Lista de Exercícios Resolvidos de Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores, Retas e Planos

1 Determine m e n tais que ü v seja LD sendo ű 1mn 1 e 𝘷 mn10 2 Um vetor u tem dois de seus ângulos diretores dados por α 60 e β 120 Calcule as coordenadas de ű sabendo que ũ 2 3 Sendo ũ e 𝘷 unitários ŵ 4 ũ w 2 𝘷 𝘸 4 e angũv π3 radianos calcule 5ũ w w 2𝘷 4 Determine os vetores unitários ũ xyz tais que a projeção ortogonal de ũ sobre k seja k2 e a medida angular entre 𝘷 xy0 e ű seja π6 radianos 5 Calcule a área do triângulo de vértices A 111 B 221 e C 124 6 Escreva equações na forma simétrica da reta determinada pelo ponto 142 e pelo ponto médio do segmento de extremidades 135 e 331 7 Obtenha uma equação geral do plano π que contém A 101 e a reta s x12 y3 2z 8 Obtenha a interseção da reta r X 111 λ110 com o plano π x y z 1 0 1 ũ 1mn 1 𝘷 mn10 ũ e 𝘷 devem ser múltiplos mn10 k 1mn 1 mn10 k km kn k m k n km 10 kn k k n 1 m k n km k² 10 k n 1 k k² 1 10 k³ k solução real k 2 m k 2 n k² 4 ũ 125 e 𝘷 2410 são LD 𝘷 2ũ 2 α 60 β 120 ũ 2 ũ xyz cosα ũ î ũî cos60 xyz10021 12 12 x2 x 1 cosβ cos120 xyz 01021 12 12 y2 y 1 ũ x² y² z² 2 ũ² 4 x² y² z² 4 1² 1² z² 4 z² 4 2 2 z² 2 z 2 xyz 1 1 2 ũ w4 cosanguw uw u w 2 1 4 12 cosangvw vw v w 4 1 4 1 anguw 120 angvw 180 anguv π3 60 cosanguv 12 v1 v10 w4 w40 u1 u cos60 sin60 u 12 32 5u w 512 32 40 52 532 40 5u w 132 532 w 2v 40 210 40 20 60 5u w w 2v 132 532 60 39 0 39 u 1 u x y z v x π6 Projk u k2 u k k² k k2 u k k² 12 x y z 001 001² 12 z1 12 z 12 u 1 x² y² z² 1 x² y² 12² 1 x² y² 1 12² 1 14 34 v x v x v x x₁ y₁ 0 100 x² y²1 x x² y² cosπ6 32 x x² y² x² x² y² 34 4x² 3x² y² x² 3y² x 3 y Continue If x² y² 34 3 y² y² 34 3y² y² 4y² 34 y² 316 y 3 4 x 3 y 3 3 4 34 u x y z 34 34 12 A 1 1 1 B 2 2 1 C 1 2 4 AB B A 2 2 1 1 1 1 1 1 0 AC C A 1 2 4 1 1 1 0 1 3 AB AC i j k 1 1 0 0 1 3 i3 0 j0 3 k1 0 3i 3j k AB AC 3² 3² 1² 9 9 1 19 Área Ponto Médio M 135 3 3 1 2 406 2 203 P 1 4 2 x0 y0 z0 PM M P 203 1 4 2 PM 3 4 5 a b c Eq simétrica x x0a y y0b z z0c z 25 y 44 x 13 7 A 1 0 1 s x12 y3 2 z x 12 y3 2 z t 2 z t y 3t x 1 2t t1 2 z 1 z1 y3 x3 P 3 3 1 Como a reta é x x0a y y0b z z0c B x0 y0 z0 1 3 2 PA A P 1 0 1 3 3 1 2 3 2 PB B P 1 3 2 3 3 1 2 0 1 n PA PB i j k 2 3 2 2 0 1 i3 0 j4 2 k0 6 n 3i 6j 6k Eq geral n xx0i yy0j zz0k 0 n x1i y0j z1k 0 3 6 6 x1 y z1 0 3x 1 6y 6z 1 3x 3 6y 6z 6 0 3x 6y 6z 3 0 3x 6y 6z 3 continuação Ex 7 Reta r xyz 1λ x 1 λ y 1 z λ x1 y1 x y 2 0 reta O ponto x y 1 pertence à reta 1 1 2 2 2 0 Aplicando esse ponto ao plano π x y z 1 0 1 1 z 1 0 z 2 1 1 Intersecção xyz 1 1 1 x 1 1 1 λ1 1 0 λ 0