Analise no R n

ATIVIDADE INDIVIDUAL ANÁLISE GEOMÉTRICA MINTER Exercício 1 Prove que um conjunto X em ℝⁿ é compacto sc c somente sc for limitado e fechado Exercício 2 Prove que um conjunto compacto X em ℝ admite um elemento máximo e um mínimo Exercício 3 Seja X um subconjunto compacto de ℝᵐ e seja f X ℝⁿ uma função contínua a Mostre que fX é compacto em ℝⁿ b Considere uma função escalar ϕ X ℝ contínua Mostre que ϕ atinge um máximo e um mínimo em X ou seja existem pontos xₘₐₓ xₘᵢₙ X tais que ϕxₘₐₓ maxₓX ϕx ϕxₘᵢₙ minₓX ϕx Definição Seja X um subconjunto de ℝⁿ Dado ε 0 a união dos conjuntos Baε onde a percorre todos os pontos de X é chamada de εvizinhança de X Exercício 4 Seja X um subespaço compacto de ℝⁿ e seja U um conjunto aberto de ℝⁿ tal que X U Prove que existe um ε 0 tal que a εvizinhança de X definida em qualquer das métricas usuais euclidiana ou do supremo está contida em U Exercício 5 Continuidade uniforme Seja X um subespaço compacto de ℝⁿ e seja f X ℝⁿ uma função contínua Mostre que dado qualquer ε 0 existe um δ 0 tal que para quaisquer xy X se x y δ então fx fy ε Dica Utilize a compacidade de X para garantir que a escolha de δ pode ser feita independentemente do ponto considerado garantindo assim a continuidade uniforme de f em X Definição Seja X um espaço métrico Dizemos que X é conexo se não pode ser escrito como a união de dois conjuntos A e B disjuntos não vazios e abertos em X Exercício 6 Mostre que o intervalo fechado ab ℝⁿ é conexo Dica Suponha por absurdo que ab pode ser dividido em dois conjuntos disjuntos e abertos em ab e derive uma contradição com a natureza dos intervalos reais Exercício 7 Seja X um espaço conexo e seja f X Y uma função contínua a Mostre que fX é conexo em Y b Em particular se ϕ X ℝ for contínua e se existirem pontos x₀x₁ X tais que ϕx₀ r ϕx₁ então existe um ponto x X tal que ϕx r Dica Use a conectividade de X para argumentar que a imagem não pode ser desconexa e aplique essa ideia ao conjunto de valores de ϕ Análise no RY UNICAMP 240325 s Prove que um conjunto X em 12 é compacto se e somente se for limitado e fechado Demonstração ED Primeiro suponha que X é compacto ou veja para toda cobertura aberta de X admite uma subcobertura finita é limitado Suponha por abendo que X é ilimitado então para cada Kei temosXXalqueXk logo podemos definir uma sequee a Por auto lado tome EBrial a cobatera de pela bolas abertas de centro em o e raio K Logo qualquer rubcobertura finita teremos Xv EX e não pertence a subcobertura o que é um abundo já que X é compacto Portanto X é limitado fetado Seja 1 umasequência em X que converge para um ponto XeiR queremos mostra que XEX para mostra que é fechado Por hipótese X é compactoentonquênciatem mbequenin queconvergem e loga C Agora mponta que X é fechado e limitado Dado umasequência x X S como X é limitado temos queX é uma sequência limitada pelo Teorema de BolzanoWeierstran M tem uma subrequência convergente mando que X é fechado ena subrequência converge em X Anim dado qualquer requência XXX ele ponui uma subrequência convergente em X Portanto 1 e compactos Ino é outra caracterização de um espaço compacto 12 Prove que um conjunto compacto X em R admite um elemento máximo e mínimo DemonstraçãoPela questão I temo que X é limitado e fechado Anim exit e NIM ExeX Anim infX e SupX existem e não números resis finitos Agoramandoa Riptedefecado temque Portanto Xo inf X é o mínimo de X e X SupX é o máximo de X D3 Sejam X um compacto de IRM e f X DRR uma função continua Dad Montre que fX é compacto em IR 6 Considere uma função escala continua p X11 Morte que o atinge um máximo e um mínimo em our seja existem pontos Xmaxi XminEX tais que pXmax mexPx e dXmin minae X X Demonte 20 f é fechado De fato seja ye um ponto aderente a fx au seja y fim fx com Xx X Por hipotire X é compacto existe N uma subrequência de IX que converge para XEX pela continuidade de fi Y limfIXy fimX fx Portanto fx y fX logo X e fechado flimitado Suponhaprabundo que fx é ilimitado Eo se Ifx umasequência que não poni subsequência convergente LogoX e como X é compacto exite e a e mbrequência convergente em X ou veja limXk Xek Pela continuidade de f temos fx filmX continuidade lim fx Donde fx timf ⑥ PerhipóteseecompactoécontinaLogo pelaitemtemee a tais que Yo mind e y mXA Como Yoy edX existem Xmin max EX tais que Pm Yeminly min MindXe Pmux m K Sejaumbapaocompacto de eumconjuntoabeto dequalquer da métricas muais euclidiana e supremo está contida em E Demonstração Vamos ma o seguinte terrema Teouma Se XER é um compacto e FCM é fechado então existem XX e yeF tais que dIX Fl NoYol Em particula se XIFEP então dIX Flexo Por Ripétre X é compacto vapetin FIR anim F é fechado e F1X 0 Tome 0 c dX f logo se XXyeF temos E dXFxyl então yBXe Como x ey no e quais que Bx a I par todo XX 15 Seja X um subapaço compacto de RM ja fi DR uma função continua Mostre que dado qualquer aso existe 820 tal que para quaisquer X yeX sei x y1 8 D fx fly 2 Damatenção Suponha por andoqueo resultadonéválido Isto existe me se IYalte Ifixfiy a Anim podemos monta duas sequências em X 1 e lyr tis que para todo N temo NYale Ifflya E Uma ve que X é compacto podemosrupor que limXv XX elimy Yeoderiame para pa subrquêcine X e yx n necessrio D Anim Ifx flyl 1ftimXx fimyl continuidade on f limfIX Im flyril lim fxfyH fim fx fyn 3 E O que é uma contradição 16 Morte que o intervalo fechado a b 12 é conexo Demonstração Tome 2 6 AuB é uma cirão do intendo ou veja AcB não abatos disjuntos Vamos supor por abrando que A e B P Anim existem XEA e XI EB vamos supor sem perda de genera Cidade que XXz Agora tome 1 SupA existe pois A é limitado Note que 1 2 6 pois Ac26 Vamos analisa os casos 1 26 AUB Se1Como A abetoexistedo q at 2 Se etB como B é aberto existe aso tal que 1a 1 B porém ARR d e como se supremo de A existe a A te que 1 2 201 o que é abundo Portanto ou A q au B Logo a b é conexo 17 Seja um espaço conexo fiXD Y uma função continua Dall Morre que fIX é conexo em Y I Em particular ne p XDR for continua e re existirem pontos X X EX tais que dxd pX então existe um ponto xeX tal quex r Demonstração Dal Comidere uma cirão qualquer de fX em digamos fx AUB Então X FAUFB é uma cisão de X como X é conexo um denes subconjunto é vaio Sem perda de generalidade digamos que FIA 0 logo A e reque conexo que fx é Il LAD Vamos utiliza o Terrema XCR é conexo X é um intando Pelo Item temos que IXICK é conexo logo PIX é um intervalo de R Por hipotire existem Xo X EX com qxdr dX Tomo p auja portadistintos de um intado de ret logo red