Analise Matemática

Exercício 2 Para cada uma das funções abaixos 1 fxy xyx2 y2 xy 00 0 xy 00 2 fxy x2y2x2y2 y x2 xy 00 0 xy 00 3 fxy x3x2 y2 xy 00 0 xy 00 4 fxy x y 5 fxy xy 6 fxy xyx2 y2 xy 00 0 xy 00 responda às seguintes questões i Para quais vetores v 0 a derivada direcional Df00v existe Calculea quando existir ii As derivadas parciais D1f e D2f existem em 00 iii A função f é diferenciável em 00 iv A função f é contínua em 00 RESOLUÇÃO 1 1 fxy xyx2 y2 se xy 00 0 se xy 00 eu Como a função é homogênea em xey ao tomarmos a definição da derivada direcional temos Df00v limt0 ftvt limt0 t2 v1 v2 t2v12 v22 1t 0 Portanto a derivada direcional existe para todo vetor v 0 e vale 0 ii As derivadas parciais em 00 existem e são dadas por limites ao longo dos eixos Ambos resultaram em 0 iii Apesar de existirem derivadas parciais a função não é diferenciável em 00 pois os gráficos não se aproximam de um plano tangente único 4 A função é contínua em 00 pois o limite da função em qualquer direção é 0 2 2 fxy x2 y2x2 y2 yx2 se xy 00 0 se xy 00 eu Tomando caminhos diferentes como y x ou y x obtemos limites distintos Portanto uma derivada direcional não existe em todas as direções ii As derivadas parciais não existem pois os limites não existem nem ao longo dos eixos inherit iii Não é diferenciável pois não possui plano tangente definido 4 A função é contínua em 00 pois o limite da função ao se aproximar da origem é 0 3 3 fxy x3x2 y2 se xy 00 0 se xy 00 eu Derivada direcional Df00v limt0 t3 v13t2 v12 v22 1t 0 Existe para todo v ii As derivadas parciais existem e são nulas iii Não é diferenciável em 00 pois o gráfico não se aproxima de uma superfície plana próxima à origem 4 É contínuo em 00 pois o limite da função tende a 0 4 4 fxy x y eu Derivada direcional não existe em todas as direções pois x e e não são diferenciáveis na origem ii As derivadas parciais existem e são iguais a 1 por lado direito e esquerdo são iguais inherit iii Não é diferenciável na origem pois o gráfico tem um vértice 4 É contínuo em 00 5 5 fxy xy eu A função não é diferenciável em nenhuma direção pois apresenta não derivabilidade na origem ii As derivadas parciais não existem pois os limites das diferenças não existem iii Não é diferenciável em 00 4 É contínuo pois xy 0 quando xy 00 6 6 fxy xy x² y² se xy 00 0 se xy 00 eu Tomando o caminho y x fxx xx 2x² xx 2x x2 O limite depende da direção Logo um direcional derivado não existe em geral ii As derivadas parciais não existem iii Não é diferenciável