Lista de Exercícios

Lista de Exercícios 1 Prove que uv u2 v 2 Prove que u v u v 3 Mostre que se u e v são vetores tal que u v é ortogonal a u v então u v 4 a Para quaisquer dois vetores u e v do espaço prove que vale a igualdade u x v2 u2 v2 uv2 b Dado dois vetores u e v do espaço prove que vale a igualdade u x v u v sen θ onde θ é ângulo formado pelos vetores u e v c A área do triângulo ABC com vértices A B e C contidos no espaço é o número Área ABC 12 AB x AC Justifique geometricamente essa igualdade D Use essa fórmula para calcular a área do triângulo com vértices A 312 B 122 e C 111 5 Seja π um plano dado por π X P λu μv com λ μ R e u v LI e π X P αf1 βf2 com αβ R e f1 u u e f2 v Projf1 v v Projf1 v a Mostre que f1 f2 b Mostre que π π Geometria Analítica 1 u v u2 v Esta afirmativa é falsa Vejamos um contraexemplo Considere o espaço vetorial R2 e os vetores u 12 e v 34 Temos que uv 1 3 2 4 11 Por outro lado temos que u2 sqrt12 222 1 4 5 v sqrt32 42 sqrt25 5 Logo u2 v 5 5 25 11 uv 2 u v u v Para demonstrar esta desigualdade vamos usar o fato de que w w w2 para um vetor w qualquer Logo u v2 uv uv u u u v v u v v u2 2 u v v2 u2 2u v v2 u v2 Logo u v u v2 u v u v 3 O produto escalar de dois vetores ortogonais é 0 Logo se u e v são vetores tais que u v é ortogonal a u v então u v u v 0 u u u v v u v v 0 u2 u v u v v2 0 u2 v2 0 4a Sejam uu1u2u3 e vv1v2v3 Temos que u x vu2v3u3v2u3v1u1v3u1v2u2v1 Logo u x v² u2v3 u3v2² u3v1 u1v3² u1v2 u2v1² u2²v3² 2u2u3v2v3 u3²v2² u3²v1² 2u1u3v1v3 u1²v3² u1²v2² 2u1u2v1v2 u1²v2² Por outro lado uv² u1v1 u2v2 u3v3² u1²v1² u2²v2² u3²v3² 2u1u2v1v2 2u1u3v1v3 2u2u3v2v3 Somando as duas expressões As partes sublinhadas se anulam u x v² uv² u2²v3² u3²v2² u3²v1² u1²v3² u1²v2² u2²v1² u2²v1² u3²v2² u1²v3² u1² v2² v3² u2² v1² v3² u3² v1² v2² u1² u2² u3²v1² v2² v3² u² v² Reorganizando obtemos u x v u v uv² b O produto escalar pode ser expresso como uv u v cosθ Logo uv² u² v² cos²θ Substituindo na equação do item a obtemos Por Pitágoras u x v² u² v² u² v² cos²θ u² v² 1 cos²θ u² v² sen²θ u x v u v senθ c Considere o triângulo ABC Tome como referencia o vetor AB como base Então a altura do triângulo será h AC senθ Portanto a área do triângulo é Área ABC bh AB AC senθ2 AB x AC2 d Temos que AB 13 21 22 230 AC 13 11 12 221 AB x AC 230 x 221 311 20 02 12 22 23 322 AB x AC 3² 2² 2² 9 4 4 17 ÁreaABC 172 5 a Vamos mostrar que o produto escalar entre f1 e f2 é 0 Temos que projπ f0 uv u² u Logo f1f2 u u v uv u²u 1 u v uv u² u uv uv u² uu mas uu u² Logo f1f2 k uv uv u² u² 0 Portanto f1 f2 b Pelas definições de f1 e f2 temos u u f1 e v projπ v v projπ v f2 Logo X P λαu μ v P λ u f1 μ projπ v v projπ v f2 P α f1 β f2 Π Π P α f1 β f2 α uu β v projπ vv projπ v λα u μ v Π Π Portanto Π Π