Álgebra Linear

LISTA DE EXERCICIOS Instrucoes Todos os exercıcios devem ser respondidos utilizando sistemas de equacoes lineares Todos os sistemas devem ser respondidos pelo metodo da eliminacao gaussiiana Questao 1 Trˆes programadores estao desenvolvendo um software e cada um esta alocando diferentes quantidades de tempo para diferentes modulos O programador 1 esta trabalhando no dobro de tarefas que o programador 2 enquanto o programador 3 esta alocando mais 5 horas do que o programador 1 Se o total de horas dedicadas e de 120 horas determine quantas horas cada um trabalhou Questao 2 Segundo o algoritmo utilizado pelo Google a importˆancia de um site depende essencialmente da importˆancia dos sites que possuem link para ele No exemplo fictıcio da figura 1 a rede e composta de apenas quatro sites Cada flecha que sai de uma pagina e chega em uma outra indica que existe link da primeira para a segunda Seja xi o ındice de importˆancia do site i Obs xi 0 Muitos poderiam pensar que para encontrar a importˆancia do site 4 Figure 1 figura 2 deverıamos somar as importˆancias dos sites 1 e 2 ou seja x4 x1 x2 Porem notamos que o site 1 possui link para os sites 2 3 e 4 Sendo as sim a importˆancia da pagina 1 deve ser dividida por 3 Analogamente a importˆancia da pagina 2 deve ser dividida por 2 Portanto x4 x13x22 a Obtenha as importˆancias x1 x2 e x3 em funcao das demais usando o mesmo raciocınio utilizado para obter x4 x13 x22 1 b Resolva o sistema obtido no item anterior c Qual e o site de maior importˆancia Questao 3 Considere um conjunto de vias de mao unica com 6 cruza mentosinterseccoes onde cada cruzamento possui 4 vias 2 entradas e 2 saıdas que se encontram simultaneamente como se demonstra na figura 2 Figure 2 figura 1 A media da quantidade de carros chegando e saindo em cada rua em determinado tempo esta indicado na figura Estamos partindo do pressuposto que nao ha retencao de trˆansito em nenhuma rua o que significa que o fluxo de carro em cada cruzamento e zero a Encontre o sistema de equacoes lineares que modela o problema b Classifique os sistema como possıvel e determinado possıvel e indeter minado ou impossıvel c Qual sera o impacto no trˆansito se as ruas x1 e x2 forem interditadas para reparo 2 1 CONSIDERANDO QUE O TEMPO DE TRABALHO EM HORAS DAS TAREFAS É LINEAR E É DADO POR t1 αT t2 α2T SQT5 120 aT 23 t1 16 hours t2 23 hours t3 15 hours 2 QX1 X1 X2 X4 b 1 0 1 1 13 16 13 16 13 0 0 1 0 1 13 0 13 23 56 2 13 56 13 0 1 1 1 0 13 16 0 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Y1 X1 X2 X4 Y2 X2 X3 X4 Y3 X3 X4 X1 379 X2 X3 94 X1 X4 23 X2 X4 37 X3 Similarly the matrices and numeric values are shown written in pen X1 X3 800 X1 X4 600 X2 X1 100 X4 600 X1 X2 X3 800 X1 X2 X4 200 X4 X5 500 X2 X4 X6 750 X4 X6 60 Q q 0 0 1 0 0 0 L 0 1 0 1 0 1 L 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 800 500 350 600 50 0 50 450 950 600 50 0 X3 X6 750 X3 X2 Y a X7 950 X6 50 X7 X1 X3 800 X6 X7 X4 X7 600 X7 450 400 X7 X3 X6 X7 950 X4 X6 X7 50 X5 X7 50 X3 800 X6 50 X7 450 X4 200 X5 500 X5 50 450 X5 500 O fluxo esperado otimo de norma que a solucao e o fluxo esperado é impossivel pois xi 0 mas nunca O fluxo esperado é possivel é n e mas nunca o fluxo 5 6 7 Devem ser numeros negativos X3 X6 950 600 X7 X5 450 X7 EXAM X4 X1 50 X7 X6 X7 950 150 X4 3 2 150 450 350 X1 379 3 X1 X1 94 X2 3 X2 Y4 3 X2 X3 94 3 b POSSIVEL E INDETERMINADO SPT X1 800 X2 X3 X4 X5 X6 X7 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 X2 X1 X4 X7 3