Lista de Exercícios Resolvidos - Integrais Triplas e Aplicações

6 calcule a integral Aqui você pode escolher entre as questões 7 e 8 e responder qual você prefere RESPONDER APENAS UMA DAS DUAS QUESTÕES ABAIXO 7 Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral 10 Calcule o volume dos sólidos W descritos abaixo 11 Calcule as integrais triplas abaixo usando uma mudança de variáveis conveniente Questão 1 Pela primeira ordem V 0 1 0 2 1 1 x 3 z y 2dxd yd z V 0 1 0 2 x 4 4 z y 2 x1 1 dydz V 0 1 0 2 1 4 z y 2 1 4 zy 2dydz V 0 1 0 2 2 y 2 dydz V 0 1 2 3 y 30 2 dz V 0 1 2 3 2 3dz V16 3 0 1 dz V16 3 Pela segunda ordem V 0 1 0 1 1 1 x 3 z y 2dxd zd y V 0 2 0 1 x 4 4 z y 2 x1 1 d zd y V 0 2 0 1 1 4 z y 2 1 4 zy 2d zd y V 0 2 0 1 2 y 2 d zd y V 0 2 2 y 2 0 1 dzdy V 0 2 2 y 2 dy V 2 3 y 30 2 V2 3 2 3 V16 3 Pela terceira ordem V 1 1 0 2 0 1 x 3 z y 2d zd yd x V 1 1 0 2 x 3 z 2 2 y 2z0 1 dydx V 1 1 0 2 x 3 1 2 y 2dydx V 1 1 x 3 y 2 y 3 3 0 2 dx V 1 1 x 3 2 2 2 3 3 dx V 1 1 x 3 8 3dx V x 4 4 8 3 x 1 1 V 1 4 8 3 1 48 3 V 8 3 8 3 V16 3 Questão 2 Temos a seguinte integral tripla I 0 2 1 y 2 1 z yzdxdzdy Calculando obtemos I 0 2 1 y 2 yz 1 z dxdzdy I 0 2 1 y 2 yz z1dzdy I 0 2 y 1 y 2 z 2zdzdy I 0 2 y z 3 3 z 2 2 1 y 2 dy I 0 2 y y 6 3 y 4 2 1 3 1 2dy I 0 2 y 7 3 y 5 2 y 1 3 1 2dy I y 8 24 y 6 12 y 2 2 1 60 2 I 2 5 3 2 4 3 2 1 6 I 2 52 4 3 1 3 I32161 3 I47 3 Questão 3 Aqui na 7 o enunciado não faz sentido pois o intervalo de integração em x é o seguinte 0 x2xy Ou seja o x aparece nos extremos de integração da própria variável x o que não faz sentido geométrico Pelo erro no enunciado o professor deve dar o ponto para todo mundo que escolheu esta questão Questão 4 No plano xy temos a seguinte região Assim a integral será dada por I 0 1 0 x 0 1xy 6 xydzdydx Calculando obtemos I6 0 1 0 x xy 0 1x y dzdydx I6 0 1 0 x xy 1x y dydx I6 0 1 x 0 x yxy y 2 dydx I6 0 1 x y 2 2 x y 2 2 y 3 3 0 x dx I6 0 1 x x 2 x x 2 x 3 2 3 dx I6 0 1 x 2 2 x 3 2 x 5 2 3 dx I6 x 3 6 x 4 8 2 7 x 7 2 3 0 1 I6 1 6 1 8 2 7 1 3 I6 68 48 2 21 I6 14 48 2 21 I6 7 24 2 21 I6 721224 2421 I 14748 421 I195 84 I65 28 Questão 5 Esboço da região Assim temos que o volume será dado em termos de duas integrais V 1 1 0 1x 2 y 4x 2y 2 dzdydx 1 1 1x 2 0 0 4x 2y 2 dzdydx Passando para coordenadas polares temos xr cosθ yrsinθ dAdxdyrdrdθ x 2 y 2r 2 Logo a integral fica I 0 π 0 1 r sinθ 4r 2 dzrdrdθ 2π π 0 1 0 4r 2 dzrdrdθ Calculando obtemos I 0 π 0 1 4r 2r sinθ rdrdθ π 2π 0 1 4r 2rdrdθ I 0 π 0 1 4rr 3r 2sinθ drdθ π 2π 0 1 4rr 3 drdθ I 0 π 2r 2r 4 4 r 3 3 sinθ0 1 dθ π 2π 2r 2r 4 4 0 1 dθ I 0 π 21 41 3 sinθdθ π 2π 2 1 4dθ I 0 π 7 4 1 3 sinθdθ 7 4 π 2 π dθ I 7 4 θ 1 3 cosθ0 π 7 4 2ππ I 7 4 π 1 3 cos π 7 4 0 1 3 cos 0 7 4 π I 7 4 π1 3 1 3 7 4 π I7 2 π2 3 Questão 6 Esboço região entre os hemisférios circulares Usando coordenadas esféricas temos xr sinψ cosθ yrsinψ sinθ zr cosψ dxdydzr 2sinψ drdψdθ x 2 y 2z 2r 2 x 2 y 2r 2sin 2ψ Logo temos os limites de integração z x 2 y 2 z1x 2y 2 z4x 2y 2 r cosψr 2sin 2ψ r cosψ1r 2sin 2ψ r cosψ4r 2sin 2ψ r 2cos 2ψr 2sin 2ψ r 2cos 2ψ1r 2sin 2ψ r 2cos 2ψ4r 2sin 2ψ cos 2ψsin 2ψ r 2cos 2ψr 2sin 2ψ1 r 2cos 2ψr 2sin 2ψ4 tan 2ψ1 r 21 r 24 ψ π 4 r1 r2 Logo a integral fica 1 z 2 dxdydz 0 2 π 0 π 4 1 2 1 r cosψ 2 r 2sin ψ drdψdθ Calculando temos 0 2π 0 π 4 1 2 sinψ cos 2ψ drdψdθ 0 2π 0 π 4 sinψ cos 2ψ 1 2 drdψdθ 0 2π 0 π 4 sinψ cos 2ψ 21 dψdθ 0 2π 0 π 4 sinψ cos 2ψ dψdθ 2π 0 π 4 sinψ cos 2ψ dψ 2π 0 π 4 sinψ cos 2ψ dψ 2π 0 π 4 cosψ cos 2ψ dψ 2π 1 cosψ 0 π 4 2π 1 cosψ 0 π 4 2π 1 cos π 2 1 cos 0 2π 1 2 2 1 1 2π 2 2 1 2π 21 Questão 1 Pela primeira ordem 𝑉 𝑥3𝑧 𝑦2𝑑𝑥 1 1 𝑑𝑦 2 0 𝑑𝑧 1 0 𝑉 𝑥4 4 𝑧 𝑦2𝑥 1 1 𝑑𝑦 2 0 𝑑𝑧 1 0 𝑉 1 4 𝑧 𝑦2 1 4 𝑧 𝑦2𝑑𝑦 2 0 𝑑𝑧 1 0 𝑉 2𝑦2𝑑𝑦 2 0 𝑑𝑧 1 0 𝑉 2 3 𝑦3 0 2 𝑑𝑧 1 0 𝑉 2 3 23 𝑑𝑧 1 0 𝑉 16 3 𝑑𝑧 1 0 𝑉 16 3 Pela segunda ordem 𝑉 𝑥3𝑧 𝑦2𝑑𝑥 1 1 𝑑𝑧 1 0 𝑑𝑦 1 0 𝑉 𝑥4 4 𝑧 𝑦2𝑥 1 1 𝑑𝑧 1 0 𝑑𝑦 2 0 𝑉 1 4 𝑧 𝑦2 1 4 𝑧 𝑦2𝑑𝑧 1 0 𝑑𝑦 2 0 𝑉 2𝑦2𝑑𝑧 1 0 𝑑𝑦 2 0 𝑉 2𝑦2 𝑑𝑧 1 0 𝑑𝑦 2 0 𝑉 2𝑦2𝑑𝑦 2 0 𝑉 2 3 𝑦3 0 2 𝑉 2 3 23 𝑉 16 3 Pela terceira ordem 𝑉 𝑥3𝑧 𝑦2𝑑𝑧 1 0 𝑑𝑦 2 0 𝑑𝑥 1 1 𝑉 𝑥3 𝑧2 2 𝑦2𝑧 0 1 𝑑𝑦 2 0 𝑑𝑥 1 1 𝑉 𝑥3 1 2 𝑦2 𝑑𝑦 2 0 𝑑𝑥 1 1 𝑉 𝑥3 𝑦 2 𝑦3 3 0 2 𝑑𝑥 1 1 𝑉 𝑥3 2 2 23 3 𝑑𝑥 1 1 𝑉 𝑥3 8 3 𝑑𝑥 1 1 𝑉 𝑥4 4 8 3 𝑥 1 1 𝑉 1 4 8 3 1 4 8 3 𝑉 8 3 8 3 𝑉 16 3 Questão 2 Temos a seguinte integral tripla 𝐼 𝑦𝑧𝑑𝑥 𝑧 1 𝑑𝑧 𝑦2 1 𝑑𝑦 2 0 Calculando obtemos 𝐼 𝑦𝑧 𝑑𝑥 𝑧 1 𝑑𝑧 𝑦2 1 𝑑𝑦 2 0 𝐼 𝑦𝑧𝑧 1𝑑𝑧 𝑦2 1 𝑑𝑦 2 0 𝐼 𝑦 𝑧2 𝑧𝑑𝑧 𝑦2 1 𝑑𝑦 2 0 𝐼 𝑦 𝑧3 3 𝑧2 2 1 𝑦2 𝑑𝑦 2 0 𝐼 𝑦 𝑦6 3 𝑦4 2 1 3 1 2 𝑑𝑦 2 0 𝐼 𝑦7 3 𝑦5 2 𝑦 1 3 1 2 𝑑𝑦 2 0 𝐼 𝑦8 24 𝑦6 12 𝑦2 2 1 6 0 2 𝐼 25 3 24 3 2 1 6 𝐼 25 24 3 1 3 𝐼 32 16 1 3 𝑰 𝟒𝟕 𝟑 Questão 3 Aqui na 7 o enunciado não faz sentido pois o intervalo de integração em 𝑥 é o seguinte 0 𝑥 2 𝑥 𝑦 Ou seja o 𝑥 aparece nos extremos de integração da própria variável 𝑥 o que não faz sentido geométrico Pelo erro no enunciado o professor deve dar o ponto para todo mundo que escolheu esta questão Questão 4 No plano xy temos a seguinte região Assim a integral será dada por 𝐼 6𝑥𝑦𝑑𝑧 1𝑥𝑦 0 𝑑𝑦 𝑥 0 𝑑𝑥 1 0 Calculando obtemos 𝐼 6 𝑥𝑦 𝑑𝑧 1𝑥𝑦 0 𝑑𝑦 𝑥 0 𝑑𝑥 1 0 𝐼 6 𝑥𝑦1 𝑥 𝑦𝑑𝑦 𝑥 0 𝑑𝑥 1 0 𝐼 6 𝑥 𝑦 𝑥𝑦 𝑦2𝑑𝑦 𝑥 0 𝑑𝑥 1 0 𝐼 6 𝑥 𝑦2 2 𝑥 𝑦2 2 𝑦3 3 0 𝑥 𝑑𝑥 1 0 𝐼 6 𝑥 𝑥 2 𝑥 𝑥 2 𝑥 3 2 3 𝑑𝑥 1 0 𝐼 6 𝑥2 2 𝑥3 2 𝑥 5 2 3 𝑑𝑥 1 0 𝐼 6 𝑥3 6 𝑥4 8 2 7 𝑥 7 2 3 0 1 𝐼 6 1 6 1 8 2 7 1 3 𝐼 6 6 8 48 2 21 𝐼 6 14 48 2 21 𝐼 6 7 24 2 21 𝐼 6 7 21 2 24 24 21 𝐼 147 48 4 21 𝐼 195 84 𝑰 𝟔𝟓 𝟐𝟖 Questão 5 Esboço da região Assim temos que o volume será dado em termos de duas integrais 𝑉 𝑑𝑧 4𝑥2𝑦2 𝑦 𝑑𝑦 1𝑥2 0 𝑑𝑥 1 1 𝑑𝑧 4𝑥2𝑦2 0 𝑑𝑦 0 1𝑥2 𝑑𝑥 1 1 Passando para coordenadas polares temos 𝑥 𝑟 cos 𝜃 𝑦 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝐴 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑥2 𝑦2 𝑟2 Logo a integral fica 𝐼 𝑑𝑧 4𝑟2 𝑟 sin 𝜃 𝑟𝑑𝑟 1 0 𝑑𝜃 𝜋 0 𝑑𝑧 4𝑟2 0 𝑟𝑑𝑟 1 0 𝑑𝜃 𝜋 2𝜋 Calculando obtemos 𝐼 4 𝑟2 𝑟 sin𝜃𝑟𝑑𝑟 1 0 𝑑𝜃 𝜋 0 4 𝑟2𝑟𝑑𝑟 1 0 𝑑𝜃 2𝜋 𝜋 𝐼 4𝑟 𝑟3 𝑟2 sin𝜃𝑑𝑟 1 0 𝑑𝜃 𝜋 0 4𝑟 𝑟3𝑑𝑟 1 0 𝑑𝜃 2𝜋 𝜋 𝐼 2𝑟2 𝑟4 4 𝑟3 3 sin𝜃 0 1 𝑑𝜃 𝜋 0 2𝑟2 𝑟4 4 0 1 𝑑𝜃 2𝜋 𝜋 𝐼 2 1 4 1 3 sin 𝜃 𝑑𝜃 𝜋 0 2 1 4 𝑑𝜃 2𝜋 𝜋 𝐼 7 4 1 3 sin 𝜃 𝑑𝜃 𝜋 0 7 4 𝑑𝜃 2𝜋 𝜋 𝐼 7 4 𝜃 1 3 cos 𝜃 0 𝜋 7 4 2𝜋 𝜋 𝐼 7 4 𝜋 1 3 cos 𝜋 7 4 0 1 3 cos 0 7 4 𝜋 𝐼 7 4 𝜋 1 3 1 3 7 4 𝜋 𝑰 𝟕 𝟐 𝝅 𝟐 𝟑 Questão 6 Esboço região entre os hemisférios circulares Usando coordenadas esféricas temos 𝑥 𝑟 sin𝜓 cos 𝜃 𝑦 𝑟 sin 𝜓 sin 𝜃 𝑧 𝑟 cos 𝜓 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑟2 sin 𝜓 𝑑𝑟𝑑𝜓𝑑𝜃 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑟2 𝑥2 𝑦2 𝑟2 sin2 𝜓 Logo temos os limites de integração 𝑧 𝑥2 𝑦2 𝑧 1 𝑥2 𝑦2 𝑧 4 𝑥2 𝑦2 𝑟 cos 𝜓 𝑟2 sin2 𝜓 𝑟 cos 𝜓 1 𝑟2 sin2 𝜓 𝑟 cos 𝜓 4 𝑟2 sin2 𝜓 𝑟2 cos2 𝜓 𝑟2 sin2 𝜓 𝑟2 cos2 𝜓 1 𝑟2 sin2 𝜓 𝑟2 cos2 𝜓 4 𝑟2 sin2 𝜓 cos2 𝜓 sin2 𝜓 𝑟2 cos2 𝜓 𝑟2 sin2 𝜓 1 𝑟2 cos2 𝜓 𝑟2 sin2 𝜓 4 tan2 𝜓 1 𝑟2 1 𝑟2 4 𝜓 𝜋 4 𝑟 1 𝑟 2 Logo a integral fica 1 𝑧2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 1 𝑟 cos 𝜓2 𝑟2 sin 𝜓 𝑑𝑟 2 1 𝑑𝜓 𝜋 4 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 Calculando temos sin𝜓 cos2 𝜓 𝑑𝑟 2 1 𝑑𝜓 𝜋 4 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 sin 𝜓 cos2 𝜓 𝑑𝑟 2 1 𝑑𝜓 𝜋 4 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 sin 𝜓 cos2 𝜓 2 1𝑑𝜓 𝜋 4 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 sin 𝜓 cos2 𝜓 𝑑𝜓 𝜋 4 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 2𝜋 sin 𝜓 cos2 𝜓 𝑑𝜓 𝜋 4 0 2𝜋 sin 𝜓 cos2 𝜓 𝑑𝜓 𝜋 4 0 2𝜋 cos 𝜓 cos2 𝜓 𝑑𝜓 𝜋 4 0 2𝜋 1 cos 𝜓 0 𝜋 4 2𝜋 1 cos 𝜓 0 𝜋 4 2𝜋 1 cos 𝜋 2 1 cos 0 2𝜋 1 2 2 1 1 2𝜋 2 2 1 𝟐𝝅𝟐 𝟏