Lista de Exercicios Resolvidos - Limites e Continuidade de Funcoes - Unicamp UFMA

Universidade Estadual de Campinas Universidade Federal do Maranhao Centro de Ciˆencias Codo MA Mestrado Profissional em Matematica Aplicada e Computacional Prof Dr Leonardo Rodrigues 19092024 Resolucao da 3 Lista de exercıcios 1 Prove usando ε e δ que limx23x 4 2 Solucao Seja ε 0 Precisamos encontrar um δ 0 tal que se 0 x 2 δ entao 3x 4 2 ε Temos 3x 4 2 3x 6 3x 2 Para garantir que 3x 2 ε basta escolher δ ε 3 Assim se x 2 δ temos 3x 2 3δ ε Portanto limx23x 4 2 2 Demonstre rigorosamente que limx0sin x x 1 utilizando a definicao de limite e a expansao em serie de Taylor Solucao A expansao em serie de Taylor de sin x ao redor de x 0 e sin x x x3 3 Ox5 Dividindo ambos os lados por x obtemos x 1 x2 sin x 3 Ox4 Assim quando x 0 todos os termos de ordem superior tendem a zero de modo que limx0sin x x 1 1 3 Seja f R R definida por fx Determine se limx1 fx existe Solucao Para x 1 temos x 21 x1 se x 1 2 se x 1 fx x 1x 1 x 1 x 1 Portanto quando x 1 temos fx x 1 2 Logo limx1fx 2 Como f1 2 a funcao e contınua em x 1 4 Mostre que para a funcao fx ex temos limxex xn para qualquer n N Solucao Seja n N Precisamos mostrar que para qualquer M 0 existe um x0 0 tal que se x x0 entao ex xn M Podemos reescrever a desigualdade como ex Mxn Sabemos que excresce exponencialmente enquanto xncresce polinomialmente Para valores suficientemente grandes de x a desigualdade sera satisfeita provando que limxex xn 5 Seja xn uma sequˆencia convergente para L Prove que se f e contınua em L entao limnfxn fL Solucao Como xn L para qualquer ε 0 existe um N N tal que para todo n N temos xn L δ onde δ corresponde a continuidade de f em L Pela continuidade de f isso implica que fxn fL ε para todo n N Assim limn fxn fL 6 Prove que a funcao fx x3 e contınua em todo ponto de R utilizando a definicao εδ Solucao Seja x0 R e ε 0 Precisamos encontrar δ 0 tal que se x x0 δ entao fx fx0 x3 x3 0 ε Temos x3 x3 0 x x0x2 xx0 x2 0 Podemos limitar x2 xx0 x2 0 observando que se x x0 1 entao x esta em uma faixa proxima de x0 digamos x x0 1 Logo podemos encontrar um δ apropriado para garantir que x3 x3 0 ε Page 2 7 Seja f R R dada por fx x2 para x Q e fx 0 para x R Q Determine se f e contınua em algum ponto de R Solucao A funcao f e contınua em x 0 pois f0 0 e tanto para x Q quanto para x R Q temos que fx 0 quando x 0 Em qualquer outro ponto x0 0 a funcao nao e contınua pois ha uma discrepˆancia entre os valores que f assume para numeros racionais e irracionais 8 Demonstre que a soma de duas funcoes contınuas e contınua Solucao Seja f e g contınuas em a R Para qualquer ε 0 existe δ1 0 tal que fx fa ε2 sempre que x a δ1 e existe δ2 0 tal que gx ga ε2 sempre que x a δ2 Definindo δ minδ1 δ2 temos que fx gx fa ga fx fa gx ga ε 2 ε 2 ε Portanto f g e contınua em a 9 Seja f uma funcao limitada e contınua em a b Prove que f atinge seus valores maximo e mınimo em a b Teorema de Weierstrass Solucao Como f e contınua em a b e a b e um intervalo fechado e limitado pelo teorema de Weierstrass f atinge seus valores maximo e mınimo em a b Isso ocorre porque uma funcao contınua em um intervalo compacto e necessariamente limitada e atinge seus extremos 10 Seja f 0 1 R uma funcao contınua Prove que f e uniformemente contınua em 0 1 Solucao Como 0 1 e um intervalo compacto e f e contınua em 0 1 pelo teo rema de HeineCantor f e uniformemente contınua Isso significa que dado qual quer ε 0 existe um δ 0 tal que fx fy ε sempre que x y δ independentemente dos pontos x y 0 1 11 Seja f R R definida por fx x Prove que f nao e diferenciavel em x 0 Solucao A derivada de f em x 0 e dada por f0 lim h0 f0 h f0 h lim h0 h h Para h 0 temos h h 1 enquanto para h 0 temos h h 1 Como os limites laterais nao coincidem f nao e diferenciavel em x 0 12 Prove que se fx 0 para todo x a b entao f e constante em a b Teorema de Fermat Solucao Seja x1 x2 a b com x1 x2 Pelo teorema do valor medio existe c x1 x2 tal que fc fx2 fx1 x2 x1 Como fc 0 temos fx2 fx1 Como x1 e x2 sao arbitrarios f e constante em a b Page 3 13 Demonstre o Teorema do Valor Medio seja f a b R uma funcao contınua em a b e diferenciavel em a b Prove que existe c a b tal que fc fb fa b a Solucao A funcao f e contınua em a b e diferenciavel em a b Defina gx fx fbfa bax a Note que ga gb 0 Pelo teorema de Rolle existe c a b tal que gc 0 Mas gx fx fbfa ba Logo fc fbfa ba 14 Seja f uma funcao derivavel Prove que se fx 0 para todo x a b entao f e crescente em a b Solucao Se fx 0 para todo x a b entao pelo teorema do valor medio dado x1 x2 a b existe c x1 x2 tal que fc fx2 fx1 x2 x1 Como fc 0 temos fx2 fx1 o que prova que f e crescente 15 Prove que se f e uma funcao diferenciavel entao o conjunto dos pontos onde fx 0 e fechado Solucao Seja A x R fx 0 Precisamos mostrar que A e fechado isto e que contem todos os seus pontos de acumulacao Seja x0 um ponto de acumulacao de A Temos uma sequˆencia xn A tal que xn x0 Como f e diferenciavel f e contınua e portanto fx0 limnfxn limn0 0 Logo x0 A o que prova que A e fechado Page 4