Análise no Rn

LISTA 3 ANÁLISE GEOMÉTRICA MINTER Exercício 1 Sejam U R² um aberto x₀y₀ U e f U R uma função Sabendo que as derivadas parciais fx e fy existem em U e são contínuas em x₀y₀ prove que f é diferenciável neste ponto Exercício 2 Prove que um conjunto compacto X em R admite um elemento máximo e um mínimo Exercício 3 Seja fxy x² y²sin1x²y² se xy 00 0 se xy 00 a Determine fx e fy b Mostre que fx e fy não são contínuas em 00 c Prove que f é diferenciável em 00 d Prove que f é uma função diferenciável Definição Dizemos que f U R² R é de classe C¹ se as derivadas parciais de f existirem e forem contínuas em U Exercício 4 Prove que se z fxy for de classe C¹ em um aberto U R² então f é diferenciável Exercício 5 Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável Justifique a fxy xyx² y² se xy 00 0 se xy 00 b fxy x³x² y² se xy 00 0 se xy 00 c fxy xy³x² y² se xy 00 0 se xy 00 d fxy e1x² y² 1 se x² y² 1 0 se x² y² 1 Definição Se z fxy for diferenciável em x₀y₀ o plano z fx₀y₀ fxx₀y₀xx₀ fyx₀y₀yy₀ é chamado plano tangente ao gráfico de f no ponto x₀y₀fx₀y₀ 1 Exercício 6 Prove que o vetor n fxx₀y₀ fyx₀y₀ 1 é ortogonal ao plano tangente ao gráfico de f em x₀y₀fx₀y₀ e encontre uma equação vetorial para a reta normal ao plano tangente passando por x₀y₀fx₀y₀ Exercício 7 Determine o plano que passa pelos pontos 112 111 e que seja tangente ao gráfico de fxy xy Exercício 8 Determine o plano que seja paralelo ao plano z 2x y e tangente ao gráfico de fxy x² y² Exercício 9 z 2x y é a equação do plano tangente ao gráfico de fxy no ponto 113 Calcule fx11 fy11 Exercício 10 2x y 3z 6 é a equação do plano tangente ao gráfico de fxy no ponto 111 a Calcule fx11 fy11 b Determine a equação da reta normal no ponto 111 Exercício 11 Considere a função fxy x Φyx onde Φu é uma função derivável de uma variável Mostre que os planos tangentes ao gráfico de f passam pela origem Exercício 12 Considere a função fxy x³x² y² Mostre que os planos tangentes ao gráfico de f passam pela origem Exercício 13 Determine o plano que seja paralelo ao plano z 2x 3y e tangente ao gráfico de fxy xy Exercício 14 Determine os planos que sejam tangentes ao gráfico de fxy x² y² e que contenham a interseção dos planos x y z 3 e x y 1 Exercício 15 β é um plano tangente aos gráficos de fxy 2 x y² e gxy x² y² Mostre que a² b² 1 sendo abfab o ponto em que β tangencia o gráfico de f Exercício 16 Considere a função fxy 1 x² y² Seja α o plano tangente ao gráfico de f no ponto ab 1 a² b² com a 0 b 0 e a² b² 1 Seja V o volume do tetraedro determinado por α e pelos planos coordenados a Expresse V em função de a e b b Determine a e b para que se tenha Vaab 0 Vbab 0 Exercício 17 Determine os planos tangentes ao gráfico de fxy 2 x² y² que contenham o eixo x Exercício 18 Considere a função fxy xgyx onde gu é uma função derivável de uma variável Mostre que o plano tangente ao gráfico de f no ponto aafaa passa pela origem Exercício 19 A função z zxy é diferenciável e dada implicitamente pela equação x²a² y²b² z²c² 1 Mostre que x₀xa² y₀yb² z₀zc² 1 é a equação do plano tangente no ponto x₀y₀z₀ 0 Exercício 20 Seja z fxy diferenciável em x₀y₀ Seja S a função afim dada por Sxy ax x₀ by y₀ c Suponha que fxy Sxy Exy com lim xyx₀y₀ Exyxx₀² yy₀² 0 Conclua que a fxx₀y₀ b fyx₀y₀ c fx₀y₀ Exercício 4 Basta tomar a solução do Exercício 1 para um ponto x0 y0 U R2 Então como as derivadas parciais de f são contínuas em todos os pontos de U segue que o resultado do Exercício 1 se estende para todo conjunto U Consequentemente f é derivável em tod U R2 Exercício 5 Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável Justifique a fx y xy x2 y2 se x y 0 0 0 se x y 0 0 Análise 1 Diferenciabilidade em x y 0 0 A função é uma razão de polinômios com denominador não nulo portanto é diferenciável em todos os pontos fora da origem 2 Diferenciabilidade em 0 0 Calculamos as derivadas parciais fx0 0 lim h0 fh 0 f0 0 h lim h0 0 0 h 0 fy0 0 lim k0 f0 k f0 0 k lim k0 0 0 k 0 Verificamos a diferenciabilidade lim hk00 fh k f0 0 fx0 0h fy0 0k h2 k2 lim hk00 hk h2 k2 h2 k2 lim hk00 hk h2 k232 Tomando k h o limite não existe portanto f não é diferenciável em 0 0 Conclusão A função é diferenciável em R2 0 0 b fx y x3 x2 y2 se x y 0 0 0 se x y 0 0 Análise 1 Diferenciabilidade em x y 0 0 A função é diferenciável fora da origem 1 2 Diferenciabilidade em 0 0 Calculamos as derivadas parciais fx0 0 lim h0 fh 0 f0 0 h lim h0 h 0 h 1 fy0 0 lim k0 f0 k f0 0 k lim k0 0 0 k 0 Verificamos a diferenciabilidade lim hk00 fh k f0 0 fx0 0h fy0 0k h2 k2 lim hk00 h3 h2 k2 h h2 k2 lim hk00 hk2 h2 k232 Usando coordenadas polares o limite depende de θ logo não existe Portanto f não é diferenciável em 0 0 Conclusão A função é diferenciável em R2 0 0 c fx y xy3 x2 y2 se x y 0 0 0 se x y 0 0 Análise 1 Diferenciabilidade em x y 0 0 A função é diferenciável fora da origem 2 Diferenciabilidade em 0 0 Calculamos as derivadas parciais fx0 0 lim h0 fh 0 f0 0 h lim h0 0 0 h 0 fy0 0 lim k0 f0 k f0 0 k lim k0 0 0 k 0 Verificamos a diferenciabilidade lim hk00 fh k f0 0 fx0 0h fy0 0k h2 k2 lim hk00 hk3 h2 k2 h2 k2 lim hk00 hk3 h2 k232 Usando coordenadas polares o limite é zero portanto f é diferenciável em 0 0 Conclusão A função é diferenciável em R2 d fx y e 1 x2 y2 1 se x2 y2 1 0 se x2 y2 1 2 Análise 1 Diferenciabilidade em x2 y2 1 A função é identicamente zero portanto diferenciável 2 Diferenciabilidade em x2 y2 1 As derivadas parciais são contínuas na fronteira pois lim x2y21 e 1 x2 y2 1 0 e as derivadas tendem a zero Portanto f é diferenciável na fronteira 3 Diferenciabilidade em x2 y2 1 A função é a composição de funções diferenciáveis logo é diferenciável no interior do círculo Conclusão A função é diferenciável em R2 3 Exercício 8 Um plano paralelo ao plano z 2x y tem a mesma direção normal e portanto pode ser escrito na forma z 2x y d onde d é uma constante a determinar Para que esse plano seja tangente ao gráfico da função fxy x2 y2 o sistema formado pelas duas equações deve ter uma única solução Substituindo z na equação da superfície obtemos 2x y d x2 y2 Rearranjando os termos x2 2x y2 y d Completando os quadrados em x e y x2 2x 1 y2 y 14 d 1 14 x 12 y 122 d 54 Para que haja apenas um ponto de tangência o lado direito deve ser zero raio nulo d 54 0 d 54 Assim o plano tangente procurado é z 2x y 54 Exercício 1 A f é diferenciável se tivermos I Lim hk00 fx0hy0k fx0y0 Lhk h2 k2 0 11 com Lhk xfx0x0 h yfx0y0 k 12 Podemos escrever de início fx0hy0k fx0y0 fx0hy0k fx0y0k fx0y0k fx0y0 13 Do Teorema do Valor médio temos fx0hy0k fx0y0k xfcy0k h 14 com c ℝ tq x0 c x0h Para o segundo termo de 13 temos fx0y0k fx0y0 yfx0d k 15 com y0 d y0 k Então na eq 11 temos I Lim hk00 fx0hy0k fx0y0 Lhkh2k2 Lim hk00 yfx0d k xfcy0k h hxfx0y0 kyfx0y0 h2k2 Continuando I Lim hk00 h xfcy0k xfx0y0 h2k2 Lim hk00 k yfx0d yfx0y0 h2k2 tomando o módulo temos I Lim hk00 hh2k2 xfcy0k xfx0y0 Lim hk00 kh2k2 yfx0d yfx0y0 Como ambos os derivados parciais são contínuos segue que cada termo acima vai a zero e logo a igualdade em 11 é alcançada e portanto f é contínua Exercício 2 Seja X R compacto Então X é fechado e limitado logo existe a supX tq x a x X Com efeito ε 0 existe x X tq a ε x a a ε pois a ε não é supremo de X Portanto veja que então podemos tomar todos esses x e construir a seq xn X que é tq a ε xn a xn a ε Com n n₀ N com n₀ N tq n n₀ a desig vale Então por construção xn a e logo a é um ponto limite de X portanto a X já que X é fechado Logo X admite elemento máximo Por outro lado existe b infX que é tq b x x X ou seja tomemos xn X tq b ε b xn b ε uma vez que ε 0 b ε não é infX Então temos xn b ε para n N₁ com N₁ N Logo temos que b é ponto limite de X e portanto b X pois X é fechado logo X possui elemento mínimo também Exercício 3 fxy x² y² sin1 x² y² se xy 00 0 se xy 0 a Temos fx x x² y² sin1 x² y² 2x sin1 x² y² x² y² cos1 x² y² 2x x² y²² 2x sin1 x² y² 2x x² y² cos1 x² y² 2x sin1 x² y² 1 x² y² cos1 x² y² De forma análoga fy 2y sin1x² y² 1x² y² cos1x² y² Para xy 0 b tomemos x r cosθ e y r senθ Então com uso de coordenadas polares com θ R e r nossa variável Com isso veja que fx fx fica dada por fx x r cosθ y r senθ 2 r cosθ sin1r² 1r² cos1r² Agora veja qui c Pelo resultado temos por definição que f00 lim hk00 fhk f00 fx h fy k h² k² lim hk00 h² k² sin1 h² k² h² k² lim r²0 r² sin1 r² r lim r0 r sin1 r² 0 Com h r cosθ e k r senθ uma vez que fy 00 0 para y x y d f é diferenciável em 00 pelo item c e as funções fxxy e fyxy são diferenciáveis em U R² 00 que é onde estão definidas Portanto f é diferenciável Lim 2f Lim 2r cosθ sin1r² 1r² cos1r² Lim 2 cos 0 r sin1r² 1r cos1r² E veja que sin1r² 1 1 sin1r² 1 r r sin1r² r Lim r sin 1r² 0 Por outro lado 1r 1r cos1r² 1r não é efetivo na conta Em particular Lim 1r cos1r² diverge Logo fx não é contínua em 00 e portanto a função fx não é contínua Analogamente y f não é contínua em 00 A mudança de variável é similar com y r senθ Exercício 4 Se z fxy for C¹ por definição fx e fy existem e são contínuas em todo Uℝ² Logo f é diferenciável em U uma vez que fx fy C⁰ Exercício 5 Exercício 6 Seja n fx x₀y₀ fy x₀y₀ 1 Então mostramos que n é ortogonal ao gráfica da f em x₀y₀fx₀y₀ Com efeito da Eq do Plano tangente temos z fx₀y₀ fx x₀y₀ x x₀ fy x₀y₀ y y₀ x fx x₀y₀ y fy x₀y₀ x₀ fx x₀y₀ y₀ fy x₀y₀ E temos z fx₀y₀ x A y B D Portanto a Eq do plano é x A y B z fx₀y₀ D Com A fx x₀y₀ B fy x₀y₀ e D x₀ A y₀ B Logo podemos escrever AB1 xyz fx₀y₀ D 61 Em que AB1 n o vetor que caracteriza o plano Com isso podemos então ver que n é o vetor do plano logo ortogonal ao plano do gráfico E 61 é a eq pedida A eq geral do plano é z ax by c Com os pontos A 112 e B 111 temos A nos dá 2 a b c i B nos dá 1 a b c ii Portanto somando as Eqs temos ii i 1 2a a 12 Por outro lado i ii 3 2bc b c 32 Logo resta explicitar b e c Da fxy xy temos fx y e fy x Então seu plano tangente é tq a fx y e b fy x em x0 y0 Logo y0 a 12 x0 b Seu plano deve ainda tocar fx0y0 12 x0 b y0 32 b Com x0 b e y0 12 temos fb12 b2 b2 32 b 32 b b 32 Pois fxy xy x0 y0 b2 b 3 16 Logo b 3 c 32 3 362 32 Com isso nós obtemos a Eq z x2 3y 32 com z fxy Que é o desejado Exercício 8 17 Exercício 9 z fxy 2x y Com efeito z 2x y é a equação do plano tangente ao gráfico de fxy em 113 Logo da Eq geral do plano temos z 3 fxx0x1 fyy0y1 x fxx0 y fyy0 fxx0 fyy0 Logo temos que z x fxx0 y fyy0 3 fxx0 fyy0 2x y Portanto obtemos fxx0y0 2 e fyx0y0 1 com x0 y0 11 Ou seja fx11 2 e fy11 1 Exercício 10 2x y 3z 6 é a equação do plano tangente ao gráfico de fxy no ponto 111 a Veja que temos 2x y 3z 6 z 2 23 x 23 y Portanto por inspeção na Eq 1 da lista temos que fxx0y0 23 e fyx0y0 23 Com x0y0 11 Ou seja fx11 23 e fy11 23 b Agora vamos explorar a Eq da reta normal ao plano em 111 Na forma paramétrica essa é xt x0 at 1 2t Yt y0 bt 1 t Zt z0 ct 1 3t Pois n vetor 213 é o vetor normal ao plano 11 fxy x Φyx com Φu derivável Os planos tangentes de f são aqueles Note que fx xy Φyx x yx2 Φu Φyx yx Φu fyxy x 1x Φu Φu obs u yx Então fica determinado z fx0y0 fxx0y0xx0 fy x0y0yy0 Ou seja z fx0y0 Φy0x0 y0x0 Φu0xx0 Φu0yy0 Para a origem temos xy0 que nos dá z fx0y0 x0 Φy0x0 y0 Φu0 y0 Φu0 x0 Φy0x0 z fxy fx0y0 x0 Φy0x0 0 Logo a origem 000 satisfaz a Eq do plano e portanto a origem pertence ao gráfico da f Exercício 12 fxy x3x2 y2 Temos aqui que 2x 3x2x2 y2 x3 x2 y22 2x 3x2x2 y2 2x4x2 y22 x2x2 y22 3 2x2x2 y2 x2x2 y22 3 y2 x2 Portanto x f x2 3y2 x2x2 y22 y f x3 1 2yx2 y22 2x3 yx2 y22 Com isso a Eq do Plano é no ponto x0y0 arbitrário dado por z fx0y0 x fx0y0xx0 y fx0y0yy0 x02 3y02 x02x02 y022 xx0 2 x03 y0x02 y02 yy0 Para xy0 obtemos Para xc 0 e y 0 determinamos que Z fx0y0 x033y02 x02x02 y022 2x03y02x02 y022 x03x02 y02 x033y02 x02 2x03y02x02 y022 x03y02 x02 3y02 x02 2x03y02x02 y022 0 Logo o ponto 000 satisfaz a Eq e logo o plano contem a origem Portanto os planos tangentes de f ao gráfico da f passam pela origem Exercício 13 Seja z 2x 3y e fxy xy Vamos obter a Eq do plano paralelo ao plano z 2x 3y e tangente a fxy xy O vetor direcional de z é 23 1 n Agora da curva fxy xy temos f î x ĵ y xy yx O plano tangente a fxy em um ponto arbitrário x0y0 de modo que Zf fx0y0 f xx0y y0 fx0y0 y0xx0 x0yy0 x0y0 y0x x0y y0x0 x0y0 y0x x0y y0x0 2xy x0y0 y0x0 x0y0 Mas em nosso problema nosso plano tem a forma Z 2x 3y d com dIR Então como queremos z zf obtemos y0x x0y0 x0y 2x 3y d y0 2 x0 3 x0y0 d d 6 Então o plano desejado é z 2x 3y 6 Exercício 14 fxy x2 y2 Veja que a interseção das curvas é x y z 3 e x y 1 Com efeito isso delimita 1 z 3 z 2 e x y 1 Queremos que x 1x 2 esteja no plano Como os planos são tangentes a fxy nós obtemos que o plano de fxy é Zf fx0y0 fx x0y0xx0 fy x0y0yy0 x02 y02 2x0xx0 2y0yy0 2x0x 2y0y x02 y02 Com isso veja que queremos que nosso plano seja dado por αx y 1 βz 2 0 x y 1 kz 2 0 z 1k x 1k y 1 2kk Com k βα um coeficiente do plano Impondo a igualdade z zf temos z zf 2x0 1k 2y0 1k e x02 y02 1 2kk O que impõe que x0 y0 12k Porém a igualdade x02 y02 1 2kk não é satisfeita para x0y0 IR Portanto não há planos com as características buscados Exercício 15 É um plano tangente a fxy 2 x y² e gxy x² y² Então temos que Para fxy 2 x y² com fx 1 e fy 2y Logo o plano é em abfab dado por zf x a 2y y b 2 a b² 2 a b² x a 2by 2b² x 2by 2 b² E a eq de B em f é Bf zf x 2by 2 b² Para gxy x² y² nos dá gx 2x e gy 2y Portanto obtemos zg gcd f2xc x c 2yd y d c² d² 2cx c 2dy d 2c² 2d² 2cx 2dy c² d² c² d² 2cx 2dy Daí fazemos zf zg 2c 1 2d 2b 2 b² c² d² c 12 d b Logo 2d² 2 c² 2 14 d² 1 14 d 28 16 O caso com fxy 1 x² y² e α o plano tangente ao gráfico de f em ab1 a² b² com ab0 e a² b² 1 Seja V o volume do tetraedro determinado por α a Vamos expressar V em função de a e b O plano tangente ao gráfico de f em abfab temos z fab fx ab x a fy ab y b 1 a² b² 2a x a 2b y b 1 a² b² 2ax 2by E sabemos 2ax 2by z 1 a² b² A intersecção com os eixos são X z 0 2by 1 a² b² Y 1 a² b² 2b Y z 0 2ax 1 a² b² X 1 a² b² 2b X y 0 z 1 a² b² O Volume do Tetraedro é V 16 xyz 16 1 a² b²³ 12b² 1 a² b²³ 24 b² Ou seja V 1 a² b²³ 24 b² b temos Va 2a3 1 a² b²² 24 b² 6 a 1 a² b²² 4 b² Vb 3 1 a² b²² 2b 24 b² 2 1 a² b²³ 24 b³ Ou seja Vb 1 24 b³ 6 b² 2 1 a² b² 1 a² b²² 1 12 b² 2 b² a² 1 1 a² b²² Teste Vb 2b² a² 1 12 b² 1 a² b²² Então impondo o desejado Vaab 0 a 1 a² b²² 4 b² 0 a 0 Vbab 0 2b² 1 12 b² 1 a² b²² 0 2 b² 1 0 b 12 Logo temos que b 12 e a 0 Exercício 17 Um plano que contém c eixo x é escrito como α by cz 0 z ky k bc Mas o plano é tangente de z 2 x² y² logo temos z ky z 2 x² y² Ou seja otatemos 2 x² y² ky Ou seja o plano tangente a curva z 2 x² y² é z fab fₓabx a fᵧaby b no ponto ab Logo como fₓab 2a fᵧab 2b Com isso otatemos Zxy 2 a² b² 2axa 2byb 2ax 2by 2 a² b² E otatemos assim o plano π 2ax 2by z 2a² b² 0 Como t00 de R pertencer a π para t R otatemos 2at 2 a² b² 0 a 0 2 b² a² 0 b² 2 b 2 Com isso temos Para a 0 e b 2 Para a 0 e b 2 temos 20x z2 y z 2 0 2 0 z 22 y Para a 0 e b 2 temos 20x 22y z 2 0 2 0 z 22 y Logo os planos desejados são z 22 y Exercício 18 Basta tomar a solução da questão 11 com Φu gu e tomar aa faa como ponto x₀ y₀ fx₀ y₀ escolhida 19 Seja z dado por x²a² y²b² z²c² 1 z fxy Vamos calcular as derivadas parciais Com efeito 0 x x²a² y²b² z²c² 2xa² 2zc² zx fx xa² c²z Analogamente 2fy yb² c²z Portanto a Eq do plano tangente é z fx₀ y₀ fx x₀ y₀ x x₀ fy x₀ y₀ y y₀ z fx₀ y₀ x₀z₀ c²a² x x₀ y₀z₀ c²b² y y₀ z x₀²a² y₀²b² z₀²c² x₀²z₀ c²a² y₀² c²3₀ b² x₀z₀ c²a² x y₀z₀ yc²b² z 1 x₀²a² y₀²b² c² c² x₀²3₀ a² y₀²b² 3₀ c²x₀ x₀² x y₀ yb² z 3 t² c²z₀ x₀²a² y₀²b² Portanto temos 3₀ zc² x₀a² x y₀b² y 1 como desejado Exercício 20 Seja S a função afim dada por Sxy ax x0 by y0 c 1 Suponha que fxy Sxy Exy 2 Com Lim xy x0y0 E xy x x0² y y0² 0 3 Mostraremos que a f x x0y0 b f y x0y0 e c fx0y0 4 Como temos as eq 2 e 1 e 3 obtemos que Lim xy x0y0 fxy fx0y0 Sx0y0 Lim xy x0y0 Exy Sx0y0 Portanto fx0y0 c que determina c Agora veja que f x x0y0 Lim x x0 fxy0 fx0y0 x x0 Lim x x0 ax x0 c fx0y0 x x0 Lim x x0 ax x0 x x0 a Portanto a f x x0y0 Por fim f y x0y0 Lim y y0 fx0y fx0y0 y y0 Lim y y0 ax0 x0 by y0 fx0y0 fx0y0 y y0 b Portanto b f y x0y0 E temos todas as igualdades