𝑒𝑒 é omitido pois entendese que as forças externas são as únicas forças de interesse 𝑭𝑭𝐸𝐸𝑒𝑒 𝑭𝑭𝑒𝑒 14 Equações de Lagrange O deslocamento virtual da iésima partícula é dado pela equação abaixo onde o somatório se estende por todas as 𝑁𝑁 coordenadas generalizadas de forma 1 𝑗𝑗 𝑁𝑁 Agora vamos analisar o ultimo termo da equação 15 Equações de Lagrange Substituindo Equações de Lagrange i1 Mi Ẋi δRi j i Mi Ẋi Riqj δqj i Mi Ẋi Riqj ddt i Mi Vi Riqj i Mi Vi ddt Riqj i Mi Ẋi Riqj ddt i Mi Vi Riqj i Mi Vi ddt Riqj 17 Equações de Lagrange 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒 𝑀𝑀𝑒𝑒𝑽𝑽𝑒𝑒 𝑹𝑹𝑖𝑖 𝑞𝑞𝑗𝑗 𝑒𝑒 𝑀𝑀𝑒𝑒 𝑽𝑽𝑒𝑒 𝑹𝑹𝑖𝑖 𝑞𝑞𝑗𝑗 𝑒𝑒 𝑀𝑀𝑒𝑒𝑽𝑽𝑒𝑒 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑹𝑹𝑖𝑖 𝑞𝑞𝑗𝑗 18 Equações de Lagrange Duas substituições são necessárias para uso nesta expressão para o trabalho virtual Primeiramente considerar a posição 𝑹𝑹𝑒𝑒 e determinar a velocidade 𝑽𝑽𝑒𝑒 por derivação no tempo 19 Equações de Lagrange 𝑑𝑑𝑽𝑽𝑒𝑒 𝑑𝑑 𝑞𝑞𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑹𝑹𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑞𝑞𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑹𝑹𝑒𝑒 𝑞𝑞𝑗𝑗 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑹𝑹𝑒𝑒 𝑞𝑞𝑗𝑗 𝑞𝑞𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑹𝑹𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑 Equações de Lagrange Ri Riq1 q2 qN dRidt Riq1 dq1dt Riq2 dq2dt RiqN dqNdt ddt Riqj k qk Riqj dqkdt ddt Riqj k ²Riqk qj qk Equações de Lagrange ddt Riqj k ²Riqk qj qk ddt Riqj k qj Riqk qk Vi j Riqj qj ddt Riqj qj dRidt Viqj 22 Equações de Lagrange 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑹𝑹𝑒𝑒 𝑞𝑞𝑗𝑗 𝑽𝑽𝑒𝑒 𝑞𝑞𝑗𝑗 Equações de Lagrange i Mi Vi Riqj ddt i Mi Vi Vidqj i Mi Vi Viqj i Mi Vi Riqj ddt qj 12 i Mi Vi Vi qj 12 i Mi Vi Vi T 12 i Mi Vi² T é a energia cinética do Sistema Equações de Lagrange T 12 Σi Mi Vi² Σi Mi Ẍi Riqj ddt ẋj 12 Σi Mi Vi Vi qj 12 Σi Mi Vi Vi Σi Mi Ẍi Riqj ddt Tẋj Tqj 25 Equações de Lagrange Voltando na Equação do trabalho virtual 26 Equações de Lagrange Voltando na Equação do trabalho virtual 27 Equações de Lagrange 𝑸𝑸𝒋𝒋 são as forças generalizadas Que atuam no sistema 28 Equações de Lagrange Voltando na Equação do trabalho virtual 29 Equações de Lagrange As coordenadas generalizadas são independentes então o coeficiente de cada 𝑞𝑞𝑗𝑗 deve se anular para garantir o desaparecimento da soma Isso nos dá a primeira forma da equação de movimento de Lagrange que é escrita da seguinte maneira Considerando um sistema com 𝑁𝑁 coordenadas generalizadas 1 𝑗𝑗 𝑁𝑁 Resulta em um conjunto de 𝑁𝑁 equações diferenciais no formato mostrado acima 30 Equações de Lagrange Existem muitos sistemas de múltiplos graus de liberdade em que algumas das forças são deriváveis de uma função de energia potencial Isso é particularmente verdadeiro para sistemas que envolvem forças gravitacionais ou de mola Nesse caso a força generalizada completa pode ser separada em 2 Parte devido à função potencial 𝑉𝑉 Segunda parte devido às forças não conservativas 𝑄𝑄𝑗𝑗 𝑛𝑛𝑐𝑐 Sinal negativo vem de 𝐹𝐹𝑒𝑒 𝑉𝑉 ou seja força é resultando de redução do gradiente da energia potencial 31 Equações de Lagrange Substituindo o novo termo da força generalizada conservativo não conservativo na primeira forma da Equação de Lagrange 32 Lagrangeano Unificando a energia cinética e potencial em um único termo 𝐿𝐿 Levando em conta que a energia potencial não varia com a velocidade 33 Equações de Lagrange Equações de Lagrange Forças generalizadas não conservativas Utilizando as Equações de Lagrange obter a equação do movimento para a barra delgada uniforme de comprimento 𝑙𝑙 e massa 𝑚𝑚 A barra está suspensa por uma rótula em A e sujeita a uma força 𝑓𝑓 𝑑𝑑 que atua na direção horizontal 34 Exemplo 35 Exemplo Considerando que a barra descreve movimento plano de rotação a energia cinética da barra é dada por Inércia em relação ao ponto A 36 Exemplo Quanto à energia potencial gravitacional adotando o nível de referência mostrado Combinando as equações temos o Lagrangeano 37 Exemplo A força 𝑓𝑓 𝑑𝑑 não é conservativa Coordenadas generalizadas 𝜃𝜃 Consequentemente 𝜃𝜃 38 Exemplo 𝐿𝐿 𝜃𝜃 𝜃𝜃 1 6 𝑚𝑚𝑙𝑙2 𝜃𝜃2 𝜃𝜃 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑙𝑙 2 𝜃𝜃 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑙𝑙 2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑙𝑙 2 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑛𝑛𝜃𝜃 𝐿𝐿 𝜃𝜃 𝜃𝜃 1 6 𝑚𝑚𝑙𝑙2 𝜃𝜃2 𝜃𝜃 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑙𝑙 2 𝜃𝜃 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑙𝑙 2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃 1 3 𝑚𝑚𝑙𝑙2 𝜃𝜃 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐿𝐿 𝜃𝜃 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 1 3 𝑚𝑚𝑙𝑙2 𝜃𝜃 𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝜃𝜃 1 3 𝑚𝑚𝑙𝑙2 𝜃𝜃 𝑑𝑑 𝜃𝜃 𝑑𝑑𝑑𝑑 1 3 𝑚𝑚𝑙𝑙2 𝜃𝜃 Exemplo ddt Lẋj Lqj Qjnc δWFimp Σj1N Qjnc δqj δWf f lsenθ δθ lsenθ f l cos θ δθ senθ ϕ sen θ cos ϕ cos θ sen ϕ sen 2θ 2 sen θ cos θ cosθ ϕ cos θ cos ϕ sen θ sen ϕ COS 2θ cos² θ sen² θ 40 Exemplo 𝛿𝛿𝑊𝑊𝑓𝑓 𝑄𝑄𝑛𝑛𝑐𝑐𝛿𝛿𝜃𝜃 𝑄𝑄𝑛𝑛𝑐𝑐 𝑓𝑓𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃 41 Exemplo 1 3 𝑚𝑚𝑙𝑙2 𝜃𝜃 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑙𝑙 2 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑛𝑛𝜃𝜃 f l cos 𝜃𝜃 1 3 𝑚𝑚𝑙𝑙2 𝜃𝜃 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑙𝑙 2 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑛𝑛𝜃𝜃 f l cos 𝜃𝜃 0 O pequeno cursor C de massa 𝑚𝑚 pode deslizar sem atrito ao longo da barra delgada uniforme 𝐴𝐴𝐴𝐴 de massa 𝑚𝑚0 a qual está sujeita ao momento externo 𝜏𝜏𝑑𝑑 A mola que conecta o cursor à extremidade A da barra tem constante de rigidez 𝑘𝑘 e está indeformada quando 𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑜𝑜 Obter as equações diferenciais do movimento do sistema mecânico em termos das coordenadas 𝑟𝑟 e 𝜃𝜃 indicadas Exemplo Energias cinéticas T Tcursor Tbarra Tcursor 12 m vr² vθ² 12 m r² r θ² Tbarra 12 Jz θ² Jz 13 m0 L² Energia Potencial V Vcursorg Vbarrag Vmolae Vcursorg m g r cos θ Vbarrag m0 g L2 cos θ Vmolae 12 k r r02 Lagrangeano 𝐿𝐿 𝑇𝑇 𝑉𝑉 45 As coordenadas 𝑟𝑟 e 𝜃𝜃 são independentes São as 2 coordenadas generalizadas 𝑞𝑞1 𝑟𝑟 e 𝑞𝑞2 𝜃𝜃 Resulta em 2 Equações de Lagrange Coordenadas Generalizadas Trabalho Forças Não Conservativas Para obtenção das forças generalizadas consideramos o trabalho virtual do torque aplicado à barra dado por δWFimpnc τ δθ δWFimpnc Qr δr Qθ δθ Qr 0 Qθ τ Derivadas Lagrangeano Lr mr ddt Lr mr Lr mr θ2 mg cos θ k r r0 Lθ mr2 θ 13 m0 L2 θ ddt Lθ 2mr r θ m r2 θ 13 m0 L2 θ Lθ mgr sen θ m0 g L2 sen θ Equações de Lagrange ddtLr Lr Qr m r rθ² k r r₀ mg cosθ 0 ddtLθ Lθ Qθ m r² 13 m₀ L² θ 2 m r r θ m r m₀ L2 gsenθ τt O sistema vibratório é formado por duas massas 𝑚𝑚1 e 𝑚𝑚2 duas molas lineares 𝑘𝑘10 e 𝑘𝑘12 e dois amortecedores viscosos lineares 𝑐𝑐10 e 𝑐𝑐12e está sujeito a duas forças 𝑓𝑓1 𝑑𝑑 e 𝑓𝑓2 𝑑𝑑 Obter as equações do movimento do sistema desprezaremos atrito entre as massas e a superfície sobre a qual deslizam Exemplo 50 As coordenadas 𝑢𝑢1 e 𝑢𝑢2 são independentes 2 coordenadas generalizadas 𝑞𝑞1 𝑢𝑢1 e 𝑞𝑞2 𝑢𝑢2 Vamos admitir 𝑢𝑢2 𝑢𝑢1 e 𝑢𝑢2 𝑢𝑢1 Coordenadas Generalizadas 51 Lagrangeano L 12 m₁ u₁² 12 m₁ u₂² 12 k₁₀ u₁² 12 k₁₂ u₂ u₁ ² Trabalho Forças Não Conservativas Forças externas aplicadas 𝑓𝑓1 e 𝑓𝑓2 Forças exercidas pelos amortecedores em função da velocidade 54 Derivadas Lagrangeano L 12 m₁ u₁² 12 m₁ u₂² 12 k₁₀ u₁² 12 k₁₂ u₂ u₁ ² Lu₁ k₁₀ u₁ k₁₂ u₂ u₁ Lu₂ k₁₂ u₂ u₁ Lu₁ m₁ u₁ ddt Lu₁ m₁ u₁ Lu₂ m₁ u₂ ddt Lu₂ m₁ u₂ Trabalho Forças Não Conservativas 55 Equações de Lagrange ddt Lu₁ Lu₁ Q₁ m₁u₁t c₁₀ c₁₂u₁t c₁₂u₂t k₁₀ k₁₂u₁t k₁₂u₂t f₁t ddt Lu₂ Lu₂ Q₂ m₂u₂t c₁₂u₂t c₁₂u₁t k₁₂u₂t k₁₂u₁t f₂t Exemplo 57 O pêndulo duplo ilustrado é constituído por duas barras delgadas homogêneas denotadas por 1 e 2 Obter as equações do movimento empregando as Equações de Lagrange Massas e comprimentos 𝑚𝑚1 𝐿𝐿1 para barra 1 𝑚𝑚2 𝑙𝑙2 para barra 2 A barra 1 está sujeita a um torque 𝜏𝜏 𝑑𝑑 As coordenadas 𝜃𝜃1 e 𝜃𝜃2 são independentes São as 2 coordenadas generalizadas 𝑞𝑞1 𝜃𝜃1 e 𝑞𝑞2 𝜃𝜃2 Resulta em 2 Equações de Lagrange Coordenadas Generalizadas 58 Lagrangeano BARRA 1 L₁ T₁ V₁ T₁ 12 Jz1 ω₁² 16 m₁ L₁² θ₁² V₁ m₁ g L₁2 cos θ₁ L₁ 16 m₁ L₁² θ₁² 12 m₁ g L₁ cos θ₁ Lagrangeano BARRA 2 60 𝐽𝐽𝑧𝑧2 𝑚𝑚2𝐿𝐿2 2 12 Lagrangeano BARRA 2 vG2 vB ω2 BG2 vB ω1 AB θ₁ k L₁ sen θ₁ i cos θ₁ j L₁ θ₁ cos θ₁ i sen θ₁ j ω2 BG2 θ₂ k L₂2 sen θ₂ i cos θ₂ j L₂2 θ₂ cos θ₂ i sen θ₂ j vG2 L₁ θ₁ cos θ₁ L₂2 θ₂ cos θ₂ i L₁ θ₁ sen θ₁ L₂2 θ₂ sen θ₂ j Lagrangeano BARRA 2 V₂ m₂g L₁ cos θ₁ L₂ 2 cos θ₂ L₂ 12 m₂ L₁² θ₁² 13 L₂²θ₂² L₁ L₂ θ₁ θ₂ cosθ₂ θ₁ m₂ g L₁ cos θ₁ L₂ 2 cos θ₂ cosθ φ cos θ cos φ sen θ sen φ 62 Lagrangeano L₁ 16 m₁ L₁² θ₁² 12 m₁ g L₁ cos θ₁ L₂ 12 m₂ L₁² θ₁² 13 L₂² θ₂² L₁ L₂ θ₁ θ₂ cosθ₂ θ₁ m₂ g L₁ cos θ₁ L₂ 2 cos θ₂ L L₁ L₂ 12 13 m₁ m₂ L₁² θ₁² 16 m₂ L₂² θ₂² 12 m₂ L₁ L₂ θ₁ θ₂ cosθ₂ θ₁ 12 m₁ m₂ g L₁ cos θ₁ m₂ g L₂ 2 cos θ₂ 63 Derivadas Lagrangeano Lθ₁ 12 m₂ L₁ L₂ θ₁ θ₂ sen θ₂ θ₁ 12 m₁ m₂ g L₁ sen θ₁ Lθ₁ 13 m₁ m₂ L₁² θ₁ 12 m₂ L₁ L₂ θ₂ cos θ₂ θ₁ ddt Lθ₁ 13 m₁ m₂ L₁² θ₁ 12 m₂ L₁ L₂ θ₂ cos θ₂ θ₁ 12 m₂ L₁ L₂ θ₂² sen θ₂ θ₁ 12 m₂ L₁ L₂ θ₁ θ₂ sen θ₂ θ₁ Trabalho Forças Não Conservativas 64 Derivadas Lagrangeano Lθ₂ 12 m₂ L₁ L₂ θ₁ θ₂ senθ₂ θ₁ m₂ g L₁2 sen θ₂ Lθ₂ 13 m₂ L₂² θ₂ 12 m₂ L₁ L₂ θ₁ cosθ₂ θ₁ ddt Lθ₂ 13 m₂ L₂² θ₂ 12 m₂ L₁ L₂ θ₁ cosθ₂ θ₁ 12 m₂ L₁ L₂ θ₁² senθ₂ θ₁ 12 m₂ L₁ L₂ θ₁ θ₂ senθ₂ θ₁ Equações de Lagrange ddt Lθ₁ Lθ₁ Qθ₁ 13 m₁ m₂ L₁² θ₁ 12 m₂ L₁ L₂ θ₂ cosθ₂ θ₁ 12 m₂ L₁ L₂ θ₂² senθ₂ θ₁ 12 m₁ m₂ g L₁ sen θ₁ τ ddt Lθ₂ Lθ₂ Qθ₂ 13 m₂ L₂² θ₂ 12 m₂ L₁ L₂ θ₁ cosθ₂ θ₁ 12 m₂ L₁ L₂ θ₁² senθ₂ θ₁ m₂ g L₁2 sen θ₂ 0 Referências 68 DOUGHTY Samuel Mechanics of machines 2ed 2019 RADE Domingos Alves Cinemática e Dinâmica para Engenharia Elsevier 2017 MOULTON E J H Goldstein Classical mechanics 2014 HIBBELER R C Dinâmica Mecânica para engenharia 14 edição Pearson Education do Brasil 2018