Resolucao de Lista de Exercicios - Conjuntos Enumeraveis e Naoenumeraveis

Universidade Estadual de Campinas Universidade Federal do Maranhao Centro de Ciˆencias Codo MA Mestrado Profissional em Matematica Aplicada e Computacional Prof Dr Leonardo Rodrigues 19092024 Resolucao da 2 Lista de exercıcios 1 Resposta Seja A R um conjunto enumeravel Se B A entao existe uma bijecao f N A O conjunto B pode ser finito ou enumeravel Se B e finito entao e trivially finito Caso contrario como B A podemos restringir f a B isto e considerar fB N B o que implica que B e enumeravel Portanto todo subconjunto de A e ou finito ou enumeravel 2 Resposta a Enumerabilidade de Q Podemos escrever os numeros racionais na forma q p q onde p Z e q N Como ZN e um produto cartesiano de conjuntos enumeraveis ele e enumeravel Portanto Q e enumeravel b Naoenumerabilidade de R Provase por contradicao usando o argumento da diagonalizacao de Cantor Suponha que R seja enumeravel entao podemos listar todos os numeros reais entre 0 e 1 No entanto construımos um numero real que difere de cada numero da lista em pelo menos uma casa decimal o que contradiz a suposta completude da lista Portanto R e naoenumeravel 3 Resposta Considere I01 R0 1Q01 Como Q01 e enumeravel e R0 1 nao e o conjunto I01 deve ser naoenumeravel pois a subtracao de um conjunto enumeravel de um conjunto naoenumeravel ainda resulta em um conjunto nao enumeravel 4 Resposta a Naoenumerabilidade O conjunto de Cantor C pode ser visto como o con junto de todos os numeros no intervalo 0 1 que podem ser expressos em uma base 3 usando apenas os dıgitos 0 e 2 Ha uma bijecao entre C e o conjunto das sequˆencias infinitas de 0 e 1 o que mostra que C e naoenumeravel 1 b Medida zero O conjunto de Cantor e construıdo removendose repetida mente intervalos abertos do intervalo 0 1 O comprimento total removido soma 1 deixando um conjunto de medida zero 5 Resposta Cada sequˆencia em S pode ser vista como uma funcao de N em 0 1 O conjunto de todas as funcoes de N em 0 1 tem o mesmo tamanho que PN o conjunto das partes de N que e naoenumeravel Portanto S e naoenumeravel 6 Resposta Considere a funcao fx x2 Se tomarmos o conjunto dos numeros racionais Q como conjunto enumeravel a imagem de Q sob f e o conjunto dos quadrados dos numeros racionais que ainda e enumeravel No entanto se conside rarmos fx sinx a imagem de um conjunto enumeravel como Q pode incluir valores irracionais tornando o conjunto sinQ naoenumeravel Um exemplo es p pecıfico e o conjunto sin q p Z q N que pode conter valores irracionais 7 Resposta Seja A R aberto Pela definicao de conjunto aberto na topologia usual para todo x A existe ϵ 0 tal que o intervalo aberto x ϵ x ϵ A Reciprocamente se para todo x A existe um ϵ 0 tal que x ϵ x ϵ A entao A e a uniao de intervalos abertos logo A e aberto 8 Resposta Seja B R um intervalo fechado e limitado por exemplo B a b onde a b Pelo Teorema de HeineBorel sabemos que B e compacto na topologia usual de R pois B e fechado e limitado 9 Resposta O conjunto Q 0 1 nao e fechado na topologia usual de R Para ver isso note que o conjunto complementar R Q 0 1 nao e aberto pois ele inclui pontos irracionais em 0 1 os quais nao podem ser aproximados por intervalos abertos dentro de R Q 0 1 Alem disso o conjunto Q 0 1 nao contem todos os seus pontos de acumulacao que sao os irracionais em 0 1 o que mostra que nao e fechado 10 Resposta Considere a sequˆencia de intervalos In 1 n 1 1 n A intersecao T n1 In consiste em apenas um ponto pois a medida que n os intervalos se estreitam em torno de 1 Portanto T n1 In 1 Este conjunto e fechado pois e um conjunto de um ponto e todo conjunto unitario na topologia usual e fechado mas nao e aberto e e compacto pois conjuntos finitos na topologia usual de R sao compactos 11 Resposta Seja A R um conjunto compacto na topologia usual Pelo Teorema de HeineBorel sabemos que A deve ser fechado e limitado Se A fosse nao limitado poderia conter uma sequˆencia que diverge para infinito o que contradiz a definicao de compacidade Se A nao fosse fechado haveria um ponto de acumulacao em A que nao pertenceria a A novamente contradizendo a definicao de compacidade que exige que todo ponto de acumulacao pertenca ao conjunto 12 Resposta Considere a sequˆencia an definida por an 1n n Limitacao A sequˆencia an e limitada Isso pode ser visto observando que an 1n n 1 n e 1 ne limitada superiormente por 1 e inferiormente por 0 Page 2 Convergˆencia A sequˆencia an converge O limite de an conforme n e dado por limn1n n 0 Portanto a sequˆencia e convergente com limite igual a 0 13 Resposta Seja an uma sequˆencia monotona e limitada em R Se an e monotona crescente e limitada superiormente entao pelo Teorema da Completacao ou Teorema da Existˆencia de Supremos an converge para o supremo dos seus termos Se an e monotona decrescente e limitada inferiormente entao an converge para o ınfimo dos seus termos Em ambos os casos a sequˆencia e convergente 14 Resposta Considere a sequˆencia bn definida por bn n 1 n Podemos simplificar a expressao de bn como bn n 1 n n 1 n n 1 n1 n 1 n Como n temos n 1 n 2 n logo limnbn limn1 n 1 n 0 Portanto a sequˆencia bn converge para 0 15 Resposta Seja cn uma sequˆencia limitada em R Pelo Teorema de BolzanoWeierstrass sabemos que toda sequˆencia limitada em R possui uma subsequˆencia convergente Como cn e limitada existe uma subsequˆencia cnk tal que cnk converge para algum limite L R 16 Resposta Considere a sequˆencia dn em R definida por dn n21 2n23n1 Dividindo o numerador e o denominador por n2 temos dn 1 1n2 2 3 n 1n2 Quando n 1 n 0 e 1n2 0 Portanto 2 0 0 12 limndn 1 0 Assim a sequˆencia dn converge para 1 2 Page 3 17 Resposta Considere a sequˆencia en definida recursivamente por e1 1 e en1 en 2 1en Limitacao Vamos provar por inducao que en e limitada Para todo n en 1 Convergˆencia Suponha que a sequˆencia en converge para L Entao to mando o limite na equacao recursiva temos L L 2 1L Multiplicando ambos os lados por 2L obtemos 2L2 L2 2 L2 2 L 2 Portanto a sequˆencia en converge para 2 Page 4