Análise no R n

Exercício 2 Para cada uma das funções abaixo 1 fxy xyx2y2 xy 000 xy 00 2 fxy x2 y2x2 y2 yx2 xy 000 xy 00 3 fxy x3x2y2 xy 000 xy 00 4 fxy x y 5 fxy xy 6 fxy xyx2 y2 xy 000 xy 00 responda às seguintes questões i Para quais vetores v 0 a derivada direcional Df00v existe Calculea quando existir ii As derivadas parciais D1 f e D2 f existem em 00 iii A função f é diferenciável em 00 iv A função f é contínua em 00 Exercício 1 fxy xyx2 y2 xy 000 xy 00 ii A derivada direcional em direção do vetro v é dada por Dv f00 lim h0 f0ha0hb f00h v ab lim h0 hahbha2 hb2 0h lim h0 h2 abh h2a2b2 lim h0 aba2 b2 1h Note que Dv f00 existe apenas se a 0 ou b0 se não o limite acima não existe Loge a derivada direcional existe se v a0 ou v 0b com a b ℝ ii Agora vamos obter D1 f00 e D2 f00 Com efeito D1 f00 lim h0 fx0hy0 fx0y0h x0y0 00 lim h0 0hh 1 0 D1 f00 0 Logo existe D1 fxy em 00 Por outro lado temse D2 f00 lim h0 f0h f00h lim h0 h0h2 02 0 D2 fxy 0 em xy 00 Ou seja ambas as derivadas existem iii Sabemos que fxy é diferenciável num ponto ab se lim xyab fxy fab D1 fxy x D2 fxy y x a2 y b2 0 Eq 1 Para o caso pedido temos ab 00 O que nos dá lim xy00 xyx2 y2 0 0x 0y x2 y2 lim xy00 xyx2 y232 Agora escolhemos o caminho com x 0 que nos dá lim y0 x0 xyx2 y232 x0 0 Por outro lado o caminho x y nos dá lim yx y0 y2y2 232 lim y0 y2232 y3 lim y0 1y 1232 que não existe Portanto o limite da Eq 1 não existe e logo fxy não é diferenciável em 00 iv Vamos averiguar a continuidade da f em 00 Para isso vejo que pelo caminho x0 temos Lim xy00 fxy Lim y0 f0y 0 f00 Por outro lado para xy temos Lim y0 yx fxy Lim y0 fyy Lim y0 y22y2 Lim y0 12 12 0 f Logo a fxy não é contínua em 00 2 fxy x2 y2x2 y2 yx2 xy 00 0 xy 00 i temos para v ab arbitrário que Dv f Lim h0 f0ha 0hb f00h Lim h0 h4 a2 b2 h4 a2 b2 h2 b2 a2 h Lim h0 h2 a2 b2 h2 a2 b2 b a2 1h Portanto Dv f00 Lim h0 a2 b2 hh2 a2 b2 b a2 0 Note que o resultado acima vale se e somente se a b Se a0 e b 0 ou a b e b0 a derivada acima existe e vale zero Se a b a derivada acima existe e vale zero Logo os vetores v são os v ab com a b ii As derivadas parciais são dadas por D1 f00 Lim h0 f0h0 f00h Lim h0 0 f00h 0 D2 f00 Lim h0 f0 0h f00h Lim h0 0 hh2 0h 0 Portanto obtemos Dj f00 0 para j 1 2 iii Vamos seguir como no item anterior Com t feito vamos avaliar a Eq 1 I Lim xy00 fxy f00 D1 f00 x D2 f00 y sqrtx2 y2 Lim xy00 x2 y2 yx2 x2 y2 1 sqrtx2 y2 Note que para xy temos I Lim xy0 xy x2 y2yx2 x2 y2 1 sqrtx2 y2 Lim y0 y2 y2 y2 y2 1 sqrty2 2 Lim y0 12 1 y e o limite não existe Logo f não é derivável em 00 iv f é contínua em 00 Vejo que pelo caminho y x temos Lim xy00 yx fxy Lim y0 y2 y2 y4 Lim y0 1 1 Mas se y0 teríamos Lim x0 fx0 Lim x0 0 x2 0 x2 0 Portanto a fxy não é contínua em 00 Pois há dois caminhos para xy 00 tais que o limite da fxy são distintos 3 fxy x3x2 y2 xy 00 0 xy 00 i A derivada direcional para vec v ab em 00 Dvec v f00 lim h0 f0ha0hb f00h lim h0 h3a3h2 a2 h2 b2 1h lim h0 a3a2 b2 a3a2 b2 Então como ab R segue que desde que v ab seja não nulo isto é a 0 com b 0 também a derivada direcional existe e vale a3a2 b2 desde que a 0 e b 0 ii Agora vamos obter as derivadas parciais de f em 00 Com efeito D1 f00 lim h0 f0h0 f00h lim h0 h3h2 0 1h lim h0 1 1 e D2 f00 lim h0 f00h f00h 0 Pois f0h 0302 h3 0h3 0 Sendo assim as derivadas parciais pedidas são D1 f00 1 D2 f00 0 iii Aqui temos que avaliar como a Eq 1 Com efeito I lim xy00 fxy f00 D1 f00 x D2 f00 ysqrtx2 y2 lim xy00 fxy x 0sqrtx2 y2 lim xy00 x3x2 y2 xsqrtx2 y2 lim xy00 y2 x2 y232 Note que o caminho yx revela que lim y0 yx y2 x2 y232 lim y0 y2 y332 1 232 lim y0 1y Que não existe Portanto segue que fxy não é diferenciável iv Vamos verificar a continuidade da f em 00 Com efeito lim xy00 fxy lim r0 fr cosθ r senθ lim r0 r3 cos3θ r2 cos3θ r3 sen2θ lim r0 r cos3θ 0 De fato note que usamos mudanças de coordenadas na primeira linha para coordenadas polares E como r0 segue que lim xy00 fxy 0 já que cos3θ 1 for θ R Portanto obtemos lim xy00 fxy f00 0 que mostra a continuidade da fxy em 00 4 fxy x y i Dado vec v ab temos Dvec v f00 lim h0 f0ha 0hb f00h lim h0 h a bh ab lim h0 hh Mas veja que para h0 temos lim h0 hh lim h0 hh 1 lim h0 hh lim h0 hh 1 Logo como os limites laterais são distintos segue que Dvec v f00 não existe para qualquer ab R Com exceção de a b 0 vec v 0 ii As derivadas parciais são D1 f00 lim h0 fh0 f00h lim h0 hh D2 f00 lim h0 f0h f00h lim h0 hh E ambas não existem iii A f não é diferenciável em 00 De fato veja que I lim xy 00 fxy f00 D1 f00 x D2 f00 y x² y² Como Df00 não existem segue que o limite acima é indefinido e logo não existe Portanto f não é diferenciável iv A f é contínua em ℝ² pois as funções gx x e φy y são ambas contínuas em ℝ cada uma e logo suas somas também são contínuas portanto a f é contínua em ℝ² 5 fxy xy i Temos Dāb f00 lim h0 fhahb f00 h lim h0 h² a b h ab lim h0 h² h ab lim h0 h h Como lim h h não existe segue que para a 0 e b 0 a f não tem derivada direcional Mas veja que se a0 ou b0 então Dāb f00 0 para a0 ou b0 Logo Dāb f00 0 se v 0b ou se v a0 com ab ℝ Se tivermos v ab com a e b não nulos então Dāb fxy xy00 não existe ii As derivadas parciais são D1 f00 lim h0 fh0 f00 h lim h0 h0 0 h 0 D2 f00 lim h0 f0h f00 h lim h0 0h 0 h 0 Portanto temos Dj f00 0 para j 1 2 iii Veja que temos I lim xy 00 fxy f00 D1 f00 x D2 f00 y x² y² lim xy 00 fxy x² y² lim xy 00 x y x² y² lim xy 00 x y x² y² lim xy 00 x y x² y² Agora veja que pelo caminho com x0 obtemos I lim y0 0y 0² y² 0 Mas se x y temos I lim y0 xy y y 2 y² lim y0 y² 2 y² 12 porém y y y² y² Portanto temos que f não é diferenciável iv Agora usando coordenadas polares temos x r cosθ e y r senθ Com isso segue que lim xy00 xy lim r0 r² cosθ senθ lim r0 r sen2θ2 0 pois sen2θ 2 senθ cosθ que é limitada Agora veja que f00 00 0 Portanto temos que f00 lim xy00 xy que garante a continuidade da f em 00 6 fxy xy sqrtx2 y2 xy 00 0 xy 00 ii Para v ab temos Dv f00 lim h0 f0ha0hb f00 h lim h0 hahb sqrth2a2 b2 1h lim h0 hah b h h sqrta2 b2 lim h0 ab sqrta2 b2 ab sqrta2 b2 Portanto Dv f00 ab sqrta2 b2 o qual existe v R2 desde que a 0 e b 0 iii As derivadas parciais são D1 f00 lim h0 fh0 f00 h lim h0 h0 sqrth2 h 0 0 D2 f00 lim h0 f0h f00 h lim h0 0h sqrth2 h 0 0 Portanto ficamos com D1 f00 D2 f00 0 como resultado para as derivadas parciais iii Verificaremos a diferenciabilidade da f Com efeito I lim xy00 fxy f00 D1 f00x D2 f00y sqrtx2 y2 lim xy00 fxy sqrtx2 y2 lim xy00 xy sqrtx2 y2 1 sqrtx2 y2 lim xy00 xy x2 y2 Tomemos o caminho com x y que nos dá I lim y0 yy 2y2 lim y0 12 y y 12 lim y0 y y o qual não existe logo f não é diferenciável em 00 iv Usemos coordenadas polares Com efeito x r cosθ e y r senθ com r 0 Então temos lim xy00 fxy lim r0 frθ lim r0 r cosθ r senθ sqrtr2 lim r0 r r r cosθsenθ lim r0 r cosθsenθ 0 Pois r 0 r r Logo como f00 0 então temos que lim xy00 fxy f00 0