Lista de Exercícios Resolvidos - Limites Continuidade e Derivadas

Universidade Estadual de Campinas Universidade Federal do Maranhao Centro de Ciˆencias Codo MA Mestrado Profissional em Matematica Aplicada e Computacional Prof Dr Leonardo Rodrigues 20092024 3 Lista de exercıcios Aluno 1 Prove usando ε e δ que limx23x 4 2 2 Demonstre rigorosamente que limx0sin x x 1 utilizando a definicao de limite e a expansao em serie de Taylor para sin x 3 Seja f R R definida por x 21 fx x1 se x 1 2 se x 1 Determine se limx1 fx existe e em caso afirmativo encontreo Justifique usando a definicao de limite 4 Mostre que para a funcao fx ex temos limxex xn para qualquer n N Prove utilizando a definicao formal de limite no infinito 5 Seja xn uma sequˆencia convergente para L Prove que se f e contınua em L entao limnfxn fL 1 6 Prove que a funcao fx x3 e contınua em todo ponto de R utilizando a definicao εδ de continuidade 7 Seja f R R dada por fx x2 para x Q e fx 0 para x R Q Determine se f e contınua em algum ponto de R 8 Demonstre que a soma de duas funcoes contınuas e contınua Isto e prove que se f e g sao contınuas em a R entao hx fx gx tambem e contınua em a 9 Seja f uma funcao limitada e contınua em a b Prove que f atinge seus valores maximo e mınimo em a b Teorema de Weierstrass 10 Seja f 0 1 R uma funcao contınua Prove que f e uniformemente contınua em 0 1 11 Seja f R R definida por fx x Prove que f nao e diferenciavel em x 0 utilizando a definicao de derivada como limite 12 Seja f a b R uma funcao diferenciavel Prove que se fx 0 para todo x a b entao f e constante em a b Teorema de Fermat 13 Demonstre o Teorema do Valor Medio seja f a b R uma funcao contınua em a b e diferenciavel em a b Prove que existe c a b tal que fc fb fa b a 14 Seja f uma funcao derivavel Prove que se fx 0 para todo x a b entao f e crescente em a b 15 Prove que se f e uma funcao diferenciavel entao o conjunto dos pontos onde fx 0 e fechado Page 2