P3 - C - 2021-1

1º Semestre de 2021 – PROVA 3 Turma: A Prof. Tiago Henrique Machado Obs: Utilize 3 casas decimais durante todos os cálculos e considere g = 9,81m/s2 sempre que preciso. Questão 1: O guindaste utilizado para o levantamento de madeira tem uma lança OA que gira em torno do eixo z com uma velocidade ω1 = 0,5rad/s e que está variando na taxa 𝜔̇ 1 = 0,1rad/s2, enquanto ela está girando para baixo com uma velocidade angular dada por ω2 = (0,5t + 0,8)rad/s, onde t é o tempo em segundos. Para o instante mostrado, em que t = 0s, determine: a) A velocidade e a aceleração angulares totais do guindaste nesse instante; (1,25 pts) b) A velocidade e a aceleração do ponto A, localizado na extremidade da lança, para esse instante. (1,25 pts) Questão 2: O disco mostrado gira com uma velocidade angular dada por p = (2t + 1)rad/s, onde t é dado em segundos. Além disso, o conjunto gira com relação ao eixo z com uma taxa N = 0,5rad/s e que está variando na taxa 𝑁̇ = 1rad/s2. Por fim, o eixo L é telescópico e pode estender ou comprimir, variando seu comprimento L. Sabendo disso, para o instante em que t = 0s, L = 0,5m e o ponto A se encontra a 0,25m acima do eixo y, de forma paralela ao eixo z, determine: a) A velocidade e aceleração do ponto A para o caso em que 𝐿̇ = 0 e 𝐿̈ = 0; (1,25 pts) b) A velocidade e aceleração do ponto A para o caso em que 𝐿̇ = 1m/s e 𝐿̈ = 2m/s2 no sentido positivo de y. (1,25 pts) Questão 3: O disco de 200g mostrado na figura ao lado gira à taxa ω1 = 800rpm, enquanto o eixo AB gira com uma velocidade angular ω2. Se as reações dinâmicas em A e B, sentidas pelo eixo, são dadas por FAB = 2N nos sentidos mostrados, explique de forma detalhada o sentido da precessão ω2. (2,5 pts) Questão 4: O sistema mecânico apresentado ao lado é formado pelo bloco de massa m, a mola de constante elástica k e pela barra AOB com momento de inércia com relação ao ponto de rotação 0 I0. O sistema está sujeito a uma força F, aplicada na extremidade A da barra. Sabendo disso, determine a equação de movimento, utilizando a formulação de Lagrange, em termos da coordenada generalizada x. Considere pequenos deslocamentos. Obs: O fio que conecta a massa m ao ponto B permanece sempre esticado. (2,5 pts) Formulário Movimento Tridimensional Absoluto: 𝐯𝑝 = 𝛚𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 × 𝐫𝑝 𝛂𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝛂𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜 + 𝛂𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 = 𝛀𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑎𝑙 × 𝛚𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 + 𝛚̇ 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐚𝑝 = 𝛂𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 × 𝒓𝑝 + 𝛚𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 × (𝛚𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 × 𝐫𝑝) Movimento Tridimensional Relativo (Eixos com Rotação): 𝐫𝑩 = 𝐫𝑨 + 𝐫𝑩/𝑨 𝐯𝑩 = 𝐯𝑨 + 𝛀 × 𝐫𝑩/𝑨 + 𝐯rel 𝐚𝑩 = 𝐚𝑨 + 𝛀̇ × 𝐫𝑩/𝑨 + 𝛀 × (𝛀 × 𝐫𝑩/𝑨) + 𝟐𝛀 × 𝐯rel + 𝐚rel Onde 𝛀 e 𝛀̇ são a velocidade e a aceleração do sistema móvel escolhido. Equações de Momento e Quantidade de Movimento Angular: 𝑯 = (𝑰𝒙𝒙𝝎𝒙 − 𝑰𝒙𝒚𝝎𝒚 − 𝑰𝒙𝒛𝝎𝒛)𝒊 + (−𝑰𝒚𝒙𝝎𝒙 + 𝑰𝒚𝒚𝝎𝒚 − 𝑰𝒚𝒛𝝎𝒛)𝒋 + (−𝑰𝒛𝒙𝝎𝒙 − 𝑰𝒛𝒚𝝎𝒚 + 𝑰𝒛𝒛𝝎𝒛)𝒌 𝜮𝑴 = 𝑯̇ ou 𝜮𝑴 = ( 𝒅𝑯 𝒅𝒕) 𝒙𝒚𝒛 + 𝜴 × 𝑯 = (𝑯̇ 𝒙𝒊 + 𝑯̇ 𝒚𝒋 + 𝑯̇ 𝒛𝒌) + 𝜴 × 𝑯 Onde 𝛀 a velocidade do sistema móvel escolhido. Movimento com precessão estacionária: 𝑴 = 𝐼𝜴 × 𝒑 Trabalho Virtual e Equações de Lagrange: 𝛿𝑊 = 𝛴𝐹𝑖𝛿𝑞 = 𝑄𝛿𝑞 e 𝑑 𝑑𝑡 ( 𝜕𝐿 𝜕𝑞̇) − 𝜕𝐿 𝜕𝑞 + 𝜕𝑅 𝜕𝑞̇ = 𝑄 onde 𝐿 = 𝑇 − 𝑉 e 𝑅 = 1 2 𝐵𝑣2