Álgebra Linear I - Atividade Avaliativa sobre Produtos Internos e Complemento Ortogonal

Universidade Estadual de Santa Cruz UESC Departamento de Ciências Exatas DCEX Disciplina Álgebra Linear I Profa Liliane X Neves Alunoa Nota ATIVIDADE PARA NOTA 3 30 pontos das questões escritas mais 20 pontos da apresentação da solução no quadro Respostas sem justificativa não serão consideradas 1 05 pt Verifique se são produtos internos a F M2 x M2 R tal que A B trBtA b F R3 x R3 R tal que x1 y1 z1 x2 y2 z2 x1x2 z1z2 2 05 pt Seja W a reta de equação y 2x em R2 Obtenha a equação para W Seja agora W o plano de equação x 2y 3z 0 em R3 Obtenha W 3 025 pt Seja u a b c R3 um vetor unitário com abc 0 Determinar k de modo que sendo v bk ak 0 e w ack bck 1k os vetores u v w sejam unitários e dois a dois ortogonais 4 025 pt Dado o produto interno u v no espaço vetorial V mostre que u v2 u v2 2u2 v2 para quaisquer u v V Interprete esta igualdade geometricamente 5 05 pt Para todo número natural n mostre que a norma do vetor v n n 1 nn 1 R3 é um número natural 6 05 pt Seja W o subespaço de R5 gerado por u 2 4 6 2 4 e 2 4 7 2 1 Determinar uma base do complemento ortogonal W de W 7 05 pt Ache uma base ortonormal para o subespaço U de R4 gerado pelos vetores v1 1 1 1 1 v2 1 1 2 4 v3 1 2 4 3 O seu melhor requer o seu tempo 1 a P1 A B trBtA trAtB B A Logo não é um produto interno b P1 a b c d e f ad cf da fc d e f a b c da fc P2 a b c d g e h f i ad g cf i ad cf ag ci a b cd e f a b cg h i ad cf ag ci P3 a b c αd αe αf αad αcf αad cf αa b cd e f αad cf P4 a b ca b c a2 c2 0 2 y 2x x 2x1 x1 2 Wt 1 2 x 2y 3z 0 x 2y 3z 2y 3z y z y2 1 0 z3 0 1 Wt 2 1 0 3 0 1 3 Dois a dois ortogonais uv a1b1c bk ak 0 abk abk 0 uw abcackbck1k a2ck b2ck ck 0 a2k2 b2k2 1 vw bk ak 0ackbck1k abck2 abck2 0 vetores unitários u a2 b2 c2 1 v b2 k2 a2 k2 1 w a2 c2 k2 b2 c2 k2 1k2 1 c2 a2k2 b2 k2 1k2 1 c2 1k2 1 c2 k2 k2 1 k2 c2 1 1 k2 1 1 c2 K 1 1 c2 4 u u1 un v v1 vn uv2 uv2 u1 v12 un vn2 u1 v12 un vn2 u12 2u1v1 v12 un2 2unvn vn2 un2 2unvn vn2 2u12 2un2 2v12 2vn2 2 u2 2 v2 2 u2 v2 A soma dos quadrados dos comprimentos das diagonais de um paralelogramo formado pelos vetores u e v é igual a duas vezes a soma dos quadrados dos comprimentos dos lados do paralelogramo 6 2x 4y 6z 2w 4t 0 2x 4y 7z 2w t 0 x 1 z 4w 5t 0 z 4w 5t x1 y1 4w 5t w1 t WT 1000 0100 00410 00501 7 v1 1 1 1 1 u1 v1 v1 12 12 12 12 w2 1 1 2 4 1 1 2 412 12 12 1212 12 12 12 w2 1 1 2 4 412 12 12 12 w2 1 1 2 4 2 2 2 2 w2 1 1 0 2 u2 w2 w2 1sqrt6 1sqrt6 0 2sqrt6 w3 1 2 4 3 v3 u2 u2 v3 u1 u1 w3 1 2 4 3 3sqrt61sqrt6 1sqrt6 0 2sqrt6 512 12 12 12 w3 1 2 4 3 12 12 0 1 52 52 52 52 w3 1 0 32 12 u3 w3 w3 2sqrt14 0 3sqrt14 1sqrt14 B 1 1 1 1 1 1 0 2 2sqrt14 0 3sqrt14 1sqrt14