Geometria Analítica no Plano - Lista de Exercícios Resolvidos

O gráfico ao lado mostra uma parábola P de foco F e direttriz r paralela ao eixo Ox Obtenha a a equação da direttriz de P b o parâmetro de P c a equação do eixo de simetria de P d a ordenada do ponto que pertence à parábola e tem abscissa 1 1ª 2x y 8 0 3x y 3 0 Determinando os coeficientes angulares inclinação do reto 2x y 8 0 y 2x 8 m1 2 3x y 3 0 3x 3 y y 3x 3 m2 3 Para calcular o ângulo agudo usamos tg θ m2 m11 m2m1 tg θ 3 21 32 tg θ 3 21 6 tg θ 55 tg θ 1 tg θ 1 θ 45º UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO PROGRAMA ENSINAR CURSO MATEMÁTICA LICENCIATURA POLO BARRERINHAS DISCIPLINA GEOMETRIA ANALÍTICA NO PLANO PROFESSOR JOSÉ NILTON DINIZ 2ª ATIVIDADE ORIENTADA 1 Dadas as retas r e s de equações 2x y 8 0 e 3x y 3 0 respectivamente a calcule a medida de um ângulo agudo formado por r e s b calcule a medida de um ângulo obtuso formado por r e s 2 Obtenha as equações das retas que passam por P4 1 e formam ângulos de 45º com a reta r x y 3 0 3 Calcule a distância entre o ponto P e a reta r nos seguintes casos a P1 3 e r 5x 12y 2 0 b P1 2 e r 15x 8y 3 0 c P2 1 e r 3x 4y 0 d P3 0 e r y 7x 11 4 Obtenha o centro C e o raio R da circunferência de equação a x 6² y 2² 49 b x 4² y² 5 c x 1² y 2² 1625 5 Utilizando o método da redução obtenha o centro C e o raio R da circunferência de equação a x² y² 6x 2y 26 0 b x² y² 4x 8y 19 0 c x² y² 10x 23 0 d 9x² 9y² 6x 9y 1 0 6 Qual é a posição do ponto P em relação à circunferência λ em cada caso a P4 2 e λ x 3² y 1² 6 b P4 9 e λ x² y² 14y 30 0 c P10 14 e λ x 5² y 2² 169 2 M x y 3 0 Perceba que P 41 r x y 3 0 4 1 3 0 4 4 0 0 0 Vamos determinar a inclinação de r x 3 y y x 3 m₁ 1 m tg α onde α é ângulo formado pela reta r e o eixo x 1 tg α tg α 1 α 45 logo temos que tanto o ângulo θ entre os vetores e a inclinação r são de 45 como os vetores e o eixo formam um triângulo temos que β 45 45 β 90 que seria a inclinação da s porém tg 90 é indete rminada logo 1 é vertical Como s passa por P 41 a equação de s x 4 3 Usemos a fórmula dP n a p by c a² b² a P13 e n 5x 12y 2 0 a x b y c 0 a 5 b 12 c 2 d p n 5 1 12 3 2 5² 12² 5 36 2 25 144 39 169 39 13 d p n 3 b P1 2 n 15x 8y 3 0 a 15 b 8 c 3 dp n a xp b yp c sqrta2 b2 dp n 15 1 8 2 3 sqrt152 82 dp n 15 16 3 sqrt225 64 dp n 34 sqrt289 dp n 34 17 dp n 2 c P2 1 n 3x 4y 0 a 3 b 4 c 0 dp n 3 2 4 1 0 sqrt32 42 6 4 sqrt9 16 10 sqrt25 10 5 dp n 2 d P3 0 n y 7x 11 a 7 b 0 c 11 dp n 7 3 0 0 11 sqrt72 02 21 11 7 32 7 4 a x 62 y 22 49 Comparando com a equação da circunferência x a2 y b2 r2 a e b são respectivamente as coordenadas x e y do centro logo C6 2 e r2 49 r sqrt49 r 7 b x 42 y2 5 reescrevendo x 42 y 02 5 C4 0 e r2 5 r sqrt5 c x 12 y 22 1625 reescrevendo x 12 y 22 1625 C1 2 e r2 1625 r sqrt1625 sqrt16sqrt25 45 x2 y2 4x 8y 19 0 x2 4x y2 8y 19 x2 2 2x y2 2 4y 19 x2 2 2x 4 y2 2 4y 16 19 4 16 x 22 y 42 19 20 x 22 y 42 1 x 22 y 42 1 C 2 4 r2 1 r 1 r 1 c x2 y2 10x 23 0 x2 10x y2 23 x2 2 5x y2 23 x2 2 5x 25 y2 23 25 x 52 y2 2 x 52 y 02 2 C 5 0 e r2 2 r 2 d 9x2 9y2 6x 9y 1 0 9x2 6x 9y2 9y 1 9x2 6x 9 9y2 9y 94 1 9 94 3x 322 3y 322 414 9x 122 9y 122 414 x 12 y 122 414 19 x 12 y 122 4136 C 1 12 r2 4136 r 4136 416 5 a x2 y2 6x 2y 26 0 x2 6x y2 2y 26 x2 2 3 x y2 2 1 y 26 x2 2 3 x 9 y2 2 1 y 1 26 9 1 x2 6x 9 y2 2y 1 36 x 32 y 12 36 como a equação da circunferência é x a2 y b2 r2 logo C 3 1 e r2 36 r 36 r 6 b P49 e λ x² y² 14y 30 0 x² y² 14y 30 x² y² 14y 49 30 49 x² y 7² 19 C 0 7 r 19 dcp 4 0² 9 7² 4² 2² 16 4 dcp 20 r logo P é externo c P 1014 e λ x 5² y 2² 169 C 52 r² 169 r 169 13 dcp 10 5² 14 2² 5² 12² 25 144 169 dcp 13 r logo P λ 7 a d y 1 y 1 0 b parâmetro dFd F24 dFd axp byp c a² b² a 0 b 1 c 1 dFd 02 14 1 0² 1² 31 dFd 3 c x 2 d Primeiro vamos encontrar a equação da parábola As distâncias da diretiz ao vértice e ao foco ao vértice são iguais logo y1² x2² y4² y1 x2² y4² y1² x2² y4² 6 p λ dcp r dcp r p é interno dcp r p é externo a λ x 3² y 1² 6 p 4 2 r² 6 C 3 1 r 6 dcp 43² 21² 1² 1² 2 dcp r logo p é interno a λ y2 2y 1 x2 4x 9 8y 8y 16 2y 8y 1 x2 4x 20 6y 1 20 x2 4x 6y 19 x2 4x pour x 1 temos que 6y 19 12 4 1 6y 1 4 19 6y 3 19 6y 16 y 16 6 y 8 3 8 V 31 p 95 x x02 4p y y0 x 32 4p y 1 x 32 4p y 1 x 5 e y 9 5 32 4p 9 1 82 4p 8 64 32p 32p 64 p 64 32 p 2 x 32 8 y 1 9 a y 3x2 6x 5 y 5 3x2 6x 3x2 6x y 5 3 x2 2x y 5 x2 2x 13 y 5 x2 2x 1 13 y 5 1 x 12 13 y 53 1 13 y 1 53 13 y 3 53 x 12 13 y 23 x 12 13 y 2 b x y2 6y 7 x 7 y2 6 y x 7 9 y2 6 y 9 x 2 y 32 c y x2 4 x 3 y 3 14 x2 x y 3 14 y2 2 12 x 1 y 3 1 14 x2 x 1 y 4 12 x 12