Lista de Exercícios - Conjuntos Enumeráveis, Topologia e Sequências em R

Universidade Estadual de Campinas Universidade Federal do Maranhao Centro de Ciˆencias Codo MA Mestrado Profissional em Matematica Aplicada e Computacional Prof Dr Leonardo Rodrigues 30082024 2 Lista de exercıcios Aluno 1 Seja A R um conjunto enumeravel Prove que todo subconjunto de A tambem e enumeravel ou finito 2 Prove que o conjunto dos numeros racionais Q e enumeravel enquanto o conjunto dos numeros reais R nao e 3 Mostre que o conjunto dos numeros irracionais entre 0 e 1 denotado por I01 e naoenumeravel 4 Considere o conjunto de Cantor C 0 1 Prove que C e um conjunto nao enumeravel e de medida zero 5 Demonstre que o conjunto das sequˆencias infinitas de numeros binarios S xn n1 xn 0 1 e naoenumeravel 6 Seja f R R uma funcao contınua Prove que a imagem de um conjunto enu meravel sob f nao precisa ser enumeravel Forneca um exemplo especıfico 7 Seja A R com a topologia usual Prove que A e aberto se e somente se para todo x A existe ϵ 0 tal que o intervalo aberto x ϵ x ϵ A 8 Seja B R um intervalo fechado e limitado Prove que B e compacto na topologia usual 9 Mostre que o conjunto Q 0 1 nao e fechado na topologia usual de R 10 Considere a sequˆencia de intervalos fechados e limitados In 1 n 1 1 n em R De termine a intersecao T n1 In e discuta se ela e aberta fechada ou compacta 1 11 Seja A R compacto na topologia usual Prove que A e limitado e fechado 12 Considere a sequˆencia an definida por an 1n n Determine se a sequˆencia an e limitada e se ela converge Se sim encontre o limite 13 Prove que toda sequˆencia monotona e limitada em R e convergente 14 Seja bn uma sequˆencia em R definida por bn n 1 n Determine se bn e convergente Se sim encontre o limite 15 Dada uma sequˆencia cn R limitada prove que existe uma subsequˆencia conver gente de cn Use o Teorema de BolzanoWeierstrass 16 Considere a sequˆencia dn em R definida por dn n21 2n23n1 Prove que dn con verge e encontre o limite 17 Seja en uma sequˆencia definida recursivamente por e1 1 e en1 en2 1en Mostre que en e limitada e convergente e encontre o limite Page 2