Derivadas Parciais e Funções Diferenciáveis - Cálculo Diferencial e Integral

Profa Patrícia Helena Moraes Rêgo phmregoyahoocombr 20251 Curso Engenharia de Produção Cálculo Diferencial e Integral de Várias Variáveis DERIVADAS PARCIAIS E FUNÇÕES DIFERENCIÁVEIS 1 Derivadas Parciais Sejam uma função 𝑓 𝐴 ℝ2 ℝ 𝑧 𝑓𝑥 𝑦 e 𝑥0 𝑦0 𝐴 A derivada parcial de 𝑓 em relação a 𝑥 no ponto 𝑥0 𝑦0 denotada por 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0 é definida por Definição 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0 lim 𝑥𝑥0 𝑓 𝑥 𝑦0 𝑓 𝑥0 𝑦0 𝑥 𝑥0 2 se este limite existir 1 Derivadas Parciais Observamos que para calcular 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0 fixase 𝑦 𝑦0 em 𝑧 𝑓𝑥 𝑦 e calculase a derivada de 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 𝑦0 em 𝑥 𝑥0 ou seja 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0 𝑔 𝑥0 lim 𝑥𝑥0 𝑔 𝑥 𝑔 𝑥0 𝑥 𝑥0 3 2 Derivadas Parciais Analogamente definimos a derivada parcial de 𝑓 em relação a 𝑦 no ponto 𝑥0 𝑦0 por 𝑓 𝑦 𝑥0 𝑦0 lim 𝑦𝑦0 𝑓 𝑥0 𝑦 𝑓 𝑥0 𝑦0 𝑦 𝑦0 4 se este limite existir 3 Derivadas Parciais 5 Observamos que para calcular 𝑓 𝑦 𝑥0 𝑦0 fixase 𝑥 𝑥0 em 𝑧 𝑓𝑥 𝑦 e calculase a derivada de ℎ 𝑦 𝑓 𝑥0 𝑦 em 𝑦 𝑦0 ou seja 𝑓 𝑦 𝑥0 𝑦0 ℎ 𝑦0 lim 𝑦𝑦0 ℎ 𝑦 ℎ 𝑦0 𝑦 𝑦0 4 Derivadas Parciais Fazendo 𝑥 𝑥0 Δ𝑥 e 𝑦 𝑦0 Δ𝑦 1 e 3 podem ser reescritas respectivamente por Observação 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0 lim Δ𝑥0 𝑓 𝑥0 Δ𝑥 𝑦0 𝑓 𝑥0 𝑦0 Δ𝑥 6 𝑓 𝑦 𝑥0 𝑦0 lim Δ𝑦0 𝑓 𝑥0 𝑦0 Δ𝑦 𝑓 𝑥0 𝑦0 Δ𝑦 5 6 Derivadas Parciais Sejam uma função 𝑓 𝐴 ℝ2 ℝ 𝑧 𝑓𝑥 𝑦 e 𝐵 𝐴 o conjunto formado por todos os pontos 𝑥 𝑦 tais que 𝑓 𝑥 𝑥 𝑦 existe Definimos a função derivada parcial de 1ª ordem de 𝑓 em relação a 𝑥 como a função que a cada 𝑥 𝑦 𝐵 associa o número 𝑓 𝑥 dado por Definição 𝑓 𝑥 𝑥 𝑦 lim Δ𝑥0 𝑓 𝑥 Δ𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 𝑦 Δ𝑥 7 7 Derivadas Parciais Analogamente definimos a função derivada parcial de 1ª ordem de 𝑓 em relação a 𝑦 como Definição 𝑓 𝑦 𝑥 𝑦 lim Δ𝑦0 𝑓 𝑥 𝑦 Δ𝑦 𝑓 𝑥 𝑦 Δ𝑦 8 8 Derivadas Parciais Observação Outras notações que podem ser usadas para as derivadas parciais de 1ª ordem A derivada 𝑓 𝑥 𝑥 𝑦 também é representada por 9 𝑓 𝑥 𝐷𝑥𝑓 𝑥 𝑦 𝐷1𝑓 𝑥 𝑦 𝑓𝑥 𝑥 𝑦 Analogamente a derivada 𝑓 𝑦 𝑥 𝑦 é representada por 𝑓 𝑦 𝐷𝑦𝑓 𝑥 𝑦 𝐷2𝑓 𝑥 𝑦 𝑓𝑦 𝑥 𝑦 Derivadas Parciais Na prática podemos obter as derivadas parciais mais facilmente usando as regras de derivação das funções de uma variável Nesse caso para calcular 𝑓 𝑥 mantemos 𝑦 constante e para calcular 𝑓 𝑦 𝑥 é mantido constante 10 Os exemplos que seguem ilustram esse procedimento Derivadas Parciais Exemplo 1 Encontrar as derivadas parciais de 1ª ordem das seguintes funções 11 a 𝑓 𝑥 𝑦 2𝑥2𝑦 3𝑥𝑦2 4𝑥 b 𝑔 𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦2 2 c 𝑧 sen 2𝑥 𝑦 Derivadas Parciais Exemplo 2 Verificar se a função 𝑧 ln 𝑥𝑦 𝑥 𝑦 satisfaz a equação 12 𝑥 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 𝑥 𝑦 Derivadas Parciais Exemplo 3 Seja 13 𝑓 𝑥 𝑦 ൞ 2𝑥𝑦 3𝑥2 5𝑦2 𝑥 𝑦 00 0 𝑥 𝑦 00 Calcular 𝑓 𝑥 e 𝑓 𝑦 Derivadas Parciais Sabese que o gráfico de uma função 𝑧 𝑓𝑥 𝑦 é definido por Interpretação Geométrica das Derivadas Parciais 14 𝐺𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 ℝ3 ȁ 𝑥 𝑦 𝐷𝑓 e 𝑧 𝑓𝑥 𝑦 Seja 𝑥0 𝑦0 𝐷𝑓 e seja 𝑃 𝑥0 𝑦0 𝑧0 o ponto correspondente no gráfico de 𝑓 com 𝑧0 𝑓 𝑥0 𝑦0 Derivadas Parciais 15 Fixar 𝑦 𝑦0 significa interceptar o gráfico de 𝑓 pelo plano 𝑦 𝑦0 A interseção é uma curva 𝐶1 de equação 𝑧 𝑓𝑥 𝑦0 O número 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0 se existir é o coeficiente angular da reta tangente à 𝐶1 quando 𝑥 𝑥0 Na figura temse 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0 𝑡𝑔 𝛼 Derivadas Parciais 16 De maneira análoga fixar 𝑥 𝑥0 significa interceptar o gráfico de 𝑓 pelo plano 𝑥 𝑥0 A interseção é uma curva 𝐶2 de equação 𝑧 𝑓𝑥0 𝑦 O número 𝑓 𝑦 𝑥0 𝑦0 se existir é o coeficiente angular da reta tangente à 𝐶2 quando 𝑦 𝑦0 Na figura temse 𝑓 𝑦 𝑥0 𝑦0 𝑡𝑔 𝛽 Derivadas Parciais Exemplo 1 Seja 𝑧 6 𝑥2 𝑦2 Encontre a inclinação da reta tangente à curva 𝐶 resultante da interseção de 𝑧 𝑓𝑥 𝑦 com o plano 𝑥 2 no ponto 𝑃2 1 1 17 Derivadas Parciais Exemplo 2 Seja 𝑧 16 𝑥2 𝑦2 Encontre a inclinação da reta tangente à curva 𝐶 resultante da interseção de 𝑧 𝑓𝑥 𝑦 com o plano 𝑦 2 no ponto 𝑃1 2 11 18 Derivadas Parciais Podemos generalizar o conceito de derivadas parciais de 1ª ordem para funções com mais de duas variáveis Derivadas Parciais de Funções com Mais de Duas Variáveis 19 Dada a função 𝑓 𝐴 ℝ𝑛 ℝ 𝑧 𝑓 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 podemos obter 𝑛 derivadas parciais de 1ª ordem 𝑓 𝑥1 𝑓 𝑥𝟐 𝑓 𝑥𝒏 Derivadas Parciais Derivadas Parciais de Funções com Mais de Duas Variáveis 𝑓 𝑥1 lim Δ𝑥10 𝑓 𝑥1 Δ𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 𝑓 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 Δ𝑥1 20 𝑓 𝑥2 lim Δ𝑥20 𝑓 𝑥1 𝑥2 Δ𝑥2 𝑥𝑛 𝑓 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 Δ𝑥2 𝑓 𝑥𝑛 lim Δ𝑥𝑛0 𝑓 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 Δ𝑥𝑛 𝑓 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 Δ𝑥𝑛 Derivadas Parciais Derivadas Parciais de Funções com Mais de Duas Variáveis 𝑓 𝑥1 lim Δ𝑥10 𝑓 𝑥1 Δ𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 𝑓 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 Δ𝑥1 21 𝑓 𝑥2 lim Δ𝑥20 𝑓 𝑥1 𝑥2 Δ𝑥2 𝑥𝑛 𝑓 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 Δ𝑥2 𝑓 𝑥𝑛 lim Δ𝑥𝑛0 𝑓 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 Δ𝑥𝑛 𝑓 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 Δ𝑥𝑛 Derivadas Parciais Exemplo Calcular as derivadas parciais de 1ª ordem da função 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 𝑤 𝑥𝑦𝑧 ln 𝑥2 𝑡2 𝑤2 22 Solução Essa função é uma função de cinco variáveis Portanto temos cinco derivadas parciais de 1ª ordem Derivadas Parciais de Funções com Mais de Duas Variáveis 𝑓 𝑥 𝑓 𝑦 𝑓 𝑧 𝑓 𝑡 𝑓 𝑤 Diferenciabilidade Caracterizamos uma função diferenciável 𝑓 de uma variável pela existência de uma única reta tangente em cada ponto do gráfico de 𝑓 23 Nesta seção vamos estender o conceito de diferenciabilidade de funções de uma variável para as funções de duas variáveis Reta tangente representa uma boa aproximação para a função 𝑓 próximo do ponto 𝑥0 Diferenciabilidade 24 Se 𝑓 é diferenciável no ponto 𝑥0 sua derivada 𝑓𝑥0 é dada por lim 𝑥𝑥0 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥0 𝑥 𝑥0 𝑓𝑥0 lim 𝑥𝑥0 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥0 𝑥 𝑥0 𝑓𝑥0 0 lim 𝑥𝑥0 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥0 𝑓𝑥0 𝑥 𝑥0 𝑥 𝑥0 0 lim 𝑥𝑥0 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥0 𝑓𝑥0 𝑥 𝑥0 𝑥 𝑥0 0 Diferenciabilidade 25 A última equação nos diz que a função Em outras palavras quando 𝑥 se aproxima de 𝑥0 a diferença entre 𝑓𝑥 e 𝑦 se aproxima de zero de uma forma mais rápida 𝑦 𝑓 𝑥0 𝑓 𝑥0 𝑥 𝑥0 que é a reta tangente ao gráfico de 𝑓 no ponto 𝑥0 𝑓 𝑥0 é uma boa aproximação de 𝑓 próximo de 𝑥0 26 Diferenciabilidade Assim como a derivada de uma função de uma variável está ligada à reta tangente ao gráfico da função as derivadas parciais estão relacionadas com o plano tangente ao gráfico de uma função de duas variáveis No entanto nesse último caso devemos fazer uma análise bem mais cuidadosa pois somente a existência das derivadas parciais não garante que existirá uma plano tangente como veremos mais adiante Diferenciabilidade 27 Como vimos 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0 Coeficiente angular da reta tangente à curva de interseção do plano 𝑦 𝑦0 com a superfície 𝑧 𝑓𝑥 𝑦 no ponto 𝑥0 𝑦0 𝑓 𝑥0 𝑦0 𝑓 𝑦 𝑥0 𝑦0 Coeficiente angular da reta tangente à curva de interseção do plano 𝑥 𝑥0 com a superfície 𝑧 𝑓𝑥 𝑦 no ponto 𝑥0 𝑦0 𝑓 𝑥0 𝑦0 28 Intuitivamente percebemos que essas retas tangentes devem estar contidas no plano tangente à superfície se esse plano existir Diferenciabilidade 29 Assim se o plano tangente a 𝑧 𝑓 𝑥 𝑦 no ponto 𝑥0 𝑦0 𝑓 𝑥0 𝑦0 fosse dado pela equação Diferenciabilidade ℎ 𝑥 𝑦 𝑎𝑥 𝑏𝑦 𝑐 teríamos que a sua inclinação na direção do eixo dos 𝑥 seria 𝑎 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0 b sua inclinação na direção do eixo dos 𝑦 seria 𝑏 𝑓 𝑦 𝑥0 𝑦0 1 2 3 30 Diferenciabilidade c o ponto 𝑥0 𝑦0 𝑓 𝑥0 𝑦0 satisfaria a Eq 1 ou seja ℎ 𝑥0 𝑦0 𝑓 𝑥0 𝑦0 4 Substituindo 2 e 3 em 1 obteríamos 5 ℎ 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0 𝑥 𝑓 𝑦 𝑥0 𝑦0 𝑦 𝑐 Substituindo 4 em 5 teríamos 𝑓 𝑥0 𝑦0 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0 𝑥0 𝑓 𝑦 𝑥0 𝑦0 𝑦0 𝑐 31 Diferenciabilidade ou seja 𝑐 𝑓 𝑥0 𝑦0 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0 𝑥0 𝑓 𝑦 𝑥0 𝑦0 𝑦0 6 Finalmente substituindo 6 em 5 obteríamos 7 ℎ 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥0 𝑦0 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0 𝑥 𝑥0 𝑓 𝑦 𝑥0 𝑦0 𝑦 𝑦0 Assim na situação em que existir o plano tangente ao gráfico de 𝑧 𝑓𝑥 𝑦 no ponto 𝑥0 𝑦0 𝑓 𝑥0 𝑦0 esse plano será dado pela Eq 7 32 Diferenciabilidade Podemos agora introduzir o conceito de função diferenciável De uma maneira informal dizemos que 𝑓𝑥 𝑦 é diferenciável em 𝑥0 𝑦0 se o plano dado pela Eq 7 nos fornece uma boa aproximação para 𝑓𝑥 𝑦 perto de 𝑥0 𝑦0 ou seja quando 𝑥 𝑦 se aproxima de 𝑥0 𝑦0 a diferença entre 𝑓𝑥 𝑦 e 𝑧 ℎ𝑥 𝑦 se aproxima mais rapidamente de zero Temos a seguinte definição 33 Diferenciabilidade Dizemos que a função 𝑓𝑥 𝑦 é diferenciável no ponto 𝑥0 𝑦0 se as derivadas parciais 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0 e 𝑓 𝑦 𝑥0 𝑦0 existem e se Definição lim 𝑥𝑥0 𝑦𝑦0 𝑓 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥0 𝑦0 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0 𝑥 𝑥0 𝑓 𝑦 𝑥0 𝑦0 𝑦 𝑦0 𝑥 𝑦 𝑥0 𝑦0 0 em que 𝑥 𝑦 𝑥0 𝑦0 representa a distância de 𝑥 𝑦 a 𝑥0 𝑦0 que é dada por 𝑥 𝑥0 2 𝑦 𝑦0 2 8 34 Diferenciabilidade Dizemos que 𝑓 é diferenciável em um conjunto 𝐴 𝐷𝑓 se 𝑓 for diferenciável em todos os pontos de 𝐴 35 Diferenciabilidade Para provar que uma função é diferenciável em 𝑥0 𝑦0 usando a definição devemos mostrar que as derivadas parciais existem em 𝑥0 𝑦0 e além disso que o limite da Eq 8 é zero Se uma das derivadas não existe no ponto 𝑥0 𝑦0 𝑓 não é diferenciável nesse ponto Se o limite dado na Eq 8 for diferente de zero ou não existir 𝑓 não será diferenciável no ponto 𝑥0 𝑦0 mesmo se existirem as derivadas parciais nesse ponto É importante ressaltarmos os seguintes pontos sobre a definição 36 Diferenciabilidade Se 𝑓𝑥 𝑦 é diferenciável no ponto 𝑥0 𝑦0 então 𝑓 é contínua nesse ponto Proposição 1 Demonstração Diferenciabilidade Exemplo 1 Usando a definição provar que a função 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦2 é diferenciável em ℝ2 37 a 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦2 Exemplo 2 Verifique se as funções dadas são diferenciáveis na origem 38 b 𝑓 𝑥 𝑦 ൞ 𝑥2 𝑥2 𝑦2 𝑥 𝑦 00 0 𝑥 𝑦 00 Diferenciabilidade c 𝑓 𝑥 𝑦 ൞ 2𝑦3 𝑥2 𝑦2 𝑥 𝑦 00 0 𝑥 𝑦 00 39 Diferenciabilidade Seja 𝑥0 𝑦0 um ponto do domínio da função 𝑓𝑥 𝑦 Se 𝑓𝑥 𝑦 possui derivadas parciais 𝑓 𝑥 e 𝑓 𝑦 num conjunto aberto 𝐴 que contém 𝑥0 𝑦0 e se essas derivadas parciais são contínuas em 𝑥0 𝑦0 então 𝑓 é diferenciável em 𝑥0 𝑦0 Proposição 2 Uma condição suficiente para diferenciabilidade Exemplo 1 Verificar que as funções abaixo são diferenciáveis em ℝ2 40 a 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦2 b 𝑓 𝑥 𝑦 3𝑥𝑦2 4𝑥2𝑦 2𝑥𝑦 c 𝑓 𝑥 𝑦 sen 𝑥𝑦2 Diferenciabilidade Solução a A função 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦2 tem derivadas parciais em todos os pontos 𝑥 𝑦 ℝ2 que são dadas por 41 Diferenciabilidade 𝑓 𝑥 2𝑥 e 𝑓 𝑦 2𝑦 Como essas derivadas parciais são contínuas em ℝ2 concluímos que 𝑓 é diferenciável em ℝ2 Solução b A função 𝑓 𝑥 𝑦 3𝑥𝑦2 4𝑥2𝑦 2𝑥𝑦 é uma função polinomial que possui derivadas parciais em todos os pontos 𝑥 𝑦 ℝ2 que são dadas por 42 Diferenciabilidade 𝑓 𝑥 3𝑦2 8𝑥𝑦 2𝑦 e 𝑓 𝑦 6𝑥𝑦 4𝑥2 2𝑥 Essas derivadas são funções polinomiais e portanto são contínuas em ℝ2 Logo 𝑓 é diferenciável em ℝ2 Solução c A função 𝑓 𝑥 𝑦 sen 𝑥𝑦2 tem derivadas parciais em todos os pontos 𝑥 𝑦 ℝ2 que são dadas por 43 Diferenciabilidade 𝑓 𝑥 𝑦2cos 𝑥𝑦2 e 𝑓 𝑦 2𝑥𝑦cos 𝑥𝑦2 Como essas derivadas são contínuas em ℝ2 𝑓 é diferenciável em ℝ2 Exemplo 2 Verificar que as funções dadas são diferenciáveis em todos os pontos de ℝ2 exceto na origem 44 a 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥 𝑥2 𝑦2 Diferenciabilidade b 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦2 Solução a Em todos os pontos 𝑥 𝑦 ℝ2 𝑥 𝑦 00 a função 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥 𝑥2𝑦2 tem derivadas parciais que são dadas por 45 Diferenciabilidade 𝑓 𝑥 𝑥2 𝑦2 𝑥2 𝑦2 2 e 𝑓 𝑦 2𝑥𝑦 𝑥2 𝑦2 2 Como essas derivadas são funções racionais cujo denominador se anula apenas na origem elas são contínuas em ℝ2 00 Logo 𝑓𝑥 𝑦 é diferenciável em todos os pontos de ℝ2 exceto na origem Solução b A função 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦2 tem derivadas parciais em todos os pontos 𝑥 𝑦 ℝ2 𝑥 𝑦 00 Suas derivadas parciais são dadas por 46 Diferenciabilidade 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥2 𝑦2 e 𝑓 𝑦 𝑦 𝑥2 𝑦2 Essas derivadas são contínuas em todos os pontos de ℝ2 exceto na origem Logo 𝑓𝑥 𝑦 é diferenciável em ℝ2 00 Vimos que o plano tangente ao gráfico de uma função 𝑓𝑥 𝑦 quando existir será dado pela Eq 7 No entanto nem sempre o plano dado por essa equação existe e mesmo se existir poderá não ser tangente ao gráfico de 𝑓 Podemos visualizar isso analisando os gráficos das Figuras a seguir 47 Plano Tangente e Vetor Gradiente 48 Na Figura ao lado temos o gráfico da função 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦2 Esse gráfico representa uma superfície suave que possui plano tangente em todos os seus pontos Como já verificado esta função é diferenciável em todos os pontos de ℝ2 Plano Tangente e Vetor Gradiente 49 Na Figura ao lado temos o gráfico da função 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦2 que apresenta um ponto anguloso na sua origem não admitindo plano tangente neste ponto Como já verificado esta função não tem derivadas parciais em 00 não sendo diferenciável nesse ponto Nesse exemplo o plano dado pela Eq 7 não existe Plano Tangente e Vetor Gradiente 50 A Figura ao lado mostra o gráfico da função Plano Tangente e Vetor Gradiente Nesse exemplo no ponto 000 o plano da Eq 7 existe mas não é tangente ao gráfico de 𝑓 𝑓 𝑥 𝑦 ൞ 2𝑦3 𝑥2 𝑦2 𝑥 𝑦 00 0 𝑥 𝑦 00 Como já verificado esta função admite derivadas parciais em 00 mas não é diferenciável nesse ponto Definição 51 9 Plano Tangente e Vetor Gradiente Seja 𝑓 ℝ2 ℝ uma função diferenciável no ponto 𝑥0 𝑦0 Chamamos plano tangente ao gráfico de 𝑓 no ponto 𝑥0 𝑦0 𝑓 𝑥0 𝑦0 ao plano dado pela equação 𝑧 𝑓 𝑥0 𝑦0 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0 𝑥 𝑥0 𝑓 𝑦 𝑥0 𝑦0 𝑦 𝑦0 Exemplo Determinar se existir o plano tangente ao gráfico das funções dadas nos pontos indicados 52 a 𝑧 𝑥2 𝑦2 𝑃10 0 0 𝑃21 1 2 b 𝑧 2𝑥2 𝑦2 𝑃10 0 0 𝑃2 1 1 3 Plano Tangente e Vetor Gradiente Observamos que usando o produto escalar de dois vetores a equação do plano tangente pode ser reescrita como 53 Plano Tangente e Vetor Gradiente 𝑧 𝑓 𝑥0 𝑦0 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0 𝑓 𝑦 𝑥0 𝑦0 𝑥 𝑥0 𝑦 𝑦0 O vetor 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0 𝑓 𝑦 𝑥0 𝑦0 formado pelas derivadas parciais de 1ª ordem de 𝑓 tem propriedades interessantes e é denominado gradiente de 𝑓 no ponto 𝑥0 𝑦0 Definição 54 Plano Tangente e Vetor Gradiente Seja 𝑧 𝑓𝑥 𝑦 uma função que admite derivadas parciais de 1ª ordem no ponto 𝑥0 𝑦0 O gradiente de 𝑓 no ponto 𝑥0 𝑦0 denotado por 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 𝑥0 𝑦0 ou 𝑓 𝑥0 𝑦0 é um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de 1ª ordem de 𝑓 nesse ponto ou seja 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 𝑥0 𝑦0 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0 𝑓 𝑦 𝑥0 𝑦0 Definição 55 Plano Tangente e Vetor Gradiente Se estamos trabalhando com um ponto genérico 𝑥 𝑦 usualmente representamos o vetor gradiente por 𝑓 𝑓 𝑥 𝑓 𝑦 Analogamente definimos o vetor gradiente de funções de mais de duas variáveis Por exemplo para uma função de três variáveis 𝑤 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 temos 𝑤 𝑓 𝑥 𝑓 𝑦 𝑓 𝑧 Exemplo 1 Determinar o vetor gradiente das funções 56 a 𝑧 5𝑥2𝑦 1 𝑥 𝑦2 b 𝑤 𝑥𝑦𝑧2 Plano Tangente e Vetor Gradiente 57 Plano Tangente e Vetor Gradiente Exemplo 2 Determinar o vetor gradiente da função Exemplo 3 Determinar o vetor gradiente da função 𝑔𝑥 𝑦 1 𝑥2 𝑦2 em 𝑃0 00 𝑓𝑥 𝑦 𝑥2 1 2 𝑦2 no ponto 13 58 Plano Tangente e Vetor Gradiente Observando o gráfico da função 𝑔𝑥 𝑦 1 𝑥2 𝑦2 vemos que essa função apresenta um valor máximo na origem Depois veremos que os extremos relativos de uma função diferenciável 𝑓𝑥 𝑦 estão em pontos onde 𝑓 0 59 Plano Tangente e Vetor Gradiente Uma das mais importantes propriedades do gradiente de uma função 𝑓𝑥 𝑦 é que ele é perpendicular às curvas de nível de 𝑓 A seguir enunciaremos essa propriedade e daremos exemplos Seja 𝑓𝑥 𝑦 uma função tal que pelo ponto 𝑃0 𝑥0 𝑦0 passa uma curva de nível 𝐶𝑘 de 𝑓 Se 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 𝑥0 𝑦0 não for nulo então ele é perpendicular à curva 𝐶𝑘 em 𝑥0 𝑦0 isto é ele é perpendicular à reta tangente à curva 𝐶𝑘 no ponto 𝑥0 𝑦0 Proposição 3 60 Plano Tangente e Vetor Gradiente A figura abaixo ilustra geometricamente esse resultado É importante observar que o vetor gradiente está situado no plano 𝑥𝑦 que é o domínio de definição da função dada Além disso ele está aplicado no ponto 𝑥0 𝑦0 ou seja ele foi transladado paralelamente da origem para esse ponto Exemplo 1 Verificar a Proposição 3 para a função 𝑓𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦 no ponto 𝑃024 61 Plano Tangente e Vetor Gradiente Solução Pelo ponto 𝑃0 passa a curva de nível 𝐶0 da função 𝑓𝑥 𝑦 dada por 𝐶0 𝑓 𝑥 𝑦 0 𝑥2 𝑦 0 𝑦 𝑥2 62 Plano Tangente e Vetor Gradiente No plano 𝑥𝑦 um vetor 𝑢1 𝑢2 é perpendicular a uma reta 𝑡 se 𝑘1 𝑘2 1 𝑘2 𝑢2 𝑢1 em que 𝑘1 é o coeficiente angular da reta 𝑡 e é o coefi ciente angular do vetor 𝑢1 𝑢2 63 Plano Tangente e Vetor Gradiente 𝑓 2𝑥 1 𝑓 24 4 1 𝑘2 1 4 𝑘1 𝑦2 4 Por outro lado temos que Assim o coeficiente angular 𝑓 24 é dado por 𝑘1𝑘2 4 1 4 1 Da interpretação geométrica da derivadas de funções de uma variável temos que no ponto 24 o coeficiente angular da reta tangente à curva 𝐶0 é dado por Temos então 64 Plano Tangente e Vetor Gradiente A figura abaixo ilustra esse exemplo Portanto 𝑓24 é perpendicular à curva de nível de 𝑓 nesse ponto Exemplo 2 Encontrar a equação da reta perpendicular à curva 𝑥2 𝑦2 4 no ponto 𝑃1 3 65 Plano Tangente e Vetor Gradiente Solução A curva dada é uma curva de nível da função 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦2 e que passa pelo ponto 𝑃1 3 Assim o vetor 𝑓 é perpendicular à curva dada nesse ponto 𝑓 2𝑥 2𝑦 𝑓1 3 2 2 3 Temos A inclinação da reta 𝑡 perpendicular à curva dada no ponto 𝑃 coincide com o coeficiente angular 𝑘2 do vetor 𝑓1 3 Temos 66 Plano Tangente e Vetor Gradiente Conhecendo a inclinação da reta procurada e sabendo que ela passa no ponto 𝑃 podemos escrever sua equação que é dada por 𝑘2 2 3 2 3 𝑦 3 3 𝑥 1 𝑦 3 𝑥 A Figura abaixo ilustra esse exemplo 67 Plano Tangente e Vetor Gradiente Observação 68 Plano Tangente e Vetor Gradiente A Proposição 3 pode ser generalizada para funções de três ou mais variáveis Para funções de três variáveis temos seguinte enunciado Seja 𝑤 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 uma função tal que por um ponto 𝑃 do espaço passa uma superfície de nível 𝑆 de 𝑓 Se 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 for nãonulo em 𝑃 então 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 é normal a 𝑆 em 𝑃 Definição 69 Diferencial Seja 𝑧 𝑓𝑥 𝑦 uma função diferenciável no ponto 𝑥0 𝑦0 A diferencial de 𝑓 em 𝑥0 𝑦0 é definida pela função ou transformação linear onde ℎ 𝑥 𝑥0 e 𝑘 𝑦 𝑦0 𝑓 ℝ2 ℝ 𝑇 𝑥 𝑥0 𝑦 𝑦0 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0 𝑥 𝑥0 𝑓 𝑦 𝑥0 𝑦0 𝑦 𝑦0 𝑇 ℎ 𝑘 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0 ℎ 𝑓 𝑦 𝑥0 𝑦0 𝑘 ou 10 Observamos que 70 Diferencial Comparando a Eq 10 com a equação do plano tangente à superfície 𝑧 𝑓𝑥 𝑦 Eq 9 podemos ver que a transformação linear 𝑇 nos fornece uma aproximação do acréscimo 𝑧 da função 𝑓 quando se passa de 𝑥0 𝑦0 para 𝑥 𝑦 ou seja 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0 𝑥 𝑥0 𝑓 𝑦 𝑥0 𝑦0 𝑦 𝑦0 𝑧 𝑓 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥0 𝑦0 71 Diferencial É comum dizer que 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0 𝑥 𝑥0 𝑓 𝑦 𝑥0 𝑦0 𝑦 𝑦0 𝑥 𝑥 𝑥0 e 𝑦 𝑦 𝑦0 é a diferencial de 𝑓 em 𝑥0 𝑦0 relativa aos acréscimos 𝑥 e 𝑦 onde 72 Diferencial Numa notação clássica definimos a diferencial das variáveis independentes 𝑥 e 𝑦 como os acréscimos 𝑥 e 𝑦 respectivamente isto é 𝑑𝑥 𝑥 e 𝑑𝑦 y Nesse contexto a diferencial de 𝑓 em 𝑥 𝑦 relativa aos acréscimos 𝑥 e 𝑦 é indicada por 𝑑𝑧 ou 𝑑𝑓 onde 𝑑𝑧 𝑓 𝑥 𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝑓 𝑦 𝑥 𝑦 𝑑𝑦 11 A expressão 10 também é denominada diferencial total de 𝑓 𝑥 𝑦